Prova teorica di algebra lineare e geometria del 6 marzo 2009 VERSIONE A

Prova teorica di algebra lineare e geometria del 6 marzo 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia Ax = v un sistema lineare di m equazioni in n incognite a coefficienti reali. si enunci il Teorema di Rouché-Capelli;. lo si dimostri; 3. si dimostri che l insieme T delle soluzioni del sistema, o è vuoto, oppure è un sottospazio affine di R? ed è un sottospazio vettoriale se e solo se...; 4. nel caso in cui T sia un sottospazio vettoriale, se ne determini la dimensione in funzione di n e del rango di A; Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n.. Si definisca lo spazio duale V di V.. Determinare dim(v ) (con dimostrazione) e, se esiste, un isomorfismo esplicito V V. 3. Sia U un sottospazio vettoriale di V. Si definisca l annullatore U V di U e si provi che se U = span{u,..., u k } allora U = k span{u i }. i= 4. Si determini dim(u ), con dimostrazione. Esercizio 3. numeri reali. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo dei

. Si dia la definizione di prodotto scalare φ su V.. Si dimostri che, se φ è definito positivo, allora esiste una base B tale che la matrice M B (φ) di φ rispetto a B è la matrice identica I n. 3. Si dimostri che, comunque si scelga un prodotto scalare φ (anche non definito positivo) e per ogni base C di V, la matrice M C (φ) associata a φ rispetto a C è congruente a una matrice diagonale (esiste cioè una matrice inveribile N tale che N t M C (φ)n sia diagonale). 4. È anche vero che M C (φ) è simile a una matrice diagonale? La risposta sarebbe diversa se φ fosse una forma bilineare, non necessariamente simmetrica? Domanda extra. Dimostrare che esistono n radici distinte dell unità per ogni intero positivo n.. Dimostrare che se p(x) R[X] e λ C ne è una radice, allora tale è anche λ.

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 6 settembre 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia l R 3 la retta congiungente P = (,, ) t e Q = (,, ) t.. Dare equazioni Cartesiane e parametriche per l e stabilire se l è un sottospazio vettoriale di R 3.. Trovare la distanza tra l e R = (,, ) t. 3. Determinare equazioni cartesiane e rappresentazione parametrica per il piano affine Γ R 3 contenenete l e passante per R. 4. Determinare equazioni cartesiane e rappresentazione parametrica per il piano affine Σ R 3 perpendicolare a l e passante per l origine. Esercizio. Sia ϕ : R 3 R 3 R data da x x ϕ y, y = x x + y z + y y + z y z z. z z. Stabilire se ϕ è un prodotto scalare; dire se è definito positivo e determinare il nucleo di ϕ.. Determinare una base B di R 3 ortogonale per ϕ e calcolare esplicitamente la matrice di ϕ nella base B 3. È sempre vero che dato v R 3 con v si ha R 3 = span{v} span{v} ϕ (span{v} ϕ è il complemento ortogonale di span{v} rispetto a ϕ)? Argomentare la risposta e descrivere l insieme, eventualmente vuoto, dei v per i quali ciò è falso. 4. Descrivere lo spazio span{v} ϕ per v = (,, ) t.

Esercizio 3. Si considerino i seguenti sottospazi di R 4 : x V = y z : x + y z + t =, W = span t. Trovare dimensione di V, di W, di V W e di V + W ;,.. Determinare una base B di W che sia ortonormale rispetto al prodotto scalare standard (canonico) e che estenda una base di V W. 3. Si completi B a una base B di R 4 e si determini un endomorfismo f di R 4 il cui nucleo coincida con W. Si determini una matrice A in modo tale che f(x) = L A (x) e si descriva esplicitamente f(x) in termini delle coordinate di x rispetto alla base B 4. si dica, argomentando la risposta, se è possibile scegliere l endomorfismo f del punto precedente in modo tale che sia diagonalizzabile. Esercizio extra Si determinino autovalori e autospazi per la matrice A = 3 Mat(3, C)

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 8 Luglio 8 Nome e cognome: Matricola: VERSIONE A Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia l R 3 la retta congiungente P = (,, ) t e Q = (,, ) t.. Dare equazioni Cartesiane e parametriche per l e stabilire se l è un sottospazio vettoriale di R 3.. Trovare la distanza tra l e R = (,, ) t. 3. Determinare equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per il piano affine Γ R 3 contenente l e passante per R. 4. Determinare equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per il piano affine Σ R 3 perpendicolare a l e passante per R. Soluzione. Sia V = Q P = (,, ) t (che possiamo pensare come il vettore applicato P Q). Allora la rappresentazione parametrica di l è: l = {P + tv : t R} = + t : t R. Per trovare equazioni Cartesiane, possiamo procedere in due modi. Innanzitutto, scriviamo la rappresentazione parametrica come x = + t, y = t, z = + t. Risolvendo per il parametro t nella prima, otteniamo t = x, che sostituita nelle altre due implica: x + y = 3, x z = 3. Equivalentemente, abbiamo x y z l t R : x y z + rango x y z = span x y z + + t =.

Operando per righe, x y z + x x + y 3 x + z + 3, da cui si deduce che x y l x + y 3 =, x z 3 =. z Dato che l origine R 3 non soddisfa le equazioni Cartesiane di l, l non contiene il vettore nullo e quindi non è un sottospazio vettoriale di R 3. Chiamiamo X : R l, t + t = + t t + t la parametrizzazione data sopra. Determiniamo l unico t R tale che X(t) R V. In effetti, se <, > è il prodotto scalare standard, implica t =. Abbiamo e quindi = X(t) R, V + t = = t, + t t = t, + t = t ( t) + ( + t) = 6t 6 X () R = Q R = dist(r, l) = X () R =. Quanto al punto 3), la giacitura di Γ, ovvero il piano Γ ottenuto traslando Γ nell origine, contiene i vettori Q P = V, Q R = W, che ne sono quindi

una base. Pertanto Γ è il traslato Γ = R + Γ = + span, + t + u = t + u : t, u R. + t Per trovare equazioni Cartesiane di Γ, possiamo eliminare i parametri, come sopra per la retta. Alternativamente, possiamo ragionare geometricamente come segue: x y z Γ x y z R span x y z rango Operando per righe, abbiamo x y z Quindi, Γ = x y z, =. x x + y + z x x + y + x + y + z : x y z = R.. Vediamo quindi che Γ R 3 è un sottospazio affine passante per l origine, ovvero un sottospazio vettoriale; in altre parole, Γ = Γ (ciò si vede anche dalla rappresentazione parametrica qui sopra, facendo t = u = /). Pertanto, possiamo anche semplificare la rappresentazione parametrica come segue: Γ = span, = 3 a + b a + b a : a, b R.

