Capitolo 5 Calcolo ininitesimale 5 Derivazione a b R ed ] a, Siano ( :(, DEFINIZINE Diremo che ( è derivabile nel punto se esiste inito il seguente ite ( ( e porremo per deinizione ( ( ( La unzione : ( a, b { } ponendo oppure [ ( ] D il valore di tale ite si chiama rapporto incrementale di ( in h il rapporto incrementale si può anche scrivere nella seguente maniera: È di acile veriica che ( h ( h ( ( 5 Signiicato geometrico della derivata Sia ( : (, graico di ( h, h h ( a ( h h, b ( a b R derivabile in ] a, sia ( ab, { } i punti P ( (, P (, ( :, e consideriamo sul ( ( P i α P s t α a b Figura 5 Signiicato geometrico della derivata in un punto Detta s la retta secante il graico nei punti P, P ed α l angolo che essa orma con l asse, risulta ( ( tgα
Sia ora t la retta passante per P, ed avente coeiciente angolare ( : t : ( ( ( ( ( Risulta tgα ( da cui deduciamo che al tendere di ad il punto P si muove sul graico di ( verso il punto P e la retta s, ruotando intorno a P si andrà a sovrapporre alla retta t che rappresenta, quindi, la sua posizione ite La retta t che ha la proprietà di intersecare il graico di ( nelle vicinanze di P solo nel punto P, viene detta la retta tangente al graico in P pertanto geometricamente la derivata di ( in, (, rappresenta il coeiciente angolare della retta tangente al graico di ( nel P ( punto (, DEFINIZINE Se ( è derivabile in ogni ] a, si dice che ( In tal caso possiamo deinire la unzione che ad ogni ] a, è derivabile in ] b[ a, associa la derivata di ( in Tale unzione si chiama la unzione derivata prima di ( e si indica con ( oppure [ (] D 5 Derivata delle unzioni elementari a se ( k R, k R allora ( R b se ( α, α R allora α ( α c se ( a con a >, a allora a ( log a in particolare D e e d se ( log a con a >, a allora ( log a e in particolare D[ log ] e se ( sin allora ( cos se ( cos allora ( sin 53 Regole di derivazione Siano (, ( :(, a,, sia k R, si prova che le unzioni ( k (, ( ± g(, ( g(, (con g ( sono derivabili e valgono le seguenti g( ormule: D[ k ( ] k D[ ( ] D [ ( ± g( ] D[ ( ] ± D[ g( ] D ( g( D ( g( ( D g( g ab R, derivabili in ] [ ] [ ] [ ] ( D[ ( ] g( ( D[ g( ] D g( ( g( Teorema 5 (derivazione della unzione composta Siano ( :( a, b R, g( :( c, d R e sia cod ( ( ( c, d Consideriamo la unzione composta F( g( ( :( a, b R se ( e g( sono derivabili allora F ( è derivabile e risulta
F ( g( ( ( ESEMPI sin cos cos sin ( sin cos sin D[ tg] D tg cos cos cos cos D 3 5 3D D[ 5] D[ ] 6 5 D[ ] D ( D[ log( ] inatti la unzione log( è composta da ( e g( log poiché D[ ( ] e D[ g( ] si ha il risultato applicando la regola di derivazione della unzione composta D e e essendo e composta da ( e g ( e D sin sin cos 54 Punti angolosi, cuspidi e lessi a tangente verticale Siano ( : (, a b R, ] a, DEFINIZINE Si chiama derivata destra (sinistra e la si indica con il valore del ( ( ( ( rispettivamente ( (rispettivamente ( se questo esiste ed è inito SSERVAZINE È di acile veriica che: ( è derivabile in ( ( ed in tal caso ( ( ( Siano ( : (, a b R, ] a, ( continua in DEFINIZINE Il punto si dice punto angoloso se ( / ( ( In tal caso nel punto graicamente si ha : t t (, ( G possiamo tracciare una doppia retta tangente, t : ( ( ( t : ( ( ( ESEMPI Figura 5 Punto angoloso
