Laboratoro d Fsca ( Meccaca e Termodamca a.a. 007/08 F.Balestra PICCOLI CAMPIONI. TET d TUDENT. INTERVALLI d CONFIDENZA: DITRIBUZIONE DI TUDENT 0.4 0. N N N5 N0 N5 N50 0. - 4-4 Itervall cofdeza P[ - μ t c ] W DF (t c f DF ( t dt - α. μ0 μ0 Compatbltà d u valore medo emprco co u valore prefssato: t, DF - ( Compatbltà d due valor med msurat: t 0, DF + - + a A0 b B0 Verfca d potes ell terpolazoe leare : t e t, DF Esempo d applcazoe del test d Fsher : F W / W tc tc a b, DF (4,5.
Laboratoro d Fsca ( Meccaca e Termodamca a.a. 007/08 F.Balestra PICCOLI CAMPIONI. TET d TUDENT. INTERVALLI d CONFIDENZA: DITRIBUZIONE DI TUDENT 0.4 0. N N N5 N 0 N 5 N 50 0. - 4-4 Adameto della dstrbuzoe t d tudet al varare de grad d lbertà : DF N. Per N grade tede alla dstrbuzoe ormale stadardzzata. F(t DF 3 0.8 0.6 DITRIBUZION DIE TUDENTDF3 5 0.4 0.5 0. 0. 0.5-4 - 4 t.5%<- 0.5%<- 5%<- 0. 0.05 -> 5% ->.5% -> 0.5% t ( DF 3-6 - 4-4 6 Fuzoe cumulatva F t f ( d Valor crtc tc per lvell d fduca α del (0, 5, %.
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TET d TUDENT. TET NORMALE. Pccol e grad CAMPIONI. suppoga d esegure ua msura e s suppoga ota la rsoluzoe dell apparato, e qud l errore sulla sgola msura. suppoga, per esempo,d msurare ua massa l cu valore rsulta essere 3.5 g, usado ua blaca della quale e ota la rsoluzoe d 0. g, allora s rporta l valore come: m (3.5±0.g e l tervallo (3.4 3.6 vee terpretato, per ua dstrbuzoe gaussaa, come l tervallo d cofdeza del 68% d coteere l valore vero. Questo e vero se cooscamo la rsoluzoe dell apparato. Questo quado s eseguoo msure accade spesso, ma a volte questo o e l caso, spece elle sceze socal dove la dspersoe de valor derva da ua dspersoe trseca de valor della popolazoe, puttosto che da ua msurazoe. Nel caso d pccol campo, e quado o sao ote le varaze delle popolazo, s fa uso della dstrbuzoe d tudet. Per quato detto, essa e u argometo pu famlare a dottor e agl ecoomst che o a fsc e chmc. Ua sgola msura puo forre ua oesta stma, ma o e suffcete per dare da formazo sulla precsoe. e la rsoluzoe o e ota a pror, allora s devoo effettuare pu msure, e stmare la dspersoe dal campoe d msure: o s ha l valore d, ma la sua stma s. e e oto μ s usa : ( μ e μ o e oto s usa: ( Ivece della varable gaussaa μ μ z s ha a che fare co la varable t. s La varable t o e dstrbuta ormalmete; la sgfcatvta della dscrepaza ( μ e more, se vece d s coosce la sua stma, a causa della certezza addzoale assocata ad. I pratca, spece per pccol, essa e ua stma poco precsa d. Itervallo d cofdeza Da u campoe d valor {} estratt da ua popolazoe gaussaa (μ, s ottegao valor della meda e varaza: e (. rappreseta la devazoe stadard emprca e la devazoe stadard emprca del valore medo. μ costrusca la varable d tudet : t che ha DF - grad d lberta. La probablta W DF che s dscost da μ meo d ( t c,e che la varable t cada ell tervallo tc μ tc tc vale: P[ - μ t c ] W DF (t c f DF ( t dt -α. tc suppoga cogta, s vuole stmare l valore della gradezza μ medate. stmao dal campoe e Cosa s puo dre crca l valore della gradezza μ? e l rsultato della msura e forto da X ±. 5
