Cptolo III SEGALI A TEMPO DISCRETO III. Sgl prodc. U sgl s( T ) s dc prodco s sstoo tr postv tl ch, pr og, s bb: (III..) s( T ) = s( T + T ) Co l cso d sgl tpo cotu, s suo ultpl soddsfo l (III..). Dtto (III..), l quttà dl sgl s( T ). T = T T T è u soluo dll (III..) tutt l o vlor postvo dll soluo dll s dc prodo fodtl o pù splct prodo U sgl prodco è u sgl pot ft. Iftt l su pot spcfc vl: (III..) k + P = l s( T) l ( ) = + ( k + ) + s T dov s è posto = k + co <. k = = ( k + ) Dll prcdt s ott: k k k + (III..3) P = l s( T) s( T) ( ) k + + s T ( k + ) + = ( k+ ) = k = k Poché, pr og vlor d k l sotor str dll prcdt s tgoo ltt d oltr, otvo dll prodctà dl sgl: (III..4) k k s( T) = st ( ) + s() + st ( ) = s() + k st ( ) = k = k = = rsult: (III..5) P = s( T ) = III. Rpprsto d sgl prodc l doo dll frqu. U sgl prodco s( T ) d prodo è uvoct dtrto d u -pl ordt d ur coplss (III..) s(t) = S s( T ). Esso può ssr rpprstto ll for: π =,,, = tr d quttà coplss S. Cò quvl d sttur u corrspod buvoc tr vlor s( T ) dl sgl l quttà coplss S u volt ch s rsc d vrtr l (III..). A tl proposto s s oltplc l prcdt pr s so π rsptto, s ott:
- 3- G. Mol: Fodt d Couco Elttrch (III..) ( ) ( ) k k k π π π π π st ( ) = S k = S k = Sk = = k= = k= k= = dov ll ult gugl s è vrtto l ord dll sotor. S ot ch l ult sotor ch copr ll ulto tr dll prcdt può ssr scrtt ll for d u progrsso gotrc d rgo π k. S h: ( ) k k k k k k π π π π π π π( k ) k (III..3) = = = k = = k = = = π È qud: π (III..4) S = s( T) =,,, = ch costtusc l forul vrs dll (III..). L (III..) rcord l spso sr d Fourr d u sgl prodco tpo cotuo. Tuttv, l cso d sgl tpo cotuo l spso sr cot u ftà t urbl d fuo spol dl tpo xp( π T ), tr ll (III..) soo prst solo u uro ltto d spol xp( π ). È d ossrvr f ch l (III..4), s l s std tutt vlor d Z, gr u squ vlor coplss prodc d prodo. Iftt è: (III..5) A cus dll prodctà d s( T ) ( ) + π k π + k = = = S = = S s s S d fttor xp ( ) rsptto d trb gl ± π dc, l so ch copoo ll (III..) (III..4) possoo prtr d u dc qulss purché cotgo u uro d tr r. S ot ch, co l cso d sgl tpo cotuo, s l sgl s( T ) è rl, coffct S godoo dll sgut proprtà d str (str hrt) (III..6) S S = III.3 Rpprsto d sgl prodc l doo dll frqu. S s( T ) u sgl prodco d rg ft. Ad sso, pr u ssgto vlor d, s può ssocr l sgl trocto s ( T ) dfto dll: st ( ) (III.3.) s ( T) = ltrov =,, d l sgl s ( T ) ottuto rptdo prodct, co prodctà T, l sgl s( T ) (III.3.) s ( T ) = s ( T kt ) k = Poché s ( T ) è prodco può ssr spso co è dcto ll (III..) s ott: (III.3.3) dov: s ( T) = S = π =,,
Cp. III - Sgl tpo dscrto - 33 - (III.3.4) È vdt ch l tdr d S = s ( ) T = π =,, d l sgl s ( T ) td s( T ). Pr ffttur tl pssggo l lt ll (III.3.4) bst ossrvr ch gl spol = T, dvduo l rdc π π T -s dll utà prtto gccoo sul crcho utro co ctro ll org dl po coplsso. Al crscr d, dtt put tdoo rcoprr copltt l crcofr coscché, l lt, l quttà T prd l sgfcto d u vrbl cotu (oog ll frqu) dot f T crto df df l quttà S td ll sgut fuo d (III.3.5). Podo llor l lt f T f T S( f) = s( T) = πft rpprst l corrspodt pssdo l lt l (III.3.3) scrtt ll for (III.3.6) s ( T) = T S T = π =,, s ott: (III.3.7) T πft s( T ) = T S( f ) df T È d ossrvr ch poché è: (III.3.8) S( f) s( T) = s dduc ch l so scodo bro dll (III.3.5) è ufort covrgt s s h: (III.3.9) st ( ) < = S tl codo è soddsftt l covrg dll sotor ch copr ll (III.3.5) è d tdrs l sso dll d qudrtc. L (III.3.5) (III.3.7) costtuscoo l sprsso dll trsfort ttrsfort d Fourr rspttvt d u sgl tpo dscrto d rg ft. orldo l quto tporl coè podo T =, l sgl tpo dscrto può ssr rpprstto ll for d u squ urc s[]. L (III.3.5) (III.3.7), podo (III.3.) (III.3.) ϕ= ft, dvto: ϕ = S( ) s[ ] = πϕ πϕ s[ ] = S( f) dϕ ch costtuscoo l trsfort d ttrsfort d Fourr d u squ s[ ]. S ossrv ch, dffr d sgl tpo cotuo, l trsfort d Fourr S(ϕ) d squ prodch è prodc ϕ d prodo. Iftt rsult: (III.3.) S(ϕ+k) = s[] π(ϕ+k) = s[] πϕ = S(ϕ) = =
- 34- G. Mol: Fodt d Couco Elttrch Cò coport ch l tgrl ch copr ll (III.3.) può ssr stso d u qulss trvllo purché d p utr. È vdt ch, co l cso d sgl tpo cotuo, l trsfort d Fourr d u squ rl god dll proprtà d str hrt coè: (III.3.3) S( ϕ) = S (ϕ) Iftt è: (III.3.4) πϕ πϕ S( ϕ ) = s[ ] = s[ ] = S ( ϕ) = = III.4 Proprtà dll trsfort d Fourr d squ prodch. L proprtà dll trsfort d Fourr d squ prodch soo rssut ll Tbll III.. Pr ss è oss l dostro ssdo qust dl tutto log qull gà cotrt proposto dll trsfort d Fourr d sgl tpo cotuo. Tbll III. Proprtà dll trsfort d Fourr d squ prodch. Proprtà Sgl Trsfort ot Lrtà k k s [] = S (ϕ) = costt Squ cougt s [] S ( ϕ) Trsfort cougt s [ ] S (ϕ) Trslo s[ ] πϕ S(ϕ) tro Trslo ϕ πϕ s[ ] S(ϕ ϕ ) Dffr vt s[ +] s[] πϕ S( ϕ) Dffr ll dtro s[] s[ ] πϕ S( ϕ) Drvo ϕ ( π) k s[] d k S( ϕ) k dϕ s Covoluo [k]s [ k] k = S (ϕ) S (ϕ) s [ k]s [k] Covoluo ϕ k = s [] s [] S (ϑ)s (ϕ ϑ)dϑ S (ϕ ϑ)s (ϑ)dϑ S ot solo ch l cpo dll squ l opro d drvo è sosttut dll opro dffr, ch s dstgu dffr vt (forwrd dffrc) (III.4.) Δs[] = s[ +] s[] dffr ll dtro (bckwrd dffrc) (III.4.) s[] = s[] s[ ]
Cp. III - Sgl tpo dscrto - 35 - III.5 - L trsfort t. Pr lo studo d sgl tpo dscrto o dll squ urch rsult tlvolt pù r I[ ] r C R[ ] Fg. III. Rgo d covrg covt rcorrr ll cosddtt trsfort t. S s[ ] dot u squ urc d rg ft, l su trsfort t è dft dll: (III.5.) S( ) = Z { s [ ]} = s [ ] dov = dot u vrbl coplss. È d prcsr ch l sr scodo bro dll (III.5.) covrg, grl, qudo u rgo ulr r < < r { } C è cotuto vt ctro ll org dl po coplsso crttrt d rgg r r, co r r (v. Fg. III.). III.6 Squ cusl d tcusl. U squ s dc cusl s è (III.6.) s [ ] < L su trsfort t vl: (III.6.) S( ) = s[ ] = S suppog ch l sr scodo bro dll prcdt s ssolutt covrgt l puto = coè s bb s [ ] <. Pr tutt vlor d tl ch > è < pr cu è = = = (III.6.3) S( ) s[ ] < s[ ] < dll qul s dduc ch l trsfort t d u squ cusl sst ll rgo str ll crcofr d rggo. L rgo d covrg d u squ cusl cot llor l puto. Vcvrs s può dostrr, odo logo, ch u squ tcusl, tl ch: (III.6.4) s [ ] > è crttrt d u rgo d covrg ch cot l puto =. Qudo l rgo d covrg è dt d u rgo ulr, l corrspodt squ è costtut dll so d u copot cusl d u copot tcusl. Espo E.III. Pr coprdr co l sprsso dll ttrsfort t può dpdr dll rgo d covrg, s clcol l ttrsfort dll: () S( ) = suppodo ch l rgo d covrg so:) > b) <.