Sia ( è un punto angoloso essendo e DEFINIZINE Il punto si dice punto di cuspide se ( ( ± Graicamente si ha : ± ( ( ± ( ( ± ESEMPI Figura 53 Punto di cuspide 3 Sia ( 3 è un punto di cuspide inatti ± ± DEFINIZINE Il punto si dice un punto di lesso a tangente verticale se ( ( ( Graicamente si ha: Figura 54 Punto di lesso a tangente verticale ESEMPI Sia 3 ( è un punto di lesso a tangente verticale inatti 3 ( 3 ( ( ( SSERVAZINE Nel caso in cui ( è continua in ed uno dei due iti ( ( ( non è inito, per convenzione si dice che è un punto angoloso (, Il legame tra una unzione continua ed una derivabile è espresso dal seguente:
Teorema 5 Siano ( :(, a b R ed ] a, se (, allora ( è continua in ( ( Dimostrazione: Scriviamo ( ( ( ( a, b { } ( ( essendo ( risulta ( ( e ( dai teoremi sulle operazioni con i iti SSERVAZINE Il viceversa del teorema precedente in generale non è vero cioè è possibile che ( sia continua in ma non ivi derivabile, ad esempio ( è continua in ma non è derivabile, inatti ± ± 5 Teoremi ondamentali del calcolo dierenziale I teoremi che ora proveremo sono alla base del calcolo dierenziale: Teorema 53 (di Rolle Sia ( :[, ] c a, b : ( c ] [ a b R continua, ( in ] a, Dimostrazione: Essendo ( continua in [ b] teorema di Weierstrass, siano [ a, b] ( M ma ( [ a, b] ( a ( b allora a, è ivi dotata di minimo e di massimo (primo, tali che ( m min (, Se a ed b (o viceversa ( a, b, essendo m ( M [ a, b] ed m ( a ( b M per cui ( ] a, Se ciò non accade, allora, almeno uno dei due punti ed è interno ad [ a, b] sia ad esempio ] a, Proviamo che ( risulta è costante in [ ] ( ( > se se < in quanto ( M ( [ a, b], allora ( ( ( ( ( ed ( D altra parte, poiché ( è derivabile in, si ha ( ( ( da cui necessariamente ( SSERVAZINE Graicamente il teorema di Rolle ha il seguente signiicato: esiste almeno un punto del graico della unzione dove la retta tangente è parallela all asse : [ a, b]
( c ( a ( b a c b Figura 55 Teorema 54 (di Lagrange Sia ( :[ a, b] R continua ( ( b ( a c ] a, b[ : ( c b a in ] Dimostrazione: Consideriamo la unzione ausiliaria F ( ( k [ a, b] a, allora dove la costante k R va scelta in maniera tale che F ( soddisi le ipotesi del Teorema di Rolle Essendo dierenza di unzioni continue in [ a, b] la F ( è continua in [ a, b], così essendo a, la F ( è derivabile in ] a, con F ( ( k ] a, Per applicare allora il Teorema di Rolle occorre che sia ( b ( a F( a F( b ( a ka ( b kb k b a Con tale scelta di k, il teorema di Rolle ci assicura che : ( b ( a c ] a, tc F ( c ( c da cui l asserto b a dierenza di unzioni derivabili in ] ( b ( a SSERVAZINE Il numero rappresenta il coeiciente angolare della retta s b a secante il graico della unzione nei punti ( a, ( a, ( b, ( b pertanto il teorema di Lagrange ci assicura che esiste almeno un punto del graico in cui la retta tangente al graico della unzione è parallela alla retta s secante il graico nei suoi estremi: ( b ( c ( a a c b Figura 56 Corollario 55 Sia ( :( a, b R continua supponiamo che ( ( a, b allora ( k R ( a, b ] [ in ] a, con
Dimostrazione: Siano ( a, b con, ad esempio, < consideriamo la restrizione di ( ad [, ] Poiché per la restrizione di ( ad [, ] sono valide le ipotesi del teorema ( ( di Lagrange, c ], [ t c ( c d altra parte ( c ( ( Dall arbitrarietà di, ( a, b risulta ( costante in ( a, b Corollario 56 Siano (, g( :( a, b R unzioni continue e supponiamo che (, g( ( g( a, b, allora ( g( k R ( a, b in ] a,, ] [ Dimostrazione: Sarà suiciente applicare il Corollario 55 alla unzione F( ( g( Corollario 57 Sia ( :( a, b R continua supponiamo che ( ( > ( < ( a, b allora ( cresce (decresce in ( a, b in ] Dimostrazione: Siano, ( a, b con < consideriamo la restrizione di ( e ad essa applichiamo il teorema di Lagrange, allora c ], [ : ( ( c( da cui ( > ( > ( ( Sono conseguenze del teorema di Lagrange i seguenti: ( a, con in [ ] Teorema 58 : Sia ( :( a, b R continua supponiamo che ( a, b, allora condizione necessaria e suiciente ainché ( sia crescente (decrescente in ( a, b è che valgano ( ( ] a, b[ [ α, β ] ] a, t c ( in [ α, β ] / in ] [ Tale teorema, di cui omettiamo la dimostrazione, ci permette di stabilire la stretta monotonia di unzioni ( la cui derivata non è necessariamente sempre positiva (negativa, ESEMPI ( 3 :, Sia ] [ R risulta ( 3 ], [ ( pertanto ( cresce in R, inoltre R, e siano (, g( :( a, b { } Teorema 59 (di De L H ô pital Sia R ( punto di accumulazione per ( a, b se R e con ovvie modiiche se ± tali che i ( g( (oppure ( ±, g( ± ii (, g( ( a, b { } con g ( in almeno un intorno I δ ( ( ( Allora, se esiste il g( g( g( (
SSERVAZINE Il Teorema 59 ci ornisce solo una condizione suiciente, ovvero è possibile portare esempi dove dall esistenza del ite del rapporto delle unzioni date non si deduce l esistenza del ite del rapporto delle loro derivate SSERVAZINE Il teorema 59 ci ornisce un utile strumento per risolvere le orme indeterminate ed : ESEMPI e [ ( e ] e e poiché si ha 6 4 5 poiché 4 [ ( 6, ( 4 ] si ha 6 4 5 4 log( D log( arctg D ( ( SSERVAZINE Se bisogna calcolare un ite del tipo ( g( g ( ±, si può scrivere ( ( g( oppure g( g( (, dove ( e, che si presenta sotto la orma oppure : ESEMPI (log log log ( D D log [ ] SSERVAZINE Se bisogna calcolare un ite del tipo [ ( g( ], dove ( e g ( divergono entrambe a o a, si scrive la dierenza [ ( g( ] sotto orma di quoziente g( ( ( g( e così ci si riconduce alla orma ( g(
ESEMPI ( ( [ ] ( ( ( ( ESEMPI sin sin sin cos sin cos (cos (cos (sin cos (cos D [ ] (cos (cos sin (sin cos (cos sin cos cos sin si è tenuto conto del ite notevole sin, cos cos sin 53 Estremi relativi a b R ed ] a, Siano ( :(, DEFINIZINE Diremo che è un punto di massimo (minimo relativo per ( se δ > : ( a, b, < δ ( ( ( ( ( ovvero localmente, in un intorno di, ( è il massimo (minimo valore assunto da ( ( ma ( a ( a min ( δ δ b Figura 57 SSERVAZINE Una unzione potrebbe essere priva di estremi relativi, ad esempio se è crescente o decrescente, inoltre al contrario degli estremi assoluti (minimo e massimo gli estremi relativi potrebbero non essere unici Nell esempio graico (cr Figura 57 ( possiede due massimi relativi e due minimi relativi
SSERVAZINE Abbiamo osservato come una unzione potrebbe non avere il massimo (minimo assoluto però se questo esiste, può essere assunto in un punto qualsiasi dell intervallo di deinizione compresi gli estremi Evidenziamo che gli estremi relativi per deinizione sono sempre interni all intervallo di deinizione, ed in particolare, mentre un estremo relativo non è detto che sia assoluto, un estremo assoluto è anche relativo se assunto in punto interno all intervallo di deinizione Nell esempio graico (cr Figura 57 la unzione ( possiede massimo assoluto che è anche relativo mentre il minimo assoluto ( ( a non è relativo Teorema 5 (di Fermàt Siano ( :(, relativo, allora se esiste ( ( a b R ed ] a, punto di massimo (minimo Dimostrazione: Dalla deinizione di punto di massimo relativo per ( si ha che δ > : ( a, b, < δ ( ( Pertanto il rapporto incrementale ( ( è non