INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE y=f(x) f(x)dx= F (x) + c è l insieme delle PRIMITIVE F(x) della funzione f(x) tale che F (x)=f(x) Operazione inversa della Derivata prima. Se derivo F(X) ottengo f(x) Le primitive sono infinite e differiscono per una costante c Si calcola applicando le regole : Integrali immediati Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento] Integrazione per sostituzione Integrazione per parti
FUNZIONE F(x) PRIMITIVA di una funzione y=f(x) y=x 2 Derivata PRIMITIVA y=2x f(x) La funzione F(X) si chiama Primitiva di f(x) se la sua derivata è f(x) : D[F(X)]=f(x) opp F (x)=f(x) ESEMPI : x 2 è PRIMITIVA di 2x perchè D[x 2 ]=2x senx è PRIMITIVA di cosx perchè D[senx]=cosx Le primitive F(x) di una funzione f(x) sono infinite se F(x) è primitiva di f(x) allora lo è anche F(x) + c la funzione f(x)=2x ha infinite primitive F(x)= x 2 +c che formano una famiglia di infinite curve 2
Sia y=f(x) funzione continua in un intervallo I. Si chiama INTEGRALE INDEFINITO di f(x) l insieme delle sue Primitive Funz. integranda Proprietà di linearità f(x)dx= F (x) + c INTEGRALI IMMEDIATI dx = x + c x dx = ln x +c e x dx = e x + c INTEGRALE INDEFINITO Primitiva la Derivata della Primitiva = f(x) D[F(x)]=f(x) " K f (x) dx = K" f (x) dx " ( f (x) + g(x)) dx = f (x) dx x n dx = xn+ n + + c cos x dx = senx + c senx dx = " cos x + c " + " g(x) dx x dx = x "n dx =... n n x m dx = x m n dx =... dx = x " m n dx =... n x m 3
VERIFICO: REGOLE INTEGRALI IMMEDIATI Derivo la primitiva dx = idx = x + c kidx = ki dx = kx + c la Primitiva di è x La primitiva di una costante Isolata k è =k*x D[x]= +0= D[kx]= k*+0=k integrale di una potenza x n = x elevato a (n+) fratto (n+) " x n dx = xn+ n + + c " dx = ln x + c = x e x " dx = e x + c = cos x " dx = senx + c senx " dx = # cos x + c " x dx = x2 " x 2 dx = x3 " x 3 dx = x4 la Primitiva di /x è ln x la Primitiva di e x è e x la Primitiva di cosx è senx 2 + c D # $ % 2 x2 3 + c D # $ % 3 x3 4 + c D # $ % 4 x4 la Primitiva di senx è cosx D[lnx]=/x D[e x ]= e x & ' ( = 2 2x = x & ' ( = 3 3x2 = x 2 & ' ( = 4 4x3 = x 3 D[senx]=cosx D[ cosx]=senx 4
Ki f (x)dx = Ki f (x)dx esempio PROPRIETA DI LINEARITA : applicazione L INTEGRALE del prodotto di una costante K per una funzione è = al prodotto di K per l integrale della funzione " x 3 % 5ix 2 dx = = 5i x 2 dx = 5i # $ 3 & ' = 5 Porto fuori 5 3 x3 + c 3 x dx = = 3i x dx = 3iln x +c esempio2 estraggo 3 " ( f (x) + g(x)) dx = " f (x) dx + " g(x) dx L INTEGRALE della somma di due o più funzioni è = alla somma dei singoli integrali esempio3 " (x 2 + x 2)dx = Decompongo l integrale nella somma dei singoli integrali esempio4 = x 2 Calcolo " dx + " x dx " 2dx = = x3 3 + x2 integrali 2 2x + c Decompongo (7cos x + 5senx dx = ed estraggo = 7 cos x dx + 5 senx dx = 7senx " 5 cos x