e cofdet, co probablta W DF ( f DF ( t dt, che l tervallo ( ± cotega l valore vero μ. DITRIBUZIONE DI TUDENT DF3 5 0.5 0. 0.5 5 %< - 0. -> 5% 0.5%< -.5 % < - 0.05 ->.5% -> 0.5% - 6-4 - 4 6 L area compresa tra le lee vertcal corrspode a :W DF3 90%, W DF3 95%, W DF3 99% Nota: I valor crtc d t per dvers DF e lvell d fduca α soo rportat apposte tabelle. Esemp ao {} { 3.9, 4.5, 5.5, 6.} valor d u campoe d dat estratt da ua popolazoe ormale co valore medo μ 4.9. ottega ua successva msura u valore : 7.. Esso appartee alla stessa popolazoe?. La della popolazoe e cogta, la stmamo co ( μ. Il valore d rsulta: 0.86. 7. 4.9 valuta l valore d t osservato : t M. 7. I grad d lberta soo DF - 4. Fssato 0.86 l valore del lvello d fduca α : α5%, l valore crtco t c rsulta: t c.77. Il valore d t M < t c, e d cosegueza, al lvello d fduca del 5% o s ha motvo d dubtare che l valore 7. appartega alla stessa popolazoe. valuta l IQ d N 5 studet, otteedo : IQ 8 e IQ 5. vogloo trovare, al lvello d cofdeza del W DF 95%, lmt dell tervallo el quale s presume cada l valore vero del IQ. I grad d lberta soo DF - 5-4, la devazoe stadard emprca del valore medo e IQ 5 IQ 8 IQ 8 3. Il valore d t vale: t IQ N 5 IQ 3 N Per u dato valore W DF, l valore del lmte superore dell tervallo t c, puo essere espresso ella tc forma W DF (t c f ( t dt -α. Dalle tabelle, per α 5%, s ottee u valore d t c.06 tc DF La probablta che la varable t cada ell tervallo [-.06,.06] vale : 6
P[ IQ - IQ. 06 ] P[-t IQ c t t c ] 95%. f 4 (t DF 4 gaussaa 0.4 f(z 0. 0. -.06 0..06 -. 96 0..96-3 - - 3-3 - - 3 e pertato cofdet, co probablta del 95%, che l valore vero d IQ cada el tervallo : [ 8-.06 3; 8 +.06 3] [.8; 34.] e s fosse assuta ua dstrbuzoe gaussaa, valor crtc sarebbero z c ±.96, ed l corrspodete tervallo d cofdeza sarebbe rsultato more ampezza: [.;3.9] TET d tudet. Come gà evdezato, el caso de test che fao uso della dstrbuzoe ormale, è ecessaro avere de test da esegure su valor msurat per verfcare la atura della dffereza fra due sere d msure affette da error casual. U caso frequete è quello cu s hao a dsposzoe due campo d msure, e s vuole verfcare l potes statstca che ess provegao da popolazo avet lo stesso valore medo, e appartegao qud alla stessa popolazoe: u caso partcolare è quello dell potes che cosste el rteere due campo compost da msure della stessa gradezza fsca, e che le dfferet stme sao prodotte come effetto della preseza etramb degl error accdetal; error che s assume seguao la legge ormale(caso della verfca della compatbltà d due valor msurat. U altro caso che s preseta d frequete è quello ove s vuole cotrollare se u determato valore umerco, a pror attrbuble alla gradezza fsca esame, sa o o cofermato da rsultat della msura; coè se quel valore sa o o compatble co rsultat della msura, pu precsamete, a che lvello d probabltà ( lvello d fduca è co ess compatble (Caso della verfca della compatbltà co u valore prefssato. U altro esempo cosste el cheders se la sommstrazoe d u certo farmaco abba effetto su qualche parametro clco d ua popolazoe d dvdu. La procedura d test s basa sull assuzoe, potes ulla H 0, che per esempo o c sa dffereza tra parametr (esempo: le mede de due campo ad u certo lvello d fduca.. La valdtà del test presuppoe che campo sao dpedet, e proveet da popolazo ormal. La soluzoe d questo problem s e ga trattata, facedo uso della dstrbuzoe ormale, medate l test ormale, el caso cu fossero ote le varaze delle popolazo o el caso che campo fossero costtut da u umero d dat elevato : grad campo. Cosa s può fare e caso d campo costtut da u umero d dat esguo( pccol campo, tale da farc rteere che o s possa otteere da ess ua buoa stma delle varaze, cogte, delle popolazo (sempre supposte ormal? 7