Infine, il piano affine perpendicolare a (a, b, c) t passante per (x, y, z ) t ha equazione Cartesiana a (x x ) + b (z z ) + c (z z ) = ; dato che l è parallela a V = (,, ) t, il piano affine Σ perpendicolare a l (ossia a V ) passante per (,, ) t ha pertanto equazione Cartesiana (x ) y+(z ) =, ossia x y + z = 3. Esercizio. Sia ϕ : R 3 R 3 R data da x x ϕ y, y = x x + x z + y y + z x z z. z z. Stabilire se ϕ è un prodotto scalare e nel caso trovarne nullità e indice di positività.. Determinare una base di R 3 ortogonale per ϕ. 3. È sempre vero che dato v R 3 con v si ha R 3 = span{v} span{v} ϕ (span{v} ϕ è il complemento ortogonale di span{v} rispetto a ϕ)? Argomentare la risposta e descrivere l insieme, eventualmente vuoto, dei v per i quali ciò è falso. 4. Se B è la base trovata al punto., calcolare esplicitamente, utilizzando la legge di trasformazione appropriata, la matrice di ϕ nella base B. Soluzione. Ogni termine in ϕ è un monomio di grado due, con un fattore di grado uno per ciascuna delle due entrate. Pertanto ϕ è bilineare, con matrice C associata nella base standard C =, essendo c ij = ϕ(e i, e j ) (gli e i sono i vettori della base standard); dato che C è chiaramente simmetrica, ϕ è un prodotto scalare. Il polinomio caratteristico è p C (X) = X X X + X X + = (X ) = (X ) ( X ) = (X ) 4 ( X ) ( X + ).

Quindi, C ha tre autovalori distinti,,, ; in particolare, la nullità è zero e l indice di positività uno. Pertanto ϕ è non degenere e non positivo definito e nemmeno negativo definito. Un modo per trovare una base di R 3 ortogonale per ϕ è quindi trovare un base di R 3 ortonormale per il prodotto scalare standard costituita di autovettori di C (vedi soluzioni di esami precedenti); chiaramente, basta anzi trovare una base di R 3 ortogonale per il prodotto scalare standard costituita di autovettori di C, dato che l ortogonalità per ϕ è preservata se si moltiplica ogni vettore di una base ortogonale data per uno scalare non nullo. Nel nostro caso, basterà allora scegliere un autovettore non nullo per ogni autovalore (perchè? Meditare: ohm-ohm). Ora l autospazio relativo all autovalore è: ( V = ker C + ) I + = ker + + x ( = y : y =, z = + ) x = span z ( + ). L autopazio relativo all autovalore è V = ker(c I) = ker = ker = ker = span. Infine, l autospazio relativo all autovalore è: ( V = ker C ) I = ker x ( = y : y =, x = + ) z = span z 5 ( + ).

Quindi una base di R 3 ortogonale per ϕ è B = ( + ),, ( + ). Tale base è anche ortogonale per il prodotto scalare standard, come atteso. Quanto al punto 3, dato che ϕ è non degenere se v si ha dim ( span{v} ϕ) = dim ( span{v} ) = 3 dim (span{v}) = 3 = ; si ricordi infatti che ϕ induce un isomorfismo con lo spazio duale (R 3 ) e che span{v} ϕ è l immagine inversa dell annullatore span{v}, che ha la dimensione asserita. Dobbiamo distinguere due casi. Se ϕ(v, v) = si ha span{v} span{v} ϕ (dimostrare) e quindi non può valere l uguaglianza asserita (e i due spazi non sono nemmeno in somma diretta). Se ϕ(v, v) si ha span{v} span{v} ϕ = { } (dimostrare) e quindi i due spazi sono in somma diretta, pertanto span{v} span{v} ϕ = R 3 per ragioni di dimensione. In definitiva, l uguaglianza asserita è falsa per l insieme dei v = (x, y, z) t appartenenti al cono nullo di ϕ, cioè tali che x + xz + y z =. Tale cono contiene, ad esempio, (,, ) t. Nota Bene (e risposta alternativa): In realtà, il fatto che ϕ è non degenere è irrilevante nella risposta precedente. Infatti vale in generale quanto segue: Lemma. Sia ϕ : V V K un prodotto scalare e sia v V. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti: V = span(v) span(v) ϕ ϕ(v, v). 6

Per dimostrare che implica, si osservi che se fosse ϕ(v, v) = avremmo span(v) span(v) ϕ. Per dimostrare che implica, si osservi che innanzitutto se ϕ(v, v) allora span(v) span(v) ϕ = {}, e inoltre per ogni w V si ha ( ) ϕ(w, v) w = ϕ(v, v) v + ϕ(w, v) w ϕ(v, v) v span(v) + span(v) ϕ (dimostrare l ultima inclusione); pertanto... Venendo all ultimo punto, se C è la base standard si ha M B (ϕ) = MC B (id) t M C (ϕ) MC B (id) ( + ) = ( + ) ( + ) = ( ) + = 4( + ) 4( + ) t. + + ( + ) ( + ) Quindi ritroviamo che la base B è ortogonale per ϕ. Si noti tuttavia che le entrate diagonali non sono gli autovalori di C; questo è dovuto al fatto che la base B non è ortonormale per il prodotto scalare standard e quindi MC B (id) non è una matrice ortogonale. Se dividiamo ogni vettore di B per la rispettiva norma, così da ottenere una base ortonormale, la matrice di ϕ nella nuova base sarà diagonale con entrate diagonali gli autovalori di C (provare per credere!). Esercizio 3. Sia x V = y z : x + y z + t =, W = span t,.. Trovare dimensione e una base ortonormale di W per il prodotto scalare standard.. Trovare equazioni Cartesiane per W e una base per l annullatore W (K 4 ). 7

3. Trovare dimensione e una base per V W e per V + W. 4. Trovare dimensione di V e una base di V che estende una base di V W. Soluzione. Chiamiamo v, v i generatori dati di W, presi nell ordine; essi sono linearmente indipendenti, come si vede facilmente, quindi sono una base di W e pertanto dim(w ) =. Per trovare una base ortonormale applichiamo GS. Sia quindi w = v, così che w, w = 6, v, w = 4. Si ha v 4 6 w = 3 = /3 /3 /3 = 3 Quindi, come base ortogonale possiamo prendere (w, w ) con w = (,,, 3) t. Dividendo per le norma, otteniamo la base ortonormale / 6 / 6 / 6, Operando per righe, otteniamo poi x y z t = /( 3) /( 3) /( 3) 3/( 3). x x + y x + z t x x + y x + z x + y + t. 3. Quindi (ritroviamo che W ha dimensione e) ricaviamo come equazioni Cartesiane di W : x z =, x y t =. Come base per W possiamo quindi prendere, usando la base duale (e i ) della base canonica, (e e 3, e e e 4). 8

Venendo al punto 3, V W è il luogo ove sono soddisfatte sia le equazioni Cartesiane di V che quelle di W ; pertanto, è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo x z = x y t = x +y z +t =. Operando per righe sulla matrice dei coefficienti, ricaviamo: 4 Quindi V W = (/4) t (/) t (/4) t t /4 : t R = span 4 /4 / /4. Pertanto, V W ha dimensione, e il generatore qui sopra è una base. Dato che V è il nucleo di un funzionale lineare non nullo, esso ha dimensione 4 = 3; ne segue dim(v + W ) = dim(v ) + dim(w ) dim(v W ) = 3 + = 4, onde V + W = K 4. A molti in sala verrà in mente di prendere la base standard. Infine, abbiamo x V = y x + y + t : x, y, t R t = x = span + y, + t, 9. : x, y, t R.

