STATISTICA Lezioni ed esercizi

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1 Uverstà d Toro QUADERNI DIDATTICI del Dpartmeto d Matematca MARIA GARETTO STATISTICA Lezo ed esercz Corso d Laurea Botecologe A.A. / Quadero # Novembre

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3 M. Garetto - Statstca Prefazoe I questo quadero soo state raccolte le lezo del corso d Metod Matematc e Statstc per l prmo ao del Corso d Stud Botecologe dell Uverstà d Toro. Ua parte del materale è stata ache utlzzata per u corso d Statstca per l prmo ao del Corso d Stud Igegera del Poltecco d Toro. Etramb cors sopra ctat s quadrao e uov cors d stud treal, e qual le uove esgeze ddattche rchedoo d prvlegare l aspetto operatvo puttosto che l eccessvo approfodmeto teorco; s è scelto qud d forre u troduzoe elemetare e abbastaza stetca a prcpal argomet d u corso d statstca d base, accompagado og argometo co umeros esemp, ma sacrfcado sa la maggor parte delle dmostrazo de rsultat teorc, sa alcu argomet, pur d rlevate mportaza. La statstca descrttva è trattata come prmo argometo; lo scopo è quello d trodurre metod d aals de dat, prcpal tp d grafc, l cocetto d varable, che sarà po svluppato co la defzoe d varable aleatora, le defzo delle pù mportat statstche e le ozo d correlazoe e regressoe da u puto d vsta elemetare. Vegoo po trodott cocett d base del calcolo delle probabltà, co u breve ceo al calcolo combatoro. Molt fra gl esercz rguardat l calcolo delle probabltà possoo essere rsolt seza rcorrere alle tecche del calcolo combatoro; questo argometo può percò essere cosderato facoltatvo e gl esercz che lo rchedoo soo dcat co u astersco. Partcolare mportaza vee data allo studo delle dstrbuzo d probabltà dscrete e cotue e de loro parametr e vegoo trodott modell fodametal: la dstrbuzoe bomale, la dstrbuzoe d Posso e la dstrbuzoe ormale; ell ambto della statstca ferezale vegoo ache trodotte le dstrbuzo t, χ e F. La parte dedcata alla statstca ferezale è preceduta da ua breve trattazoe delle dstrbuzo d campoameto; ache questo caso s è scelto d o dedcare troppo spazo a rsultat teorc e d cocetrare vece l attezoe sugl tervall d cofdeza e su test d potes umeros cas mportat; soo trattat var tp d test d uso pù comue, accompagat da molte applcazo. Vegoo fe descrtt l test ch-quadro d adattameto e l test ch-quadro d dpedeza, frequetemete utlzzat elle applcazo. Il testo, come cors a cu è destato, è costruto come ua successoe d lezo ed eserctazo e gl argomet teorc soo sempre segut da umeros esemp, che llustrao la teora esposta; gl esemp soo svluppat e dettagl, rportado tutt calcol, le tabelle e grafc: lo svolgmeto a volte u po ooso e rpettvo può autare lo studete ad acqusre la capactà d rsolvere correttamete problem. Il corso d Metod Matematc e Statstc è accompagato da u cclo d eserctazo d laboratoro aula formatca, elle qual vee llustrato l utlzzo del foglo elettroco Ecel; ache se Ecel o è u software specfcamete destato alla statstca, tuttava cotee molte fuzo e strumet che cosetoo d effettuare aals e calcol statstc e la sua grade dffusoe ha motvato la scelta d questo software. Il materale utlzzato per lo svolgmeto del laboratoro farà parte d u altro quadero d questa collaa. Per la realzzazoe de grafc presetat questo testo e per la stesura delle tavole rportate Appedce, oché per lo svolgmeto d molt de calcol statstc presetat egl esemp, è stato vece utlzzato l software scetfco Matlab, che dspoe ache d u toolbo specfcamete destato alla statstca; questo software offre potezaltà grafche e d calcolo umerco e smbolco molto superor a Ecel, ma o s presta a u mmedato utlzzo per u attvtà d laboratoro d breve durata. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

4 Prefazoe Uverstà d Toro

5 M. Garetto - Statstca Idce Itroduzoe Captolo Statstca descrttva. Dstrbuzo d frequeza. Grafc delle dstrbuzo d frequeza. Idc d poszoe e d dspersoe. Calcolo d meda e varaza per dat raggruppat. Forma d ua dstrbuzoe.6 Correlazoe fra varabl 6.7 Metodo de mm quadrat. Regressoe leare 9.8 Regressoe polomale 8.9 Metod d learzzazoe 9 Captolo Probabltà 9. Espermet casual, spazo de campo, evet 9. Calcolo combatoro 6. Il cocetto d probabltà 67. Defzoe assomatca d probabltà 7. Probabltà codzoata 76.6 Il teorema d Bayes 8 Captolo Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà 9. Varabl aleatore 9. Dstrbuzo d probabltà dscrete 9. Destà d probabltà. Parametr d ua dstrbuzoe 8. Dsuguaglaza d Chebshev Captolo Dstrbuzo d probabltà dscrete. Dstrbuzoe bomale o d Beroull. Uso delle tavole della dstrbuzoe bomale. Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe bomale. Rappresetazoe grafca della dstrbuzoe bomale. Dstrbuzoe d Posso.6 Uso delle tavole della dstrbuzoe d Posso 7.7 Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe d Posso 8.8 Rappresetazoe grafca della dstrbuzoe d Posso 8.9 Approssmazoe della dstrbuzoe bomale co la dstrbuzoe d Posso Captolo Dstrbuzo d probabltà cotue. Dstrbuzoe ormale o d Gauss. Dstrbuzoe ormale stadardzzata. Alcue applcazo della dstrbuzoe ormale 6. Uso delle tavole della dstrbuzoe ormale 7. Relazoe tra la dstrbuzoe bomale e la dstrbuzoe ormale 6.6 Relazoe tra la dstrbuzoe ormale e la dstrbuzoe d Posso 6.7 Dstrbuzoe uforme 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 v Idce Captolo 6 Teora elemetare de campo Popolazo e campo Dstrbuzo d campoameto Dstrbuzoe della meda campoara (varaza σ ota) Dstrbuzoe della meda campoara (varaza σ cogta) 7 6. Dstrbuzoe della varaza campoara 78 Captolo 7 Stma de parametr 8 7. Itroduzoe 8 7. Stme putual e stme per tervallo 8 7. Itervall d cofdeza per la meda (varaza ota) 8 7. Itervall d cofdeza per la meda (varaza cogta) 9 7. Itervall d cofdeza per la proporzoe Itervall d cofdeza per la dffereza fra due mede (varaze ote) Itervall d cofdeza per la dffereza fra due mede (varaze cogte) Itervall d cofdeza per la dffereza fra due proporzo 7.9 Itervall d cofdeza per la varaza e per lo scarto quadratco medo 7. Itervall d cofdeza per l rapporto d due varaze Captolo 8 Test d potes 8. Itroduzoe 8. Ipotes statstche 8. Tp d errore e lvello d sgfcatvtà 8. Test d potes sulla meda (varaza ota) 9 8. Test d potes sulla meda (varaza cogta) Test d potes sulla proporzoe 8.7 Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze ote) 8.8 Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze cogte) Test d potes sulla dffereza fra due proporzo 8. Test d potes sulla varaza e sullo scarto quadratco medo 8. Test d potes sul rapporto d due varaze 7 Captolo 9 Test ch-quadro 9. Itroduzoe 9. Test ch-quadro d adattameto 9. Test ch-quadro d dpedeza 67 Appedce A Tavole statstche A- Tavola. Dstrbuzoe bomale A- Tavola. Dstrbuzoe d Posso A-9 Tavola. Dstrbuzoe ormale stadardzzata A- Tavola. Percetl per la dstrbuzoe ormale stadardzzata A- Tavola. Dstrbuzoe t d Studet A- Tavola 6. Dstrbuzoe χ A-6 Tavola 7. Dstrbuzoe F A-7 Appedce B Formularo B- Appedce C Bblografa C- Uverstà d Toro

