ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA

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1 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA S dce duzoe o metodo duttvo l metodo d dage scetfca caratterstco delle sceze spermetal: - s osservao feome che s presetao spotaeamete o che vegoo provocat co espermet, - c s domada se tal feome presetao qualche uformtà; - caso affermatvo s cerca d formulare le legg a cu quest feome ubbdscoo. 1 Co tale metodo s procede dal partcolare all' uversale. E ecessaro ache l cammo verso, perché ua volta formulata ua legge, c s deve accertare, co uove osservazo, che sa effettvamete sempre valda. Il metodo duttvo, quado opera term quattatv, costtusce l metodo statstco: esso trova applcazoe sa el campo aturale (Fsca, Chmca, Bologa, ecc.), sa el campo socale (Demografa, Ecooma, Pscologa, ecc.). Osservamo che, metre el campo aturale feome possoo essere oggetto, o solo d osservazoe, ma ache d espermeto (cò cosete d fare osservazo d u feomeo molto umerose e elle stesse codzo), feome socal o s possoo provocare e la dverstà delle codzo ambetal cu s verfcao le dverse osservazo porta a delle perturbazo la cu flueza deve essere elmata co approprat mezz statstc.. Aalzzamo ora le vare fas dell'dage statstca: FASE 1 : FORMULAZIONE DELLE IPOTESI I base ad osservazo casual, vegoo formulate delle potes che s vuole sottoporre a verfca spermetale. Tale fase è compto dello studoso delle sgole dscple. La statstca s occupa vece delle modaltà tecche della rlevazoe, dello spoglo e della elaborazoe de dat. FASE : RILEVAZIONE DEI DATI Premettamo alcue defzo. Chamamo popolazoe u seme E d elemet d atura qualuque. Gl elemet dell'seme E s dcoo dvdu o utà statstche. La popolazoe E vee dvsa sottosem E1, E,..., E dett class, dsgut tra loro ed avet come uoe tutto E (ossa sottosem E1, E,..., E formao ua partzoe d E: P(E).). Og classe E vee dvduata medate u certo carattere comue agl dvdu che la compogoo. Ad og classe E appartee u certo umero (evetualmete ullo) d dvdu, chamato frequeza della classe : f(e). Scuola 1 Strumet Statstc Docete d matematca

2 Esempo d rlevazoe dat: Popolazoe: alu caddat all'esame d maturtà d u ITIS (soo 338) Dvdamo la popolazoe class cotraddstte dal voto preso come carattere: E1 seme degl alu che hao preso 60 E seme degl alu che hao preso 61 e cos va E4 alu o matur. E F(E) E <60 F(E) La tabella defsce ua fuzoe f chamata fuzoe d dstrbuzoe (perché dce come s dstrbusce la popolazoe fra le vare class) dall'seme P(E) u seme B d umer real così defta: f: P(E) > B ad og classe E assoco la sua frequeza, ossa l umero de suo elemet. E > f(e) S dce che la fuzoe f caratterzza la dstrbuzoe delle frequeze. Date queste defzo passamo ad aalzzare la fase Per fare ua dage statstca relatva ad ua popolazoe E s deve: a) dvduare l carattere base al quale suddvdere la popolazoe class E. U carattere s dce QUANTITATIVO quado og classe è determata da u umero ( d elemet o msure d gradezze). S parla d testà d u carattere quattatvo. U carattere s dce QUALITATIVO quado og classe è determata da u aggettvo o ome (professoe, colore ecc.). S parla d modaltà d u carattere qualtatvo. b) dvduare le utà statstche avet u dato carattere (s parla d rlevazoe statstca). Ua rlevazoe s dce COMPLETA quado comprede tutt gl elemet della popolazoe E; PARZIALE quado rguarda solo ua parte rappresetatva della popolazoe detta campoe. Il campoe deve essere scelto opportuamete. La formazoe del campoe poe alcu problem: -PROBLEMA QUANTITATIVO: d quat elemet deve essere formato l campoe? Bsoga cotemperare le due esgeze d poco costo e suffcete sgfcatvtà. Per fare questo bsoga ache sapere come la dmesoe del campoe può flure sulla precsoe de rsultat. Tale problema preseta otevol dffcoltà. -PROBLEMA QUALITATIVO: ua volta stablte quate s deve stablre come sceglere le utà statstche. S può procedere per estrazoe a sorte: campoe casuale (og dvduo della popolazoe ha ugual probabltà d essere estratto e og possble campoe ha la stessa probabltà Scuola 1 Strumet Statstc Docete d matematca

