Corso i Elettromagnetismo Prova scritta / recupero esoneri: a.a. 214/15, 13 Luglio 215 Proff. S. Giagu, F. Lacava, D. Trevese - intero scritto: risolvere i problemi 1, 2 e 3: tempo a isposizione 3.5; - recupero el primo, secono, terzo esonero: risolvere rispettivamente il problema 1, 2 o 3: tempo a isposizione 1.5; Problema 1 Su i una sfera cava, isolante, sottile, i raggio R e momento i inerzia I è uniformemente istribuita una carica Q. Nella sfera è praticato un piccolo foro i raggio a R. Si calcoli: a la ifferenza i potenziale fra il centro el foro e un punto ella sfera iametralmente opposto; b il momento i ipolo ella istribuzione i carica rispetto al centro ella sfera. c Se la sfera è immersa in un campo elettrico esterno uniforme E e è vincolata a ruotare attrono al proprio centro, si etermini l equazione ifferenziale el moto; si iniviui la posizione i equilibrio stabile e si etermini la frequenza elle piccole oscillazioni attorno a etta posizione i equilibrio. [Dati: R = 1.5 cm, I = 3 1 7 Kg m 2, Q = 3 µc, a = 6 µm.] Problema 2 Un elettromagnete è costituito a un nucleo toroiale i sezione S = 1 cm 2 e raggio meio R = 1 m. L avvolgimento i eccitazione è costituito a N = 1 spire. Sperimentalmente, per il materiale ferromagnetico, si misurano un valore el campo magnetico e ell inuzione magnetica, in una situazione in cui la magnetizzazione ifferisce i una quantità trascurabile rispetto al suo valore i saturazione, pari a H m = 3 1 4 As/m e B m = 2 T. Si misurano inoltre un inuzione magnetica resiua pari a B r = 1 T e un campo i coercizione pari a H c = 1 4 As/m. Il ciclo i isteresi è tale ce la curva B(H) si può approssimare con tratti rettilinei nel primo e nel secono quarante. a Determinare il valore el campo i inuzione magnetica, el campo magnetico in un traferro i spessore = 2 cm presente nel circuito magnetico lungo la sezione normale quano nelle spire circola una corrente pari a I = 1 A. b Ripetere il calcolo el punto nel caso in cui la corrente sia I = 2 A. c Nelle conizioni el punto (, eterminare inuzione magnetica, campo magnetico e magnetizzazione all interno el nucleo. Problema 3 In una regione i spazio si trova un campo i inuzione magnetica statico B = B(r, z) con simmetria cilinrica intorno all asse z, e in cui r inica la istanza all asse z. La componente i B lungo l asse z è nota e pari a B z = Bz, con e B costanti positive. a Determinare la componente raiale el campo i inuzione magnetica B r. Una piccola spira circolare i raggio b, centrata sull asse z e con superficie perpenicolare all asse z stesso si muove con velocità v costante lungo la irezione positiva ell asse z. Inicano con R la resistenza elettrica ella spira, e trascuranone il coefficiente i autoinuzione, calcolare: b la corrente inotta nella spira e la potenza issipata per effetto Joule; c la forza applicata all esterno sulla spira, inicanone irezione e verso. [Dati: B = 5. T, = 2. m, b = 1. cm, R = 2. Ω,v = 5. m/s.]
Soluzioni Problema 1 La istribuzione i carica escritta può essere sostituita con una carica Q uniformemente istribuita sull intera sfera, con ensità i carica superficiale σ = Q/(4πR 2 ) più una calotta sferica i raggio a e ensità i carica opposta, in luogo el piccolo foro. Risulta σ = 1.6 1 3 Cm 2 Δr" R" ϑ" S" a" z" r" Fig."2" Il potenziale alla sfera è semplicemente: V sfera = Q 4πɛ = or σr ɛ o mentre quello ella piccola calotta sferica si può valutare facilmente: V foro = 1 4πɛ Fig."1" S calotta σ S r Riferenoci alla figura Fig. 1, esseno a << R, possiamo scrivere r = Rθ e poi S = R 2 sinθθφ R 2 θθφ quini: V foro = σr 4πɛ 2π esseno θ max = a/r. Evitano i approssimare all inizio el calcolo avremmo: V foro = 1 σ S 4πɛ S calotta r σr cos θ 2 Ne segue per il potenziale al centro el foro: = σr2 4πɛ θ = σr ɛ 2π φ θ = σr θ max = σa φ sin θ 2Rsin θ 2 sin θ 2 = σr sin θ ɛ 2 θmax σr ɛ V (θ = ) = V sfera + V foro = σ ɛ (R a 2 ). θ = σr 2sin θ 2 cos θ 2 2sin θ 2 θ 2 = σa. Il potenziale in un punto opposto al foro rispetto al centro, è la somma el potenziale ella superficie sferica, già trovato, più quello ella piccola calotta sferica negativa pensata concentrata nel vertice ella calotta (esseno a << R): Il potenziale in quel punto è quini: V foro (θ = π) = 1 πa 2 σ 4πɛ 2R = a2 σ 8ɛ R V (θ = π) = V sfera + V foro (θ = π) = σ ɛ (R a2 8R ) θ = e infine: V = V sfera + V foro (θ = ) V sfera + V foro (θ = π) = σa ( a 4R 1 ) < Il potenziale al centro el foro si può facilmente ricavare ance sovrapponeno al potenziale ella superficie sferica quello i un iscetto carico negativamente. Il potenziale sull asse i un isco (vei Fig. 2) a istanza z al suo centro è (vei per es. Mencuccini-Silvestrini par. 1.7): V = 1 σ S 4πɛ o S r = σ a 4πɛ o 2πr z2 + r r = σ 1 a 2 2 ] = σ z2 + r 2 a = σ [ z2 + a 2 z r 2 z2 + r 2 =
ce nel limite z iventa: V foro = σa come trovato in preceenza. Il momento i ipolo ella istribuzione i carica rispetto al centro ella sfera è la somma ei contributi ella carica positiva e negativa. Il primo è nullo per simmetria e percé il baricentro ella carica coincie con il polo, mentre il secono vale qr, ove q è la carica el iscetto. Si a: q = π a 2 σ e quini p = Rπa 2 σ = Ra 2 Q 4R 2 = Qa2 4R = 18 1 12 Cm=18 pcm. c) Dalla secona equazione carinale L t = M si ottiene: I ω = p E o ove I è il momento i inerzia ella sfera rispetto a un asse passante per il centro. Si a quini: I ω t + p E osinθ = I θ + p E o sinθ = ) Per piccole oscillazioni si a sin θ θ e l equazione ifferenziale iventa: θ + peo I θ =. Per cui le piccole oscillazioni anno pulsazione ω o = pe o Qa I = 2 E o 4IR e frequenza ν o = ωo 2π = 1 Qa 2 E o 2π 4IR Problema 2 Dalla legge i Ampère per il campo H applicata alla circonferenza meia el nucleo otteniamo Hl + H = NI, (1) ove H = B /µ è il campo magnetico nel traferro. Per le conizioni i raccoro el campo B abbiamo ce B = B, a cui B B r (H m,b m ) B(H) = iµ N Hlµ. (2) Nel piano B H, tale curva è una retta con penenza negativa e intercetta B(H = ) = iµn ce varia con la corrente ce attraversa le spire. Il valore i B si trova tramite l intersezione i tale retta con la curva i isteresi. Con i ati el problema, l intercetta vale: H c I = 2 A I = 1 A H B(H = ) = iµ N.63 T < B r (3) Dal momento ce B(H = ) < B r, la retta intersecerà la curva i isteresi nel secono quarante in cui Il sistema fra Eq. (2) e Eq. (4) fornisce il punto i intersezione: B = B r + B r H c H (4) H = H c(b r iµ N) B r + H c lµ 751 As/m, (5) B = B rµ (H c l + in) B r + H c lµ.95t, (6)
Nel traferro, B = B.95 T e H = B/µ 7.36 1 5 As/m e la magnetizzazione è nulla. In questo caso l intercetta vale B(H = ) = iµ N 1.26 T > B r (7) Dal momento ce B(H = ) > B r, la retta intersecerà la curva i isteresi nel primo quarante in cui Il sistema fra Eq. (2) e Eq. (8) fornisce il punto i intersezione: B = B r + B m B r H m H (8) H = H m(b r iµ N) B m B r + H m lµ 599.5 As/m, (9) B = µ (B m in + B r H m l B r in) B m B r + H m lµ 1.2 T, (1) Come prima, nel tramezzo B = B 1.2 T e H = B/µ 8.12 1 5 As/m e la magnetizzazione è nulla. c) Nelle conizioni el punto abbiamo H = 751 As/m e B =.95T, pertanto la magnetizzazione vale M = B/µ H 7.37 A/m. Problema 3 La componente raiale el campo B può essere ottenuta sia sfruttano la secona equazione i Maxwell, ce utilizzanone la versione integrale. Scriveno la secona equazione i Maxwell in coorinate cilinrice avremo: B = = 1 (rb r ) r r B r = B r 2. + B z z = 1 r (rb r ) r = B z z = B = (rb r) = B r r (11) (12) Alternativamente imponeno ce il flusso i B attraverso una superficie ciusa cilinrica i raggio r e altezza L centrata intorno all asse z sia nullo: Φ(B) = = πr 2 [B z (z + L) B z (z)] + 2πrLB r (r) = πr2 B L B r (r) = B r 2. + 2πrLB r (r) (13) (14) Il flusso i B attraverso la superficie ella spiretta risulta pari a: con la corrente inotta I avente irezione oraria (Legge i Lenz). La potenza issipata sarà ata a W = RI 2 : Φ = B z πb 2 = B zπb 2 ; (15) f i = Φ t = B πb 2 z t = B πb 2 v ; (16) W = RI 2 = I = f i R = B πb 2 v 2 ma. (17) R ( ) 2 B πb 2 v R = 7.7 1 5 W. (18)
c) Al passaggio ella corrente, sul tratto i spira l si manifesta una forza: F = I l B B z # I#. La componente ẑ el campo B etermina su ogni tratto una componente ella forza F r con verso raiale. La risultante i queste forze è ciaramente nulla. Invece la componente ˆr el campo etermina su ogni tratto l una forza con irezione ẑ: F z = Il B r = I l B r ẑ = B πb 2 v B b R 2 l ẑ Fig.#3# F r # B r # I# F z # ce integrata sulla circonferenza iventa: F = B πb 2 v R B b 2 2πb ẑ = ( B πb 2 ) 2 v R ẑ Allo stesso risultato si può arrivare osservano ce, poicé la spira si muove a velocità costante, la forza totale agente su essa è nulla. Occorre quini una forza esterna uguale e opposta alla forza magnetica, ce tene a frenare la spira. Il moo più semplice per calcolare la forza esterna F est consiste nell osservare ce questa forza eve fornire esattamente la potenza issipata nel circuito: F est v = W = F est = v ( ) 2 B πb 2 R = 1.5 1 6 N. (19)