Dato che V ha dimensione 3, i tre generatori qui sopra, presi nell ordine, sono una base (equivalentemente, ciò si vede facilmente esaminando il rango della matrice 4 3 da essi formata). In ogni caso, un modo (ma non il solo) per trovare una base di V che estenda una base di V W è operare per righe sulla seguente matrice, le cui colonne sono un sistema di generatori (linearmente dipendente) per V che estende la base di V W : 4 Osservando la posizione dei gradini, concludiamo che per estrarre una base di V dai quattro generatori assegnati basta prendere le prime tre colonne della matrice di partenza; quindi B = 4,,..

Prova teorica di algebra lineare e geometria del Luglio 8 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia ϕ : V V K un prodotto scalare.. Si dimostri che il prodotto scalare ϕ se e solo se esiste v V tale che ϕ(v, v).. Si dimostri che esiste una base di V ortogonale per ϕ, senza usare il teorema spettrale (Sugg.: si proceda per induzione su...). 3. Se A, B sono matrici simmetriche d d, A e B si dicono cogradienti se esiste una matrice N invertibile d d tale che B = N t AN. Si dimostri che la cogradienza è una relazione di equivalenza e che ogni matrice simmetrica è cogradiente a una matrice diagonale (ovvero: ogni classe di equivalenza contiene qualche matrice diagonale). 4. È vero o falso che matrici (simmetriche) cogradienti hanno lo stesso determinante? La stessa traccia? Lo stesso polinomio caratteristico? Dimostrare o confutare con un controesempio. Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale reale finito-dimensionale.. Si spieghi cosa significa che ϕ è un prodotto scalare definito positivo su V, e si definisca la norma indotta da ϕ.. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. 3. Definire l angolo tra due vettori non nulli e dedurre il teorema di Pitagora. 4. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza triangolare; dimostrare che la norma induce una distanza (precisare). Esercizio 3. Siano V, W spazi vettoriali finito dimensionali sul campo K, f Hom(V, W ) e B V, B W basi di V e W, rispettivamente.

. Definire la matrice di f rispetto alle due basi, M B V B W (f). Enunciare e dimostrare il legame tra le coordinate M BV (v) e M BW ( f(v) ) (v V ).. Siano B V, B W altre basi di V e W, rispettivamente. Enunciare e dimostrare la relazione che intercorre tra M B V B W (f) e M B V B (f). W 3. Definire la relazione di similitudine tra matrici quadrate dello stesso ordine e dimostrare che matrici simili hanno lo stesso rango. 4. Dimostrare che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, la stessa traccia, lo stesso determinante.

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 5 Settembre 8 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio.. Si determinio equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per la retta l R 3 congiungente i punti P = (,, 3) t e Q = (,, ) t. È un sottospazio vettoriale di R 3? Motivare.. Si determinio equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per il piano Π R 3 contenente i punti A = (,, ) t, B = ( 3,, ) t, C = (,, ) t. È un sottospazio vettoriale di R3? Motivare. 3. Si determinio equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per la retta s perpendicolare al piano Π e passante per A (notazione come sopra). È un sottospazio vettoriale di R3? Motivare. 4. Si determini se le rette l e s sono parallele, incidenti, sghembe, perpendicolari; se ne trovi la distanza. Esercizio. Sia ϕ : R 3 R 3 R data da x x ϕ y, y z z =: x ( x + y + z ) + y (x + y + z ) + z (x + y + z ).. Stabilire se ϕ è un prodotto scalare. Nel caso, trovarne nullità e indice di positività, stabilendo quindi se ϕ è non degenere e se è definito positivo (Consiglio: non sarà mica che è autovalore di una certa matrice?).. Determinare una base di R 3 ortonormale per ϕ. 3. Se C è la matrice di ϕ nella base standard, sia L C : R 3 R 3 l applicazione lineare X CX. Trovare una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di L C, motivando la risposta. Determinare nucleo, rango e spazio immagine di L C.

4. Sia V =: span, e sia V ϕ R 3 il complemento ortogonale di V rispetto a ϕ. Si determinino equazioni Cartesiane e una base per V ϕ R 3. Esercizio 3. Sia V =: span,,, K4.. Determinare dimensione, equazioni Cartesiane e una base per V.. Determinare una base per l annulatore V (K 4 ). 3. Se U K 4 è lo span dei primi tre vettori della base standard, determinare basi e dimensioni per U + V e U V. 4. Determinare una base di K 4 che estende una base di V. Determinare una base di V che estende una base di V U.

Prova teorica di algebra lineare e geometria del 3 Settembre 8 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale finito-dimensionale sul campo K.. Si dia la definizione di sottospazio vettoriale di V. Si stabilisca con dimostrazione quali dei seguenti sono sottospazi vettoriali: (a) R =: { (x, x ) : x R } V =: K ; (b) Se A è una matrice 3 a entrate in K, R =: { (X, AX) : X K } V =: K K 3.. Se R, S V sono sottospazi vettoriali, definire lo spazio somma R + S dimostrando che è anch esso un sottospazio vettoriale di V. 3. Enunciare un teorema che esprime la dimensione di R + S in termini di... 4. Dimostrarlo. Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K.. Dare la definizione di vettori linearmente indipendenti, di sistema di generatori e di base di V.. Supposto che esista una base finita di V, dimostrare che tutte le basi di V hanno la stessa cardinalità. 3. Enunciare e dimostrare il teorema della base incompleta. 4. Sia d =: dim(v ) < + ; dimostrare che per ogni sottospazio vettoriale U V esiste un sottospazio vettoriale T V tale che V = U T. Esercizio 3. Siano A, B spazio vettoriali sul campo K, di dimensione finita a e b, rispettivamente.

. Si definisca lo spazio vettoriale prodotto A B e se ne determini la dimensione, con dimostrazione.. Si definisca Hom(A, B), dimostrando che è effettivamente uno spazio vettoriale. 3. Si determini la dimensione di Hom(A, B), con dimostrazione. 4. Se a b, si dimostri che esistono un applicazione lineare iniettiva f : A B e un applicazione lineare suriettiva g : B A. Possiamo sceglierle in modo che g f = id A?. Spiegare.

