ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni Teoria dee strutture La souzione eastica. La trascurabiità dea deformazione tagiante rispetto a uea fessionae: considerazioni e imiti. La trascurabiità dea deformazione assiae rispetto a uea fessionae: considerazioni e imiti. Quando e azioni staticamente indeterminate risutano inessenziai. Richiami de metodo dei vincoi ausiiari. I metodo dea congruenza, generaità, euazione dei tre momenti. I metodo de euiibrio, generaità, euazione dee cinue rotazioni. Interpretazioni matriciai dei due metodi. Le ridistribuzioni dei momenti fettenti. cune considerazioni sua trascurabiità dee deformazioni tagianti rispetto a uee fessionai. Si consideri una struttura a mensoa soggetta ad un carico uniformemente distribuito. Si vogia vautare a freccia ne estremo con i principio dei avori virtuai. X=1 x Sistema deformante. x Sistema avorante. L andamento, rispetto a ascissa corrente, dee soecitazioni è = - x 2 /2 e V = - x. L azione interna de sistema avorante è = - 1x e V = - 1. ppicando i principio dei avori virtuai si ha: w = 1 E J 0 (-x 2 /2)(-1x)dx + χ G 0 (-x)(-1)dx = = 4 /(8EJ) + χ 2 /(2G). Nea pratica è importante vautare i rapporto tra e componenti dea deformazione fessionae e uea tagiante. Per fissare e idee, si assuma una sezione rettangoare di dimensioni b d, costituita da un materiae avente coefficiente di Poisson nuo ν = 0, per cui si possa considerare G = E/2. Si può, aora, scrivere: w =[1.5 4 /(Ebd 3 )] (1+ χ d 2 / 2 ). Tenuto conto che i fattore di tagio per una sezione rettangoare vae χ=1.2, si può ridurre espressione dea freccia a: w =[1.5 4 /(Ebd 3 )] (1+ 0.8 d 2 / 2 ). ssunto che a deformazione fessionae normaizzata abbia peso unitario, i peso reativo dea deformazione tagiante risuta proporzionae a (d/) 2. Per fissare e idee, si vauta tae vaore numerico per acuni rapporti di sneezza. /d d/ (d/) 2 w () w (V) w (+V) 0.500 2.0 4.00 1.000 3.200 4.200 0.667 1.5 2.25 1.000 1.800 2.800 1.000 1.0 1.00 1.000 0.800 1.800 2.000 0.5 0.25 1.000 0.200 1.200 2.500 0.4 0.16 1.000 0.128 1.128 3.333 0.3 0.09 1.000 0.072 1.072 5.000 0.2 0.04 1.000 0.032 1.032 10.000 0.1 0.01 1.000 0.008 1.008 Vautazione comparativa tra i contributo deformativo fessionae e ueo tagiante a variare dea sneezza di una trave rettangoare.
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni Come si vede a deformabiità tagiante è significativa soamente per mensoe moto tozze, mentre diviene rapidamente trascurabie a aumentare dea sneezza. Nea pratica costruttiva a deformabiità tagiante non potrà essere trascurata, ad esempio, ne caso di sistemi di pareti di controventamento di grandi dimensioni, ma di ridotta atezza. cune considerazioni sua trascurabiità dee deformazioni assiai rispetto a uee fessionai. Si consideri una struttura costituita da due aste tra oro ortogonai. Un estremo dea biatera è incastrato ad un estremo, mentre atro è soggetto ad una forza verticae. asta orizzontae, poi, è appicato un carico distribuito. C 1 2 La freccia ne estremo nasce daa composizione di tre componenti: 1. abbassamento di per fessione dea trave C, per effetto de carico distribuito ; P 2. abbassamento di per fessione dea trave C, per effetto dea forza P; 3. abbassamento di rispetto a per effetto de aungamento de asta tesa daa forza P. Si è trascurata a deformabiità tagiante rispetto a uea fessionae. I primo contributo coincide con i vaore cacoato a