ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 00-004 Corso Sperimentale PNI Tema di MATEMATICA - 7 giugno 004 Svolgimento a cura della profssa Sandra Bernecoli e del prof Luigi Tomasi (luigitomasi@liberoit) RISOLUZIONE DEI QUESITI DEL QUESTIONARIO Quesito n Si definisce grado sessagesimale la 0 a parte dell angolo giro Si definisce angolo radiante l angolo i cui lati intercettano su una qualunque circonferenza, con centro nel suo vertice, un arco che, rettificato, è lungo come il raggio Si definisce grado centesimale la 400 a parte dell angolo giro Per le definizioni delle unità di misura degli angoli si rinvia ad un buon libro di matematica (o di fisica), anche se non sempre nei libri vengono citati i gradi centesimali (simbolo sulla calcolatrice GRAD), pur essendo presenti in tutte le calcolatrici scientifiche e nei software di geometria che hanno degli strumenti dedicati alla misura degli angoli Quesito n Indicato con r il raggio di base del cilindro e con R il raggio della sfera, con R r, abbiamo S tot cilindro r r + r r e Dunque S sfera ( r ) 8 4 R 4 r Stot S cilindro sfera r 8r 4 Figura Quesito n Se A è un solido e A' la sua immagine nella similitudine di rapporto, V e V' sono i volumi V ' rispettivamente di A e A' e S e S' le aree della loro superficie avremo che 7 e inoltre V
S' 9 La dimostrazione si può fare per uno dei solidi notevoli anche se è valida in generale S Quesito n 4 Dati gli insiemi A {,,, 4} e B {a, b, c}, le applicazioni di A in B sono 4 8 Infatti ci saranno scelte per f () e, per ciascuna di queste, scelte per f () e quindi scelte per f () e poi scelte per f (4) In totale si hanno scelte e quindi 4 8 funzioni Si tratta delle disposizioni con ripetizione di oggetti di classe 4 Quesito n 5 Una funzione, che soddisfa alla richiesta, potrebbe essere così definita ( + )( ) se g ( ) ( ) 4 se g () è una funzione che ammette nel punto una discontinuità detta si solito di terza specie o eliminabile Quesito n Ovviamente le funzioni che soddisfano alle richieste sono infinite Volendo utilizzare una cubica, la sua derivata prima dovrà avere del tipo f '( ) a( ), con a > 0 Integrando si ha pertanto f ( ) a a + c Imponendo il passaggio per i punti assegnati M(,) e N(,), si ottiene 5 f ( ) + + 4 4 Figura
Quesito n 7 Se i triangoli hanno base assegnata AB e la stessa area allora avranno anche la stessa altezza e quindi il vertice C apparterrà a una retta r parallela alla retta di AB e a distanza da AB pari all'altezza Figura Sia A' il punto simmetrico di A rispetto alla retta r Consideriamo il triangolo ABC (figura ) Il perimetro sarà minimo quando AC +C B sarà minimo, dal momento che AB è costante La retta r è l asse del segmento AA' Quindi ACA'C e pertanto AC +C BA'C +C B A'B (la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore o uguale al terzo lato) Il triangolo ABC avrà perimetro minimo quando i tre punti A', C, B sono allineati, ossia quando il punto C coincide con C e il triangolo ABC è isoscele Quesito n 8 Siano a, b due numeri reali con a b Si sa che a + b p e ab p ; a e b saranno le soluzioni dell'equazione di secondo grado z pz + p 0 p p 4 > (non si possono accettare i valori p 0 e p 4 perché in tali casi si avrebbe a b, contro l ipotesi), si ottengono le soluzioni Risolvendola, ponendo la condizione che ( ) 0 ( p 4) ( p 4) p p p + p z a e z b A questo punto si possono ottenere delle coppie di numeri che soddisfano alle condizioni poste La richiesta contenuta in questo quesito è molto generica Quindi si poteva anche rispondere in modo a più semplice, ad esempio ponendo a + b ab e ricavando quindi che b (con a ) a Sostituendo in modo opportuno, ad esempio a, si ha b Quesito n 9 e L equazione e + 0 è equivalente al sistema ; rappresentandolo graficamente si deduce che l equazione data ammette una e una sola soluzione negativa in [, 0]
Figura 4 Si consideri la funzione f ( ) e + Poiché f '( ) > 0 per ogni del dominio, la funzione è strettamente monotona crescente e dal momento che lim f ( ) + e inoltre lim f ( ) ed essendo la funzione continua, intersecherà l'asse delle una sola volta Applicando il metodo di bisezione nell intervallo [, 0], si trova che la radice vale circa 0,57 + Quesito n 0 Possiamo scrivere la trasformazione nel seguente modo + La matrice della trasformazione è M La trasformazione data è una similitudine che ha l origine degli assi O come punto unito Il determinante della matrice è det M 4 ; la similitudine è quindi diretta ed ha rapporto k 4
5 Figura 5 Possiamo riscrivere le due equazioni in questo modo + ossia + cos sin sin cos Da queste ultime equazioni si ricava pertanto che la trasformazione è la composizione di una rotazione di / di centro l'origine con una omotetia di centro l'origine e rapporto Ritroviamo quindi, anche in questo modo, che la trasformazione è una similitudine di rapporto