7 M. Garetto - Statstca Itroduzoe Per statstca s tedeva orge la raccolta d dat demografc ed ecoomc d vtale teresse per lo stato. Da quel modesto zo essa s è svluppata u metodo scetfco d aals ora applcato a molte sceze, socal, atural, medche, gegerstche, ed è uo de ram pù mportat della matematca. Come esempo d dage statstca s cosder l seguete problema. Prma d og elezoe gl et poll tetao d dvduare quale sarà la proporzoe della popolazoe che voterà per cascua lsta: ovvamete o è possble tervstare tutt votat e qud s scegle come uca alteratva u campoe d qualche mglaa d utà, ella speraza che la proporzoe campoara sa ua buoa stma della proporzoe relatva alla popolazoe totale. Per otteere u rsultato scuro sulla popolazoe s dovrebbe aspettare fo alla coclusoe dell'elezoe, quado sao stat computat tutt vot, ma questo o costturebbe pù ua prevsoe. Però, se l campoameto è computo correttamete e co metod adeguat, s possoo avere fort speraze che la proporzoe campoara sarà crca uguale alla corrspodete proporzoe della popolazoe. Questo c cosete d stmare la proporzoe cogta P dell'tera popolazoe medate la proporzoe p del campoe osservato P p ± e dove e dca u errore. La stma o è fatta co certezza; s deve coè ammettere la possbltà d essere cors u errore, poché può essere stato scelto u campoe o rappresetatvo, evetualtà possble, ache se mprobable: tale crcostaza la coclusoe potrebbe essere errata; s può percò avere soltato u certo grado d fduca elle cocluso. Le cocluso statstche duque soo sempre accompagate da u certo grado d certezza. S ot che l affermazoe che la proporzoe della popolazoe può essere dotta dalla proporzoe del campoe, s basa su ua deduzoe a pror, coè che la proporzoe campoara molto probablmete è vca alla proporzoe della popolazoe. L esempo dell et poll rappreseta u tpco esempo d statstca ferezale: le caratterstche della popolazoe complessva soo dotte da quelle osservate su u campoe estratto dalla popolazoe stessa. Altr esemp d dage statstca possoo essere: l cesmeto della popolazoe talaa fatto dall'istat, lo studo d campo d pezz prodott da u'azeda per l cotrollo della qualtà meda del prodotto, la spermetazoe d u uovo farmaco su u gruppo d persoe volotare. La statstca s può duque vedere come lo studo delle popolazo, lo studo della varazoe fra gl dvdu della popolazoe, lo studo de metod d rduzoe de dat. Le popolazo d cu s occupa la statstca o soo solo le popolazo umae, come l'esempo precedete potrebbe far pesare. Le popolazo soo tese come aggregat d dvdu o ecessaramete vvet o materal: ad esempo, se s effettua u certo umero d msure, l'seme de rsultat costtusce ua popolazoe d msure. Le popolazo che soo oggetto d studo statstco evdezao sempre delle varazo al loro tero, ossa gl dvdu che le costtuscoo o soo tutt detc: compto della statstca è lo studo d tal varazo. All'orge d queste varazo soo spesso feome aleator, dove per aleatoro s tede u feomeo cu è presete modo essezale u elemeto d casualtà. Questo sgfca che l feomeo o è completamete prevedble a pror, l che o vuol dre che sa completamete mprevedble. Ad esempo se s estrae ua palla da u'ura che cotee palle bache e ere, o samo cert del rsultato, ma abbamo ua certa aspettatva. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Itroduzoe Occorre qud studare l calcolo delle probabltà, che, oltre a essere utle per se stesso, ad esempo ella teora de goch, costtusce ache ua base per l fereza statstca. Per mezzo del calcolo delle probabltà s può fare ua trattazoe matematca dell'certezza, ossa delle regole co cu s può dare u certo grado d fduca al realzzars d u dato eveto; molte stuazo cocrete s può formulare u modello probablstco base al quale calcolare la probabltà d u certo eveto. Ad esempo, rferedos al caso dell'ura coteete palle bache e ere, s potrà calcolare la probabltà che, estraedo palle, sao bache. Le cocluso che la statstca ferezale c permette d trarre sulla popolazoe complessva a partre dall'dage sul campoe, o soo certezze, come gà osservato, ma asserzo formulate co metod, precs e quattatv, del calcolo delle probabltà. La statstca descrttva s occupa vece dell'aals de dat osservat, prescdedo sa da qualsas modello probablstco che descrva l feomeo esame, sa dal fatto che l'seme de dat sa u campoe estratto da ua popolazoe pù vasta o sa vece l'tera popolazoe. Lo scopo baslare della statstca descrttva è d rdurre l volume de dat osservat, esprmedo l'formazoe rlevate coteuta tal dat per mezzo d grafc e dcator umerc che l descrvoo; oltre possoo essere fatte dag d tpo comparatvo e s può verfcare l'adattars de dat spermetal a u certo modello teorco. Uverstà d Toro