negativo per ogni tale che < < δ ed è non positivo per ogni tale che δ < < Dai teoremi di conronto sui iti risulta ( ed ( D altra parte poiché, per ipotesi esiste (, è necessario che ( ( da cui l asserto a b R continua e sia ] a, ] a, { } δ > tale che ( ] δ, [ ] δ [ è un punto di massimo relativo per ( Teorema 5 Sia ( :(, ( ed esista ( <, allora Supponiamo che esista >, Dimostrazione: Essendo ( > ] δ, [ la unzione ( ] δ, ] pertanto ( ( ] δ, [ ( < ], δ [ risulta ( decrescente in [, δ [ ( ( ] δ [ >, è crescente in < ed analogamente poiché pertanto Si è così determinato un intorno completo di dove ( ( cioè è un massimo relativo per ( SSERVAZINE Analogamente vale una condizione suiciente per l esistenza di un minimo relativo ESEMPI Determinare gli eventuali estremi relativi della unzione ( log La unzione è deinita in ], [, risulta log ( log ( log log (log (log ( > (log (log >, e oppure ], [ ed ( <, e,
in deinitiva ( /e - Figura 58 da cui è un massimo relativo per (, è un minimo relativo per ( e 54 Concavità, convessità e lessi a b Rcontinua e sia ] [ Sia ( :(, a, b tale che esista ( Consideriamo t ( ( (, la retta tangente al graico di ( in, ( : ( DEFINIZINE Diremo che in P (, ( la unzione ( è convessa (concava o che il graico di ( volge la concavità verso l alto (verso il basso se δ > : ( a, b, con < δ > ( ( ( ( ( ( ( ( ( < ovvero in un intorno di P (localmente, i punti del graico di ( giacciono al di sopra (sotto della retta tangente il graico in P ( P i t a b Figura 59 Se, invece, in P non è veriicata nessuna delle due precedenti disuguaglianze, il punto P è detto punto di lesso per (, ovvero in un qualunque intorno di P il graico della unzione cambia concavità passando per tale punto:
P t ( i a b Figura 5 DEFINIZINE Diremo che ( è convessa (concava in ( a, b se è convessa in ogni P, (, a, b ( ] [ a (a b a (b b Figura 5 (a graico di una unzione convessa in (a,b (b graico di una unzione concava in (a,b 55 Derivata seconda Sia ( : ( a, b Re supponiamo che esista ( ] a, Fissato ] a, ( ( se esiste ed è inito il valore e, per deinizione, lo chiameremo derivata seconda di ( in, denoteremo con ( tale SSERVAZINE vviamente, la derivata seconda di ( in non è altro che la derivata della unzione ( nel punto : ( D[ ( ] Se ] a, esiste (, deiniamo unzione derivata seconda di (, e la denoteremo con (, la unzione che ad ogni a b ( ] [, ESEMPI 4 Sia ( : R R Risulta 3 ( 4 ( 3 D[ ( ] D(4 in ] [ Teorema 5 Sia ( :( a, b R, supponiamo che (, ( a, b, allora se ( > ( ( < a, b allora ( è convessa (concava in ( a, b in ] [ Corollario 53 Sia ( :(, ] { } a,, ed inoltre a b R, ] a, supponiamo che ( in ] a,, ( in
δ > : ] δ, [ ], δ [ > in (, < in allora, ( è un punto di lesso ( Dimostrazione: Dal teorema precedente, ( è convessa in ( δ, ed è convessa in,, pertanto il graico della unzione nel passare per, ( cambia concavità ( δ ( Teorema 54 Sia ( :(, supponiamo che ( ed ( > ( < allora è un minimo (massimo relativo a b R, ] a, in ] a,, ( ESEMPI Determinare la concavità, convessità e gli eventuali lessi della unzione ( log( La unzione log( è deinita in ], [, risulta : ( R ed ( ( 4 ( ( ( ( Poiché ( > ( > < < ed ( < <, > si ha : ( - - - è convessa in [ ] ed è concava in ] ] e in [ [ Pertanto (,, Inoltre P (,log e P (,log sono punti di lesso, 56 Asintoti al graico di una unzione DEFINIZINE Sia ( : X R, X R, X Φ sul piano cartesiano assegnata la retta r e tracciato il graico della unzione data ( G, diremo che la retta è un asintoto di G se la distanza tra il generico punto P (, ( G e la retta tende ad essere nulla in corrispondenza al movimento di, ovvero la retta tende ad appoggiarsi al graico senza toccarlo Si possono presentare tre diverse situazioni: Asintoto verticale :