- 36- G. Mol: Fodt d Couco Elttrch l cso ) è < ; pr cu dvddo urtor dotor dll () pr, s h: S( ) = ch può ssr dtfct co l so d u sr roc d rgo. È qud: L trsfort vrs dll () è dov u [ ] è l squ grdo utro. S( ) = + + + = = s[ ] = u[ ] l cso b) è < ; pr cu dvddo urtor dotor dll () pr, s h: dll qul, dtfcdo ( ) l cu ttrsfort t vl: ssdo { } S( ) = co l so d u sr roc d rgo, s ott: ( ) ( ) 3 3 S( ) = + + + = + + + 3 3 ( ) = + + + + = s[ ] = δ[ ] u[ ] Z δ [ ] = δ [ ] =. Scco è s [ ] = l squ qusto d =. Ess = qud, co è fcl rcooscr, s può porr ch ll for s [ ] = u [ ] È opportuo ossrvr ch l pro cso l ttrsfort t dà luogo squ cusl tr l scodo cso dà luogo squ tcusl. = = III.7 Proprtà dll trsfort t. I qul ch sgu soo ddott tlu fodtl proprtà dll trsfor d Fourr d u sgl. Proprtà. Lrtà. S s[ ] = s[ ] u cobo lr d squ l cu trsfort t soo = dft ll corrspodt rgo d covrg C. L trsfort t dll squ s[ ] vl: (III.7.) Z{ s[ ] } = Z{ s[ ]} dov l rgo d covrg dll { s[ ] } covrg dll Z { s }. [ ] = Z è dt dll trso C dll rgo d = Proprtà. Trslo. S S( ) l trsfort t dll squ s[ ]. L trsfort t dll squ trslt vl:
Cp. III - Sgl tpo dscrto - 37 - (III.7.) Z k ( k) k { } = = = Z { s[ k] s [ k ] s [ k ] s [ ] = = l rgo d covrg dll squ trslt è l stss dll squ orgl. Proprtà 3. Cougo. L trsfort t dll squ cougt s [ ] vl: (III.7.3) { } dov Z s [ ] = s [ ] = s[ ]( ) = S ( ) = = S( ) è l trsfort t d s[ ]. L rgo d covrg s dtfc co l C( r, r ). Proprtà 4. Drvo d S(). Drvdo rsptto ll vrbl (III.7.4) d cu l (III.5.) s ott: ds( ) ( + ) = s[ ] = s[ ] d = ds( ) d = (III.7.5) = s [ ] = { s [ ]} Z = L rgo d covrg dll s[ ] r l C( r, r ). Proprtà 5. Moltplco pr. S h: (III.7.6) Z { s[ ] } = s[ ] = s[ ] = S = = l rgo d covrg s ut ll ( r, r) Proprtà 6. Covoluo. C. L trsfort t dll covoluo fr l squ s [ ] s [ ] (III.7.7) s[ ] = s s = s[ ks ] [ k] = s[ ks ] [ k] k= k= } vl: k ( k) (III.7.8) S( ) = Z { s s} = s[ k] s[ k] = s[ k] s[ k] = S( ) S( ) = k= = k= Pr ddurr l rgo d covrg bst ossrvr ch poché [ ] k s k covrg = [ ] s covrg C l rgo d covrg dll S ( ) è C C. = C L proprtà dll trsfort d Fourr, sopr dft, soo rportt ll sgut Tbll III.. Tbll III. Proprtà dll trsfort t Proprtà Sgl Trsfort Lrtà = Trslo s[ k] Cougo s [ ] Rgo d covrg s [ ] Z { s[ ] } = k { s[ ] } Z C C = S ( ) C
- 38- G. Mol: Fodt d Couco Elttrch Drvo d S( ) s[ ] ds( ) C d k Moltplco pr s [ ] Covoluo k = k = s [ ks ] [ k] s [ k] s [ k] S C ( r, r) S( ) S( ) C C III.8 Ivrso dll trsfort t. Pr dtrr l forul d vrso dll trsfort t s pog ll (III.5.) α+ πϕ = supposto pprt ll rgo d covrg dll S( ). S ott: (III.8.) ( ) = [ ]( ) = ( [ ] ) α+ πϕ α+ πϕ α πϕ S s s = ch può ssr trprtt co l trsfort d Fourr dll squ s[ ] α. I ltr tr s h: (III.8.) [ ] ( ) d cu: = α α+ πϕ πϕ s = S dϕ (III.8.3) [ ] ( ) S s opr ll prcdt l sosttuo α+ πϕ ( α+ πϕ) α+ πϕ α+ πϕ = s h ( ) s = S dϕ d = πdϕ= πdϕ. I- oltr qudo ϕ vr