Test d tudet per l cofroto tra u valore medo emprco ed medo teorco, oto a pror. desdera stablre se l valore d ua gradezza fsca, determato tramte u pccolo campoe d msure, sa compatble, ad u certo lvello d sgfcatvtà, co u valore oto a pror. a ua varable casuale d valore medo μ 0 oto. estragga u campoe d elemet [,,, ]. stmo μ e teorc medate valor emprc otteut dal campoe: e (. C s chede se è possble accettare come stma d μ l valore trovato e co quale grado d fduca; c s chede se la dscrepaza - μ 0 sa sgfcatva o meo. Costruzoe della varable t per l test. La varable: μ μ 0 0 μ 0 μ0 μ0 z t r rsulta l rapporto tra ua varable casuale ormale stadardzzata co DF e ua varable r co DF - grad d lberta, ed e pertato ua varable t co DF - grad d lberta. μ0 μ0 calcola la statstca t. I grad d lbertà soo DF -. fssao l potes ulla H 0 : μ μ 0 e Η: μ μ 0 fssa l lvello d fduca α, dalle tabelle d t, co DF -, s rcava l valore lmte t a. I geerale s predoo cosderazoe delle devazo egatve e postve da μ (test a due code usa la regoe crtca lmtata dalle due bade, tale che f ( t dt + f ( t dt α. a DF + a DF DF 0 f DF0 (t α 5% t c a.3 0. 0. -a a α/ - α α/ -4-4 e t < a e P[ t DF t M ] > α, allora t cade etro l tervallo d accettazoe dell potes, e s accetta l potes che, al lvello d fduca prescelto, stm correttamete μμ 0. La dscrepaza μ 0 o e' sgfcatva ma dovuta ucamete a fluttuazo statstche che dpedoo dal campoameto. 8
e t > a e P[ t DF t M ] < α, allora t cade etro l tervallo d rgetto dell potes e s rgetta H 0, al lvello d fduca prescelto. La dscrepaza o è gustfcable co le sole fluttuazo statstche. Nel caso d devazo solo u verso, s lmta la regoe crtca solo ad ua bada : test ad ua coda. α 5 % α 5 % DF 0 DF 0 tc a -.8 tc a +.8 0. 0. a α 0. -4-4 0. a' α -4-4 a' f ( t dt α DF a' H 0 : μ μ 0 ; Η: μ < μ 0 f ( t dt α H 0 : μ μ 0 ; Η: μ > μ 0 DF e è ota, azché usare la dstrbuzoe d tudet, s potrà usare l test ormale: μ0 μ0 z e o è ota, per grad campo ( > 30 z e t tedoo ad approssmars e s può usare l test ormale. All aumetare d la stma d medate emprca è sempre pu corretta ( per 30 : s /s 3%. Per pccol campo s usa la dstrbuzoe d tudet che aturalmete è ache valda per grad campo. 9
Esempo. Il valore medo lugo de lac rsulta Il dspostvo d laco d u proettle cetra u bersaglo [ 0; y 0] u pao all asse d tro ( e y sao dpedet. vuole stablre se esstao effett sstematc el sstema d mra del dspostvo. Le coordate d 0 lac sao : [] [., -0.,.0, 0., -.5, -0., -, 0.8, 0.6, -0.5] 0.; La devazoe stadard e la devazoe stadard del valore medo rsultao: (, 0. 33 Nell potes ulla: H0 : μ μ 0 0; H : μ 0, e che la dscrepaza 0. 0 sa casuale, μ0 0 0. 0 la varable t rsulta tm 0.66. 3 I grad d lberta soo :DF - 0 9. Fssato l lvello d fduca del test α 5%, per u test a due code, l t crtco rsulta tc.6. Il valore t M 0.66 <.6 ; P[ t 9 > 0.66] 0.5 (5 % L effetto e casuale, la dscrepaza o e sgfcatva. e lo stesso rsultato, 0. e, s fosse otteuto co 00 lac, s avrebbe 0 0. 0 00,, 0., tm., DF 9 9 0. Per α 5% l valore d tc per u test a due code rsulta tc.96. Il valore t M. >.96 e la P[ t 9 >.] 0.0 ( %. Il valore è abbastaza pccolo per rteere molto probable, ache se o certo, u effetto sstematco el sstema d mra del dspostvo d laco. DF 9. f DF9 (t α 5 % 0. 0. -.6.6-4 - 4 0
Test d tudet per l cofroto d valor med dspoga d due pccol campo d msure della stessa gradezza che dao luogo a due dvers valor med. desdera stablre se la dversta delle mede de campo sa mputable ucamete a fluttuazo casual; tal caso esse, e due campo, appartegoo a popolazo avet lo stesso valore medo. Costruzoe della varable t d tudet per l test. ao dat due campo dpedet d gradezza, apparteet a due popolazo detche co valor valor med μ, μ e varaze teorche egual:. ao, (,, (, valor med emprc e le varaze emprche relatve a due prov. W Il rapporto : F e dstrbuto come ua varable d Fscher co ( - e ( - W grad d lberta, essedo l rapporto d due varabl W co DF ( - e DF ( - grad d lberta. F e detta : rapporto d varaze, ed e usata per verfcare se.. ( ( Ioltre la varable + e ua varable χ co DF ( ( grad d + ( lberta. Nel caso s possa rteere che campo provegao da popolazo co la stessa varaza,., s puo' dare ua stma d tale varaza medate la meda pesata delle varaze de due prov. Essa s puo' assumere la varaza comue otteuta combado dat de due prov e rsulta: ( + (. + Il rapporto : W e dstrbuto come ua varable W co DF ( + - grad d lberta. Il rapporto: r e dstrbuto come ua varable r co DF ( + - grad d lberta. La dffereza [ ( - (μ μ] ha varaza data da : +. ( ( μ μ z + e ua varable dstrbuta come ua varable ormale stadardzzata. z La varable t e ua varable t d tudet. s
( ( μ μ t + ( ( μ μ + E ua varable t d tudet co DF + - grad d lberta. e s suppoe oltre che due prov provegao dalla stessa popolazoe H 0 : μ μ,allora E[ ] 0, e la varable costruta dveta: ( t 0, + ua varable t d tudet co DF + - grad d lberta. puo cotrollare l potes ulla che due campo provegao dalla stessa popolazoe (H 0 : μ μ e che la dscrepaza o sa sgfcatva. e e rappresetao le mede d due sere d msure della stessa gradezza, che possoo essere otteute codzo detche o ache leggermete dverse, s desdera stablre se la dscrepaza spermetale sa sgfcatva o o, ossa, se essa possa ucamete attrburs a fluttuazo casual dovute agl error d msura (potes H 0 o se essa dch la preseza d error sstematc pales ua o etrambe le sere d msurazo. Fssato α e oto DF, dalle tabelle s determa l valore crtco t c. dch co t M l valore d t otteuto, se vale: t M < t c e P[ t DF > t M ] α s Accetta l potes ulla. e vale: t M > t c e P[ t DF > t M ] α s Rgetta l potes ulla. C s aspetta che la dstrbuzoe delle e sa ormale. Il TLC lo sostee, ma o sempre e vero. Il test d tudet lavora bee ache se le dstrbuzo o soo perfettamete ormal: s dce che e u test robusto. rchede che. : test d Fsher per la verfca. e s dspoe d grad campo,la dstrbuzoe delle dffereze delle mede ( e approssmatvamete ormale co meda E[ ] ( μ μ e ( 0 z + Permette d sottoporre a test l potes H 0 : μ μ 0. e o s cooscoo e esse s possoo stmare co ed. La varable t e esatta sa per pccol ( < 30 che per grad campo. +, allora
La valdta del test rchede che due campo aalzzat sao dpedet e tratt da popolazo dstrbute ormalmete ; poche tal popolazo possoo essere descrtte modo esaurete medate due parametr meda e devazoe stadard, le procedure soo defte metod statstc parametrc o test parametrc. Il test e mpegato per esempo per ; - Cotrollo che ell esecuzoe d ua sere d msurazo le codzo s sao mateute costat. E suffcete, per questo, che le due mede s rferscao a due seme d msure separate el tempo( esempo: cofroto tra la meda d alcue msure zal e la meda d alcue msure fal el vscosmetro, o ella msura della velocta del suoo. Questo e u caso partcolare del problema geerale d evdezare u evetuale effetto sstematco coesso a due valor dfferet d ua gradezza