Sia ( :( a, b { } R se ( ±, la retta si dice un asintoto verticale per il graico della unzione graicamente la distanza tra il generico punto P (, ( G e la retta diminuisce al tendere di ad ( ( d( P, s In igura è descritta la situazione (, ( : Figura 5 Asintoto verticale ESEMPI, risulta Sia ( : ], [ {} e pertanto è un asintoto verticale per G Asintoto orizzontale Sia ( una unzione deinita in X non itato sup e/o in, per esempio ( a, [ se ( l, la retta s: l si dice asintoto orizzontale destro per il G graicamente la distanza tra il generico punto P (, ( G e la retta s ( dps (, ( l tende a diminuire (senza mai annullarsi man mano che cresce (nota che dps (, ( l sserviamo che al inito G ed s possono intersecarsi in quando la condizione espressa dal ( l è valida per grande l a Figura 53 Asintoto orizzontale destro Se (,, la curva ( può ammettere due asintoti, uno relativo all intervallo (, [ (asintoto è deinito in un insieme X non itato, ad esempio l intervallo ] [
orizzontale destro ed uno relativo all intervallo ], (asintoto orizzontale sinistro Asintoti che, ovviamente, potrebbero essere distinti ESEMPI Sia ( : ], [ {} poiché, la retta è un asintoto ± orizzontale destro e sinistro per il graico della unzione Asintoto obliquo Sia ( :( a, [ R e sia assegnata la retta obliqua r : m n ( m se ( ± si prova che condizione necessaria e suiciente ainché r sia un asintoto ( (obliquo destro per G è che risulti : m n [ ( m] Anche in tal caso alla parola asintoto diamo il signiicato visto in precedenza, ovvero al crescere di il punto P (, ( G ha distanza da r che tende ad essere zero, ovvero G tende ad appoggiarsi ad r senza mai intersecarla Al solito la situazione descritta è valida per grande inatti G ed r possono avere al inito intersezione : mn a Figura 54 Asintoto obliquo destro Come osservato per l asintoto orizzontale, se ( è deinita in ],b è possibile che esista un asintoto obliquo sinistro, del tutto dierente da quello destro SSERVAZINE vviamente, l esistenza dell asintoto orizzontale preclude quella dell asintoto obliquo ESEMPI Sia ( : ], [ { } poiché ± ±,, ± ± ± la retta è asintoto obliquo destro e sinistro per G e 57 Studio del graico di una unzione
I risultati di questo capitolo ci permettono di studiare e tracciare il graico di una unzione ( I passi da seguire a tale scopo sono : Si determina l insieme di deinizione o dominio della unzione ( Si esamina se la unzione gode di qualche simmetria ad esempio se è una unzione pari ( ( ( D o è una unzione dispari ( ( ( D, in tal caso è possibile studiare ( solo, ad esempio, per le D { } Si studia, se è possibile arlo, il segno di ( e si calcolano le eventuali intersezioni del graico G con gli assi cartesiani Si studia il comportamento al ite di ( e si determinano gli eventuali asintoti Si determinano gli intervalli di monotonia di (, dove la unzione è crescente o decrescente e gli eventuali estremi relativi studiando il segno della derivata prima ( Si determinano la concavità, convessità e gli eventuali punti di lesso, studiando il segno della derivata seconda ( Si riportano nel sistema di rierimento cartesiano