punto precedente. Per i cacoo de secondo contributo si considera andamento, rispetto a ascissa corrente, dee soecitazioni per effetto dea forza P, per cui è = -Px, mentre azione interna de sistema avorante è = - 1x. ppicando i principio dei avori virtuai si ha: w 2 = 1 E J 1 0 (-Px)(-1x)dx = 1 EJ 1 0 Px 2 dx = = P 1 3 /(3EJ). I terzo contributo, invece, vae w 3 =P 2 /(E). Si può scrivere, uindi: w = 1 4 /(8EJ) + P 1 3 /(3EJ) + P 2 /(E). Si vuoe vautare i rapporto tra e componenti dea deformazione fessionae e uea assiae, costituiti da secondo e terzo termine. nche in uesto caso, si assuma una sezione rettangoare di dimensioni b d. I due addendi possono, aora, essere scritti come: w 2 = 4P ( 1 /d) 3 /(Eb) e w 3 = P ( 2 /d)/(eb). I reativo rapporto risuta: w 2 / w 3 = 4 ( 1 /d) 3 / ( 2 /d). Per un rapporto di sneezza usuae, ad esempio /d=10, risuta w 2 / w 3 = 4 1000 /10 = 400. Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni Come si vede a deformabiità assiae appare generamente trascurabie rispetto a uea fessionae. Nee vautazioni precedenti si è trascurata a presenza de carico distribuito appicato su asta C; tae carico, apparentemente, incrementa a deformazione fessionae dea struttura senza infuenzare i contributo dovuto ad azioni assiai. In reatà, ne caso in cui risutasse <0, i contributo agirebbe in senso opposto ed, in particoare, se risutasse P=- 3 / 8 1, i contributo fessionae si annuerebbe, e ueo egato aa deformabiità assiae risuterebbe assoutamente prevaente. Si può, uindi, concudere che nee strutture soggette a combinazioni di azioni fettenti ed assiai, a deformazione egata aa componente fessionae è generamente prevaente rispetto a uea assiae. Questa prevaenza è tanto maggiore: tanto più a struttura e snea, tanto più a fessione è significativa ne uadro di soecitazioni, tanto meno andamento de diagramma dei momenti presenta punti di vaore nuo e variazioni di segno. Una conseguenza immediata di uanto detto è che, trascurando a deformabiità assiae rispetto a uea fessionae, i due schemi ui a fianco risutano de tutto euivaenti. Si noti che se si risovesse a struttura in forma esatta, senza trascurare a deformabiità assiae de ritto che fornisce appoggio in, e due souzioni fornirebbero andamenti dei diagrammi dee azioni fettenti diversi tra oro. C C Questo esempio chiarisce perché i cacoo rigoroso di un teaio soggetto a carichi verticai, così come viene eseguito da un programma di cacoo automatico, può fornire diagrammi dei momenti fettenti significativamente diversi rispetto a souzioni più snee che trascurino i contributo dea deformabiità assiae. Soprattutto per e travate dei piani più ati, infatti, aa souzione puramente fessionae si viene a sovrapporre i contributo dei maggiori abbassamenti degi appoggi centrai, più caricati rispetto a uei di bordo. Quando e azioni staticamente indeterminate risutano inessenziai. Questo aspetto è particoarmente importante perché consente a diretta riduzione dea struttura ao schema isostatico, sempificando, in uesto modo, notevomente i cacoi. Per fissare e idee, si faccia riferimento a probema iperstatico descritto ne immagine ui a fianco. La struttura è costituita da una coppia di aste coegate rigidamente in C ed incernierate in e. Come struttura principae si adotta uea costituita dae due aste incernierate anche in C e soggette a carico P ed ae coppie staticamente indeterminate X. I carico esterno induce soo sforzo assiae, e per effetto di tae azione interna e aste tendono ad accorciarsi, per cui i nodo C tende ad abbassarsi. Teoria dee strutture a souzione eastica C P a) b) Così facendo, angoo C tende ad aprirsi, per cui e coppie iperstatiche X tenderanno a richiudero. α X