I Compitino del 4 dicembre 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Sia V uno spazio vettoriale reale con d = dim(v ) < +. Esercizio.. si dia la definizione di insieme di vettori linearmente indipendenti, di sistema di generatori e di base per V ;. dati due sottospazi T e W di V, si dimostri che W T è un sottospazio di V ; si definisca lo spazio somma W +T e si dimostri che è un sottospazio; 3. si enunci il Teorema (formula) di Grassmann che lega dim(t + W ) e...; 4. lo si dimostri. Esercizio.. Si dimostri che per ogni sottospazio vettoriale W V esiste un sottospazio vettoriale T tale che V = W T.. Si definisca lo spazio quoziente V/W descrivendone la struttura di spazio vettoriale. 3. Se m = dim(w ), si dimostri che dim(v/w ) =???. 4. Se V = T W, è vero che V/W e T sono isomorfi? Perché? Esercizio 3.. Sia l R 3 la retta (affine) congiungente i punti (3,, ) t e (,, ) t. Trovare equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per l;. stabilire se l è un sottospazio vettoriale di R 3.

3. Determinare la distanza tra l e l origine. 4. Determinare l equazione di un piano Π per il punto (,, ) t che sia perpendicolare a l. Esercizio 4. Sia f =: L A : R 4 R 4, la funzione definita da L A (X) = AX ove A = 3. Si dimostri che L A è una funzione lineare (o omomorfismo) e si determinino equazioni Cartesiane per lo spazio immagine e per il nucleo;. si determinino una base per il nucleo e una base per l immagine; 3. si dica per quali vettori b R 4 il sistema AX = b ammette soluzione (è compatibile); 4. si determinino tutte e sole le soluxioni di AX = (, 3,, 4) t descrivendole come sottospazio affine di giacitura??? Esercizio Extra. Si intepreti C d come spazio vettoriale complesso (ossia, sul campo C). Stabilire, dando adeguata motivazione, quali dei seguenti luoghi sono sottospazi vettoriali di C e nel caso trovarne una base e dimensione:. U = { (z, w) t : z + iw = }.. U = { (z, w) t : z + i w = }. 3. U 3 = { (z, w) t : z + iw = }.

Prova teorica di algebra lineare e geometria del 3 Febbraio 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio.. Dare la definizione di prodotto scalare su uno spazio vettoriale V, descrivendo esplicitamente tutte le proprietà coinvolte; se dim(v ) < +, dare la definizione di base ortogonale per un dato prodotto scalare su V.. Se dim(v ) < +, dimostrare esplicitamente che ogni prodotto scalare ha una base ortogonale (non usare il teorema spettrale). 3. Enunciare il teorema di Sylvester; definire positività e nullità di un prodotto scalare. 4. dimostrare il teorema di Sylvester. Esercizio. Siano V e W spazi vettoriali finito-dimensionali reali.. Dare la definizione di applicazione lineare f : V W, di nucleo e di spazio immagine.. Dimostrare che il nucleo e lo spazio immagine sono sottospazi vettoriali di???? 3. Enunciare un risultato che lega la dimensione del nucleo, dello spazio immagine e??? 4. dimostrarlo. Esercizio 3.. Dare la definizione di base di uno spazio vettoriale V ;. Dimostrare che se V ammette una base finita allora ogni altra base ha la medesima cardinalità.

3. Definire la dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato; dimostrare che se U V è un sottospazio vettoriale, allora dim(u)... e vale l uguale se e solo se... 4. Dimostrare che se dim(v ) < + e U V è un sottospazio vettoriale allora esiste un sottospazio vettoriale W V tale che V = U W. Possiamo dire che W è unico? Domanda extra. Dimostrare che ogni numero complesso z può essere scritto nella forma r e iθ, con r, θ R and r ;. si provi che, dato numero complesso z, e un n N, n, esistono n numeri complessi w distinti tali che w n = z.

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 3 Febbraio 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio.. Sia l R 3 la retta (affine) congiungente (,, 3) t e (,, ) t. Trovare equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per l e stabilire se l è un sottospazio vettoriale di R 3.. Trovare la distanza tra l e l origine. 3. Sia Π R 3 il piano (affine) passante per (,, ) t e perpendicolare a (,, α) t, ove α R è un parametro. Trovare equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per Π e stabilire se Π è un sottospazio vettoriale di R 3. 4. Trovare per quali α la retta l è parallela a/perpendicolare a/ contenuta in Π; trovare la distanza tra l e Π al variare di α. Esercizio. Sia f : R 4 R 3 data da x f y x + y + t z = y + z + t x + y + z + 3t t. Determinare la matrice di f i): rispetto alle basi canoniche C 4 = (e, e, e 3, e 4 ) di R 4 e C 3 = (ɛ, ɛ, ɛ 3 ) di R 3 e ii): rispetto alle basi B = (e, e 3, e 4, 3e ) di R 4 e D = (ɛ 3, ɛ, ɛ ) di R 3.. Trovare basi ortonormali (per il prodotto scalare standard), dimensioni ed equazioni Cartesiane per il nucleo e per lo spazio immagine di f. 3. Trovare basi e dimensioni per i complementi ortogonali (rispetto al prodotto scalare standard) e per gli spazi annullatori (definire) di ker(f) e im(f)..

4. Descrivere la controimmagine f ( v ) al variare di v R 3, rappresentandola quando appropriato come sottospazio affine. Esercizio 3. Sia e sia f =: L A : R 3 R 3. A =: 4. Determinare autovalori e autovettori di f, con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche, e stabilire se f è diagonalizzabile;. trovare basi ortonormali (per il prodotto scalare standard) per ciascuno degli eventuali autospazi; 3. stabilire se esiste una matrice ortogonale N O(3) tale che N AN è diagonale; 4. trovare, se esiste, una matrice invertibile B tale che B AB è diagonale. Esercizio Extra. Calcolare le radici cubiche di 5 5i e ( cos() + i sin() ).

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 3 Febbraio 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale reale con d = dim(v ) < +.. Dare la definizione di prodotto scalare su V e definire la matrice M B (ϕ) di un prodotto scalare in una base B di V. Esprimere il prodotto scalare ϕ(v, w) in termini delle coordinate di v e w nella base B e di M B (ϕ), con dimostrazione.. Definire lo spazio nullo di un prodotto scalare ϕ su V e spiegare cosa significa che ϕ è non degenere. Dimostrare che ϕ è non degenere se e solo se M B (ϕ)... 3. Se D è una seconda base di V, enunciare la relazione che lega M B (ϕ) e M D (ϕ) e dimostrarla. 4. Dimostrare che ϕ se e solo se esiste v V tale che ϕ(v, v). Esercizio. Sia ϕ : R 3 R 3 R data da x x ϕ y, y z z =: x (x y + z ) + y ( x + y z ) + z (x y + z ).. Stabilire se ϕ è un prodotto scalare. Nel caso, trovarne nullità e indice di positività, stabilendo quindi se ϕ è non degenere e se è definito positivo (Consiglio: non sarà mica che 3 è autovalore di una certa matrice?).. Se C è la matrice di ϕ nella base standard, si determinino autovalori e autospazi per l applicazione lineare L C : X CX 3. Si determini inoltre, se esiste, una base di autovettori di L C che sia ortonormale per il prodotto scalare standard e ortogonale per φ. 4. Trovare il complemento ortogonale di (,, ) t rispetto a ϕ.