) 2) Integrali immediati svolti " (3x 5 4x 3 In somma + 6)dx = = " 3x 5 dx " 4x 3 dx + " 6dx = 3" x 5 dx 4" x 3 dx + 6" dx = calcolo primitive Decompongo = 3 x6 6 4 x 4 4 + 6x == 2 x6 x 4 + 6x + c Estraggo costanti moltiplicate Estraggo costanti moltiplicate (2x 5 8 Decompongo " x + 7)dx 8 = = " 2x 5 dx " x dx + " 7 dx = 2" x 5 dx 8 In somma " x dx + 7" dx = calcolo primitive = 2 x6 6 8 ln x +7x == 3 x6 8 ln x +7x + c 3) Calcolo subito primitive " (2x 2 7x + 3)dx = = 2 x 3 decomponendo mentalmente 3 7 x2 2 + 3x = 2 3 x 3 7 2 x2 + 3x + c 6
4) Integrali immediati svolti " (x 5) 2 Svolgo dx = = " (x 2 +0x + 25)dx = Quadrato binomio = x 3 3 +0 x2 2 + 25x + c Calcolo primitive Decomponendo in somma 5) Riscrivo come somma di x 3 + 7x 2 " dx = singole = x frazioni Calcolo primitive Decomponendo in somma x 3 x + 7x2 Semplifico # & " $ % x ' ( dx frazioni = = " (x 2 + 7x)dx = = x 3 3 + 7 x2 2 + c == x 3 3 + 7 2 x2 + c 6) " (cos x 6senx + 2)dx = Calcolo subito = senx 6 cos x + 2x + c primitive 7
Integrali immediati svolti 7) 2 x dx = 7 porto la x dal denominatore al numeratore con esponente negativo 2 x "7 calcolo dx = = 2 x"7+ "7 + = 2 x"6 "6 = " 2 6 # x"6 = " integrale 2x + c 6 8) 9) Trasformo la radice in potenza con esponente frazionario 3 x dx = = x 3 dx 3 + = integrale = x = x 3 + 5 dx = 4 x 3 calcolo = 5 x " 3 4 dx = integrale = 5 x" = x " 3 4 + 4 3 4 3 3 4 + = 3 4 4 x 3 = 3 3 4 x4 + c Trasformo la radice in potenza con esponente frazionario portandola al numeratore calcolo 4 4 = 4 x 4 4 = 4 x + c 8
FunzioneComposta*Derivata[argomento] L integrale di una FunzioneComposta*Derivata[argomento] è uguale alla Primitiva della FunzioneEsterna FunzComposta g=funzesterna regole g[ f (x)] f '(x)dx = G( f (x)) + c Derivata[funzInterna] argomento [ f (x)] n i f ' (x)dx = [ f (x)]n+ n + + c PrimitivaFunzEsterna f '(x) f (x) dx = ln f (x) +c cos f (x)i f ' (x)dx = senf (x) + c e f (x) i f ' (x)dx = e f (x) + c senf (x)dxi f ' (x)dx = " cos f (x) + c 9
Integrale di FunzioneComposta*Derivata[argomento] -Funzione Esterna POTENZA [ f(x)] n f '(x)dx = [ f(x)]n+ n+ D[FunzInterna] argomento + c Primitiva FunzEsterna ) " (7x + ) 3 7dx = funzinterna f=7x+ calcolo f =7*+0=7 f f Primitiva f.esterna " (7x + ) 3 7dx = Potenza = (7x + )4 4 + c C E 2) " (2x + 4) 5 2 dx = funzinterna f=2x+4 calcolo f =2*+0=2 C E " (2x + 4) 5 2dx = Primitiva = f.esterna f f Potenza (2x + 4)6 6 + c 0
Integrale di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 4) 3) -Funzione Esterna POTENZA (8x + 3) 5 dx = Se la derivata dell argomento f non c è nel testo devo inserirla moltiplicando e dividendo per un numero opportuno. = 8 (8x + 3)5 " 8 dx = 8 (8x + 3)5 " 8dx = (8x + 3) 6 f 8 6 divido e moltiplico per 8 " (x 2 + ) 3 x dx = funzinterna f=8x+3 --> f = 8*+0=8 : NON C E argomento = " 2 (x2 + ) 3 2x dx == " 2 (x2 + ) 3 2x dx == (x 2 + ) 4 f 2 4 divido e moltiplico per 2 funzinterna f =x 2 + --> f = 2x argomento = = (x2 + ) 4 (8x + 3)6 48 C è x Manca 2 8 + c + c