le inormazioni ottenute nei passi precedenti e si disegna il graico della unzione Secondo tale schema ricaviamo i graici, già disegnati nel Capitolo, relativi alle unzioni elementari a e log nel caso, ad esempio, a e a Sia ( a e la unzione assegnata è deinita per ], [ Risulta e > R G non interseca l asse, mentre ( e pertanto G interseca l asse nel punto (, La unzione non presenta simmetrie, essendo e ( ( e e e ( Comportamento al ite: e asintoto orizzontale sinistro e / asintoto orizzontale destro e D poiché e / asintoto obliquo destro inoltre non esistono asintoti verticali Calcoliamo ( per R risulta ( D[ e ] e > R, pertanto ( cresce in ], [ e quindi non ha estremi relativi Calcoliamo ( per R risulta ( D[ e ] e > R pertanto ( è convessa in ], [ Le inormazioni precedenti sono riassunte nel seguente graico
Figura 55 graico di e b Sia ( log la unzione assegnata è deinita in D ], [ Risulta che log > > ed log, pertanto ( > ], [, ( < ], [ e G interseca l asse nel punto (, Poiché > non abbiamo intersezioni con l asse La unzione non presenta simmetrie, inatti se > < e quindi non ha senso calcolare ( Comportamento al ite : log è asintoto verticale destro log D log / asintoto orizzontale destro e poiché / asintoto obliquo destro Calcoliamo ( per > risulta ( D[ log ] > > pertanto ( cresce in ], [ e quindi non ha estremi relativi Calcoliamo ( per > risulta ( D < > pertanto ( è concava in ], [ Riassumendo le inormazioni ottenute nel diagramma cartesiano si ha: Figura 56 Graico di log ESEMPI Studiare e tracciare il graico della seguente unzione ( e
La unzione è deinita in D { } R : ],[ ], [ Risulta e > >, ed e pertanto ( > in ],[ ], [ ed ( < in ],[ il graico della unzione interseca l asse nel punto (, La unzione non presenta alcuna simmetria Studiamo il comportamento al ite per determinare eventuali asintoti:, da cui e e e con ciò si ha che la retta di ± equazione è asintoto verticale sinistro e ± per cui non esistono asintoti orizzontali ± Ricerchiamo gli eventuali asintoti obliqui: e ± m e e e ± ± ± e e essendo e ± ± pertanto la retta di equazione è asintoto obliquo sinistro e destro per il graico della unzione Calcoliamo ( per : e ( D e e e ( ( ( ( > <, >, da cui ( e quindi (,,, non ha estremi relativi Calcoliamo ( per : ( ( ( ( ( ( ( D e e 4 ( ( ( ( cresce in ] [ e in ] [ e 4 ( ( > > <, da cui { }
( - e quindi ( è convessa in ],[ ],[ ed è concava in ], [ il punto P (, ( è un punto di lesso Il graico di ( è il seguente: ( Figura 57 Graico di ( e Studiare e tracciare il graico della seguente unzione ( 3 La unzione è deinita in D { R : 3 } ],3[ ]3, [ Risulta > se > 3, pertanto ( > in ]3, [, ( < in ],3[ Il G interseca 3 l asse nell origine del sdr La unzione non presenta alcuna simmetria Studiamo il comportamento al ite per determinare eventuali asintoti: ± 3 è asintoto verticale ± 3 3 ± asintoto orizzontale d e s ± 3 ± 3 ( ricerchiamo gli eventuali asintoti obliqui:
m 3 3 n 3, pertanto la retta 3 è asintoto ± ± 3 ± 3 obliquo destro e sinistro Calcoliamo ( per 3 : 3 6 ( 3 6 ( ( 3 ( 3 - - ( > 6> <, > 6 ( e quindi ( cresce in ],[ e in ] 6, [, decresce in ],3[ e in ] [ relativo e di minimo relativo Calcoliamo ( per 3: (6( 3 ( 6 ( 3 ( 4 ( 3 8 3 ( 3 ( > > 3 3, 6 i punti (, e (6, sono rispettivamente di massimo quindi ( 3, ed è concava in e quindi ( lessi Il graico di ( è il seguente è convessa in ] [ ( - 3 è convessa in ],3[, non ha
3 6 Figura 58 Graico di ( 3