fsca dversa da quella cu s rferscoo le due mede. - Cofroto tra sere d msure della stessa gradezza otteute da osservator dvers ( t e t otteute el vscosmetro - Cofroto tra sere d msure della stessa gradezza otteute due dverse prove ( t e t 0 v e v otteute ella msura della velocta del suoo ; Per trlg: cofrot tra valor otteut co dverse forze freat d: M e M P e P η e η - Cofroto tra valor med d msure della stessa gradezza otteute da campo dfferet ( l e l delle msure d lughezze d oggett otteute da campo dfferet - Cofroto tra u valore medo ed l valore omale ( l della msura d u campoe d lughezze co u valore omale - Cofroto tra campo per stablre se appartegoo alla stessa popolazoe. - Valutare se la dscrepaza tra le msure d ua stessa gradezza e sgfcatva o o, valutare se le msure soo o o cosstet, valutare se esstoo error sstematc. - Verfca d potes ell terpolazoe leare. ( Cotrollo se u valore d b è compatble co l potes B 0. Cotrollo se due valor b e b soo compatbl tra loro B B. 3
Esempo. Due macche traflao del ferro dello stesso dametro. Durate la gorata s eseguoo 6 msurazo d cotrollo del dametro de traflat ottegoo le msure rportate tabella 3 4 5 6 M: Φ(cm 0.7 9 0. 9 M:Φ(cm 0.0 0.7 3 0.5 7 0.6 vuole stablre dall aals de due campo d msure, se le macche traflao tod che hao dametr detc : μ Φ μ Φ. applca l test d tudet. I grad d lberta soo : DF (5 - + ( 6-9 I dat relatv alla macha soo: 5 5 0.00098 Φ Φ 0. 8cm ( Φ Φ 0. 0000745 cm. 5 5 5 I dat relatv alla maccha soo: 6 6 0.00038 Φ Φ 0. 6 cm ( Φ Φ 0.0000654.cm 6 6 6 La stma della varaza comue a due prov, ell potes che le varaze sao egual,, rsulta : 5 6 ( Φ Φ + ( Φ (5 + (6 5 + 6 5 + 6 La varable t d tudet rsulta Φ Φ 0 0.0 t 96 0.00505 + 5 6 Φ 0.00098 + 0.00038 0.00006956cm 5 + 6 e s fa l potes che le due macche traflo detcamete e che le uche dffereze e rsultat sao dovute a fluttuazo casual s deve porre H 0 : μ Φ μ Φ. delmta la regoe d fduca da etrambe le bade ( test a due code e s scegle come lmte d fduca l 5 %. Allora l tervallo d accettazoe dell potes vale (-.6 < t < +.6 Il valore d t M 96 cade etro la regoe d accettazoe. E qud ragoevole accettare l potes che le due macche traflo detcamete., coe al 5% d fduca, o s puo rgettare ragoevolmete l potes che le DF 9 f DF9 (t α 5% dffereze sao dovute ucamete al caso. 0. 0. -.6.6-4 - 4 4
Nell esempo s vuole, oltre, valutare l potes che. usa l test d Fsher. Per la prma maccha: 0.0000745 ; DF 5 4 Per la secoda maccha : 0.0000654 ;DF 6-5 celto F celto F, DF (4,5. Prefssato 5% come lmte d fduca l valore crtco rsulta; b 5., DF (5,4. Prefssato 5% come lmte d fduca l valore crtco rsulta; b 6.3 e s scegle ua zoa d fduca, delmtata, per F, da b tale che P[F b] 5% e per F, da b tale che P[F b ] 5% etramb cas coservao smultaeo sgfcato agl effett del test. fatt dato che, per accettare l potes, s deve avere F b e cotemporaeamete F b l test d sgfcatvta s basa su ua regoe crtca che dvde equamete la la parte alta e la parte bassa della dstrbuzoe. Ifatt dato che F /F, s ha F /F b da cu F /b, e la regoe d accettaza, per la sgfcatvta della varable F, e data da /b F b. La regoe d accettazoe per la F e data da /b F b; 0.6 F 5. Il valore calcolato d F vale F.4. esso cade etro la regoe d accettaza dell potes. E qud gustfcato, al 0% come lvello d fduca, supporre. Test t utlzzato el cofroto delle mede emprche d coppe d osservazo. Dat appaat. Quado s vuole esamare l effcaca d u