Integrale di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 2- Funzione esterna /f(x) ) # 8 8x " dx f '(x) f (x) dx = f (x) f '(x)dx = ln f (x) +c DerivataFunzInterna argomento f =8x- --> f = 8*+0=8 : PrimitivafunzEsterna C E = # 8x " 8dx = Primitiva = ln 8x +c funzesterna f /f(x) /f 2) # 6x 3x 2 + " dx f =3x 2 + --> f = 3*2x+0=6x : C E = Primitiva # " 6x dx = 3x 2 funzesterna = ln 3x 2 + +c + /f(x) /f f 2
Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 2- Funzione esterna /f(x) 3) 4) x x 2 + 3 dx = = 2 2x x 2 + 3 idx = x 2 + x 3 + 3x dx = 3 3(x 2 + ) x 3 + 3x idx = f '(x) f (x) dx = f (x) f '(x)dx = ln f (x) +c Negli esempi seguenti la derivata dell argomento f non è presente nel testo: devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno Divido e moltiplico per 2 Divido e moltiplico per 3 f interna f=x 2 +3 --> f = 2*x+0=2x : 2 " Primitiva i2x dx = = x 2 funzesterna + 3 2 " ln(x2 + 3) + c f /f(x) /f f.interna =x 3 +3x --> f = 3x 2 +3 =3(x 2 +) Primitiva C E la x manca 2 manca 3 3 x 3 + 3x i(3x2 + 3)dx = = festerna 3 ln x3 + 3x +c f /f(x) 3 /f
Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 3-Funzione esterna Esponenziale esempi e f (x) i f '(x)dx = e f (x) + c DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna argomento f f " 3 e 3x dx = " e 3x 3dx = = e 3x + c Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna ( in questo caso è l esponente) f non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare/dividere per un numero opportuno # e x " dx = Divido/moltiplico per - # x " e x2 " dx = Divido/moltiplico per 2 f interna=esponente f=-x --> f = - : NON C E = # e x "() " dx = # e x " () " dx = e x + c f interna=esponente f=x 2 --> f = 2x : = 2 # " 2x " dx = ex2 2 # " 2x " dx = + c ex2 2 ex2 f f C E la x manca 2 4
Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento] 4-Funzione esterna coseno DerivataFunzInterna argomento PrimitivaFunzEsterna " 3cos(3x 4)dx = " cos(3x 4)i3dx = Primitiva della = sen(3x 4) + c f f funzesterna coseno f =3 c è " cos 4x # dx = = Molt/div per 4 4 " cos f (x) f '(x)dx = senf (x) + c Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna f non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno f =4 non c è cos 4xi4 dx = Calcolo integrale 4 " cos 4xi4 dx = f 4 sen4x + c " cos(2x + 3) # dx = = Molt/div per 2 2 f =2 non c è " cos(2x + 3)i2dx == 2 f sen(2x + 3) + c 5
METODO DI SOSTITUZIONE funzioni composte g[ f (x)]dx g=funzioneesterna f= funzinterna o argomento Pongo argomento=t cioè f(x)=t --> ricavo x e calcolo differenziale dx. (*) Sostituisco nel testo e ottengo un integrale in t che risolvo. Infine ri-sostituisco f(x) al posto di t. (*) DIFFERENZIALE dx è una operazione che si svolge: calcolando la derivata prima e moltiplicando per dt Esempi: se x=3t+5 Differenziale : dx=(3*+0)dt dx=3dt se x=t 2-3 Differenziale : dx=(2t-0)dt dx=2tdt se x=5t 2 +7t Differenziale : dx=(0t+7)dt 6
- Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE " (5x + 2) 4 dx = Pongo f(x)=t Funzione esterna Potenza 5x + 2 = t Ricavo x 5x = t 2 " x = 5 t 2 5 Calcolo Differenziale (t) 4 5 dt = 5 t 4 dt = $ dx = % & 5 #+ 0 ' ( ) dt " dx = 5 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo = 5 t 5 5 = t 5 25 RI-sostituisco f(x) al posto di t = (5x + 2)5 25 + c 7
2 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE # cos(3x ) " dx = Pongo f(x)=t Funzione esterna Coseno 3x = t Ricavo x 3x = t +" x = 3 t + 3 Calcolo Differenziale $ dx = % & 3 #+ 0 ' ( ) dt " dx = 3 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli costi 3 dt = 3 cost dt = Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo = 3 sent = RI-sostituisco f(x) al posto di t = 3 sen(3x ") + c 8
3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE 2 " 7x + 3 dx = Ricavo x Funzione esterna /f(x) Pongo f(x)=t 7x + 3 = t Calcolo Differenziale 7x = t 3 " x = 7 t 3 7 $ dx = % & 7 #+ 0 ' ( ) dt " dx = 7 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli " 2 t 7 dt = 2 7 " t dt = Ottengo un integrale immediato/t nella variabile t : lo calcolo = 2 7 ln t = RI-sostituisco f(x) al posto di t = 2 7 ln 7x # 3 +c 9
4 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE # (2x ) 3 " x " dx = Funzione esterna Potenza f(x)=t 2x = t Ricavo x 2x = t + " x = t 2 + 2 " x = 2 #t + 2 Differenziale $ " dx = % & 2 #+ 0 ' ( ) dt " dx = 2 dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli " = (t) 3 ( 2 t + 2 ) 2 dt = " ( 2 t 4 + 2 t 3 ) 2 dt = " # $ % 4 t 4 + 4 t 3 & ' ( dt = = 4 it 5 5 + 4 = (2x ))5 20 t 4 4 = t 5 + 20 + t 4 6 = (2x ))4 6 integrale immediato in t: lo calcolo + c RI-sostituisco f(x) al posto di t 20
5 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE " (9x + 7) dx = Conviene porre =t tutta la radice f(x)=t Funzione esterna Radice Quadrata 9x + 7 = t 9x + 7 = t 2 Ricavo x x = t 2 9 " 7 9 x = 9 t 2 " 7 9 " t 2 9 t dt = 2 9 " t 2 dt = = 2 9 t 3 3 = 2t 3 Differenziale 27 = $ dx = % & 9 #2t " 0 ' ( ) #dt dx = 2 9 t #dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo RI-sostituisco f(x) al posto di t = 2( 9x + 7)3 27 = 2 (9x + 7)3 27 + c 2
Regola di integrazione PER PARTI Si applica per calcolare l integrale del prodotto fra due funzioni
REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI Si applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo: x n e x dx x n " cos x"dx x n ln x" dx= Una funzione si chiama FattorFinito f(x) si deve derivare trovando f (x) L altra è FattorDifferenziale g (x)dx si deve integrare: trovo primitiva g(x) ff fd " f (x) g'(x) dx = f (x) g(x) # " f '(x) ig(x)dx ff INT(fd) - D[ff] INT(fd) NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare x FattorFinito ff fd " x e x dx = x e x # " ex idx = xe x # e x + c ff INT(fd) - D[ff] INT(fd) 23
esempi REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI " f(x) g'(x) dx= f(x)g(x)# " f '(x) g(x)dx ff fd ff " x cos x dx = xisenx # " senx dx = xisenx # (# cos x) = xisenx + cos x + c INT(fd) - D[ff] INT(fd) ff fd Quando c è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito " ln x dx = " ln x dx = ln xix # ff fd x " ix dx = x ln x # " dx = x ln x # x + c " x ln x dx = " ln x x dx = ln xi x2 2 # " i x2 fd ff x 2 x2 dx = 2 ln x # " x x2 dx = 2 ln x # x2 2 + c 24