LINEAMENTI DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA

Valerio Grisoli LINEAMENTI DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA.,... o La Nuova Italia Scientifica

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BlBl.! I;_~(./\ :~ 1 /\L,;"';' Valerio Grisoli w ;,.:~,'"'' ::" _-fffq4 Lineamenti di matematica per l'economia La Nuova Italia Scientifica

Indice pag. 13 Prefazione 17 Parte prima. Introduzione all'analisi 17 1. Modelli economici 17 1.1. Introduzione 17 1.2. Un modello di mercato 20 1.3. La determinazione del reddito nazionale 23 1.4. La struttura di un modello economico 24 1.5. Variabili endogene, variabili esogene e costanti 24 1.6. Modelli in forma generica e in forma specifica 26 1.7. Il problema della statica comparata 27 Esercizi 29 2. Variabili 29 2.1. Introduzione 29 2.2. La retta reale R 30 2.3. Variabili continue: gli intervalli finiti e infiniti 32 2.4. Variabili discrete 32 2.5. Dimensionalità: stock e flussi 33 Esercizi 35 3. Funzioni 35 3.1. Introduzione 35 3.2. Funzioni e formule 37 3.3. Alcune precisazioni 37 3.4. Schede 38 3.5. Grafici

40 3.6. Funzioni definite in intervalli e successioni 40 3.7. Funzioni monotòne 42 3.8. Funzioni invertibili 43 3.9. Il grafico della funzione inversa 44 3.10. Funzioni di una variabile in forma esplicita e in forma implicita 45 Esercizi 47 4. Funzioni elementari 47 4.1. Introduzione 47 4.2. Linee rette nel piano 49 4.3. Polinomi 51 4.4. Funzioni razionali fratte 51 4.5. Funzioni espresse mediante radicali 52 4.6. Funzioni trigonometriche elementari 55 4.7. Inversa delle funzioni circolari 56 Esercizi 59 5. Limiti 59 5.1. Introduzione 59 5.2. Nozione di limite 61 5.3. Divergenza 62 5.4. Limiti per x ~ ±oo 63 5.5. Un approfondimento (facoltativo) 65 Esercizi 67 6. Funzioni continue 67 6.1. Introduzione 67 6.2. Continuità di una funzione in un punto 68 6.3. Discontinuità 69 6.4. Funzioni continue e continue a tratti 69 6.5. Funzioni a scala 70 Esercizi 71 7. La derivata 71 7.1. Variazioni relative: un esempio 72 7.2. Tasso medio di variazione: concetto e notazioni 72 7.3. Tasso istantaneo di variazione: la derivata di una funzione in un punto

73 7.4. Due esempi 74 7.5. L'inclinazione di una curva in un punto 76 7.6. La derivata come funzione 76 7.7. Uno sguardo alla notazione 78 7.8. Quand'è derivabile una funzione? 78 7.9. La derivata di alcune funzioni elementari 80 7.10. Regole di derivazione 82 Esercizi 85 8. Funzioni totali, medie e marginali in economia 85 8.1. Definizioni 85 8.2. Propensione media e marginale al consumo 86 8.3. Il prodotto medio e marginale del lavoro 87 8.4. Costi medi e marginali di produzione 88 8.5. Determinazione grafica della funzione media e di quella marginale data una funzione totale y = f(x) 89 Esercizi 91 9. Tassi di crescita 91 9.1. Introduzione 91 9.2. Serie storiche e tassi di crescita 92 9.3. Tassi medi di crescita in una funzione 93 9.4. Tassi istantanei di crescita 94 Esercizi 97 10. Elasticità 97 10.1. Elasticità in una scheda 98 10.2. Elasticità in un intervallo 99 10.3. Elasticità puntuale 100 10.4. Metodi grafici 101 Esercizi 103 11. Derivate successive 103 11.1. Derivata seconda e successive 105 11.2. Notazione 106 11.3. La derivata seconda come tasso istantaneo di accelerazione 106 11.4. Interpretazione geometrica della derivata seconda 107 11.5. Concavità e convessità