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni Si chiami con ϕ a rotazione che a struttura isostatica presenta in una dee sezioni in C per effetto de soo carico esterno. Se N è o sforzo assiae su ciascuna asta, i rispettivo aungamento risuta = - N/(E) con N=P/(2 sinα). Per effetto de soo accorciamento su una dee aste, a sezione C si sposterebbe in C ; per conservare a congruenza, a sezione C dovrà spostarsi, facendo ruotare asta attorno aa cerniera, fino a ricondursi in C, su asse di simmetria dea struttura. In uesto modo estremità de asta percorre i tratto δ di α C δ C unghezza δ = cotgα. La rotazione de asta è uguae aa rotazione de estremità C e vae ϕ (N P ) = δ/ = cotgα /. La condizione di congruenza in C risuta uindi: ϕ (N P ) = ϕ ( X ). La rotazione ϕ ( X ) dovuta aa coppia iperstatica X vae ϕ ( X ) = X/(3EJ); a condizione di congruenza può, uindi, essere scritta come N/(E) cotgα 1/ = X/(3EJ) e uindi: N/ cotgα = X/(3J). Con ovvie considerazioni si può scrivere, per una sezione simmetrica di atezza h: σ(n P ) cotgα = X/(3J) ( h/2 / h/2 ) che fornisce: σ(n P ) = σ( X ) /(1,5 h cotgα) e uindi: σ( X ) = σ(n P ) (1,5 cotgα) h/. Per aste di travi reticoari metaiche, ad esempio, si hanno rapporti di sneezza de ordine di h/ = 1/50; si ha uindi un rapporto tra e tensioni σ( X ) σ(n P ) /30. In generae, uindi, se si considera una struttura per a uae è possibie adottare una configurazione principae isostatica nea uae i carichi producano soo sforzo assiae sue membrature, si verifica che e tensioni dovute ae incognite iperstatiche sono trascurabii rispetto a uee prodotte dai carichi. Tae sempificazione è vaida tanto più a struttura è snea e uanto meno i diagramma dei momenti fettenti varia di segno ungo o sviuppo dee aste. titoo d esempio, per chiarire infuenza de andamento de diagramma dei momenti, si può rivautare esempio ora visto, ma imponendo che e estremità e siano anche impedite di ruotare. Quanto ora enunciato ha ripercussioni significative ne cacoo dee strutture; si propongono acuni esempi. Ne cacoo di una struttura reticoare si può, in genere, ritenere che i nodi siano assimiabii a cerniere interne. Se, in uesto modo, a struttura risuta isostatica e caricata soamente sui nodi, tutte e a- ste possono essere dimensionate soamente in reazione agi sforzi assiai ottenibii con sempici considerazioni d euiibrio. Un arco paraboico a due cerniere, soggetto ad un carico uniformemente distribuito su orizzontae, può essere cacoato come un arco a tre cerniere e risuta sempicemente compresso. I metodo dei vincoi ausiiari. I metodo dei vincoi ausiiari consiste ne interpretare i comportamento di una struttura come a sovrapposizione di due diverse strutture: a prima, detta struttura principae, ottenuta inserendo dei vincoi, detti appunto ausiiari, neo schema geometrico e di carico originae; a seconda, detta struttura compementare, ottenuta caricando o schema geometrico originae dee soe reazioni dei vincoi ausiiari, opportunamente cambiati di segno. Un sempice esempio d appicazione può consistere nea souzione di una trave uniformemente caricata, con un estremità articoata e atra incastrata. Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni STRUTTUR RELE = STRUTTUR PRINCIPLE + STRUTTUR COPLEENTRE Si assume una struttura principae costituita daa trave incastrata ad entrambe e estremità. I vincoo ausiiario inserito corrisponde a impedimento dea rotazione a appoggio sinistro. La souzione di uesta trave iperstatica porta ad un momento sui due appoggi =- 2 /12, negativo in uanto tende e fibre superiori. La struttura compementare ha a geometria ed i vincoi dea struttura reae, ma è caricata, in corrispondenza de carreo, daa reazione de vincoo ausiiario cambiata di segno: =+ 2 /12. Come noto, i momento fettente indotto, in tae struttura, su appoggio destro vae =-( 2 /12)/2. I momento fettente a estremità sinistra dea struttura reae, espresso come somma di uei dea struttura principae e dea struttura compementare, vae = - 2 /12 + 2 /12 = 0. I momento fettente a estremità destra dea struttura reae, espresso come somma di uei dea struttura principae e dea struttura compementare, vae = - 2 /12-2 /24 = - 2 /8. Esempio. Si ipotizzi di presoecitare un trefoo in acciaio di area p, tesandoo aa tensione σ api e mantenendoo teso mediante dee testate di tesatura che svogono una funzione anaoga a uea di vincoi ausiiari esterni. Si effettui ora, i getto di un eemento di cacestruzzo, avente baricentro coincidente con asse de trefoo. La struttura che si viene a configurare è euivaente ad una struttura principae (si veda o schema a fianco). La presenza dei due vincoi rende i due sistemi, costituiti da trefoo in acciaio e da prisma in cacestruzzo, indipendenti tra oro, per cui a tensione ne acciaio vae σ s = σ api, uea ne cacestruzzo σ c = 0, mentre e reazioni vincoari vagono H = σ s p. La souzione compementare è costituita da asta in cacestruzzo armato, con appicate e reazioni dei vincoi ausiiari, cambiate di segno. Definita ci a sezione de cacestruzzo, tenuto conto de armatura omogeneizzata mediante i cefficiente d ampificazione n, si ha: a tensione ne cacestruzzo σ c = - H/ ci a tensione ne acciaio σ s = - n H/ ci = - n (σ api p )/ ci La souzione competa dea struttura viene identificata daa somma dea souzione compementare e di uea dea struttura principae. Si ha, uindi: a tensione ne cacestruzzo σ c = - (σ api p ) / ci a tensione ne acciaio σ s = σ api - n (σ api p )/ ci = σ api (1- n p / ci ) Può asciare perpessi i fatto che a tensione ne congomerato appaia egata ad una tensione ne acciaio superiore a uea che si ha dopo i riascio dei vincoi ausiiari. Si può, uindi, verificare a condizione di euiibrio dea sezione. Poiché o stato di coazione è autoeuiibrato e non è accompagnato da azioni esterne (si suppone i vincoamento esterno di tipo isostatico), i campo tensionae in corrispondenza di ogni sezione deve essere euiibrato. Imponendo euiibrio trasazionae si ha: σ c c + σ s p = 0 e uindi - [σ api p ) / ci ] c + p σ api - n p (σ api p )/ ci = 0 da cui ( c +n p )/ ci +1=0 e, uindi, ci = c +n p, come ben noto. Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni Esempio. I concetto di vincoo ausiiario può essere esteso rispetto a concetto tradizionae di vincoo puntuae rigido. Si vogia anaizzare con i metodo dei vincoi ausiiari i comportamento, supposto eastico e ineare, di una paratia durante o scavo de terreno su uno dei ati. nche in uesto caso i comportamento dea struttura reae viene dedotto daa sovrapposizione dea souzione di una struttura principae e di una struttura compementare. Struttura reae. Terreno scavato dotato di peso specifico γ. Struttura principae. a struttura reae si aggiunge a porzione di terreno necessaria a ricondursi ad un sistema di spinte definibie con sempici considerazioni d euiibrio. Noto i peso specifico γ, si determina a pressione verticae a iveo z come p v = zγ. La pressione orizzontae corrispondente vae p h = λ o γ dove λ o è i coefficiente di spinta a riposo. La porzione di terreno che è stata aggiunta può essere euiparata ad un vincoo ausiiario. Questa souzione è caratterizzata da spostamenti orizzontai nui. Struttura compementare. Poiché a porzione di terreno aggiunta come vincoo ausiiario in reatà non c è, per tener conto dea sua assenza, non basta rimuovera, ma occorre anche appicare in corrispondenza dea superficie di contatto tra terreno rimosso e terreno rimanente e tensioni che i primo esercitava su secondo, ma cambiate di segno. In uesto caso si trascura a pressione verticae appicata a iveo di fondo scavo, ma si appica soo a spinta a riposo sua paratia. La souzione viene condotta per un peso specifico γ=0, poiché i suo contributo rientra nea ssouzione principae. Gi spostamenti orizzontai derivano soamente daa souzione compementare. Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni I metodo dea congruenza. Si consideri una struttura n vote iperstatica e si rimuovano n gradi di vincoo, mettendo in evidenza e corrispondenti reazioni X i, i=1,,n che costituiscono e incognite iperstatiche che agiranno sua struttura divenuta isostatica dopo a rimozione dei vincoi sovrabbondanti. In reazione a i-mo degi n movimenti evidenziati daa rimozione dei vincoi è possibie scrivere un euazione di congruenza de tipo: α i1 X 1 + α i2 X 2 + + α in X n + α io = 0. I termine noto α io esprime i vaore de movimento i-mo dea struttura isostatica indotto dai carichi esterni; i coefficienti α ij esprimono i movimento i-mo indotto da appicazione dea soa incognita iperstatica X j =1. I coefficienti α ij sono detti coefficienti di deformabiità. È, così, possibie scrivere n euazioni che vengono a costituire un sistema di n euazioni de tipo: α 11 X 1 + α 12 X 2 + + α 1n X n + α 1o = 0 α i1 X 1 + α i2 X 2 + + α in X n + α io = 0 α n1 X 1 + α n2 X 2 + + α nn X n + α no = 0. Che può essere scritto sua base dea notazione matriciae α 11 α 12 α 1n X 1 α i1 α i2 α in X i = α n1 α n2 α nn X n -α 1o -α io -α no o, in forma compatta, [C] {F}= {α}, dove [C] è detta matrice di deformabiità. L euazione dei tre momenti (metodo dea congruenza). Si consideri una trave continua su più appoggi. Senza compromettere a generaità dee considerazioni che seguono, si supporrà che ciascuna campata sia soggetta ad un carico uniformemente ripartito e si considerano costanti i parametri di rigidezza J ed E. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 Si considerino due campate successive, espicitando e coppie iperstatiche che ciascuna campata scambia con uea adiacente. Tai coppie verranno assunte come incognite de sistema iperstatico. Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni i-1 i i-1 i-1 i-1 i i i i i i+1 i+1 i-1 i Per a campata i-1, a rotazione a nodo i-mo vae: ϕ i,i-1 = i-1 i-1 3 / (24EJ) + i i-1 / (3EJ) + i-1 i-1 / (6EJ) mentre per a campata i, a rotazione, sempre a nodo i-mo vae: ϕ i,i+1 = i i 3 / (24EJ) + i i / (3EJ) + i+1 i / (6EJ). Le convenzioni sui segni dee rotazioni, concordi con uee dei momenti, fanno sì che a condizione di congruenza debba essere scritta come: ϕ i,i-1 = - ϕ i,i+1. Quindi: i-1 i-1 3 / (24EJ) + i i-1 / (3EJ) + i-1 i-1 / (6EJ) + i i 3 / (24EJ) + i i / (3EJ) + i+1 i / (6EJ) = 0 da cui si può ricavare espressione de euazione dei tre momenti, particoarizzata a caso di carico uniforme su ciascuna campata: ( i-1 + 2 i ) i-1 + (2 i + i+1 ) i = - ( i-1 i-1 3 + i i 3 )/4. Esempio. Si consideri una trave su tre appoggi, costituita da due campate uguai uniformemente caricate. ppicando euazione dei tre momenti si può cacoare i momento di continuità su appoggio 2: 2 + 2 = - 2 / 4 3 = -½ 3 da cui: 4 = - 1 / 2 3 1 2 3 e, uindi = - 2 /8 1 2 1 2 Più in generae si può considerare una travata a due campate di unghezze 1 ed 2, soggette ai carichi uniformemente distribuiti 1 e 2, ricavando i vaore de momento in corrispondenza de appoggio intermedio in funzione di 1, 2, 1 e 2. Scrivendo euazione dei tre momenti per appoggio intermedio si ha: 2 1 + 2 2 = - ( 1 1 3 + 2 2 3 )/4, 2 ( 1 + 2 ) = - ( 1 1 3 + 2 2 3 )/4, = - ( 1 1 3 + 2 2 3 ) / [ 8 ( 1 + 2 )]. Per 1 = 2 = e 1 = 2 =. si ha, ovviamente, = - 2 /8. Esempio. Si consideri una trave su cinue appoggi, costituita da uattro campate uniformemente caricate. ppicando euazione dei tre momenti si può impostare i sistema di euazioni ineari che fornisce i vaori assunti da azione fettente in corrispondenza degi appoggi intermedi. Si scrivono, uindi, e tre euazioni di congruenza per i nodi 2, 3 e 4, tenuto conto de fatto che 1 = 5 = 0. Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 1 + 2 2 2 + 3 2 = - ( 1 1 3 + 2 2 3 )/4 2 2 + 2 3 2 +2 3 3 + 4 3 = - ( 2 2 3 + 3 3 3 )/4 3 3 + 2 4 3 + 2 4 4 = - ( 3 3 3 + 4 4 3 )/4 Evidenziando e incognite : 2( 1 + 2 ) 2 + 2 3 = - ( 1 1 3 + 2 2 3 )/4 2 2 + 2( 2 + 3 ) 3 + 3 4 = - ( 2 2 3 + 3 3 3 )/4 3 3 + 2( 3 + 4 ) 4 = - ( 3 3 3 + 4 4 3 )/4 che può essere espresso come : 2 ( 1 + 2 ) 2 0 2 - (11 3 + 22 3 )/4 2 2 ( 2 + 3 ) 3 3 = - ( 2 2 3 + 3 3 3 )/4 0 3 2 ( 3 + 4 ) 4 - (33 3 + 44 3 )/4 ssumendo 1 = 3.50 m, 2 = 4.00 m, 3 = 5.00 m, 4 = 4.00 m e 1 = 2 = 3 = 4 =10 kn/m, è possibie risovere numericamente i sistema, ottenendo: 2(3.50+4.00) 2 + 4.00 3 = - 10000(3.50 3 + 4.00 3 )/4 4.00 2 + 2(4.00+5.00) 3 + 5.00 4 = -10000 (4.00 3 + 5.00 3 )/4 5.00 3 + 2(5.00+4.00) 4 = - 10000(5.00 3 + 4.00 3 )/4 15 2 + 4 3 = - 267187.5 4 2 + 18 3 + 5 4 = - 472500 5 3 + 18 4 = - 472500 Risovendo i sistema di euazioni si ha : 2 = - 13180.62 Nm/m 3 = - 17369.55 Nm/m = - 21425.125 Nm/m 4 I cacoo dee reazioni vincoari passa attraverso i cacoo de azione tagiante a estremità di ciascuna campata. Si esamini, ad esempio, a prima campata, resa isostatica attraverso espicitazione dee incognite iperstatiche. Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni =10000N/m 1 1=3.50 2 2=-13180 N/m V 1 = 1 /2 2 / 1 = 10000x3.50/2 13180/3.50 = 17500 3765 = 13735 N V 2 = 1 V 1 = 10000x3.50 13735 N = 21265 N I punto di tagio nuo, che corrisponde a punto in cui i momento fettente è massimo, si ha per x = V 1, da cui x = V 1 / = 13735/10000 = 1.374 m. Per tae vaore di x si ha: = V 1 x x 2 /2 = 13735x1.374 10000x1.374 2 /2 = 18872 9439 = 9432 Nm/m. I metodo de euiibrio. Convenzioni sui segni: i momenti i ed j che i nodi trasmettono ae estremità dee aste saranno considerati positivi se destrogiri. Le rotazioni ϕ i e ϕ j e saranno positive se concordi con i momenti positivi i ed j. Per fissare e idee, si consideri