farmaco su d u uco campoe d dvdu, s prede cosderazoe la varazoe d u parametro clco dopo la sommstrazoe del farmaco. Quado s vuole esamare l effceza d u cogego sulla resa d u uco campoe d macche o d apparecchature s prede cosderazoe la varazoe della resa dopo l applcazoe del cogego. La varable aleatora e rappresetata questo caso dalla varazoe del parametro clco cascu dvduo, o dalla varazoe della resa d cascua maccha. Cos e pu facle dscerere l effcaca del farmaco poche o s troduce la maggore varablta esstete tra dvdu apparteet a due campo dpedet: uo trattato ed uo o; oppure, dpededo la resa da molt parametr co la dffereza s soda meglo l cotrbuto del dspostvo studato. studao gl stess campo egual prma e dopo u trattameto. vuole studare la dffereza d due mede quado campo o soo dpedet e le due varaze delle popolazo o soo ecessaramete egual. dspoe d coppe dpedet d msurazo (,y, (,y,, (,y L potes da sottoporre a test e che la dffereza de relatv valor valga u valore prefssato δ, coe y δ. poe : d y co,,,, d rappreseta la varable casuale, e δ l valore medo atteso. calcola l valore medo della dffereza d la devazoe stadard ( d d. d ( d e 5
costrusce la varable t d δ, che e ua varable t co DF - grad d lberta. ( d d d ( e s vuole testare l potes H 0 : δ μ d 0 (l farmaco o ha effetto; l cogego o ha effetto cotro l potes H : δ 0 d 0 t, che e ua varable t co DF - grad d lberta. ( d d d ( Esempo vogla cotrollare l effetto d u dspostvo che aumeta la resa de motor e qud l rsparmo d carburate. msura la resa de motor ( km/ltro carburate per u campoe d 7 auto dfferet, prma e dopo l sermeto del dspostvo. Auto A B C D E F G Km/ltro seza dspostvo : y 9 30 4 34 37 45 3 Km/ltro co dspostvo : 36 6 46 36 40 5 35 Dffereza : d 7-4 4 3 6 3 e s calcola l valore medo della resa d tutte le 7 auto prma dell sermeto del dspostvo s ottee y ( 35.6 ± 3. km / ltro e dopo l sermeto ( 38.6 ±.3 km / ltro La dffereza d y 3 o e sgfcatva, e compresa ampamete elle fluttuazo casual delle due mede, data dalla somma quadratura delle due varaze. I dat mostrao ua grade varablta poche la resa delle auto dpede da molt parametr. Aalzzado le dffereze d delle rese fra coppe d valor d resa, prma e dopo l sermeto del dspostvo, s resce ad solare meglo l cotrbuto alla resa del dspostvo. e s aalzzao qud le dffereze d y fra le coppe d valor (,y s ottegoo ( 7 ( d 7 7 d ( d d 3.6 d d ( y 3, d 3. 6,. 3 7 7 (7 7(7 7 e s aalzza la varable t d tudet s ottee d 0 3 t M.3..3 d 7 d. I grad d lberta soo : DF 7 6. effettua l test ad ua coda e s cofrotao le due potes H 0 : d 0 ( o c e dffereza ella resa e H : d > 0 vuole verfcare se c e u reale aumeto d ecooma dopo l sermeto del dspostvo e se le rese soo maggor d quelle y e quato la dffereza d e maggore d zero. fssa l lvello d fduca α 5%, s valuta l valore crtco tc per l test ad ua coda che rsulta essere tc.94. t M > tc; P[ t DF6 >.3] < 5 % 6
Al lvello d sgfcatvta del 5%, s scarta l potes H0 ( o c e dffereza ella resa. La dffereza e sgfcatva, o e dovuta al caso. Il dspostva aumeta la resa ( d > 0. DF 6 α 5% tc.94 0. 0. α -4-4 7