9 M. Garetto - Statstca. Statstca descrttva. Dstrbuzo d frequeza Quado s raccolgoo de dat su ua popolazoe o su u campoe, valor otteut s presetao allo statstco come u seme d dat dsordat; dat che o soo stat orgazzat, stetzzat o elaborat qualche modo soo chamat dat grezz. A meo che l umero delle osservazo sa pccolo, è mprobable che dat grezz forscao qualche formazoe fché o sao stat ordat qualche modo. I questo captolo verrao descrtte alcue tecche per orgazzare e stetzzare dat modo da poter evdezare le loro caratterstche mportat e dvduare le formazo da ess forte. I questo cotesto o è mportate se tal dat costtuscoo l'tera popolazoe o u campoe estratto da essa. Cosderamo seguet esemp. Esempo Rlevado co uo strumeto d msurazoe l umero d partcelle cosmche perod cosecutv d u muto s ottegoo seguet dat 8 Tabella Esempo I seguet dat soo l rsultato d 8 determazo, ua data utà d msura, dell emssoe goralera d u gas quate da u mpato dustrale Tabella Esempo I uo stablmeto vegoo regstrat cas d malfuzoameto d ua maccha utesle cotrollata dal computer, e le loro cause. I dat relatv a u certo mese soo seguet fluttuazo d tesoe 6 stabltà del sstema d cotrollo errore dell'operatore strumeto usurato e o sosttuto altre cause Totale 8 Tabella I cascuo degl esemp s osserva ua varable, che è rspettvamete l umero d partcelle rlevate u tervallo d u muto; la quattà d gas quate emesso u goro; la causa d u guasto verfcato. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

10 Captolo - Statstca descrttva Della varable questoe abbamo u seme d osservazo regstrate (egl esemp vale, rspettvamete,, 8, 8), che costtuscoo dat da aalzzare. Le varabl oggetto d rlevazo statstche s classfcao pù tp dvers, a secoda del tpo d valor che assumoo dscrete umerche (quattatve) varabl cotue o umerche (qualtatve) Ua varable s dce umerca se valor che essa assume soo umer, o umerca altrmet; ua varable umerca s dce dscreta se l'seme de valor che essa a pror può assumere è fto o umerable, cotua se l'seme de valor che essa a pror può assumere è l'seme R de umer real o u tervallo I d umer real. Le varabl degl esemp e soo umerche, la varable dell'esempo è o umerca. La varable dell'esempo è dscreta, perché l umero d partcelle osservate è sempre u umero tero maggore o uguale a, e l'seme de umer ter è fto ma umerable; la varable dell'esempo è vece cotua, perché la msura della quattà d gas emesso può essere u umero reale postvo qualuque ( u certo tervallo). Molto spesso valor assut da ua varable cotua soo rsultat d msure. S osserv che, per decdere se ua varable è dscreta o cotua, occorre ragoare su qual soo valor che a pror la varable può assumere e o su valor effettvamete assut: è evdete fatt che valor assut osservazo sarao al pù, qud sempre umero fto. Per studare dat degl esemp precedet dvdamo dat stess class e determamo l umero d dvdu apparteet a cascua classe, detto frequeza della classe. Costruamo po la tabella d dstrbuzoe d frequeza, ossa ua tabella che raccogle dat secodo le class e le corrspodet frequeze. I dat ordat e rassut ella tabella d dstrbuzoe d frequeza soo dett dat raggruppat. Esempo Varabl umerche dscrete Nell'esempo la varable osservata è ua varable umerca dscreta, che può assumere solo valor ter; poché valor assut soo umer ter,,,,,, 8, è aturale sceglere come class umer k,,,,,, 6, 7, 8 e cotare per og classe l umero d osservazo cu soo state rlevate esattamete k partcelle. I questo modo s costrusce la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza. Nella tabella la prma coloa dca la classe; la secoda la frequeza assoluta, detta ache semplcemete frequeza d classe, ossa l umero d osservazo che cadoo cascua classe; la terza coloa la frequeza relatva, ossa l rapporto tra frequeza assoluta e umero totale d osservazo ( questo caso ); la quarta è la frequeza percetuale, ossa la frequeza relatva moltplcata per. Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale..% 6. %. %. % 6. %. % 6 % 7 % 8..% Totale % Tabella Rcordamo che u seme umerable è u seme che s può mettere corrspodeza buvoca co l seme N de umer atural. Uverstà d Toro

11 M. Garetto - Statstca Osservazoe S osservo le seguet propretà de umer rportat ella tabella d dstrbuzoe d frequeza (tabella ): la frequeza assoluta è u umero tero compreso tra e l umero totale d osservazo; la frequeza relatva è u umero reale compreso tra e ; la frequeza percetuale è u umero reale compreso tra e. La somma delle frequeze assolute è sempre uguale al umero totale d osservazo; la somma delle frequeze relatve è sempre uguale a ; la somma delle frequeze percetual è uguale a ; valor otteut come quozet devoo essere spesso arrotodat e questo fatto comporta che la somma d tutte le percetual può o essere esattamete uguale a. Esempo Varabl umerche cotue Nell'esempo la varable osservata è cotua. I valor de dat soo compres tra 6. e.8; l campo d varazoe R o rage de dat, coè la dffereza tra l pù grade e l pù pccolo, vale R Sceglamo come class 7 tervall Il modo d sceglere le class o è uco: potremmo sceglere u umero dfferete d class, o class co estrem dvers; og caso le class o devoo sovrappors e devoo coteere tutt dat. D solto le class hao tutte la stessa ampezza, ma questa caratterstca geerale o è obblgatora e cert cas l tpo d dat può suggerre la scelta d class d ampezza dversa (s vedao gl esemp 8 e 9); oltre, per dat cotu, è ecessaro specfcare se le class soo chuse a destra e/o a sstra, ossa se dat cocdet co gl estrem della classe devoo essere raggruppat ella classe stessa o ua delle class adacet. Troppe class redoo la tabella poco leggble; troppo poche class la redoo poco sgfcatva: l umero delle class è ormalmete compreso fra e ; se dat soo molto umeros s può arrvare a usare u massmo d class. Ua semplce regola pratca che s rvela a volte utle cosste ello sceglere u umero d class approssmatvamete uguale alla radce quadrata del umero de dat k. U'altra regola cosste ell'applcare la seguete formula k +. log dove rappreseta l umero de dat pres cosderazoe e k l umero delle class da usare. L'ampezza delle class (el caso d class d uguale ampezza) può essere determata applcado la formula R a k dove R è l campo d varazoe de dat. Le rsposte otteute applcado queste formule devoo essere comuque terpretate come dcazo d massma, da valutare caso per caso, a secoda de dat da trattare. Nell'esempo che stamo esamado s ha k +. log a. 7 7 S gustfca così la scelta d 7 class d ampezza. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

12 6 Captolo - Statstca descrttva Ua scrttura del tpo. 8.9, defete ua classe, è detta tervallo della classe; umer. e 8.9 soo dett lmt ferore e superore della classe. Co la scelta delle 7 class dcate s ottee la tabella seguete Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale % % % % % % % Totale 8 % Tabella S ot che le class soo chuse e che lmt delle class utlzzate per la tabella precedete soo assegat co tat decmal quat e possedoo dat. Le class hao uo stacco per evtare ambgutà. Ifatt se s sceglessero ad esempo le class l dato 9. potrebbe adare ella prma classe o ella secoda, e così va. Per evtare questa dffcoltà s potrebbero sceglere le class S può otare che ache se lmt delle class s sovrappogoo, o c soo ambgutà, perché quest lmt soo valor che dat o assumoo, dal mometo che dat hao u solo decmale. Questa scelta però o è partcolarmete felce, quato l'uso d pù decmal appesatsce la scrttura delle class. E ' pù cosglable sceglere class aperte a sstra, ad esempo < 9 9 <... 9 < oppure class aperte a destra < 9 9 <... 9 < Co quest'ultma scelta delle class, per la dstrbuzoe d frequeza s ottee ua dstrbuzoe d frequeza uguale a quella della tabella (cambao solo le class, tabella b). Uverstà d Toro