3 d essere formato); spesso s prefersce fare u campoe stratfcato (poché l campoe è usato per stmare le caratterstche dell'tera popolazoe da cu è estratto, questo dovrà essere scelto modo da rflettere le caratterstche della popolazoe stessa). -PROBLEMA DI INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: ua rlevazoe parzale poe otevol problem d terpretazoe de rsultat: come estedere tal rsultat all'tera popolazoe? La modera tecca statstca ha fatto otevol progress tale campo e s è preoccupata soprattutto d valutare l'attedbltà de rsultat parzal. D questo problema, che preseta otevol dffcoltà, e daremo u ceo pù avat, parlado della varabltà. c) fssare l'estesoe (el tempo e ello spazo) della rlevazoe. Fssato l'oggetto della rlevazoe, bsoga predsporre l PIANO per realzzarla cocretamete. S devoo raccoglere le vare formazo relatve a cascua utà appost MODELLI DI RILEVAZIONE, che possoo essere regstr, schede, questoar, lste o tabelle (es tabelle relatve alle aals delle acque). 3 FASE 3 : SPOGLIO DEI DATI Le utà statstche vegoo raggruppate class omogeee E corrspodet alle sgole modaltà de caratter qualtatv o alle sgole testà (spesso soo vece class d testà) de caratter quattatv che teressao. Ua tabella statstca s forma assocado ad og classe E la sua frequeza f(e). Osservazoe: l carattere quattatvo può essere cotuo o dscreto. Quado è cotuo le class E d testà soo espresse tervall, se vece è dscreto le class E possoo essere espresse dalle sgole testà, ache se spesso s rcorre ugualmete ad tervall. Ua tabella che raccogle dat statstc può essere rappresetata grafcamete, ad es. co stogramm, settor crcolar, dagramm cartesa. Rappresetazoe co stogramm : S raggruppao valor della varable dpedete u certo umero d tervall, dett tervall d classe, (d ampezza costate o meo), s rportao sull'asse orzzotale gl tervall d classe e corrspodeza s costruscoo de rettagol che hao area proporzoale alle frequeze. Se gl tervall d classe soo tutt ugual ache le altezze soo proporzoal alle frequeze. Esempo Per redere pù leggbl dat, dalla tabella statstca relatva agl esam d maturtà possamo rcavare ua uova tabella statstca estraedo le seguet 5 fasce: - dal 60 al 74 : 170 alu - dal 75 al 85 : 88 alu - dal 86 al 95 : 51 alu -dal 96 al 100: alu - o matur : 7 allev Otteamo così ua dstrbuzoe poderata per class voto 60 voto voto voto voto 100 voto<60 N alu Rappresetamo dat co u stogramma (maca grafco) Scuola 1 Strumet Statstc Docete d matematca

