PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = ( x A + x B, y A + y B ) Simmetrico B di un punto A rispetto ad un punto M: B = (x M x A, y M y A ) Baricento di un triangolo ABC (incontro delle mediane): G = ( x A + x B + x C 3, y A + y B + y C ) 3 aggio della circonferenza inscritta in un triangolo di area A e semiperimetro p: r = A p aggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo di lati a, b e c ed area A: = abc 4A Area di un triangolo di vertici ABC A = det (x A y A ) = [( x Ay B + y A x C + x B y C ) (x c y B + y c x A + x B y A )] x B y B x C y C Equazione di una retta parallela all asse x y = k (m = 0) Equazione di una retta parallela all asse y x = k (non esiste il coefficiente angolare m) Bisettrice del primo e terzo quadrante y = x; bisettrice del secondo e quarto quadrante y = x x x A Equazione di una retta per due punti dati A e B = y y A x B x A y B y A Coefficiente angolare di una retta per due punti dati m = y B y A = y x B x A x (rette non parallele agli assi) etta in forma implicita ax + by + c = 0 (a 0 b 0; si rappresentano tutte le rette del piano) retta in forma esplicita y = mx + q (m = a b ; q = c b ) Condizione di parallelismo tra due rette m = m Condizione di perpendicolarità tra due rette m m = Distanza tra un punto P(x 0, y 0 ) e la retta ax + by + c = 0 d(p, r) = ax 0 + by 0 + c a + b Fascio di rette per un punto P(x 0, y 0 )e di coefficiente angolare m: y y 0= m(x x 0 ) Bisettrici di due rette a x + b y + c = 0 e a x + b y + c = 0 a x + b y + c = ± a x + b y + c a + b a + b Asse di un segmento (x x A ) + (y y A ) = (x x B ) + (y y B ). Fascio di rette parallele (improprio) di coefficiente angolare m: y = mx + k ax + by + k = 0 (m = a b ) Fascio di rette per un punto (fascio proprio) (a x + b y + c )K + a x + b y + c = 0 a b a b
CICONFEENZA Definizione: "E il luogo dei punti equidistanti da un punto dato detto centro " Equazione con centro C(α, β) e raggio : (x α) + (y β) = Forma canonica x + y + ax + by + c = 0 ha punti reali se a 4 + b 4 c 0 con C = ( a ; b ) = a 4 + b 4 c Circonferenze particolari: b=0 a=0 c=0 a=0; b=0 a^-4c=0 b^-4c=0 etta tangente ad una circonferenza per un punto esterno P(x 0, y 0 ) centro della circonferenza C(α, β) raggio metodo) { x + y + ax + by + c = 0 Δ = 0 si ottengono soluzioni distinte metodo) d(c; r) = mα β mx 0 + y 0 = si ottengono soluzioni distinte m + nota: se l equazione scende dal secondo al primo grado significa che una retta tangente è verticale. etta tangente ad una circonferenza per un punto della circonfrenza P(x 0, y 0 ) metodo) retta tangente con m = x 0 α y 0 β metodo) formule di sdoppiamento: x xx 0 y yy 0 x x + x 0 3 metodo) { x + y + ax + by + c = 0 4 metodo) d(c; r) = mα β mx 0 + y 0 m + y y + y 0 Δ = 0 si ottengono soluzioni coincidenti = si ottengono soluzioni coincidenti curve deducibili dalla circonferenza y = a + b x { (y a) = b x y a x = a + b y { (x a) = b y x a y = a b x. { (y a) = b x y a x = a b y. { (x a) = b y y a Sistemi misti x + y + ax + by + c = 0 { fascio di rette condizioni su x e y si disegna la circonferenza si impongono le condizioni si studiano il numero delle intersezioni col fascio di rette fasci di circonferenze: date due circonferenze: x + y + a x + b y + c = 0 x + y + a x + b y + c = 0 dette