13 M. Garetto - Statstca 7 Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale < 9.7.7% 9 <..% < % 7 <..% < 7..% < 9 9..% 9 <..% Totale 8 % Tabella b Ua volta che dat soo stat raggruppat, cascu valore esatto de dat o è pù utlzzato: s rappresetao tutt dat apparteet a ua certa classe co l suo puto medo, detto valore cetrale della classe. Per cascua delle scelte proposte per le class questo esempo, le class hao la stessa ampezza, uguale a ; tale ampezza è uguale alla dffereza tra due valor cetral successv o ache alla dffereza tra due lmt feror (o superor) d due class successve. Co dat dell esempo e co la scelta delle class aperte a destra (tabella b) s ottee a valor cetral delle class ,,, 9,, 7, b ampezza d classe a 9 oppure a 7. Il procedmeto d raggruppameto de dat fa perdere alcue delle formazo che provegoo da dat: ad esempo vece d cooscere l'esatto valore d u'osservazoe, s sa solo che cade u certo tervallo. Cò accade per la dstrbuzoe d frequeza d og varable cotua. Tuttava s trae u mportate vataggo dalla leggbltà che s ottee e dalle relazo fra dat che s redoo evdet. Nel caso della varable dscreta dell'esempo o v è perdta d formazoe, quato le class tegoo coto d og valore assuto. Talvolta però ache per ua varable dscreta è coveete utlzzare come class degl tervall, azché dstguere tutt valor assut, soprattutto quado dat soo umeros (s veda ache l'esempo 8). Co dat dell'esempo s possoo usare class compredet due possbl valor della varable osservata, otteedo la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale %. %. % 6 7. % 8 9..% Totale % Tabella 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

14 8 Captolo - Statstca descrttva Esempo 6 Varabl o umerche Nell'esempo la varable tpo d guasto verfcato è o umerca; dat soo gà raggruppat class e s ottee la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale fluttuazo tesoe 6..% stabltà.8.8% errore operatore.7 7.% strumeto..% altro..% Totale 8 % Tabella 7 C soo altr mod d raggruppare dat: ad esempo dat mor d, maggor d ; s ottegoo questo modo le dstrbuzo cumulatve. La frequeza totale d tutt valor mor del lmte superore d ua data classe è detta frequeza cumulatva. Ua tabella che preset frequeze cumulatve è detta tabella d dstrbuzoe cumulatva d frequeza. S possoo cumulare frequeze assolute, relatve e percetual; l'ultmo valore che compare ella tabella sarà uguale al umero totale d dat per le frequeze assolute, uguale a per le frequeze relatve e uguale a per quelle percetual. Nelle tabelle 8 e 9 s rportao le dstrbuzo cumulatve che s possoo rcavare rspettvamete dalle tabelle e 6 (dat dell esempo ). Classe Freq. cumul. assoluta Tabella 8 Classe Freq. cumul. assoluta Tabella 9 La dstrbuzoe cumulatva otteble dalla tabella (esempo ), è rportata ella tabella ; se s usao le class aperte a destra (tabella b) s ottee la tabella, coteete gl stess valor d frequeza cumulatva della tabella. Classe Freq. cumul. assoluta Classe Freq. cumul. assoluta < < 9 < < 7 7 < < 69 < 9 78 < 8 Tabella Tabella Uverstà d Toro

15 M. Garetto - Statstca 9 Esempo 7 Soo date msurazo del valore d ua varable; la pù pccola è.8 e la pù grade è 7.. Determare delle class adatte per raggruppare dat ua dstrbuzoe d frequeza, e corrspodet valor cetral. Campo d varazoe de dat R Numero d class e ampezza delle class. 6 k +. log 8. a. 8 8 S possoo utlzzare 8 class d ampezza a.. Nella tabella soo dcate le class scelte e relatv valor cetral (questa scelta ovvamete o è l uca possble). Class Val. cetral. <... <.7..7 < < < < < < Tabella Esempo 8 I seguet soo umer d lavorator asset da u azeda gor lavoratv Tabella Per costrure la tabella della dstrbuzoe d frequeza s utlzzao 6 class; fatt k +. log 6. 6 S ot che questa tabella è stata usata come ultma classe ua classe seza lmte superore, detta classe aperta: questo evta d avere class vuote o co frequeze molto basse. Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale.8 8% 9. % 6. % %.6 6%.8 8% Totale % Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

16 Captolo - Statstca descrttva Esempo 9 Nella tabella seguete soo rportat pes alla ascta d bamb at u ospedale u dato perodo d tempo Tabella Per costrure ua dstrbuzoe d frequeza questo caso s possoo usare 8 class, base al fatto che k +. log 7. 6 e le class possoo essere d ampezza dversa, per teer coto della atura de dat. Il campo d varazoe de dat è R I dat possoo essere raggruppat ella seguete dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale 8 <. % < 8.8 8% < 9.9 9% < % 8 <. % < 6. % 6 <. % < % Totale % Tabella 6. Grafc delle dstrbuzo d frequeza Itroducamo alcue delle pù usate rappresetazo grafche per le dstrbuzo d frequeza e per le dstrbuzo cumulatve. Tal grafc soo ogg soltamete otteut co l uso del computer per mezzo d software d tpo statstco; quest cosetoo, dopo aver mmesso dat, d otteere rapdamete var tp d grafc. L osservazoe del grafco può far otare rregolartà o comportamet aomal o drettamete osservabl su dat; ad esempo c s può accorgere d error d msurazoe. U prmo tpo d dagramma è l dagramma crcolare; questo dagramma le frequeze percetual soo rappresetate da settor crcolar avet ampezze proporzoal alle frequeze stesse; dcado co f la frequeza percetuale e co g l'ampezza grad, s ha f : g : 6 Uverstà d Toro