4 Notamo che le class o hao tutte la medesma ampezza. L'ultma è aperta, s può pesare d chuderla co u valore ragoevole, ad esempo 50. Vedere rappresetazoe grafca allegata 1 Notamo che questo caso soo le aree de rettagol che soo proporzoal alle frequeze e o le altezze perché le class o hao tutte la medesma ampezza. Osservazoe: essedo l carattere dscreto s poteva costrure ache u ortogramma. 4 Rappresetazoe a settor crcolar: S dvde u cercho u umero d settor crcolar uguale al umero delle class E cosderate, og settore ha u'area proporzoale alla frequeza della classe E. Per far questo vee dsegato u cercho e lo s dvde tat settor quat soo dat ; gl agol d og settore soo proporzoal alle quattà che ess rappresetao. I geerale, per determare l agolo d og settore s utlzza la proporzoe seguete: frequeza del dato: frequeza totale = : 360 Il grafco relatvo al ostro esempo è: < Dagramma cartesao: S rportao el pao put avet per ascssa l umero che è l cetro d og tervallo della classe e per ordata le corrspodet frequeze. Uedo co segmet tal put s ottee la spezzata o polgoo d frequeze. Nel caso, pù frequete, che gl tervall d base sao tutt ugual, l'area coperta dalla spezzata è la stessa d quella dell'stogramma. Sugl stess dat della spezzata s può costrure ua curva detta curva d frequeze o d dstrbuzoe (quado l'ampezza d cascua classe è molto pccola ed l umero totale de cas osservat è suffcetemete grade la spezzata d frequeze tede ad ua curva cotua che s può studare co metod matematc). Vedere rappresetazoe allegata umero 3 (maca grafco) Scuola 1 Strumet Statstc Docete d matematca

5 FASE 4 : ELABORAZIONE DEI DATI. Ha pù propramete carattere matematco. Permette d esprmere rsultat dell'dage statstca modo stetco e tale da facltare l'terpretazoe. Prcpal forme d elaborazoe dat: 1 RAPPORTI STATISTICI: s tede u qualuque rapporto fra due dat statstc. E' la pù elemetare forma d elaborazoe dat. Esempo: frequeze relatve, dette ache rapport d parte al tutto. Altr esemp d rapport statstc soo: rapporto tra dmess ed rcoverat u ospedale, tra at e mort ua azoe, tra le etrate e le uscte ua dtta. 5 LE MEDIE: la meda è u umero, che qualche modo, e rassume molt, e permette d avere ua vsoe stetca d quest, aturalmete ascodedo la varetà de dat da cu provee. Prederemo cosderazoe tre tp d mede: la meda artmetca o valor medo, e due mede d poszoe: la moda e la medaa. Dces meda artmetca semplce degl umer 1,,..., quel umero che sosttuto a cascuo d ess lasca alterata la loro somma, coè = da cu =(Σ )/ La meda artmetca esprme u valore d equrpartzoe quado l carattere è addtvo. Dat m umer 1,,...,m, co rspettv pes o frequeze f1,f,...,fm, dces loro meda artmetca poderata l umero che sosttuto a tutt gl lasca alterato l valore dell'espressoe 1f1+f+...+mfm, ossa = (Σf)/Σf. Osservazoe: el caso d dstrbuzoe poderata per class è pù coveete, per calcolare la meda artmetca, utlzzare l cetro della classe. Qud possamo dare la seguete defzoe: La meda d ua dstrbuzoe poderata per class è l quozete tra lo somma de prodott del cetro d og classe per la sua frequeza e la somma delle frequeze. Esempo: calcolamo la meda artmetca della dstrbuzoe d frequeze relatva alla statstca de vot dell esame d maturtà e due mod: Dat umer 1,,..., e detta M ua qualuque loro meda, s dce scarto da M cascuo degl valor s1=1-m,..., s=-m. Gl scart calcolat rspetto alla meda artmetca godoo d due mportat propretà: 1) La loro somma è sempre ulla: coè scart + e scart - s compesao. Dmostrazoe: 1 1 ( ) )La somma de loro quadrat è more della somma de quadrat degl scart calcolat rspetto a qualuque altro valore M. 0 Scuola 1 Strumet Statstc Docete d matematca

