IDENTITÀ ED EQUAZIONI Una identità è una eguaglianza tra due espressioni letterali che è verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere contenute nell espressione. Ad esempio le seguenti eguaglianze sono delle identità: (a b) a ab b 4 4 ( ) La seconda uguaglianza, infatti, è soddisfatta per qualsiasi valore assegnato alla : ad esempio se ad sostituiamo oppure 4 si ottiene: 4 4 ( ) 5 5 4 4 4 4 (4 ) 6 6 e questo è verificabile per qualsiasi valore della. Non è una identità la seguente uguaglianza: 8 poiché esiste solo un valore della che verifica l uguaglianza tra il primo ed il secondo membro (il numero ). Si chiama primo membro l espressione che sta alla sinistra del segno di uguaglianza, mentre l espressione che sta alla destra è chiamato secondo membro. Primo membro Secondo membro + = + 5 Le uguaglianze che non soddisfano l identità sono chiamate equazioni. Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni letterali che diventa vera o falsa a seconda dei valori attribuiti ai simboli letterali contenuti in essa. I simboli letterali contenuti in una equazione si chiamano incognite. Ad esempio, la prima equazione delle due seguenti ha un unica incognita, mentre la seconda equazione ha due incognite e y. + = + 5 y y I valori che in una equazione soddisfano l eguaglianza si chiamano radici o soluzioni e costituiscono l insieme delle soluzioni dell equazione. Per verificare se una uguaglianza è una identità si deve accertare che l espressione del primo membro sia uguale a quella del secondo membro.
ESERCIZI Verificare se le seguenti uguaglianze sono delle identità o delle equazioni:. ( ) ( ) 7( ) ( ). ( ) + 6 = (6 ). + + + ( ) = 8 + ( ) 4. 5 + = ( 6 + ) + CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI In base alla posizione dell incognita le equazioni sono: intere: se l incognita è presente solo al numeratore; 7 fratte o frazionarie: se l incognita è presente anche al denominatore; numeriche: se i coefficienti sono tutti numeri; letterali: se alcuni coefficienti sono rappresentati da lettere (di solito a, b, c,..) che vengono chiamati parametri; a a 4 b a Una equazione si dice in forma normale se tutti i termini della uguaglianza sono stati portati a primo (o a secondo membro). Pertanto, in un lato dell equazione compare lo zero e dall altro il polinomio è ridotto senza monomi simili.
4 0 4 0 Il termine che non contiene l incognita si chiama termine noto. Per grado di una equazione si intende il grado del polinomio ridotto, cioè il maggiore esponente con cui l incognita compare nell equazione ridotta in forma normale. 4 0 è una equazione di grado ad una incognita 4 0 è una equazione di grado ad una incognita y 4 0 è una equazione di grado a due incognite 4 0 è una equazione di grado ad una incognita Le equazioni si possono ulteriormente suddividere rispetto all insieme delle soluzioni: impossibile: quando l equazione non ha soluzioni, cioè non esiste alcun valore attribuibile all incognita per cui sia soddisfatta l uguaglianza. 0 determinata: le soluzioni sono in un numero finito, cioè esistono dei definiti valori dell incognita che soddisfano l uguaglianza. 5 6 indeterminata: le soluzioni dell equazione sono infinite, cioè esistono infiniti valori dell incognita che soddisfano l uguaglianza. 0 0 PRINCIPI DI EQUIVALENZA Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno lo stesso insieme di soluzioni. Ad esempio le seguenti equazioni sono equivalenti perché hanno la stessa soluzione ( = ): + ( ) = + 6( + ) = + 5 Per la risoluzione delle equazioni si utilizzano i principi di equivalenza che permettono di semplificare le espressioni per giungere alla soluzione.
Primo principio di equivalenza: se si aggiunge o si toglie uno stesso numero, positivo o negativo, o una stessa espressione ai due membri di una equazione, si ottiene una equazione equivalente. Infatti se alla seguente uguaglianza togliamo od aggiungiamo uno stesso numero si ottiene nuovamente una uguaglianza: 6 + 4 = 5 + 5 6 + 4 + = 5 + 5 + 6 + 4 = 5 + 5 Dal precedente principio si deduce quanto segue: Regola della soppressione dei termini uguali: se nei due membri di una equazione sono presenti gli stessi termini o espressioni, questi possono essere eliminati. 4 4 ( + ) + ( 5) = ( + ) + ( 5) + ( + ) + = 4 + 4 ( + ) + ( 5) = ( + ) + ( 5) Regola del trasporto dei termini: in una equazione è possibile trasportare un termine da un membro all altro purché gli venga cambiato il segno. 4 4 ( + ) + ( 5) = ( + ) Sommiamo ad entrambi i membri il termine - + ( + ) + = 4 Sommiamo ad entrambi i membri l espressione ( 5) 4 ( + ) + ( 5) ( 5) = ( + ) ( 5) Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo i due membri di una uguaglianza per uno stesso numero, diverso da zero, oppure per una stessa espressione letterale, si ottiene una equazione equivalente a quella precedente. Dal secondo principio di equivalenza derivano le seguenti regole. Regola del cambiamento del segno: cambiando segno a tutti i termini di una equazione, si ottiene una equazione equivalente alla precedente. 4 ( 5) = ( + ) 4 ( )( 5) = ( ) ( + ) 4
4 + 5 = Regola della soppressione dei denominatori numerici: moltiplicando ciascun termine dell equazione per il m.c.m. dei denominatori si ottiene una equazione equivalente alla precedente, ma senza denominatori. Esempio: 4 4 = 4 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NUMERICHE INTERE AD UNA INCOGNITA Per risolvere una equazione numerica intera si procede nel seguente modo si eseguono le operazioni indicate; se nell equazione compaiono denominatori numerici, si riducono i due membri allo stesso minimo comune denominatore; si eliminano i denominatori moltiplicando i due membri per il minimo comune denominatore; si portano a primo membro i termini con l incognita e al secondo membro gli altri termini; si riducono i termini ottenendo la forma A = B. Se A è diverso da zero l equazione è determinata e quindi si ottiene la soluzione dividendo il termine noto per il coefficiente dell incognita. Se A = 0 si possono avere le seguenti situazioni: o B = 0 l equazione diventa 0 = 0, cioè l equazione è indeterminata; o B diverso da zero 0 = B l equazione diventa impossibile. ESERCIZI Risolvere le seguenti equazioni:. 6 54 = 0; 0 + 4 = 0 [9; 5 ]. 4( ) ( + ) = 4 [-]. 8( + ) + ( ) 5 = 6 0( + ) [0] 4. [7 + ( ) ] = 9 [impossibile] 5. ( ) = ( ) + + [-] 6. ( + ) 4( ) = ( ) [-0] 5
7. 4 + 6 ( + ) = ( ) [ ] 8. + = ( ) 4 4 [ 4 ] 9. ( ) = 5 6 6 6 [impossibile] 0. +5 4 = + 6 [indeterminata]. (a ) + (a + ) = 5 (a + ) 4 [ 75 6 ]. + ( + ) = 5 4 6 [ 5]. 4 [ (5 0) 4] + ( + ) = [impossibile] 5 4. 5+ + 7 = ( ) 0 5 5 4 [] 5. [( ) ] = [0] 6. 9 (6 ) = + 6 [8] 7. 4 ( 5) = ( ) [] 8. 4 7 6 9. 4 5 5 8 [indeterminata] 0. 5 7 5 5 7 6 5 5 [impossibile]. 6 7 6 [impossibile] 6
7. 5 0 9 0 0 [indeterminata]
DOMINIO DI UNA EQUAZIONE FRAZIONARIA Una equazione si dice fratta o frazionaria se compare l incognita anche in uno solo dei denominatori. Le soluzioni di una equazione frazionaria vanno ricercate solo tra quei valori che la trasformano in una uguaglianza cha ha un significato, cioè bisogna escludere dalle sue possibili soluzioni quei valori per i quali non avrebbe più senso parlare di uguaglianza vera oppure falsa. L insieme dei valori che, sostituiti al posto dell incognita, trasformano l equazione in una uguaglianza, vera oppure falsa, si dice dominio dell equazione. I dominio di una equazione viene espresse per mezzo delle condizioni a cui devono soddisfare le eventuali soluzioni che sono chiamate condizioni di accettabilità delle soluzioni. Esempio: 6 0 Perché l equazione abbia senso è necessario che i denominatori siano diversi da zero. Pertanto: 0 0 In conclusione l equazione si trasforma in una uguaglianza, vera o falsa, per tutti i valori attribuiti alla incognita tranne che per - e 0, poiché l equazione sarebbe priva di significato. Il domino dell equazione si scrive come segue: D,0 ESERCIZI Stabilire le condizioni di accettabilità e il dominio delle seguenti equazioni: a. 5 6 7 b. 5 4 c. 4 RISOLUZIONE DI UNA EQUAZIONE FRAZIONARIA NUMERICA 8
Per risolvere una equazione frazionaria è necessario liberarla dai denominatori moltiplicando entrambi i membri per il denominatore comune. Naturalmente perché l equazione abbia senso è necessario che il denominatore sia diverso da zero, cioè si devono trovare le condizioni di accettabilità o di esistenza. Trovate le condizioni di esistenza e conseguentemente il dominio dell equazione, si risolve l equazione e si confrontano le soluzioni con il dominio di esistenza. Se le soluzioni rientrano nel dominio, allora la soluzione è accettabile. ESERCIZI Risolvere le seguenti equazioni stabilendone le condizioni di accettabilità ed il dominio. a. b. 5 c. [-5] d. [ 4 ] e. 7 6 9 6 [] f. [indeterminata; 0; ] g. 4 5 [impossibile] EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE RICONDUCIBILI A QUELLE DI PRIMO GRADO Se una equazione è riconducibile alla forma P 0, dove P è un polinomio di grado n scomponibile in fattori di primo grado nella variabile, si può risolvere applicando la legge dell annullamento del prodotto. 9
Esempio: 0 ( ) 0 Soluzioni 0 ESERCIZI Risolvere le seguenti equazioni. a. 0 b. 0 c. 5 6 0 ; d. 8 0 a a ; a PROBLEMI DI PRIMO GRADO AD UNA INCOGNITA a. La somma tra i 5 di un numero e la sua metà è uguale al numero stesso diminuito di 0. Trovare il numero. b. Francesco ha 4 anni e sua sorella ne ha. Quanti anni fa l età di Francesco era il doppio dell età della sorella? c. In un parcheggio vi sono in tutto 96 veicoli, tra automobili e motociclette. Sapendo che le ruote sono complessivamente 648, determina il numero delle automobili e delle motociclette che vi sono in quel parcheggio. d. Un numero è tale che il suo triplo diminuito di 4 è uguale alla somma del doppio con il successivo del numero stesso. 0
e. La somma di numeri è 0. Sapendo che il terzo è il doppio del primo e che il secondo è del terzo, determina i tre numeri. f. Di due numeri si sa che uno di essi è dell altro e che la loro somma è 55. Determina i due numeri. g. Giovanni ha anni e suo padre ne ha. Tra quanti anni l età di Giovanni sarà la metà di quella di suo padre? h. Per assistere ad uno spettacolo teatrale, 90 spettatori hanno pagato il biglietto intero e 7 il biglietto ridotto, il cui costo è uguale ai di quello del biglietto intero. Sapendo che l incasso complessivo è stato di 48, determina il costo del biglietto intero e di quello ridotto. i. Gli studenti di classi partecipano ad una gita scolastica. Dividendo il costo del noleggio del pullman in parti uguali, ciascuno dovrebbe pagare 9. Tuttavia 5 alunni che partecipano alla gita, non pagano per cui ciascuno dei rimanenti deve pagare 0. Quanti alunni hanno partecipato alla gita.