17 M. Garetto - Statstca Il dagramma crcolare è l pù adeguato per le frequeze percetual e per le varabl o umerche. Esempo La seguete tabella rappreseta l umero d studet scrtt a var a d corso d u sttuto superore (frequeze assolute) e le corrspodet frequeze percetual; la fgura rappreseta l dagramma crcolare delle frequeze percetual. Studet scrtt a dvers a d corso freq. assoluta freq. percetuale class prme 87 9.% class secode.7% class terze.87% class quarte % class qute 8 8.% Totale 98.% secode % prme 9% qute 8% quarte 8% Tabella 7 terze % Fgura U altro tpo d grafco molto usato per rappresetare dat raggruppat è l dagramma a barre. Per costrure u dagramma a barre s raggruppao dat class, come gà descrtto; per cascua classe s dsega u rettagolo avete base d ampezza costate e altezza uguale alla frequeza d classe; rettagol d solto o soo adacet e soo equdstat fra loro. Questo tpo d dagramma è partcolarmete dcato per varabl o umerche e per varabl dscrete. Il dagramma a barre della dstrbuzoe d frequeza assoluta della tabella 7 è l seguete Fgura Nel caso della varable dscreta dell'esempo, base alla tabella della dstrbuzoe d frequeza, s può traccare l dagramma a barre rportato ella fgura, otteuto dsegado rettagol co le bas cetrate el valore che defsce la classe e rportado ordata la frequeza assoluta Fgura Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

18 Captolo - Statstca descrttva Gl stogramm soo u altro modo molto usato per rappresetare grafcamete le formazo coteute ua tabella d dstrbuzoe d frequeza. U stogramma cosste u seme d rettagol adacet, avet base sull asse orzzotale; le bas soo gl tervall che defscoo le class ( put med delle bas soo valor cetral delle class). Se le class hao tutte la stessa ampezza le altezze de rettagol soo ugual, o proporzoal, alle corrspodet frequeze assolute (oppure relatve o percetual). Se vece le class soo d ampezza dversa, rettagol hao acora base uguale alla corrspodete ampezza della classe, e area (o pù altezza!) corrspodete alla frequeza: l'altezza del rettagolo sarà uguale, o proporzoale, al rapporto fra la frequeza e l'ampezza d classe. Tale rapporto s chama destà d frequeza. I etramb cas qud l'area d og rettagolo è uguale, o proporzoale, alla frequeza della classe. L'stogramma corrspodete alla dstrbuzoe d frequeza studata ell esempo (tabella b) è quello della fgura. Le bas de rettagol hao put med e valor cetral delle class; ordata è rportata la frequeza assoluta. Classe Valor cetral Freq. assoluta < < < 7 7 < 9 < 7 < < Totale Tabella 8 Fgura Ua dstrbuzoe d frequeza può essere rappresetata grafcamete ache co u altro tpo d grafco: l polgoo d frequeza. Tale polgoo s ottee uedo fra loro put avet come ascssa l valore cetrale d og classe e come ordata l corrspodete valore della frequeza. Nella fgura rappresetamo l polgoo d frequeza per dat della tabella 8. La fgura b rporta l polgoo d frequeza sovrapposto all stogramma della fgura ; questo grafco cosete d vedere, per lo stesso seme d dat, la relazoe fra due tp d grafco Fgura Fgura b Uverstà d Toro

19 M. Garetto - Statstca Esempo Nella tabella 9 soo rportate le lughezze mm d sbarrette metallche; costrure ua dstrbuzoe d frequeza assoluta, scegledo u umero opportuo d class e dsegare l relatvo stogramma Tabella 9 La lughezza maggore è d 76 mm, la more è d 9 mm; l campo d varazoe de dat è R mm. S possoo sceglere 7 class d ampezza 9 e s ottee la seguete dstrbuzoe d frequeza assoluta e l corrspodete stogramma Classe Frequeza assoluta Totale Tabella Fgura 6 Esempo S cosder la seguete tabella replogatva de vot fal rportat dagl studet delle class terze d u sttuto superore; ella tabella soo rportate due dverse dstrbuzo d frequeza assoluta e percetuale relatve a vot fal talao e matematca. voto fale studet che hao rportato l voto dcato talao matematca freq. assoluta freq. percetuale freq. assoluta freq. percetuale.6%.% 8.9% 8.7%.%.7% 6 6.6% 7 9.6% % 67.8% 8 7.8% 6 8.7% 9.%.% Totale 98.% % Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

20 Captolo - Statstca descrttva S possoo rappresetare le due dstrbuzo d frequeza assolute co u uco dagramma a barre, che permette l cofroto fra le due dstrbuzo ed evdeza le dffereze sgfcatve. talao matematca Fgura 7 Ua dstrbuzoe cumulatva vee rappresetata co u grafco detto polgoo cumulatvo o ogva; l grafco s ottee rportado sulle ascsse lmt superor delle class e, per cascuo d ess, ordata la frequeza cumulatva della corrspodete classe, e uedo po tra loro put otteut. Per la dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta dell'esempo, tabella 8, s ottee l grafco della fgura 8; per la dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta dell'esempo, tabella, s ottee l grafco della fgura Fgura Fgura 9 Esempo Rprededo esame la tabella relatva all'esempo, s costrusce la seguete tabella della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta per vot d talao voto fale studet che hao rportato l voto dcato talao freq. assoluta freq. cumulatva assoluta Tabella Dalla tabella s possoo ad esempo dedurre seguet rsultat: Uverstà d Toro

21 M. Garetto - Statstca l umero degl studet che o hao la suffceza talao, dcato co f( ), è uguale alla frequeza cumulata relatva al voto, ossa f( ) 69 studet; l umero degl studet che hao la suffceza talao, dcato co f( 6), è uguale al complemetare, sul totale, del umero d quell che o hao la suffceza, ossa f( 6) studet. Il grafco della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta è l seguete Fgura Esempo La tabella rporta la dstrbuzoe de putegg otteut co lac d due dad; l corrspodete stogramma è rappresetato ella fgura. puteggo freq. assoluta Tabella Fgura La tabella d dstrbuzoe delle frequeze cumulatve assolute e percetual è la seguete puteggo freq. cumul. assoluta freq. cumul. percetuale.6% 8 9.6% 8 6% 7% 6 9.8% % 8 6 7% % 9% 8 97% % Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

22 6 Captolo - Statstca descrttva Utlzzado la tabella delle frequeze cumulatve percetual s possoo calcolare ad esempo le frequeze percetual de seguet rsultat puteggo more o uguale a 8: f( 8) 7% puteggo more d 9: f( < 9) f( 8) 7% puteggo compreso fra e 8: f( 8) f( 8) f( <) f( 8) f( ) 7% 9.6% 6.% puteggo maggore d 7: f( >7) f( ) f( 7) % 8.8%.% Esempo Soo stat msurat dametr d sferette prodotte da ua lea produttva; le msure cm soo date da Tabella Per raggruppare dat utlzzamo class, avet ampezza uguale a.8. Tabella della dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale.69 <.77. %.77 <.8 8. %.8 <.9. %.9 <.. %. <.9. % Totale % Tabella 6 Istogramma della dstrbuzoe d frequeza assoluta (fgura ); tabella e grafco della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta (tabella 7 e fgura ) Fgura Classe Freq. cumul. assoluta Tabella 7 Fgura Uverstà d Toro