110 Esercizi 113 12. Massimi e minimi 113 12.1. I problemi economici di massimizzazione 113 12.2. Estremi assoluti ed estremi relativi 114 12.3. Criteri per trovare gli estremi relativi 115 12.4. Il criterio della derivata seconda 117 12.5. Un'applicazione economica: il problema dell'impresa concorrenziale 120 Esercizi 121 13. Derivate parziali e loro applicazioni 121 13.1. Funzioni di più variabili indipendenti 122 13.2. Curve di livello 125 13.3. Derivate parziali 128 13.4. Derivate parziali e valori estremi 129 13.5. Cenni sui massimi vincolati 134 13.6. Un'applicazione delle derivate parziali alla statica comparata: il moltiplicatore del reddito 136 Esercizi Parte seconda. Cenni di algebra lineare 141 14. Matrici quadrate 141 14.1. Definizione 142 14.2. Particolari matrici (nxn) 143 14.3. Somma di matrici 143 14.4. Moltiplicazione di uno scalare e di una matrice 144 14.5. Il prodotto di due matrici (nxn) 145 14.6. Proprietà del prodotto di due matrici quadrate 146 14.7. L'inversa di una matrice quadrata 147 14.8. Il calcolo della matrice inversa 148 Esercizi 151 15. Vettori e sistemi di equazioni di I grado 151 15.1. Vettori colonna 152 15.2. Operazioni con i vettori

154 155 156 157 158 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. Forme indeterminate Matrìci e sistemi di equazioni lineari Soluzione di un sistema di I grado usando le matrici Sistemi di I grado con un'unica soluzione e matrìci invertibili Esercizi 161 161 161 162 164 165 166 168 169 173 16. 16.1. 16.2. 16.3. 16.4. 16.5. 16.6. 16.7. 16.8. Le interdipendenze settoriali Le interrelazioni fra settori in un'economia moderna Input e output di un settore Le ipotesi economiche del modello input-output Processi produttivi unitarì La matrice tecnica Impieghi del prodotto lordo di ciascun settore Produzioni lorde e domande finali Determinazione dei livelli produttivi in funzione delle domande finali Esercizi 175 175 176 177 177 179 17. 17.1. 17.2. 17.3. 17.4. Un'applicazione all'economia italiana Una tabella delle transazioni intersettorìali nell'economia italiana La matrice tecnica Inversione della matrìce tecnica (3x3) dell'economia italiana Alcune elaborazioni Esercizi 181 Soluzioni degli esercizi 197 Indice analitico

- Questo libro si propone di fornire la maggior parte degli elementi di matematica che sono necessari per seguire senza particolari difficoltà un intero primo corso di economia. Glì argomenti trattati sono di tre tipi. Anzitutto (cap. 1) si presentano alcune nozioni di base sui modelli economici e sulle relazioni funzionali tra grandezze economiche. Segue (capp. 2-13) un'introduzione al calcolo Infinitesimale. Infine (capp. 14-17) è introdotto il modello delle interdipendenze settoriali. Sono anche forniti cenni di algebra lineare. Ogni capitolo è corredato da alcuni esercizi di ricapitolazione. Valerio Grisoli, laureato a Torino in Scienze politiche, è attualmente ricercatore confermato al Dipartimento di Economia dell'università di Torino. Si è interessato soprattutto di comparazione dei sistemi economici, di teoria dell'analisi costi-benefici, di teoria economica della burocrazia. Per La Nuova Italia ha collaborato al volume Economia e Storia (a cura di Marcello Carmagnani e Alessandro VercellQ della serie "Il Mondo Contemporaneo" con il saggio Economie di tipo sovietico (Firenze, 1978). Stefano Zamagni Economia politica Teoria dei prezzi, dei mercati e della distribuzione Altri titoli N IS Ernesto Screpanti, Stefano Zamagni Profilo di storia del pensiero economico (