una struttura - costituita da una coppia di aste concor- -C renti ne nodo comune ed incernierate in corrispondenza de atra estremità. Trascurando a deformabiità assiae dee aste, i nodo non è soggetto a trasazioni, ed i suoi movimenti vengono caratterizzati da soo grado di ibertà rotazionae. C C Per sempicità, si supponga che e aste abbiano uguai vaori di moduo eastico e di momento d inerzia. La unghezza dee aste sarà indicata simboicamente come ed C. È utie scomporre a struttura in due sottostrutture, costituite da travi appoggiate soggette ae coppie d estremità - ed -C. È possibie espicitare a rotazione de estremità di ciascuna trave in funzione di - e di -C : ϕ - = - - / (3 E J) e ϕ -C = -C -C / (3 E J) Si possono, ora, espicitare i momenti fettenti in funzione dee rotazioni: - = ϕ - (3 E J) / - e -C = ϕ -C (3 E J) / -C Ovvie considerazioni di congruenza, impongono che ne punto si abbia ϕ - = ϕ -C = ϕ, e, uindi: - = ϕ (3 E J) / - e -C = ϕ (3 E J) / -C Si scriva, ora, euazione di euiibrio in corrispondenza de nodo : - + -C = Che consente di scrivere: 3EJ + 3EJ ϕ Α = - -C Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni I coefficiente numerico tra parentesi prende i nome di coefficiente di rigidezza ed esprime a forza (ne caso specifico a coppia) che deve essere appicata per ottenere in una rotazione unitaria ϕ=1. È facie generaizzare uesto esempio a caso in cui vi siano più aste concorrenti ao stesso nodo. Si potrà scrivere, infatti: D 3EJ - + 3EJ + 3EJ -C -D ϕ Α = dove i coefficiente di sicurezza mostra di essere a somma dee rigidezze dee varie aste concorrenti a nodo. C Si noti che a aumentare de numero dee aste concorrenti ne nodo, non si ha un incremento de numero dee incognite da a cui determinazione è necessaria per a risouzione dea struttura. k 11 α 1 + k 12 α 2 + + k 1n α n = F 1 k i1 α 1 + k i2 α 2 + + k in α n = F i k n1 α 1 + k n2 α 2 + + k nn α n = F n. Che può essere scritto sua base dea notazione matriciae k 11 k 12 k 1n α 1 k i1 k i2 k in α i = k n1 k n2 k nn α n o, in forma compatta, [K] {α}= {F}, dove [K] è detta matrice di rigidezza. L euazione dee cinue rotazioni (metodo de euiibrio). Convenzioni sui segni: si consideri un asta di estremità i e j. I momenti i ed j che i nodi trasmettono ae estremità dee aste saranno considerati positivi se destrogiri. Le rotazioni ϕ i e ϕ j e saranno positive se concordi con i momenti positivi i ed j. Numerazione dei nodi e dee aste: I metodo de euiibrio è particoarmente utie per risovere strutture a geometria compessa. La numerazione dei nodi, uindi, non seguirà, in generae, uei principi di numerazione progressiva che sono cassici de metodo dea congruenza. Un asta, uindi, sarà definita utimente attraverso una coppia di numeri corrispondenti ae sue due estremità (asta i-j che unisce i nodo i-mo con ueo j-mo). naogamente, e sezioni dee varie aste che concorrono ad un nodo vengono definite con i numero de nodo, affiancato da numero de secondo nodo che individua asta concorrente. Così, a sezione i-j è a sezione de nodo i-mo determinato da asta i-j. F 1 F i F n ij i i i-j j j Lij Per sempicità, si utiizza ij =, E ij =E, J ij =J. Le rotazioni agi estremi dea trave possono essere scritti come: Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni ϕ i = 3 /24EJ + i /3EJ - j /6EJ ϕ j = - 3 /24EJ + j /3EJ - i /6EJ Poiché si vuoe risovere i sistema in modo da esprimere i ed j in funzione di ϕ i e