23 M. Garetto - Statstca 7 I dat possoo ache essere raggruppat scegledo altre class, d ampezza uguale a.; questo caso s ottegoo seguet rsultat Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale.6 <.7. %.7 <.8 6. %.8 <.9 7. %.9 <.. %. <.. % Totale % Tabella Fgura Classe Freq. cumul. assoluta Tabella Fgura Esempo 6 I uo studo d due settmae sulla qualtà della produzoe degl opera d u azeda, s soo otteut dat seguet, rguardat l umero totale d pezz accettabl al cotrollo qualtà, prodott da opera Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

24 8 Captolo - Statstca descrttva Raggruppamo dat ua dstrbuzoe d frequeza avete le class e dsegamo l stogramma. Rcavamo po la dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta e dsegamo l'ogva. Tabella della dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale Totale Tabella Istogramma della dstrbuzoe d frequeza assoluta Fgura Tabella e grafco della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta Classe Freq. cumul. assoluta Tabella Fgura 7 Esempo 7 Cque moete vegoo lacate volte cotemporaeamete e s osserva ad og laco l umero d teste. Il umero d lac cu s soo otteute,,,,, teste soo dat dalla tabella seguete Uverstà d Toro

25 M. Garetto - Statstca 9 Classe (umero teste) Freq. assoluta Totale Tabella Dsegamo l'stogramma della dstrbuzoe d frequeza (fgura 8) e costruamo la tabella (tabella ) e l grafco della dstrbuzoe cumulatva d frequeza (fgura 9). - 6 Fgura 8 Classe Freq. cumul. assoluta Tabella Fgura 9 Esempo 8 Nella seguete tabella s rportao dat rguardat l struzoe uverstara Itala (rfert all ao 996/97). Dsegamo u dagramma a barre per rappresetare tal dat; rappresetamo co dagramm crcolar le percetual d laureat e var cors d laurea calcolate rspetto al umero totale d laureat e le percetual calcolate rspetto al umero d scrtt cascu corso. cors d laurea studet corso studet fuor corso laureat facoltà scetfche facoltà d medca facoltà tecche facoltà ecoomche facoltà gurdche facoltà letterare dplom Totale Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

26 Captolo - Statstca descrttva corso fuor corso laureat... Fgura 6 7 La tabella 6 rporta le percetual d laureat cascu corso d laurea; dat soo llustrat dal dagramma crcolare della fgura cors d laurea laureat freq. percetuale (freq. assoluta) facoltà scetfche 9.7% facoltà d medca 77.6% facoltà tecche 999.% facoltà ecoomche 7 6.6% facoltà gurdche 889.% 6 facoltà letterare 78.% 7 dplom 9 7.% Totale 8 % Tabella 6 Nella tabella 7 s rporta per cascu corso d laurea la percetuale d laureat rspetto al umero d scrtt el corso stesso; dat soo llustrat dal dagramma crcolare della fgura cors d laurea studet scrtt laureat freq. percetuale facoltà scetfche % facoltà d medca % facoltà tecche % facoltà ecoomche % facoltà gurdche % 6 facoltà letterare % 7 dplom % Tabella Fgura Fgura Uverstà d Toro

27 M. Garetto - Statstca Esempo 9 Nella tabella 8 s rportao le aree de cotet del modo, mglaa d chlometr quadrat; dsegamo l grafco de dat co u dagramma a barre e co u dagramma crcolare. Cotete Area (mglaa d Kmq) Europa 68 Asa 78 Afrca 9 Amerca Sett. e Cetr. Amerca merd. 78 Oceaa 8 Atartde 8 Tabella 8 I rettagol che compogoo l dagramma a barre s possoo ache dsegare orzzotal, azché vertcal; l dagramma crcolare s può ache dsegare dmeso. 8 7 Europa 6 Asa Afrca Amerca Sett. e Cetr. Amerca Merd. Oceaa Atartde..... Area (mglaa d Kmq) Fgura Oceaa Atartde Europa Asa Amerca Merd. Afrca Fgura Amerca Sett. e Cetr. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

28 Captolo - Statstca descrttva. Idc d poszoe e d dspersoe Defamo alcu dc umerc, dett ache statstche, utl per descrvere de dat umerc e la loro dstrbuzoe d frequeza; tal dc predoo l ome d meda, medaa, moda, varaza e scarto quadratco medo o devazoe stadard e msurao l cetro e la dspersoe de dat. S osservo seguet stogramm Fgura Il prmo grafco mostra ua dstrbuzoe smmetrca, cetrata attoro a, valore per cu la frequeza è massma; la secoda dstrbuzoe è acora cetrata attoro a, ma per valor lota da le frequeze soo pccole; la terza dstrbuzoe o è smmetrca, ma ha ua coda a destra pù luga che a sstra; la quarta è decrescete e o smmetrca, co alcu valor dspers lotao dagl altr. Gl dc che trodurremo servoo per msurare quattatvamete alcue delle caratterstche osservate qualtatvamete su quest grafc esemplfcatv. S cosder u seme d dat,,...,. Defzoe S defsce meda artmetca o meda campoara d dat,,..., la quattà (.) Per og valore della varable s defsce lo scarto dalla meda s che dca l grado d scostameto del sgolo valore dalla meda. S dmostra faclmete che la somma algebrca S degl scart dalla meda è ulla. Ifatt ( ) S s Esempo Meda de dat Defzoe La medaa M d u seme d dat ordat orde d gradezza crescete è l valore cetrale de dat, se l umero d dat è dspar, o la meda artmetca de due valor cetral, se l umero de dat è par. Uverstà d Toro

29 M. Garetto - Statstca Questa defzoe della medaa asscura che lo stesso umero d dat cade sa a sstra che a destra della medaa stessa. L'uso della medaa come dce per descrvere le caratterstche de dat ha lo svataggo d dover prma rordare dat orde crescete, l che o è rchesto per l calcolo della meda. Esempo a Medaa de dat 7 Dat ordat orde crescete 7 Medaa M b Medaa de dat Dat ordat orde crescete Medaa M U ulterore dce utle è la moda, deotata co ~. Defzoe La moda ~ d u seme d dat è l valore o la classe a cu corrspode la massma frequeza assoluta. La moda è per lo pù utlzzata quado s trattao dat d tpo qualtatvo, per qual o è possble calcolare meda e medaa. La moda può o esstere o o essere uca; quado è uca, la dstrbuzoe è detta umodale, quado c soo pù mode dverse è detta bmodale o multmodale. Esempo a Moda dell'seme d dat,,,, 7, 7, 7, 9,, L'seme ha moda ~ 7. b Moda dell'seme d dat,,,,, 7, 7, 7, 9,, L'seme ha due mode ~ e ~ 7. c L'seme d dat,,, 7, 8, 6, 9,, o ha moda, perché og dato s preseta ua sola volta. L'ultmo caso mette rlevo u problema comue co la moda: questo dce o è utle quado dat soo tat e per la maggor parte dvers fra loro; tal cas la moda può o esstere o essere lotaa dal cetro dell seme d dat. Per questa ragoe la moda è poco utlzzata. Meda, medaa e moda soo dett dc d poszoe o dc d tedeza cetrale, perché descrvoo attoro a quale valore è cetrato l'seme d dat. La medaa è preferble alla meda quado s vogloo elmare gl effett d valor estrem molto dvers dagl altr dat: la ragoe è che la medaa o utlzza tutt dat, ma solo l dato cetrale o due dat cetral. I seguet esemp mostrao come la medaa tal cas descrva modo pù adeguato u seme d dat. Tuttava occorre mettere evdeza che l'utlzzare solo dat cetral rede la medaa poco sesble a tutt gl altr valor de dat e questo può costture u lmte d questo dce. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