generatrici e sia la retta a 3 x + b 3 y + c 3 = 0 il loro asse radicale si ha equazione del fascio: x + y + a x + b y + c + k (x + y + a x + b y + c ) = 0 se k = si ottiene l asse radicale oppure equazione del fascio x + y + a x + b y + c + k (a 3 x + b 3 y + c 3 ) = 0 tipo) circonferenze secanti nei due punti A, B (punti base) fascio di circonferenze passanti per A e B la retta dei centri è l asse di AB il raggio minimo delle circonferenze è AB e la circonferenza di raggio minimo è quella con centro il punto medio di AB tipo) circonferenze tangenti nel punto A (punto base) fascio di circonferenze tangenti in A la retta dei centri è perpendicolare all asse radicale passante per A il raggio minimo delle circonferenze è = 0 3 tipo) circonferenze concentriche fascio di circonferenze con lo stesso centro C( a ; b ) 4 tipo) circonferenze esterne fascio di circonferenze senza punti in comune
Dati due punti A,B che formano il diametro della crf trova il centro come punto medio del diametro Trova il raggio come metà distanza tra AB ( x ) (y ) Dati 3 punti non allineati della crf Imponi il passaggio per i tre punti passaggio per A passagio per B passaggio per C isolvi il sistema nelle x y ax by c 0 Dati due punti A,B della crf ed una retta r sulla quale si trova il centro Imponi il passaggio per i due punti e la condizione di appartenenza del centro alla retta passaggio per A passaggio per B appartenen za del cantro ad r isolvi il sistema nelle 3 x y ax by c 0 Trova l asse di AB, e l intersezione di tale asse con la retta r, trovando cosi il centro Trova il raggio con la distanza tra il centro e uno dei due punti ( x ) (y ) Dato il centro C ed un punto A della crf Imponi il passaggio per il punto e le coordinate del centro: passaggio per A a xc b y A isolvi il sistema nelle 3 Trova il raggio con la distanza tra due punti AC x y ax by c 0 ( x ) (y ) Dato il centro C ed una retta r tangente Trova il raggio con la distanza tra r e C ( x ) (y ) Dati due punti A,B e una retta r tangente Imponi il passaggio per i due punti e la condizione di tangenza alla retta: passaggio per A passagio per B 0 della risolvente isolvi il sistema di grado nelle 3 x y ax by c 0 si ottengono in generale due crf Dati due punti A,B e una retta r tangente con A r trova l asse di AB e la retta perpendicolare ad r passante per A. Si intersecano e si ottiene il centro Trova il raggio dalla distanza tra il centro e A ( x ) (y ) Dati: retta tangente t punto tangenza A t centro sulla retta s Trova la retta r perpendicolare a t passante per A. Su tale retta si troverà il centro Interseca la retta r e la retta s trovando così il centro C Trova il raggio con la distanza tra C ed A ( x ) (y ) Date due rette tangenti r ed s ed un punto A con A r Trova la retta t perpendicolare a r passante per A. Su tale retta si troverà il centro C Imponi l equidistanza tra il centro e le rette r ed s, con l appartenenza di C a t isovi l equazione ed ottieni il centro C.in generale si ottengono due circonferenze Trova il centro con la distanza Tra C e A ( x ) (y )
PAABOLA Definizione: "E' il luogo dei punti equidistanti da una retta data detta direttrice ed un punto dato detto Fuoco" Asse di simmetria parallelo asse y Asse di simmetria parallelo asse x F(p,q) direttrice: y=d (x p) + (y q) = y d y = (q d) x p q d x + p + q d (q d) F(p,q) direttrice: x=d (x p) + (y q) = x d x = (q d) y p q d y + p + q d (q d) y = ax + bx + c x = ay + by + c a>0 a<0 a>0 a<0 Fuoco: F = ( b a, Δ Δ ) Fuoco: F = ( 4a 4a, b a ) equazione della direttrice: y = + Δ 4a equazione della direttrice: x = + Δ 4a Vertice: V = ( b a, Δ 4a ) Vertice V = ( Δ 4a, b a ) asse di simmetria: x = b a asse di simmetria: y = b a y F = y V + 4a d = y V 4a x F = x V + 4a d = x V 4a equazione con il vertice y y V = a(x x V ) equazione con il vertice x x V = a(y y V ) Parabole particolari b=c=0 b=0 = 0 c=0 b=c=0 b=0 = 0 c=0 Condizione di tangenza y = mx + q { y = ax + bx + c y = mx + q ax + (b m)x + c q = 0 { x = ay + by + c may + (bm )y + cm + q = 0 Δ > 0 secante Δ = 0 tangente Δ < 0 esterna Coefficiente angolare di una retta tangente ad una parabola in un punto P(x 0, y 0 ) della parabola m = ax 0 + b m = ay 0 + b y = x y = x y = x Teorema di Archimede: l area del segmento parabolico è i /3 dell area del rettangolo che lo contiene
ELLISSE Definizione: E' il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da due punti dati detti Fuochi è costante Ellisse con i fuochi sull asse x Ellisse con i fuochi sull asse y PF + PF = a F = c condizione di esistenza a > c (se a = c l ellisse degenera in un segmento) Ellisse con centro in O(0,0) x y a + b = a>b a<b c = a b c = b a e = c a e = c b retta tangente in un punto P(x 0, y 0 ) appartenente all ellisse = xx 0 a + yy 0 b retta polare relativa al punto P(x 0, y 0 ) esterno all ellisse = xx 0 a + yy 0 b retta polare area interna all ellisse: A = πab ellisse con centro nel punto A(α, β) (x α) a (y β) + b = rette tangenti ad un ellisse tracciate da un punto esterno P(x 0, y 0 ): {(x α) (y β) a + b = Δ > 0 secante Δ = 0 tangente Δ < 0 esterna
IPEBOLE Definizione: E' il luogo dei punti per i quali la differenza in modulo delle distanze da due punti dati detti Fuochi è costante Iperbole con i fuochi sull asse x Iperbole con i fuochi sull asse y PF PF = a F = c condizione di esistenza a < c centro in O(0,0) x y a b = centro in O(0,0) x y a b = Asintoti: y = ± b a x c = a + b e = c a e = c b Per a = b iperbole equilatera e = x y = a x y = a retta tangente in un punto P(x 0, y 0 ) appartenente all ellisse = ± xx 0 a yy 0 b ellisse con centro nel punto A(α, β) (x α) (y β) = a b rette tangenti ad un ellisse tracciate da un punto esterno P(x 0, y 0 ): {(x α) (y β) a b = ± Δ > 0 secante Δ = 0 tangente Δ < 0 esterna
FUNZIONE OMOGAFICA y Formule di rotazione degli assi di 45 in senso anti orario x = X Y y = X + { Y Y 45 P X x x y = a XY = a = k < 0 x y = a XY = a = k > 0 grafico della funzione y = k x con k = k = k = 3 k = 4 Formule di traslazione degli assi nel punto (x 0, y 0 ) { X = x x 0 Y = y y 0 XY = k (x x 0 )(y y 0 ) = k y = y 0x + k x 0 y 0 x x 0 ax + b y = cx + d { k = x 0 = d c y 0 = a c bc da c = D c dove D = det ( a b ) = ad bc c d b/d -b/a (-d/c;a/c) Funzione omografica: y = ax+b cx+d c 0 D 0 ax + b formula generale della funzione omografica y = cx + d /x D < 0 D > 0 ette tangenti ad una funzione omografica in un punto P(x 0, y 0 ) /x esterno o appartenente alla -/x funzione { ax + b y = cx + d = 0. P(x0,y0) P(x0,y0) se in punto appartiene alla funzione si ottiene: ad bc y y 0 = (cx 0 + d) (x x 0).