ezione n. 6 Rigidezze e coefficienti di trasmissione ffinché si possa utilizzare efficacemente il metodo dell equilibrio nella soluzione di travature iperstatiche, occorre ricavare, per le varie membrature, il valore della rigidezza nei confronti degli spostamenti dei vincoli di estremità e saper risolvere, in funzione di questi, le travi a campata singola. Esempio #1: trave incastro-appoggio Data la struttura in figura, stabilire il legame tra e ϕ. e conoscere il diagramma dei momenti senza aver bisogno, ogni volta di calcolarlo. Per risolvere la trave riportata in figura, è utile iniziare studiando un caso un po più semplice. Nel caso in esame, si è già visto il legame tra e ϕ = 3 Per ricavare il valore di ϕ si può ancora ricorrere al PV: ϕ ϕ ϕ OZZ ϕ / / 1*/ 1* 1*/ S.S.D. S.F.S.* * 3 * 1 dz 1 3 1 = z 1* z = = 3 6 0 ossia Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni Revisione 8/10/01
ezione n. 6 pag. VI. = 6 quindi la rotazione in è oraria (opposta a quella in ) e vale la metà di ϕ. Osservazione: Trascurando la deformabilità assiale (quindi se la deformazione è soltanto flessionale) le tre travi disegnate sono del tutto equivalenti lla stessa casistica potrebbe essere ricondotto anche il caso di trave vincolata soltanto attraverso due appoggi verticali, ottenendo una struttura labile ma staticamente determinata per la particolare condizione di carico. e differenze tra i vari sistemi possono entrare in gioco soltanto nel caso di carichi (o coazioni) lungo l asse della trave; se la struttura è invece soltanto inflessa, si può far tranquillamente riferimento ad uno qualunque degli schemi disegnati. Tornando al caso proposto in partenza, il risultato appena trovato risulta particolarmente utile per ricavare il legame tra e ϕ. a trave è volte iperstatica: data però l assenza di sforzo normale, la soluzione è la stessa della trave seguente, che risulta 1 volta iperstatica ϕ ϕ OZZ Si può quindi risolvere la trave nell ottica del metodo della congruenza, scegliendo, come incognita iperstatica, il valore del momento flettente in / / X = ϕ 0 ϕ 0 X/ ϕ 1 ϕ 1 X/ Sfruttando il risultato precedente, si può affermare che 0 = 6 1 e quindi, imponendo la congruenza, = X 3 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE
ezione n. 6 pag. VI.3 0 = = 0 1 = da cui X 6 3 = X = Inoltre, sempre sfruttando i risultati noti ed il PSE = da cui 0 1 = X = 3 6 0 3 4 1 = = 6 1 = 4 Il risultato si può esprimere anche dicendo che la rigidezza alla rotazione in vale k = 4 4 RIGIDEZZ ROTZIONE (k) valore del momento flettente che occorre applicare all estremità di una trave per ottenere una rotazione unitaria nella sezione di applicazione della coppia I risultati ottenuti sono riassunti nella figura seguente / OZZ / - zona a concavità negativa (<0) v=0 ϕ=0 f (z) punto di flesso (=0) zona a concavità positiva (>0) v=0 ϕ 0 f ϕ = 4 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE
ezione n. 6 pag. VI.4 Una volta noti i momenti, si possono ricavare i valori delle reazioni verticali e disegnare il diagramma del taglio / 3 /() 3 /() T(z) 3 /() 3 /() I valori delle reazioni verticali sono stati trovati imponendo l equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione V = V = 0 V V = 3 V V = Il rapporto tra il valore del momento applicato in ( ) ed il valore della reazione iperstatica in ( = /) è ovviamente sempre lo stesso, indipendentemente dal valore della coppia applicata in, in quanto è una proprietà della particolare trave studiata (ossia della specifica disposizione dei vincoli di estremità). Si può sintetizzare il risultato affermando che il coefficiente di trasmissione assume, per la trave studiata, il valore t=½. In particolare: - il valore ½ deriva dal fatto che applicando un momento pari a si TRSETTE all altra estremità un momento di valore pari a / - il segno dipende dal fatto che entrambe le coppie (se considerate come azioni applicate alla trave) hanno lo stesso verso (nel caso in esame, sono entrambe antiorarie). N: non si deve tener conto del valore del momento come riportato nel diagramma dei momenti, ma il segno della coppia considerata come azione applicata alla trave OEFFIIENTE DI TRSISSIONE (t) rapporto (con segno) tra il momento applicato all estremità di una membratura ed il momento che si rileva all estremità opposta OZZ I risultati ottenuti dallo studio della trave in esame, possono essere sintetizzati come in figura. Tutte le grandezze non esplicitamente riportate possono essere derivate, come si è visto, da quelle indicate. t = ½ ϕ k = k = 4 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE
ezione n. 6 pag. VI.5 Esempio #: ENSO nche in questo caso, data la struttura in figura, l obiettivo è ricavare il collegamento tra il valore di e gli spostamenti u e ϕ della sezione di estremità. a struttura è isostatica, per cui, in questo caso, è immediato tracciare il diagramma dei momenti (z) ϕ OZZ u Il risultato si sintetizza dicendo che il coefficiente di trasmissione vale t=-1 (i momenti alle due estremità sono uguali ma hanno verso opposto). I valori di u e ϕ si possono calcolare utilizzando il PV: * dz 1 = ( ) ( 1* ) = 0 ossia = ϕ S.S.D. 1* 1* 1* 1* S.F.S.* Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE
ezione n. 6 pag. VI.6 v 1*/ 1* * 1 v = 0 ossia v = ( ) 1* 1* dz z = S.S.D. 1*/ S.F.S.* a deformata della struttura è quella riportata in figura seguente, in cui l asse della trave (dato il valore costante del momento) si atteggia secondo un arco di cerchio (curvatura costante). nalogamente al caso precedente, il risultato ottenuto può essere riassunto come segue ϕ OZZ t = - 1 ϕ u k = Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE
ezione n. 6 pag. VI.7 Esempio #3: TRVE PPOGGIT ON RIO NTIETRIO ϕ ϕ Nel caso della trave riportata in figura, è facile trovare il collegamento tra il valore della rotazione e quello del momento applicato. Data la simmetria della struttura (*) e l antimetria del carico, si può affermare che = (rotazioni entrambe orarie) 0 v = 0 = 0 Si può allora considerare metà struttura, sostituendo all altra metà il vincolo che la rappresenta ϕ / Il caso riportato in figura è un caso noto: si era già visto che la rigidezza alla rotazione di una trave appoggiata con una sola coppia all estremità assume il valore 3/, con luce della trave, da cui, in questo caso ( / ) = = 3 6 mentre la rotazione in assume un valore pari alla metà di quello appena ricavato. a deformata della trave è riportata in figura seguente. Il valore della rotazione in assume il valore = 1 pari alla metà del valore in. Il risultato deriva direttamente da quello già ottenuto nel caso di trave con cerniera e carrello, uguale a quello a cui ci siamo ricondotti utilizzando il principio di identità. OZZ ϕ In conclusione, si può affermare che il valore della rigidezza alla rotazione assume il valore ϕ ϕ (*) a trave disegnata non è una trave simmetrica, in quanto i vincoli di destra e sinistra sono diversi. Data comunque l assenza di sforzo normale nella trave, la reazione orizzontale in è nulla. Il caso è quindi equivalente a quello di una trave su due appoggi semplici o, in alternativa, al caso di una trave con entrambi i vincoli rappresentati da cerniere fisse, e quindi può essere trattata come caso di struttura simmetrica. Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE
ezione n. 6 pag. VI.8 6 k = come riportato nella figura seguente. Il valore del coefficiente di trasmissione perde, in questo caso di significato, essendo noti a priori (ed imposti) i valori delle due coppie alle estremità della trave. ϕ ϕ 6 k = Esempio #4: TRVE PPOGGIT ON RIO SIETRIO ϕ nche in questo caso, il collegamento tra il valore della rotazione e quello del momento applicato può essere ricavato facilmente facendo ricorso a risultati già ricavati in precedenza. Data la simmetria della struttura (ferme restando le osservazioni fatte riguardo all esempio precedente) e del carico, si può affermare che = (rotazioni di verso opposto, oraria in, antioraria in ) = 0 v 0 0 nalogamente al caso precedente, ricorrendo al principio di identità è possibile considerare soltanto metà struttura, sostituendo all altra metà il vincolo che la rappresenta ϕ / ϕ OZZ Date le condizioni di vincolo, la reazione verticale in è nulla, per cui l unica reazione vincolare è offerta da una coppia in, con verso opposto rispetto a quella applicata. a trave risulta quindi sottoposta ad un momento flettente costante. e condizioni vincolari consentono di tratteggiare la deformata riportata in figura che presenta una forte analogia con quella di una mensola di uguale luce, sottoposta anch essa ad un momento flettente costante. e due deformate, infatti, a meno di una traslazione rigida, sono le stesse, essendo entrambe rappresentate da un tratto a curvatura costante. ϕ / ϕ / Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE
ezione n. 6 pag. VI.9 Sfruttando quindi il risultato ottenuto nel caso della mensola (la cui rigidezza alla traslazione vale /, con luce della trave), si può affermare che il valore della rotazione in è pari a ( / ) = = e la trave si deforma qualitativamente come in figura. abbassamento del punto, operando sempre in analogia con una mensola di luce / vale v = ( / ) = 8 a rigidezza alla rotazione assume quindi il valore k = come riportato nella figura seguente (**). nche in questo caso non è stato riportato il valore del coefficiente di trasmissione in quanto privo di significato. ϕ ϕ ϕ OZZ k = a tabella seguente riporta il riepilogo dei casi esaminati, e che risulteranno di particolare utilità nella risoluzione di sistemi iperstatici attraverso il metodo dell equilibrio. E da notare che tutti i valori delle rigidezze ottenuti sono dipendenti dal valore del parametro / che acquista quindi un ruolo di particolare importanza. Tale grandezza viene denominata come rigidezza fondamentale o rigidità della trave, e si indica con il simbolo R (**) R = E interessante notare come allo stesso risultato si possa giungere anche per altra via. onsiderando infatti il valore della rotazione della sezione (ma un ragionamento del tutto analogo vale per la sezione ), si può osservare che il caso in esame è scomponibile nella somma dei due casi seguenti ϕ ϕ ϕ Sfruttando risultati già noti si può affermare che: ' " = = = 3 6 che rappresenta il risultato appena ottenuto. Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE
ezione n. 6 pag. VI.10 Un ultima osservazione riguarda il fatto che, aumentando il grado di vincolo, la trave offre via via rigidezze alla rotazione crescenti: in altre parole, più gli spostamenti risultano impediti e maggiore è il valore della coppia che occorre applicare ad un estremità perché tale estremità ruoti di un valore unitario. ϕ ϕ ϕ Trave coefficiente di trasmissione ϕ t = -1 ϕ ϕ t = 0 t = ½ valore della rotazione = rigidezza alla rotazione k = R = k = 3R 3 altri spostamenti = OZZ v a = = k = 4R --- 4 = ϕ --- 6 k = 6R ϕ = ϕ --- = = Note: - le rotazioni sono state indicate positive se antiorarie - gli spostamenti verticali sono stati indicati positivi se verso il basso - R=/ k = R v = = 6 1 8 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE