ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA Msura: processo che assoca ad og gradezza fsca uo (scalare) o pu` (vettore) umer che la quatfca rspetto ad ua opportua uta` d msura. Procedmeto emprco soggetto a lmtazo d vara atura che e determao la precsoep Gl error d msura soo evtabl Ua msura o ha essu sgfcato se o vee accompagata da ua stma dell'errore assocato Ad es. Se uso ua rga mllmetrata ho ua sesblta` d 1 mm: se per cofroto vedo che la larghezza d u foglo e` compresa tra le graduazo 15 e 16 mm posso scrvere: 0.15 m l 0.16 m ovvero l = (0.155±0.0005) m

Cfre sgfcatve ed arrotodamet Rsultato sempre scrtto co: 1) valore, ) errore, 3) utà d msura es. L = 1.34 ± 0.01 m No ha seso spgere la valutazoe del rsultato al d là della precsoe spermetale se ad es. l errore per la msura d ua lughezza dca certezza sulla cfra de cetmetr, è u errore dare el rsultato la cfra de decm d mllmetro! REGOLA: e rsultat e calcol termed tutte le cfre che voglamo gut al rsultato fale, dopo l calcolo dell'errore, bsoga trocare l rsultato al lvello dell errore stmato ed arrotodarlo (geeralmete 1 o max cfre sgfcatve sull'errore) esempo lughezza L: rsultat termed 1.34567 ± 0.31 m 1.34567 ± 0.00789 m arrotodameto 1.3 ± 0. m o 1.34 ± 0.3 m 1.346 ± 0.008 m o 1.3457 ± 0.0079 m

CLASSIFICAZIONE DELLE MISURE Msure drette: s ottegoo per cofroto dretto co ua uta` d msura omogeea o per mezzo d uo strumeto calbrato es. la msura d ua lughezza co ua rga graduata, d u tervallo d tempo co u croometro etc) Msure drette: attraverso la msura d ua o pu` gradezze dverse legate attraverso ua legge fsca, espressa attraverso ua equazoe matematca es. msura d ua dstaza co u segale d cu cooscamo la velocta` d propagazoe v: x= t v, es. msura d velocta` meda v a partre da ua msura d lughezza (dstaza percorsa x) e d u tervallo d tempo t : v= x/ t

MISURAZIONE Metodo d msura parte tegrate del processo d msura e o possamo astrarre da esso per aalzzare la msura stessa. Per la stessa gradezza fsca dpede dall'orde d gradezza: es. lughezza L O(m) cofroto dretto co regolo graduato L O(µm) msura terferometrca L O(km) tragolazoe L O(105 km) msura laser (e.g. dstaza Terra-Lua) Strumeto d msura Sesblta`: mma varazoe apprezzable (e.g. 0.5 mm per regolo) Precsoe: legata alla rproducblta` de rsultat Accuratezza: capacta` d forre valor realmete corrspodet al valore vero della gradezza esame Itervallo d'uso: codzo d lavoro (e.g. Itervallo d temp.) e d valor msurabl

Error Sstematc Error sstematc Agscoo sempre ello stesso verso (sottostma o sovrastma) es. dfett costruttv dello strumeto, deterorameto, uso codzo errate, error dello spermetatore, perturbazo estere o cotrollate, uso d formule approssmate etc. Se ad es. uso u regolo d lughezza 999 mm azche` 1m tutte le lughezze sarao sovrastmate dell' 1 Se ad es. msuro la profodta` d u fume co uo scadaglo, la preseza della correte deva lo scadaglo e tede a far sovrastmare la profodta` sdos perche` o mmedatamete detfcabl: rchedoo ua muzosa aals crtca dello strumeto e del metodo d msura Possoo essere evdezat msurado co strumet/metod dvers Se scopert, possoo essere ( lea d prcpo) elmat o rdott

Error Casual Error casual Aleator ed mprevedbl Se la sesblta` dello strumeto e` suffcetemete pccola vsbl sa postv che egatv o possoo essere elmat possoo essere stmat } Msure rpetute faclmete evdezabl se lo strumeto e` sesble possoo essere rdott (mglorado la msura) ma ma elmat Possedoo propreta` statstche che cosetoo d stmarl a partre da dat stess Esemp: - goch meccac ed attrt (es. Calbro o mcrometro...) - codzo ambetal varabl e o del tutto cotrollabl (Temp., press.,etc) - valutazo-azo dello spermetatore (e.g. lettura d ua scala, start-stop d u croometro...), - mperfetta defzoe della gradezza (e.g. dametro d ua sfera fsca...) - etc. etc.