d l vrbl vr d α π α+ π, cò sgfc ch l grd s uov l po coplsso dscrvdo u crcofr co ctro ll org sso torro ch s suppo cotuto ll rgo d covrg dll trsfort. S ott llor: (III.8.4) s[ ] = Z { S( ) } = S( ) π d ch costtusc l ttrsfort t dll squ s[ ]. È opportuo ossrvr ch s ll (III.5.) s po S = s[ ] ω πϕ (III.8.5) ( ) = πϕ = s h: dll qul s dduc ch l trsfort d Fourr d u squ può ssr ottut d ll trsfort t podo ss = πϕ purché l rgo d covrg dll trsfort t cot l puto = πϕ ovvro s tl rgo cot l crcolo utro dl po coplsso. È opportuo ossrvr ch s ll (III.5.) s po = ω s h: ω ω (III.8.6) S( ) = s[ ] = dll qul s dduc ch l trsfort d Fourr d u squ può ssr ottut dll trsfort t podo ss = ω purché l rgo d covrg dll trsfor- t t cot l puto = ω ovvro s tl rgo cot l crcolo utro dl po coplsso.
Cp. III - Sgl tpo dscrto - 39 - III.9 Ivrso d fuo rol frtt. S prd cosdro l cso cu l trsfort t d u squ è dt d u fuo rol frtt coè sprss co rpporto fr du polo ll vrbl dl tpo: ( ) (III.9.) S ( ) = D Qust stuo occorroo qudo c s btt llo studo dll rspost d sst lr tpo vrt prtr coctrt. g S g è l grdo dl poloo urtor, ( ) cotrrà g rdc { } ch costtuscoo gl r dll dotor, D ( ) S ( ) ( ) prché put = è S( ) = ; s g D è l grdo dl poloo gd cotrrà g rdc { p } = ch costtuscoo pol dll S( ) quto D put = p l S( ) o è dft. Qusto coport ch o possoo sstr pol ll rgo d covrg dll S( ). S suppog ch g s fror l grdo g D. Scodo l tur d pol p, s possoo vrfcr du vtultà, coè: ) l rdc p soo tutt splc; b) lcu rdc possoo vr oltplctà. S l rdc soo tutt splc, podo l (III.9.) ll for: (III.9.) S ( ) = S ( ) s svlupp S() frtt splc, co sgu (III.9.3) S( ) = g D = R p dov R doto rsdu d S() p dt dll: (III.9.4) R = S( ) ( p ) = p = S h prtto: (III.9.5) g D S ( ) = R p = Pr clcolr l ttrsfort t occorr tr prst l rgo d covrg dll trsfort. S l rgo d covrg dll S( ) è dft dll > rm dov è rm = x { p, p,, pg D }, l ttrsfort dl grco tr dll (III.9.5), ssdo C, >, può ssr clcolt co sgu: p (III.9.6) Z R Rp [ ] p = u D covrso, s l rgo d covrg è dft dll < r dov è { D } r = p, p,, p g, ssdo C, >, s h: p
- 4- G. Mol: Fodt d Couco Elttrch (III.9.7) Z R = Rp u p [ ] S l rgo d covrg è dt dll coro crcolr pk < < p k + cotut tr du rdc coscutv dl poloo D ( ), tl ch pk < p k +, occorr dstgur ll (III.9.5) tr crttrt dll rdc p p k qull crttrt dll rdc p p k +. Pr oguo d tr dl pro tpo, qudo è cotuto C, s vrfc l codo > p pr cu l ttrsfort è dl tpo dll (III.9.6). Pr oguo d tr dl scodo tpo è vrfct l codo (III.9.7). p pr cu l ttrsfort è dl tpo dll S l grdo dl urtor o è fror l grdo dl dotor pr d procdr llo svluppo frtt splc occorr sgur u dvso tr polo urtor dotor prvdo così ll for: (III.9.8) ( ) S( ) = R( ) + D ( ) dov R ( ) è u poloo d grdo g gd ( ) u poloo d grdo or d g D.L cosdro sopr svolt s pplco ll fro rol propr () D ( ) tr l ttrsfort dl poloo S( ). R ( ) s clcol utldo l proprtà dll drvo d