ϕ j, ricaviamo dae due euazioni j : j /6EJ = 3 /24EJ + i /3EJ - ϕ i j /3EJ = 3 /24EJ + i /6EJ + ϕ j da cui: j = 2 /4 + 2 i - 6ϕ i EJ/ j = 2 /8 + i /2 + 3ϕ j EJ/ Uguagiando i secondi membri: 2 /4 + 2 i - 6ϕ i EJ/ = 2 /8 + i /2 + 3ϕ j EJ/ Voendo ricavare i, si può scrivere: i = (2EJ/)(2ϕ i +ϕ j ) 2 /12 Ed anaogamente: j = (2EJ/)(2ϕ j +ϕ i ) + 2 /12 Riprendendo a scrittura a due indici, possiamo scrivere: ij = (2E ij J ij / ij )(2ϕ i +ϕ j ) ij ij 2 /12 ji = (2E ij J ij / ij )(2ϕ j +ϕ i ) + ij ij 2 /12 dove è contenuta tacitamente a condizione di congruenza, avendo imposto: ϕ ij = ϕ ik = ϕ i =... = ϕ i Si vuoe imporre, ora, a condizione d euiibrio a nodo i- mo, per gi s nodi dee membrature ivi concorrenti: m ij Σ s is =0. i j (2E ij J ij / ij )(2ϕ i +ϕ j )+ (2E ik J ik / ik )(2ϕ i +ϕ k )+ (2E i J i / i )(2ϕ i +ϕ )+ (2E im J im / im )(2ϕ i +ϕ m ) + +(- ij ij 2 + ik ik 2 + i i 2 - im im 2 )/12 = 0 k 2ϕ i (2E ij J ij / ij +2E ik J ik / ik + 2E i J i / i +2E im J im / im )+(2E ij J ij / ij )ϕ j + (2E ik J ik / ik )ϕ k + (2E i J i / i )ϕ + (2E im J im / im )ϕ m = ( ij ij 2 - ik ik 2 - i i 2 + im im 2 )/12 Questa viene detta euazione dee cinue rotazioni. Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni Rotazioni dee estremità in una trave sempicemente appoggiata ed uniformemente caricata. Si consideri una trave sempicemente caricata e soggetta ad un carico uniforme. Si vogia vautare a rotazione dei due estremi con i principio dei avori virtuai. Si considerano positivi i momenti che tendono e fibre inferiori e e coppie che compiono avoro positivo per tai momenti fettenti. C=1 x Sistema deformante. x Sistema avorante. Rispetto a ascissa corrente, a funzione che esprime e soecitazioni ne sistema deformante è = x/2 - x 2 /2. L azione interna de sistema avorante è = x/. ppicando i principio dei avori virtuai si ha: ϕ = 0 1 (x/2-x 2 /2)(x/)dx = E J 2EJ 0 (x 2 -x 3 )dx da cui: ϕ = -ϕ = 3 /(24EJ). Teoria dee strutture a souzione eastica
ppunti dee ezioni di Tecnica dee costruzioni Rigidezza aa rotazione de estremità di una trave. Si consideri una trave - opportunamente vincoata, soggetta ad una coppia appicata a estremità. Indicheremo come W, a rigidezza aa rotazione in dea trave; tae vaore è costituito daa coppia che deve essere appicata in per provocare in ta punto a rotazione unitaria. Ovviamente, a rigidezza aa rotazione ha e stesse dimensioni fisiche di una coppia ed i suo vaore dipende dae caratteristiche geometriche dea trave, in particoare da momento d inerzia J e daa unghezza, dae caratteristiche di deformabiità de materiae, in particoare da moduo eastico E, e dae condizioni di vincoo dea trave. Si consideri, ad esempio, una trave - ibera in ed incastrata in, soggetta ad una coppia appicata a estremità ibera. Si può esprimere a condizione che a rotazione in abbia vaore unitario scrivendo: ϕ = / EJ = 1, da cui si ricava = W, = E J/. La uantità EJ/, che dipende escusivamente daa geometria dea trave, viene detta rigidità ed indicata come R = EJ/. RIGIDEZZ LL ROTZIONE DI TRVI RICORRENTI DESCRIZIONE RIGIDEZZ SCHE DELL TRVE Schema a mensoa W, = R Trave appoggiata agi estremi soggetta a coppie simmetriche W, = 2R Trave appoggiata agi estremi soggetta ad una coppia W, = 3R Trave appoggiata ad un estremo ed incastrata a atro, soggetta ad una coppia W, = 4R Trave appoggiata agi estremi soggetta a coppie antimetriche W, = 6R Teoria dee strutture a souzione eastica