Esercizio 3. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita d.. Definire lo spazio duale V e calcolarne la dimensione, con dimostrazione.. Se U V è un sottospazio vettoriale, definire l annullatore U V e dimostrare che è un sottospazio vettoriale di V. 3. Calcolare la dimensione di U in termini delle dimensioni di V e U. 4. Siano A, B V sottospazi vettoriali. Dimostrare che (A + B) = A B. Esercizio 4. Sia f =: L A : R 4 R 4, ove e sia B =: A =, 3,. Dimostrare che B è una base di R 4.,. Determinare la matrice di L A nella base B. 3. Determinare M B (v) al variare di v = (a, b, c, d) t.. 4. Determinare dimensione a basi per il complemento ortogonale ker(f) (rispetto al prodotto scalare standard) e per l annullatore ker(f). Domanda Extra. Sia V λ =: span {( /(5 + i) λ i Determinare per quali valori di λ C si ha )} C. V λ V λ = C ove il complemento ortogonale è rispetto al prodotto scalare standard su C.

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 9 Febbraio 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia A = 3 3 7 Sia L A : R? R? l applicazione lineare X AX; precisare? e? ed esprimere esplicitamente L A (X) in termini delle componenti di X.. Determinare basi e equazioni Cartesiane per ker(l A ) e per lo spazio immagine im(l A ) di L A ;. Determinare basi e equazioni Cartesiane per i complementi ortogonali ker(l A ) e im(l A ) e trovare basi per i rispettivi annullatori ker(l A ) e im(l A ). 3. Sia. B = (e + e, e e, e 4, e 3 ). Si dimostri che B è base di R 4, si calcoli B =: A t A e si determini M B B (L B). Esercizio. Sia ϕ : R 3 R 3 R data da x x ϕ y, y z z =: x (x + y ) + y (x z ) + z ( y + z ).. Stabilire se ϕ è un prodotto scalare. Nel caso, trovarne nullità e indice di positività, stabilendo quindi se ϕ è non degenere e se è definito positivo.. Se C è la matrice di ϕ nella base standard, si determinino autovalori e autospazi per l applicazione lineare L C : X CX

3. Si determini inoltre, se esiste, una base di autovettori di L C che sia ortonormale per il prodotto scalare standard e ortogonale per φ. 4. Trovare il complemento ortogonale di (, 3, ) t rispetto a ϕ e trovare il sottospazio annullatore di span {(, 3, ) t } (attenzione). Esercizio 3. Siano V =: span Al variare di α R,,, W =: span 3, α. trovare basi, dimensioni ed equazioni Cartesiane per V e W ; R 4.. trovare basi, dimensioni ed equazioni Cartesiane per V + W e V W ; 3. determinare per quali eventuali α si ha V + W = V W ; 4. trovare f : R boh R 4 iniettiva tale che im(f) = V e g : R 4 R mah suriettiva tale che ker(g) = V.

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 6 Giugno 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Siano U =: span,, W =: x y z t : x + y + z + t = R 4.. Trovare basi, dimensioni ed equazioni Cartesiane per U, W, U W e U + W.. Stabilire se U + W = U W e se U + W = R 4. 3. Sia α : R 4 R la mappa α : x y z t ( y + z + t x + y + 4t e sia β : U R la restrizione di α. Determinare il rango di β e dimensione, basi ed equazioni Cartesiane per ker(β) U R 4 e per im(β). 4. Trovare un applicazione lineare iniettiva f : R nunsacciu R 4 avente immagine U e un applicazione lineare suriettiva g : R 4 R boh tale che W = ker(g). ) Esercizio. Sia ϕ : R 4 R 4 R data da ϕ(x, Y) = X t CY ove C =.

. Stabilire se ϕ è un prodotto scalare (motivando la risposta) e scriverlo esplicitamente in coordinate.. Se ϕ è un prodotto scalare, calcolarne nullità e indice di positività. Stabilire se ϕ è non-degenere e se è definito positivo o semidefinito positivo. 3. Trovare, se esiste, una base ortonormale di R 4 costituita da autovettori di L C, che sia anche ortogonale per ϕ. 4. Trovare, se esiste, una matrice ortogonale N O(4) tale che N CN è diagonale. Esercizio 3. Sia e sia f =: L A : R 3 R 3. A =: 3. Determinare autovalori e autovettori di f, con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche, e stabilire se f è diagonalizzabile; nel caso, determinare una base di R 3 costituita da autovettori di f.. trovare equazioni Cartesiane e basi ortonormali (per il prodotto scalare standard) per ciascuno degli eventuali autospazi; stabilire se esiste una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di f. 3. stabilire se esiste una matrice ortogonale N O(3) tale che N AN è diagonale; 4. trovare, se esiste, una matrice invertibile B tale che B AB è diagonale. Esercizio Extra. Calcolare ( + 5i) e le radici quarte di 6 ( cos() + i sin() ).

Prova teorica di algebra lineare e geometria del 3 Giugno 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale finito-dimensionale sul campo K.. Si definisca lo spazio duale V e se ne calcoli la dimensione, costruendo la base duale di una base assegnata di V (e dimostrando esplicitamente che è una base).. Si dia la definizione di sottospazio vettoriale di V ; se U V, si definisca il sottospazio annullatore U V di U e si dimostri che è un sottospazio vettoriale di V. 3. Si esprima la dimensione di U in termini delle dimensioni di V e U. 4. Si dimostri tale relazione. Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K.. Dare la definizione di vettori linearmente indipendenti, di sistema di generatori e di base di V.. Supposto che esista una base finita di V, dimostrare che tutte le basi di V hanno la stessa cardinalità. 3. Enunciare e dimostrare il teorema della base incompleta. 4. Sia d =: dim(v ) < + ; dimostrare che per ogni sottospazio vettoriale U V esiste un sottospazio vettoriale T V tale che V = U T. Esercizio 3. Siano A, B spazio vettoriali sul campo K, di dimensione finita a e b, rispettivamente.. Siano B A, B B basi di A, B rispettivamente. Descrivere la matrice M B A B B (f) associata a f Hom(A, B); dimostrare che M B A B B : Hom(A, B)?? è un isomorfismo.

. Se f Hom(A, B) e g Hom(B, C), dimostrare che allora g f Hom(A, C) e che ker(g f)??? ker(f) (qui??? va scelto tra,, =,, ). 3. Siano B A, B B e B C basi di A, B, C rispettivamente. Descrivere la relazione tra M B A B C (g f), M B A B B (f) e M B B B C (g). Dimostrarla. 4. Si supponga A = B. Dare la definizione di autovettore, autovalore e di endomorfismo diagonalizzabile di A. Se f End(A) =: Hom(A, A), si dimostri che allora una base B di A è costituita da autovettori per f se e solo se MB B (f)... Esercizio extra Si costruisca esplicitamente una matrice reale C quadrata di ordine d (per qualche d ) tale che l endomorfismo L C : K d K d dato da L C (X) =: CX risulti diagonalizzabile per K = C, ma non diagonalizzabile per K = R.

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 4 Luglio 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Siano l =: x y z l =: R 3 : x + z 5 = y 3z + 6 =. 3 a 4 ove a, b R sono parametri. + t 4 b : t R R3,. Trovare equazioni Cartesiane per l e rappresentazione parametrica per l. Stabilire se l e l sono sottospazi vettoriali di R 3.. Stabilire al variare di a, b se l e l sono parallele, perpendicolari, incidenti, sghembe. 3. Per a =, b = trovare la distanza di l dall origine e la distanza tra l e l. 4. Per b =, trovare il piano parallelo a l e l e passante per (,, 3) t. Esercizio. Sia C =.. Determinare gli (eventuali) autovalori reali di C con relative molteplicità algebriche e geometriche, calcolandone i corrispondenti autospazi.. Stabilire se C è diagonalizzabile (su R).

3. Se L C : R 3 R 3 è l applicazione lineare L C (X) = CX, determinare basi, dimensioni ed equazioni Cartesiane per il nucleo e lo spazio immagine di L C. 4. Stabilire per quali b R 3 è risolubile il sistema lineare CX = b e per tali b esprimere lo spazio delle soluzioni come un sottospazio affine di R 3. Esercizio 3. Sia A =: e sia ϕ : R 3 R 3 R data da ϕ(x, Y) = X t AY.. Stabilire se ϕ è un prodotto scalare e nel caso esprimerlo esplicitamente in coordinate.. Se ϕ è un prodotto scalare, trovarne nullità e indice di positività, stabilendo se è non degenere, negativo definito, positivo definito. 3. Trovare una base ortonormale di R 3 per il prodotto scalare standard che sia anche ortogonale per ϕ e composta da autovettori di L A. 4. trovare, se esiste, una matrice ortogonale N O(3) tale che N AN è diagonale. Esercizio Extra. Calcolare (5 i) e le radici cubiche di 7 ( cos(5) + i sin(5) ).

Prova teorica di algebra lineare e geometria del Luglio 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K (K = R se siete matricole).. Dare la definizione di endomorfismo lineare f : V V (applicazione lineare di V in sè) e di autovalore, autovettore e autospazio di un endomorfismo f.. Dare la definizione di endomorfismo diagonalizzabile e dimostrare che f è diagonalizzabile se e solo se la sua matrice in una base qualsiasi di V è simile a... 3. Se λ,..., λ r sono autovalori distinti di un endomorfismo f dato (quindi, λ i λ j se i j) e se v i è un autovettore di f per l autovalore λ i per ogni i =,..., r, dimostrare che allora v,..., v r sono linearmente indipendenti. 4. Dedurre da quanto sopra che se d = dim(v ) < + e f ha d autovalori distinti (su K), allora f è diagonalizzabile. 5. Supposto d = dim(v ) < +, definire il polinomio caratteristico di f, dimostrando che esso non dipende dalla scelta di una base di V. Caratterizzare quindi gli autovalori di f attraverso il polinomio caratteristico. 6. Se f End(V ) (spazio degli endomorfismi) e λ è un autovalore, definire le molteplicità algebrica a λ e geometrica g λ di λ e dimostrare che a λ? g λ (qui? è da scegliersi tra =, <,, >, ). Esercizio. Sia V spazio vettoriale reale.. Dare la definizione di prodotto scalare definito positivo ϕ : V V R; La coppia (V, ϕ) si dice uno spazio vettoriale Euclideo.

. Sia (V, ϕ) uno spazio vettoriale Euclideo e sia f : V V un endomorfismo. Si spieghi cosa significa che f è simmetrico (o autoaggiunto) rispetto a ϕ. 3. Se (V, ϕ) è uno spazio vettoriale Euclideo, si dia la definizione di base ortonormale di (V, ϕ) (ossia, una base di V ortonormale per ϕ). Sia B una base ortonormale di (V, ϕ). Si dimostri che f : V V è simmetrico se e solo se la sua matrice MB B (f) nella base B è... Esercizio 3. Sia V uno spazio vettoriale finito-dimensionale su K e siano U, W V sottospazi vettoriali.. Dimostrare che U W e U + W (definire) sono sottospazi vettoriali di V.. Enunciare la relazione che intercorre tra le dimensioni di U +W, U W, U e W (formula di Grassman). 3. Dimostrarla. Domanda extra. Dimostrare che se K = R e d è pari allora esistono endomorfismi f : V V che non hanno autovalori (reali); si consideri prima il caso d =. Se d è dispari? (Si pensi al polinomio caratteristico - che è un polinomio reale di grado dispari - e alle sue radici).. Se K = C e dim(v ) < +, dimostrare che la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è sempre uguale a dim(v ). Dobbiamo concluderne che ogni endomorfismo f : V V di uno spazio vettoriale complesso è diagonalizzabile? Dimostrare o confutare con un controesempio.

Prova teorica di algebra lineare e geometria del 3 Settembre 9 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione:. riportare i dati personali su ogni foglio consegnato;. COMPILARE E CONSEGNARE IL PRESENTE TESTO. Esercizio. Sia V uno spazio vettoriale reale.. Dare la definizione di prodotto scalare su V, di spazio nullo di un prodotto scalare, di prodotto scalare non-degenere e di prodotto scalare definito positivo. Dare la definizione di base ortogonale e ortonormale.. Dimostrare che un prodotto scalare ϕ se e solo se esiste v V tale che ϕ(v, v). 3. Dimostrare che ogni prodotto scalare ammette una base ortogonale (non usare il Teorema spettrale). 4. Dimostrare che ogni prodotto scalare definito positivo ammette una base ortonormale (non usare il Teorema spettrale). Esercizio. Sia (V, ϕ) uno spazio vettoriale Euclideo (ossia V è uno spazio vettoriale reale e ϕ un prodotto scalare definio positivo su V ).. Si dia la definizione di endomorfismo lineare simmetrico (o autoaggiunto) di (V, ϕ).. Sia f : V V lineare. Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti: i): f è autoaggiunto per ϕ; ii): esiste una base ortonormale B di (V, ϕ) tale che la matrice di f nella base B è???