30 Captolo - Statstca descrttva Esempo Sa dato l seguete seme d dat, che rappresetao l peso alla ascta ( g) d bamb at ua settmaa ua clca. La meda de dat è Tabella 9 ( ) g S può osservare che 9 dat soo mor della meda e maggor. Come gà osservato, uo de lmt della meda come msura della tedeza cetrale è che essa è molto sesble a valor de dat che cadoo agl estrem dell'tervallo d varabltà; questo seso può o rappresetare bee la collocazoe de dat. Se ad esempo l prmo bambo fosse u ato prematuro del peso d g, la meda avrebbe l valore g e tal caso 7 dat sarebbero mor della meda e maggor. La medaa questo caso è M metre per l'seme d dat assegat zalmete è M Esempo I ua dtta lavorao gova geger, che guadagao. all ao cascuo, e l propretaro, ach egl gegere, che guadaga 9. all ao. Stablre se la dtta è u buo posto d lavoro per u govae gegere. Meda degl stped Il valore della meda sembra dcare che s tratt d u ottmo posto d lavoro. Medaa degl stped M. La medaa rappreseta meglo della meda quello che guadaga u govae gegere dpedete, qud l posto d lavoro o è così buoo come era stato gudcato co la meda. Esempo I dat seguet rappresetao valor de globul bach ( mglaa) rlevat pazet rcoverat ua matta u ospedale Dat ordat modo crescete La meda e la medaa d quest dat valgoo rspettvamete. M 8 Se l secodo pazete della tabella avesse u valore d 7. globul bach, azché d., l valore della medaa resterebbe varato, metre la meda dveterebbe.9 Quest esemp c rcordao che c è sempre comuque u rscho a rassumere u seme d dat co u sgolo umero. Uverstà d Toro

31 M. Garetto - Statstca Oltre alla medaa, che dvde a metà u seme d dat ordat, s possoo defre altr dc d poszoe, dett quatl e percetl, che dvdoo l seme d dat ordat u dato umero d part ugual. Quest dc d poszoe o cetrale soo usat soprattutto per amp sem d dat. I quartl soo u caso partcolare de quatl, e s ottegoo dvdedo l seme d dat ordat quattro part ugual. Defzoe Il prmo quartle Q è u valore tale che l % de dat ordat è more o uguale a Q. Il prmo quartle Q è detto ache -esmo percetle e dcato co P.. Il terzo quartle Q è u valore tale che l 7 % de dat ordat è more o uguale a Q ed è detto ache 7-esmo percetle e dcato co P.7. Il secodo quartle Q (-esmo percetle) cocde co la medaa. Per calcolare quartl s segue ua regola smle a quella usata per l calcolo della medaa. Regola per l calcolo de quartl S ordao gl dat assegat orde crescete; s calcola l prodotto k p, dove p. per l prmo quartle e p. 7 per l terzo quartle; se k è u tero, l quartle s ottee facedo la meda del k-esmo e del (k+)-esmo valore de dat ordat; se k o è tero, s arrotoda k per eccesso al prmo tero successvo e s scegle come quartle l corrspodete valore de dat ordat. La regola può essere geeralzzata modo semplce per trovare u qualsas altro percetle. Ad esempo per trovare l 9-esmo percetle, ossa quel valore tale che l 9 % de dat ordat è more o uguale ad esso, s usa la stessa regola, co p. 9. Esempo 6 Calcolare l prmo e l terzo quartle dell seme d dat Dat ordat Prmo quartle p. k p. k o è tero, percò s arrotoda per eccesso k : l prmo quartle è l terzo de dat ordat Q.. Terzo quartle p. 7 k p 7. k o è tero, percò s arrotoda per eccesso k 8 : l terzo quartle è l ottavo de dat ordat Q.. Secodo quartle (medaa) p. k p k è tero, percò s fa la meda tra l quto e l sesto dato e s ottee Q. 8 (Questo valore cocde co quello che s trova co la regola della medaa). Molt software calcolao percetl co ua regola u po pù complessa, basata sull terpolazoe leare fra dat adacet, percò valor trovat possoo dfferre leggermete da quell rcavat co la regola pù semplce qu dcata. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

32 6 Captolo - Statstca descrttva Esempo 7 Calcolare l prmo e l terzo quartle e l 9-esmo percetle per dat della tabella, pag.. Dat ordat Tabella Prmo quartle 8 p. k p k è tero, percò s fa la meda tra l -esmo e l -esmo dato e s ottee Q. 9 Terzo quartle 8 p. 7 k p 6 k è tero, percò s fa la meda tra l 6-esmo e l 6-esmo dato e s ottee Q. 9 9-esmo percetle 8 p. 9 k p 76 k è tero, percò s fa la meda tra l 76-esmo e l 77-esmo dato e s ottee P.9 8. Il 9-esmo percetle forsce u mportate formazoe: soltato l % de dat soo maggor d 8., ossa, co rfermeto al tpo d dat descrtt ell esempo, soltato el % de gor l emssoe d gas quat supera la sogla d 8. utà. Gl dc d poszoe o tegoo coto della varabltà esstete fra dat; v soo dstrbuzo che, pur avedo la stessa meda, soo molto dverse fra loro. I dat de seguet sem ad esempo hao la stessa meda ( 6 ) A { } B { 6 } C { 6 6 7} ma gl sem soo molto dvers; l prmo è composto da dat tutt ugual, metre l secodo preseta la maggor dffereza tra l valore mmo e l massmo. Idc sgfcatv per la msura della varabltà d ua dstrbuzoe d frequeza soo la varaza e lo scarto quadratco medo, detto ache devazoe stadard. Defzoe S defsce varaza, o ache varaza campoara, la quattà dove dca la meda de dat. s ( ) (.) Uverstà d Toro