Rappresetazoe de dat Msurado rpetutamete ( volte) volte la stessa gradezza x s ottegoo valor dfferet x. Come rappresetare dat? 1 Co ua tabella (sequeza delle msure): tutta l'formazoe essua stes Co u deogramma: ascssa l umero d'orde della msura, ordata la msura x. Vsbl: valore medo, errore, evetual varazo sstematche larghezza a) Meda fssa Valore medo b) Meda varable el tempo Varazoe sstematca del valore d t

Rappresetazoe de dat: Istogramma 3. stogramma: stogramma l'ascssa rappreseta valor d x ed e` suddvsa tervall d larghezza x corrspodeza a cascuo de qual s costrusce u rettagolo d altezza proporzoale al umero d msure che cadoo quell'tervallo s puo` studare come s dstrbuscoo le msure errore raffgura smultaeamete sa l valore medo x che la larghezza della dstrbuzoe che forrao ua stma del valore vero e dell`errore assocato a cascua msura larghezza x valore vero

Alcue defzo x* Valore vero x (o ache <x>) Valore medo x Msura -ma ε =x-x* Errore -ma msura cogto z =x-x scarto -ma msura msurato ε =x-x* Errore della meda cogto cogto msurato

Stma del valore vero Il valore pu' comuemete usato per la stma del valore vero x* cogto e` la meda artmetca x x = Propreta`: tutt dat trattat allo stesso modo dpedetemete da orde medamete lo scarto tra x e valore vero x* e` ferore valore assoluto che per le sgole msure (gl scart possoo essere sa postv che egatv e ella somma s compesao) (ved prossma trasp.) rede mma la somma de quadrat degl scart

Errore della meda Dalla defzoe d meda e d errore: Come s vede l'errore della meda e` la meda degl error Da qu la parzale cacellazoe degl error quado s calcola la meda: ell'ultma somma gl error postv compesao gl error egatv La meda artmetca d tutte le msure e` ua stma mglore rspetto a cascua sgola msura del valore vero x*

Stma della larghezza della dstrbuzoe de dat Lo scarto medo dalla meda o e` doeo a stmare la larghezza della dstrbuzoe de dat fatt per defzoe vale 0 (gl scart postv compesao esattamete gl scart egatv) Per avere ua stma della larghezza della dstrbuzoe s rcorre a quadrat degl scart: S Varaza S (o meda del quadrato degl scart) scarto quadratco medo (o rms root mea square) µ μ = ( x x )

Varabl casual N umero delle prove l umero delle volte (e.g. Numero delle volte cu s laca u dado o l umero totale delle msure) cu s verfca l'eveto (ad esempo esce 1 o l umero delle volte cu le msure cadoo ell'tervallo -mo d u stogramma) Frequeza dell'eveto F = N (spermetale) (e.g. 10/100 per l'uscta d 1) Nel lmte per N-> le fluttuazo statstche della frequeza dvegoo trascurabl Probablta` dell'eveto p (valore medo d F per grad N) (teorca) (e.g. 1/6 el caso d dado deale)

Dstrbuzoe ormale degl error casual L'stogramma delle msure ha fluttuazo statstche che dmuscoo al crescere del umero delle msure. msure Ad es ua lughezza x DISTRIBUZIONE UNIVERSALE DESCRITTA DALLA FUNZIONE DI GAUSS (o dstrbuzoe ormale) * Per N-> 1 F ( x)= e σ π ( x x ) σ

Dstrbuzoe ormale o d GAUSS * ( x x ) σ 1 F ( x)= e σ π σ 1) Massma corrspodeza al valore vero x* ) smmetrca rspetto al valore vero x* 3) s aulla astotcamete per x->+- 4) la larghezza e' proporzoale a σ che ha le dmeso d x Per la dstrbuzoe d Gauss x=x* σ =<(x- <x>) > x e` ua stma d x* e µ ua stma d σ

Dstrbuzoe ormale o d GAUSS () Ha l sgfcato d ua desta` d probablta`: probablta` che la msura cada [x,x+dx]: dp= F(x) dx F(x) { a b x Probablta` P(a<x<b) che x sa compreso tra a e b b P (a<x<b)= F ( x)dx a Probablta` che x sa etro a dal valore medo a (σ ) P(-a<x<+a) 1 0.687 0.9545 3 0.9973 1-P δ 0.3173 1σ 4.55 x 10- σ.7 x 10-3 3σ 6.3 x 10-5 4σ 5.7 x 10-7 5σ Etro +- 3 σ oltre l 99.7% delle msure oltre questo valore dat vegoo esclus error grossola

Propagazoe degl error: somma d due gradezze Se s combao pu` msure dverse (INDIPENDENTI) INDIPENDENTI come s propagao relatv error? Ad es. Cosderamo la somma F d x e y la meda d F e` la somma delle mede d x ed y Gl scart soo la somma degl scart Per le varaze S (INDIPENDENTI) INDIPENDENTI

Propagazoe degl error: somma d due gradezze ES. somma d due msure INDIPENDENTI meda varaza Scarto quadratco medo Gl rms s sommao quadratcamete F=x+y SF= Sx + Sy µ =µ F x +µ y