3. dimostrare che f è autoaggiunto per ϕ se e solo se la matrice di f in qualsiasi base ortonormale di (V, ϕ) è???? 4. Stabilire per quali eventuali λ R l endomorfismo L A : R R è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare standard, ove ( ) λ λ A =:. 3 + λ 3 Esercizio 3. Sia f : V V lineare.. Dare la definizione di autovalore, autovettore e autospazio di f.. Dimostrare che la combinazione lineare di autovettori relativi allo stesso autovalore è ancora un autovettore. Vale lo stesso se si usano autovettori relativi a autovalori distinti? 3. Dimostrare che autovettori v,..., v r relativi ad autovalori λ,..., λ r distinti sono linearmente indipendenti. 4. Sia f autoaggiunto rispetto al prodotto scalare definito positivo ϕ e siano v, v V autovettori di f relativi ad autovalori distinti λ λ. Dimostrare che v e v sono ortogonali per ϕ. Esercizio Extra. Sia V uno spazio vettoriale complesso e f : V V lineare; dimostrare che f ammette almeno un autovalore.

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 3 Giugno 8 VERSIONE A Nome e cognome: Matricola: Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia K un campo e sia V K 5 il sottospazio vettoriale x y V =: z : x y + t = x z t = 3x y z =. t u. Trovare dimensione e una base per V.. Trovare equazioni Cartesiane per V e una base per il sottospazio annullatore V (K 5 ). 3. Se K = R, trovare una base di V ortonormale per il prodotto scalare standard. 4. Se W =: x y z t u : x + y + z + t + u =, determinare dimensione e basi di V W e V + W. 5. Determinare esplicitamente una applicazione lineare suriettiva ϕ : K 5 K boh tale che V = ker(ϕ), specificando boh. 6. Determinare esplicitamente un applicazione lineare iniettiva ψ : K mah K 5 tale che V = im(ψ) (spazio immagine), specificando mah. Soluzione. V è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di tre equazioni in cinque incognite x y + t = x z t = 3x y z =.

Si noti che u non compare ma va pensata come presente con coefficiente nullo, dato che V K 5 (un vecchio trucco da prof). Quindi la matrice dei coefficienti del sistema è 3. Operando per righe, otteniamo: 3 3 3 3 ( / 3/ ( / / / 3/ ) ). Pertanto, dato che la matrice del sistema ha rango due e V ne è il nucleo, abbiamo dim(v ) = 5 = 3; equazioni Cartesiane (non ridondanti) per V sono x z t =, y z 3t =. Una base per l annullatore è perciò (e e 3 e 4, e e 3 3e 4), ove gli e i sono i vettori della base standard di K 5 e gli e i duale di (K 5 ). quelli della base

Inoltre, parametricamente abbiamo V = x y z t u K5 : x = (z + t), y = (z + 3t) = (z + t) (z + 3t) z t u K5 : x = (z + t), y = (z + 3t) = z + t 3 + u : z, t, u K = span, 3,. Dato che dim(v ) = 3, questi generatori (nell ordine) sono necessariamente una base B = ( v, v, v 3 ) di V. Se K = R, sia, il prodotto scalare standard su R 5. Evidentemente v 3 è ortogonale a v e v, quindi a ogni loro combinazione lineare. Pertanto, per trovare una base ortogonale di V basta applicare GS a v e v, ponendo cioè: w =: v, w =: v w, v w, w w, w 3 =: v 3. Abbiamo quindi w = 3 3 = /3 7/3 4/3 = 3 7 4 6 3

Una base ortonormale si ottiene sostituendo ogni w i con w i / w i : / 6 / / 6 D = / 6, 7/ 4/ 6/,. Chiaramente W, essendo il nucleo di un funzionale lineare non nullo, ha dimensione 5 = 4. Inoltre, V W è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di tre equazioni in cinque incognite x z t = y z 3t = x + y + z + t + u+ =. Operando per righe sulla matrice dei coefficienti, ricaviamo 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3/ / / / 3/4 /4 3/ / /4 /4 3/4 /4 3/ / La matrice dei coefficienti, di cui V W è il nucleo, ha rango tre, quindi da cui discende che dim(v W ) = 5 3 =, dim(v + W ) = 3 + 4 = 5, 4.

sicchè V + W = K 5 ; come base si può prendere una qualsiasi base di K 5, ad esempio la base standard (la mia preferita). Parametricamente, abbiamo V W = = x y z t u t = span : x = 4 (t + u), y = 4 (3t u), z = (3t + u) /4 /4 3/4 3/ + u /4 / : t, u R 3 6 4, 4. Dato che dim(v W ) =, i due generatori qui sopra sono necessariamente linearmente indipendenti (cosa comunque evidente); presi nell ordine, essi formano quindi una base di V W. Per rispondere al punto 5., per il teorema del rango deve chiaramente essere boh = dim ( K 5) dim(v ) = 5 3 = = dim ( V ). Per trovare ϕ esplicitamente, basta utilizzare un sistema di equazioni Cartesiane non ridondanti di V, cioè corrispondenti a una base di V, e metterle in colonna; ad esempio, possiamo prendere quelle corrispondenti alla base di V determinata qui sopra. Se quindi definiamo ϕ : K 5 K ponendo ϕ : x y z t u ( x z t y z 3t allora per costruzione ϕ ha rango due (quindi è suriettiva) e ker(ϕ) = V. Quanto al punto 6., sempre per il Teorema del rango si ha mah = dim(v ) = 3. 5 )

Per una scelta esplicita di ψ : K 3 K 5 siffatta, basta prendere una base qualsiasi (v, v, v 3 ) di V e porre x ψ : y x v + y v + z v 3. z Per esempio, utilizzando la base B trovata qui sopra, otteniamo x + y x x + 3y ψ y =: x z y. z Esercizio. Sia A = 5 3 4 3 3.. Determinare il polinomio caratteristico di A.. Determinare gli autovalori di A e i relativi autospazi; stabilire se A è diagonalizzabile. 3. Determinare, se esiste, una matrice B invertibile tale che B AB è diagonale. 4. Stabilire se esiste una matrice B ortogonale tale che B AB è diagonale. 5. Determinare equazioni Cartesiane e una base per ker(l A ) e per lo spazio immagine di L A (essendo L A l applicazione lineare associata ad A rispetto alla base standard). 6