6 Dmostrazoe : Cosdero la fuzoe f(m)= Calcolo la dervata prma rspetto alla varable M f (M)= [ ( M )( 1)] ( M ) e dmostro che ha u mmo M = ( M ) M M M Studo l sego della dervata prma M- 0 per M e qud la fuzoe f(m) e decrescete per M< e crescete par M>, per M = ha qud u mmo 6 S dce moda o valore ormale d ua dstrbuzoe d frequeze l valore M avete maggor frequeza. E' molto mportate perché rappreseta cas pù frequet del feomeo studato. S dce medaa quel umero m tale che la somma delle frequeze fo ad m è uguale alla somma delle frequeze dopo m (è l valore che occupa l posto d mezzo). La medaa s può calcolare solo se l carattere è quattatvo o qualtatvo ordable. S mettoo dat orde crescete e, se soo umero dspar, s prede quello che occupa l posto cetrale, se soo umero par s fa la meda artmetca de due dat cetral. Se s vuole studare l reddto auo d og persoa d ua certa popolazoe, la medaa m è quel umero tale che metà della popolazoe ha u reddto <m e metà u reddto >m. I tal caso la medaa è pù dcatva del valor medo, quato, se molte persoe hao u reddto basso e poche u reddto molto alto, la meda artmetca o c dà uo speccho attedble della dstrbuzoe del reddto essedo molto fluezata da u umero pccolo d dvdu. Le mede dao u dea stetca del feomeo studato, ma o dcoo assolutamete ulla della varabltà. 3 LA VARIABILITA'. Ua prma semplce msura della varabltà è l campo d varazoe; esso è la dffereza fra l valore massmo ed l valore mmo osservat: R= Xma - Xm E' ua msura grossolaa, fatt su d esso o fluscoo valor termed. La varabltà s msura pù adeguatamete cosderado le dffereze fra og terme ed u valor medo (coè gl scostamet o scart). D tal scart s prede po ua meda (per avere ua sola msura stetca della varabltà); bsoga però sempre trascurare seg (altrmet s avrebbe ua compesazoe tra dffereze postve e egatve), percò s rcorre a valor assolut o a quadrat. La msura classca della varabltà è lo scarto quadratco medo Sao valor assut dalla varable statstca esame (o cetr degl tervall delle class se l carattere è cotuo) ed f le rspettve frequeze. s.q.m. relatvo all'tera popolazoe σ = ( ) oppure σ = ( ) f f Scuola 1 Strumet Statstc Docete d matematca

7 s.q.m. u campoe d elemet s = ( ) oppure s = 1 ( s.q.m. corretto che vee chamato ache devazoe stadard) ( ) f f 7 Osservamo che -1 è propro l umero de grad d lbertà del sstema (gl scart dalla meda soo learmete dpedet). Fssato, σ <s e per molto grade σ =s. S può dmostrare rgorosamete (teora de buo estmator) che la meda del campoe è ua buoa stma della meda della popolazoe, metre se s vuole ua buoa stma dello s.q.m. della popolazoe dallo s.q.m. del campoe bsoga usare la a formula (stmatore corretto) La devazoe stadard può ache essere espressa percetualmete ed allora prede l ome d coeffcete d varazoe CV= s/ rportato forma percetuale, ossa CV= (100 s %)/ I questo modo ottego u umero puro dpedete dall utà d msura e così posso cofrotare dsperso dverse. La quattà D= Σ ( - ) vee detta devaza. Allo s.q.m. spesso s prefersce la varaza che o è altro che l quadrato dello s.q.m. (ossa la meda de quadrat degl scart), perché s evta d estrarre la radce. Coclusoe: la varaza, oppure lo s.q.m., dvdua la dspersoe de valor delle frequeze attoro alla meda: se valor soo cocetrat toro al valor medo la varaza è abbastaza pccola; vceversa, essa dveta grade se soo dspers lotao dal valor medo. Scuola 1 Strumet Statstc Docete d matematca