Verfca d potes ell terpolazoe leare Date N coppe d valor (, y ± y legat dalla relazoe Y a + b, co l MMQ s ottegoo valor : a ± a ; b ± b co: N y y N a, N b. N N ( N ( E rchesta la coosceza dell errore comue sulle ordate: y. e y o e oto vee stmato a posteror medate la relazoe : N N [ y ( a + b] ( Δy y, N N e le certezze su a e b dvetao: N y a N N N ( e b N y N y N N N ( ( Assa d frequete e ecessaro verfcare delle potes statstche su rsultat dell terpolazoe leare. Vale la propreta : E[a + b ] E[a] + E[b] A + B. I valor ver A e B soo stmat da a e b che s suppogoo dstrbut ormalmete, co varaze a e b, attoro a valor ver A e B. La varaza y s suppoe ota. e s vuole cofrotare l valore della stma otteuta co u valore oto a pror ( H 0 : B B 0 ; H 0 : A A 0 s possoo costrure le varabl a A0 b B0 z e z, che ell potes H 0 seguoo ua dstrbuzoe ormale a b stadardzzata. Co puo essere utle per la verfca d H 0 el caso d y y y. y ota. e o e ota, sosttuedo co s ottegoo le varabl: a A0 b B0 t e t, che soo varabl che seguoo la dstrbuzoe d tudet co a b D F N grad d lberta. e ad u certo lvello d fduca α, dat forscoo u valore t M > tc l potes H 0 e da rgettare. gfcatvta della dffereza fra coeffcet d due terpolazo lear. ao y a + b e y a + b determate da due sem d dat co varabl comparabl. puo verfcare l potes H 0 : ( B -B Δ ( Δ prefssata o partcolare H 0 : B B (Δ 0; H 0 : A A. e le y e y soo ote, le varabl ( a a Δ ( b b Δ z e z co a a a + a, a a b b soo ormal stadardzzate. e le y e y o soo ote, esse vegoo stmate da y e y N ( Δy y, N N ( Δy y. N 8
Nell potes : y y y la varaza comue y puo vere stmata dalla ( N ( y + N y y N+ N 4 La devazoe stadard della dffereza b-b e stmata dalla : y y b b b + b co b e b. N N ( ( Per verfcare l potes H 0 s costrusce la varable t ; b b b ( b Δ t che segue ua dstrbuzoe d tudet co DF N +N 4 grad d lberta. rgetta l potes H 0 al lvello d fduca α se t DF > t crtco. UO DI MATHEMATICA PER LA DITRIBUZIONE DI TUDENT (by OLAVE J. <<tatstcs`normaldstrbuto` Rappresetazoe smbolca della dstrbuzoe d studet co 3 grad d lbertà. dst tudettdstrbuto[3] tudettdstrbuto[3] Il comado PDF (Probablty Desty Fucto geera la fuzoe della dstrbuzoe d tudet relatva a 3 grad d lbertà: pdf PDF[dst, ] Rappresetazoe grafca della fuzoe pdf Plot[pdf,{, -3, 3}] 5 0.5 0. 0.5 0. 0.05-3 - - 3 Graphcs Esempo d calcolo d probabltà d avere valor mor d - CDF[dst, -] 9
BetaRegularzed 3 3 7,, N[CDF[dst,-]] 0.069663 Per calcolare valor relatv a valor crtc defamo la fuzoe comulatva come segue: cdfucto CDF[dst, ] + BetaRegularzed 3,, 3, g 3 + Grafcamete la fuzoe comulatva ha l seguete adameto: Plot[cdfucto, {, -5, 5},Imageze->500] 0.8 0.6 0.4 0. -4-4 Graphcs Data la fuzoe comulatva è possble rcavare l valore crtco per % FdRoot[cdfucto-0.005 0,{,,-}] (* mpoe 0.005 perchè tale valore corrspode a cascua coda * { -5.8409} a%[[]][[]] -5.8409 Verfchamo che questo è l valore crtco relatvo all'tervallo d cofdeza del %: a pdfd + a pdfd 0.0 Data la fuzoe comulatva è possble rcavare l valore crtco per 5 % 0
FdRoot[cdfucto-0.05 0,{,,-}] (* mpoe 0.05 perchè tale valore corrspode a cascua coda * { -3.845} a%[[]][[]] -3.845 Verfchamo che questo è l valore crtco relatvo all'tervallo d cofdeza del 5%: a pdfd + a pdfd 0.05 Data la fuzoe comulatva è possble rcavare l valore crtco per 0 % FdRoot[cdfucto-0.05 0,{,,-}] (* mpoe 0.05 perchè tale valore corrspode a cascua coda * { -.35336} a%[[]][[]] -.35336 Verfchamo che questo è l valore crtco relatvo all'tervallo d cofdeza del 0%: a pdfd + a pdfd 0.
DITRIBUZIONEDI TUDENT DF 3 5 0.5 0. 0.5 5%<- 0. -> 5 % 0.5 % < -.5 % < - 0.05 ->.5 % -> 0-6 - 4-4 6 rporta u grafco che rappreseta la dstrbuzoe al varare de grad d lbertà N
DITRIBUZIONE DI TUDENT 0.4 0. N N N 5 N 0 N 5 N 50 0. - 4-4 3