Soluzione. Il polinomio caratteristico di A è: p A (X) = det(xi A) X + 5 3 = X + 4 3 X + 3 X + 5 3 = X + 6 (X + 6) X + 3 X + 5 3 = (X + 6) X + 3 X + 5 5 = (X + 6) X + ( ) X + 5 5 = (X + 6) X + = (X + 6) [ (X + 5)(X + ) 5 ] = (X + 6) ( X + 6X) = X (X + 6). Quindi A ha l autovalore con molteplicità algebrica e l autolvalore 6, con molteplicità algebrica. Sicuramente, l autospazio relativo all autovalore ha dimensione (molteplicità geometrica), mentre l autospazio relativo all autovalore 6 potrebbe a priori avere dimensione o ; A è diagonalizzabile solo in questo secondo caso. Determiniamo gli autospazi. Abbiamo V = ker(a) e operando per righe ricaviamo A = 5 3 4 3 3 3 6 6 3. 7

Pertanto A ha rango, sicchè dim(v ) = 3 = ; di più, x V = y : x = z, y = z = span. z Inoltre, V 6 = ker(6i + A) e operando per righe otteniamo 3 6I + A = 3 3 3. Quindi, x V 6 = y : x + y + 3z = z y 3z = y : y, z K z 3 = span,. Dato che il rango di 6I + A è evidentemente, V 6 ha dimensione 3 =. I due generatori qui riportati, presi nell ordine, sono pertanto una base di V 6. In particolare, l autovalore 6 ha molteplicità geometrica e pertanto molteplicità geometrica e molteplicità algebrica coincidono per tutti gli autovalori di A; inoltre, la somma delle molteplicità geometriche è + = 3, il che significa che A è diagonalizzabile. Dal momento che A è diagonalizzabile, esiste una matrice B invertibile tale che B AB è diagonale. Esplicitamente, se prendiamo l unione delle basi degli autospazi (in un ordine qualsiasi) otteniamo una base B di R 3 costituita da autovettori di A; basta allora porre B = MC B (id), ove C è la base canonica di R 3. Infatti allora B AB = MB B(L A), che è diagonale per costruzione. Concretamente, se poniamo 3 B =,,, 8

allora e quindi (verificare) B = B AB = 3 6 6. Se esistesse B ortogonale tale che D =: B AB è diagonale, avremmo A = BDB = BDB t con D diagonale; quindi, A t = ( BDB t) t = ( B t ) t D t B t = BDB t = A. Pertanto, A sarebbe simmetrica, il che chiaramente non è. Quindi non può esistere B ortogonale tale che D =: B AB è diagonale. Per l ultimo punto, basta osservare che ker(l A ) = V, im(l A ) = V 6, il che è evidente prendendo i trasformati dei vettori di B. Quindi ci si riconduce alle considerazioni precedenti. Esercizio 3. Sia A = Siano L A : R 3 R 3 e ϕ : R 3 R 3 R dati da:. L A (X) =: AX, ϕ(x, Y) = X t AY (X, Y R 3 ). Stabilire se ϕ è un prodotto scalare e se L A è un operatore lineare autoaggiunto (simmetrico) per il prodotto scalare standard, motivando le risposte.. Determinare nullità e indice di positività di ϕ; stabilire se ϕ è definito positivo... Determinare, se esiste, una base ortonormale di R 3 composta da autovettori di L A. 3. Determinare una base di R 3 ortogonale per ϕ. 9

4. Stabilire se esiste N O(3) tale che N t AN è diagonale e nel caso determinarla. Soluzione. Tralasciamo la bilinearità; quanto alla simmetria, vediamo uno scalare come una matrice, ovviamente uguale alla propria trasposta, sicchè X, Y R 3 si ha ϕ(x, Y ) = X t AY = ( X t AY ) t = Y t A t X = Y t AX = ϕ(y, X), dal momento che A = A t. Quindi la simmetria è soddisfatta per via della simmetria di A. Determiniamo polinomio caratteristico e spettro di A. Abbiamo X p A (X) = X X = X X X X = X X X = X X = X ( X ) ( = X X ) ( X + ). Quindi A ha i tre autovalori distinti,,. Pertanto la nullità, data dalla molteplicità di come autovalore di A, è n ϕ = ; similmente, l indice di positività, dato dalla molteplicità totale degli autovalori positivi, è p ϕ = (in virtù del teorema spettrale sappiamo a priori che A è diagonalizzabile, quindi molteplicità algebrica e geometrica sono necessariamente uguali). Il teorema spettrale garantisce l esistenza di una base ortonormale di R 3 composta da autovettori di L A. Per determinarla, basta trovare una base ortonormale di ogni autospazio e prendere l unione, in un ordine qualsiasi, delle basi trovate. Nel nostro caso, gli autospazi hanno tutti dimensione, quindi basterà trovare un autovettore di norma per ogni autovalore; tali vettori saranno necessariamente tra loro ortogonali, perchè autovettori relativi ad autovalori distinti di una matrice d d simmetrica sono sempre ortogonali per il prodotto scalare standard su R d. Abbiamo V = ker(a) e d altra parte mediante operazioni per righe (che non cambiano il nucleo della matrice) otteniamo: A =.

Quindi, V = x y z : y =, x = z = span Una base ortonormale di V è quindi / /.. Inoltre, V = ker ( I A ) ; mediante operazioni per righe, ricaviamo I A =. Quindi, x V = y : x = z, y = z z z = z : z R z = span. Una base ortonormale di V è quindi data da / /. /

Abbiamo poi V = ker ( I + A ). Usando ancora operazioni per righe, otteniamo I + A =. x V = y : x = z, y = z z z = z : z R z = span. Una base ortonormale di V è quindi data da / /. / In definitiva, una base ortonormale di R 3 (per il prodotto scalare standard) composta da autovettori di A è / / B = /, / /, /. / / Pertanto, se N =: MC B (id) = / / / / / / / /,

allora N O(3) (dal momento che le sue colonne formano una base ortonormale per il prodotto sclare standard) e N diagonalizza A (dal momento che le sue colonne sono autovettori di A). Rammentando le leggi di trasformazione delle matrici di un applicazione lineare e di un prodotto scalare in un cambiamento di base, = MB B (L A ) = N A N = N t A N = M B (ϕ), dato che NN t = I. Quindi, B è una base di R 3 ortogonale per ϕ. 3

Prova pratica di algebra lineare e geometria del 5 Febbraio 8 VERSIONE A Nome e cognome: Bianca Neve Matricola: 7 Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Sia K un campo e siano U, W K 4 i sottospazi vettoriali dati da U =: span, 4,, 5, W =: span,.. Trovare dimensioni e basi per U e W.. Trovare equazioni Cartesiane per U e W e basi per i sottospazi annullatori U, W (R 4 ). 3. Trovare equazioni Cartesiane, dimensione e una base per il sottospazio intersezione U W. 4. Trovare dimensione e base per il sottospazio somma U + W ; stabilire se la somma è diretta. Soluzione. Innanzitutto, consideriamo U. Operando per righe sulla matrice estesa otteniamo a a 4 5 b c 3 a + b a + c d a + d a 3 a + b a + b + c. a + d