Formula geerale d Propagazoe degl error per Msure dpedet CASO GENERALE: F fuzoe arbtrara d msure INDIPENDENTI x F=F ( x 1, x, x 3,..., x ) error pccol svluppo sere attoro al valore medo) F F=F ( x 1, x, x 3,..., x )+ ( x x 1 ) x Meda Scarto quadratco medo F=F ( x 1, x, x 3,..., x ) F μ = ( ) μ x F Se le msure soo dpedet s sommao quadratcamete cotrbut allo scarto quadratco medo d cascua msura

Propagazoe dell'errore applcata alla meda Formula d propagazoe dell'errore F μ = ( ) μ x F x Per la fuzoe meda F= x = S ottee μ = x μ = x 1 μ x 1 μ E poche` tutte le msure hao lo stesso errore µ x μ =μ μ μ x= S rduce l'errore sulle sgole msure co 1/

Propagazoe degl error relatv Fuzoe omogeea y d varabl x1...x y c 1 c =c x j x j x c1 1 c y=x. x.... x c y 1 =c x y x j E dalla formula geerale s ottee la formula d propagazoe degl error relatv μx μ y = (c ) y x Ek=½ m v μx = (c ) x y μ Es. eerga cetca y µ Ek µ µ ( E ) = ( mm ) + ( v v ) k

Metodo de mm quadrat (1) Studo della dpedeza d y da u'altra gradezza x (verfca d ua legge fsca, msura de parametr d u sstema, etc. ) La dpedeza vee studata per put msurado coppe (x, y) delle due varabl Suppoamo che: Le msure delle gradezze x ed y sao affette da error dpedet tra loro L'errore sulla varable x sa trascurable la varable y e` dstrbuta co errore casuale gaussao σ y uguale tutt put.

Metodo de mm quadrat () La dpedeza d y da x e` geerale defta da u certo umero d parametr. Ad esempo per ua dpedeza leare s hao parametr a e b y=a+bx Es. Moto rettleo uforme cu y e` la poszoe ed x l tempo: a e` la poszoe al tempo t=0 e b la velocta` el moto S defscoo gl scart δy tra valore msurato d y e valore atteso da x: δy=y-(a+bx) I δy soo rappresetat da segmet vertcal fgura

Metodo de mm quadrat (3) S troduce la somma quadratca Q degl scart δy d tutte le msure y dal valore predetto dalla dpedeza teorca da x Q=Σ (δy ) Nel metodo de mm quadrat s determao parametr che goverao la dpedeza mpoedo che ess redao mma Q Ad esempo el caso leare y=a+bx Q= (δ y ) = ( y a bx ) Impoedo Q mma s ottee x y x x y a= x ( x ) x y x y b= x ( x )

Metodo mm quadrat (4): stma error parametr Il metodo cosete la stma degl error de parametr Predamo come esempo l caso leare y=a+bx a σ =σ y x b σ =σ x ( x ) y Nel caso σy o sa oto, puo` essere stmato da dat stess a partre da resdu δy del ft Q σ y= = (δ y ) x ( x ) δy=y-(a+bx)

Meda Pesata msure x della stessa gradezza x co dversa precsoe (ad es. Otteute co dvers metod d msura) o e` corretto usare la meda (che tratta tutte le msure allo stesso modo) s deve vece dare maggore mportaza alle msure pu` precse S dmostra che la stma del valore vero che rede mmo l'errore e` data dalla meda pesata: se cascua x e` gaussaa co larghezza σ l peso e` par a 1/σ (pesao d pu` le msure pu` precse) L'errore σx sulla meda e` calcolato co la formula d propagazoe degl error e rsulta aturalmete pu` pccolo d cascu σ N.B. Se tutte le msure hao la stessa precsoe la meda pesata cocde co la meda artmetca x = x 1 x = 1 1

Msura d laboratoro S za co ua gudova a cusco d'ara equpaggata co 1)u sesore d poszoe )ua terfacca per la acquszoe dat (Verer LabPro ) 3)Computer d acquszoe (MacBook) che utlzza la applcazoe LoggerPro (Verer) per la gestoe de dat, creazoe d grafc, terpolazoe ed aals statstca

Msura d poszoe msura soar (rflessoe d u pacchetto d ultrasuo d frequeza ~50 khz) EmetttoreMcrofoo x=1/ vs(θ) *t x vs vs u coo d apertura α 00 attoro ad u asse che deve cocdere co l'asse d movmeto Emette velocta` del suoo vs dpede dalla temperatura d eserczo θ (+1.8 /0C) Precsoe crca 1 mm Itervallo d msura: [15 cm:6m] Frequeza d campoameto dpede da Lmax (@1.5 m 30 Hz) Possble calcolare umercamete le dervate I e II della poszoe la