33 M. Garetto - Statstca 7 Defzoe 6 S defsce scarto quadratco medo o devazoe stadard la radce quadrata della varaza s ( ) Nella formula per la varaza s dvde per azché per, perché la varaza s defta questo modo gode d alcue propretà che la redoo ua msura pù adeguata ell fereza statstca (Captolo 7). S può faclmete dmostrare che per l calcolo della varaza s possoo usare le seguet formule alteratve alla (.), che rchedoo ua mor quattà d calcol e soo pù effcet dal puto d vsta dell'accuratezza computazoale (vedere ache esemp, 6, 7) Varaza e scarto quadratco medo soo dett dc d dspersoe o dc d varabltà, perché msurao la dspersoe de dat attoro alla meda. Dalla defzoe rsulta che la varaza è tato pù grade quato pù dat s dscostao dalla meda. I valor d s e s, poché msurao l effettva varazoe assoluta presete u seme d dat, dpedoo dall utà d msura de dat. I partcolare lo scarto quadratco medo s msura la dspersoe de dat co la stessa utà d msura della meda de dat, cosa che o accade per la varaza; questa è la ragoe prcpale per cu lo scarto quadratco medo è pù usato della varaza. La meda e lo scarto quadratco medo soo due dc d poszoe e d dspersoe pù usat; uo de motv prcpal è che la dstrbuzoe ormale, che vee largamete utlzzata molt camp dvers, è defta term d quest due parametr. La dstrbuzoe ormale verrà trattata el captolo. Esempo 8 I seguet dat soo temp d esecuzoe d ua certa operazoe msurat mut Calcolamo la varaza e la devazoe stadard mut 6 Per la varaza, usado la formula (.) s dspogoo calcol ella tabella seguete (.) s (.) s (.) ( ) totale.7 Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

34 8 Captolo - Statstca descrttva s s. 7. mut.. mut Se per la varaza s usa la formula (.), che è pù effcete, calcol s dspogoo vece ella tabella (o s fa uso modo esplcto del valor medo) Tabella. s. 6. mut 6 Esempo 9 Calcolamo varaza e devazoe stadard de dat della tabella 9. Per la varaza, usado la formula (.) e dspoedo calcol ua tabella aaloga alla tabella, s ottee s 6 9 s g 676. g Esempo Per la partecpazoe a ua gara d matematca ua scuola deve formare ua squadra d 6 studet; co ua selezoe prelmare, attraverso u test co u puteggo massmo d put, sulla base della meda de mglor 6 putegg rsultao tre squadre a par merto. Co quale crtero può essere scelta la squadra da madare alla gara? squadra putegg degl studet A B C Tabella La somma de putegg otteut da cascua squadra è 89; la meda artmetca per le tre squadre vale 8. e o è qud u crtero utlzzable per la scelta; calcolamo la varaza e lo scarto quadratco medo Uverstà d Toro

35 M. Garetto - Statstca 9 squadra A squadra B squadra C Tabella squadra squadra squadra A B C s s s squadra varaza scarto quadratco medo A B C Tabella Utlzzado l crtero dello scarto quadratco medo, la squadra da vare alla gara è la squadra A, che ha l mor scarto quadratco medo. Esempo I vot tretesm rportat da studet u esame soo rportat ella seguete tabella. Idvduare qual studet s dscostao dal voto medo per pù d ua volta oppure due volte lo scarto quadratco medo. umero studete voto umero studete voto Tabella 6 Elaborado dat s ottegoo seguet rsultat. s 6. s.9 + s 7.6 s s.8 Tutt vot appartegoo all'tervallo [ s, +s], coè o v è essu voto che s dscosta dalla meda per pù d due volte lo scarto quadratco medo; c soo vece vot che o appartegoo all'tervallo [ s, +s], ossa s dscostao dalla meda per pù d ua volta lo scarto quadratco medo. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

36 Captolo - Statstca descrttva Per rappresetare la stuazoe può essere utle u dagramma el pao cartesao (fgura 6), co l quale s dvduao pù faclmete gl studet che retrao ella fasca delmtata da valor s, +s. med+s voto med+s med med-s umero studete med-s Fgura 6 Per cofrotare la varazoe d molt campo dvers d dat, cascuo co meda dversa, o msurat utà d msura dverse, può essere utle usare ua msura d varazoe relatva, azché ua msura assoluta come lo scarto quadratco medo. Defzoe 7 Il coeffcete d varazoe CV è defto da s CV % (.6) Il coeffcete d varazoe esprme lo scarto quadratco medo come percetuale della meda ed è dpedete dall'utà d msura usata, poché la meda e lo scarto quadratco medo soo espress ella stessa utà d msura. Esempo Sa dato u campoe d pacch d cu soo ot l peso e l volume. Calcolado la meda e lo scarto quadratco medo delle due msure s ottegoo seguet valor Peso medo: P 9Kg Scarto quadratco medo del peso: s P. Kg Volume medo: Scarto quadratco medo del volume: Cofrotamo la varabltà del peso e del volume. V. 7m s V. 6m Sccome l peso e l volume soo espress utà d msura dverse, occorre predere cosderazoe la varabltà relatva delle osservazo, calcolado l coeffcete d varazoe. Per l peso l coeffcete d varazoe è. CV % 6. 67%. 9 Per l volume l coeffcete d varazoe è. 6 CV %. %.. 7 Pertato, rspetto alla meda, l volume de pacch è pù varable del peso. Uverstà d Toro

37 M. Garetto - Statstca Esempo Le msure del dametro d u cuscetto a sfera effettuate co uo strumeto hao u valor medo.9 mm e uo scarto quadratco medo s. mm; le msure della lughezza d ua sbarra rgda effettuate co u altro strumeto hao vece u valor medo. m e uo scarto quadratco medo s.8 m. Quale de due strumet è relatvamete pù precso? Per l prmo strumeto l coeffcete d varazoe è. CV. 8%. 9 Per l secodo strumeto è vece. 8 CV. %. Il prmo strumeto è relatvamete pù precso del secodo.. Calcolo d meda e varaza per dat raggruppat Nel caso cu dat sao molto umeros, o dspoedo d u computer l calcolo della meda e della varaza vee semplfcato se s raggruppao dat prma d utlzzarl; può oltre succedere d dover calcolare meda e varaza d dat che soo ot solo ella forma d dat raggruppat. I quest cas l calcolo esatto o è possble, ma s può calcolare ua buoa approssmazoe d meda e varaza, suppoedo che dat d og classe sao approssmat dal valore cetrale della classe. Dopo aver raggruppato gl dat k class, dchamo co classe e co f la corrspodete frequeza assoluta della classe. m l valore cetrale della geerca Defzo 8 La meda per dat raggruppat è defta da k m f La varaza per dat raggruppat è defta da k s ( m ) f (.7) (.8) Per l calcolo della varaza per dat raggruppat s possoo usare le seguet formule alteratve alla (.8) k k s fm fm (.9) s f m (.) Osservamo che, se soo dspobl dat grezz, co la dffusoe de computer e de software statstc queste formule per dat raggruppat hao perso molta della loro mportaza. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca