Perurbazioni dipendeni dal empo in Meccanica Quanisica, Perurbazioni Periodiche, Transizioni di Dipolo Elerico, Dipolo Magneico, Quadripolo Elerico e relaive Regole di Selezione Di Giorgio Busoni
Perurbazioni Dipendeni dal empo Traeremo ora il caso in cui l Hamiloniana del sisema non sia compleamene indipendene dal empo, ma olre a un ermine indipendene dal empo H 0 deo Hamiloniana imperurbaa, di cui conosciamo gli auovalori dell energia e i relaivi auosai con le auofunzioni: H 0 = E x = ψ x è presene un ermine di poenziale dipendene dal empo V(): H = H 0 + V() Possiamo allora cercare degli auosai con un meodo perurbaivo a parire dagli auosai imperurbai: i() = b i, () con b i, 0 = δ i, i(0) = i E quindi poremo definire una probabilià di ransizione da uno sao imperurbao i ad un alro sao imperurbao al empo dovua al poenziale V() come: P,i = i() = b i, () Dobbiamo ora rovare un meodo per calcolare i b i, (). L equazione di S. per il sisema è: i ψ i x, = H ψ i x, = H 0 ψ i x, + V()ψ i x, ib i, = b i, ()H 0 + b i, ()V() E proieando su uno sao s ib i, s = b i, () s H 0 + b i, () s V()
ib i,s = b i,s E s + b i, () s V() Conviene ora ogliere dai b i,s la normale dipendenza emporale che avrebbero nel caso imperurbao: Oeniamo b i,s = e ie s a i,s () ie ie s a i,s + e ie s a i,s E s = e ie s a i,s E s + s V() e ie a i, () ie ie s a i,s = s V() a i, ()e ie ia i,s = Usando ora la condizione iniziale e ie s s V() a i, ()e ie b i, 0 = δ i, Poriamo l equazione in forma inegrale a i,s = δ i,s i 0 e ie sτ V s, τ a i, τ e ie τ dτ Dove Facciamo ora l ipoesi aggiuniva che V s, = s V() V() = 0 Allora possiamo risolvere l equazione per approssimazioni successive: Con 0 1 a i,s = a i,s + a i,s + a i,s +...
n+1 a i,s = i 0 e ie sτ n V s, τ a i, τ e ie τ dτ E 0 a i,s = δ i,s Acconenandoci della soluzione al primo ordine oeniamo 0 1 a i,s = a i,s + a i,s = i 0 e ie sτ V s, τ e ie τ 1 i = s dτ Perurbazioni Periodiche Traeremo ora il caso in cui V = Fe iω + F + e iω Allora 0 1 a i,s = a i,s + a i,s = i Dove F s, e i ω s, ω 1 ω s, ω 1 i = s + F s, + ei ω s,+ω 1 ω s, + ω ω s, = E s E Considerando solo due sai, il primo ermine domina per Cioè ω s, ~ω E s E ~ω > 0 È una ransizione a un livello energeico superiore; invece il secondo ermine domina per ω s, ~ ω E s E ~ ω < 0
È una ransizione a un livello energeico inferiore. Per quano riguarda la probabilià di ransizione infine: P s,i = 1 ω F Sin s, ω ω + s, ω s, ω + F Sin s, + ω s, ω s, + ω + Re F s, F l,s e Sin ω s, ω Sin ω s,l + ω iω ω s, ω ω s,l + ω l Dove il erzo è il ermine di inerferenza. Per ω~ω s,i Si ha P s,i ~ 1 ω F Sin s,i ω s,i ω s,i ω Transizioni Eleromagneiche Mi limio a raare il caso di un aomo con un solo elerone e nell approssimazione di nucleo con massa infinia. Avremo che l Hamiloniana è: H = 1 m P e c c e + eφ() μ B() r Scelgo una gauge con φ = 0 e pongo μ = e mc gs Dove g è il faore giromagneico che per l elerone vale. H = P m e mc P A + A P + e mc A e r e mc S B() Trascuro ora il ermine in A e so il fao che P ed A commuano:
H = P m e r e e P A mc mc S B = H 0 + V() Prendiamo Il poenziale veore di un onda piana monocromaica: Con A r, = A 0 e i r ω + A 0 e i r ω A 0 = A 0 ε ε = 1 Possiamo inolre prendere A 0, e quindi ε reale: queso corrisponde a una scela arbiraria della fase a = 0. A r, = A 0 Cos r ω A r, E r, = = ωa 0 Cos r ω V = e mc E prendendo ε = z B r, = A r, = A 0 Sin r ω P A e mc S B = e mc P A 0Cos r ω + e mc S A 0 Sin r ω V = e mc P z A 0 e i y ω e mc P z A 0 e i yr ω ie mc S i y ω x A 0 e + ie mc S i y ω x A 0 e Sviluppiamo ora queso poenziale in serie di Taylor nell approssimazione r 1 Queso è ammissibile perché le lunghezze d onda in gioco sono molo maggiori delle dimensioni aomiche. Prendiamo lo sviluppo al primo ordine per i primi due ermini e all ordine 0 per i secondi :
V e mc P z A 0 1 + iy e iω e mc P z A 0 1 iy e +iω ie mc S x A 0 e iω + ie mc S x A 0 e +iω V = e mc A 0 P z Cos ω e mc A 0 P z ysin ω e mc A 0 S x Sin ω V = e mc A 0 P z Cos ω e mc A P zy zp y + P z y + zp y 0 e mc A 0 S x Sin ω V = e mc A 0 P z Cos ω e mc A 0 L x +S x Sin ω Transizioni di Dipolo Elerico Sin ω e mc A 0 P z y + zp y Sin ω = V d.e () + V d.m () + V q.e () V d.e = e mc A 0 P z Cos ω V i,f = f V d.e i = e mc A 0 f P z i Cos ω V i,f = e mc A 0 im f H, z i Cos ω V i,f = i e c A 0 f H z zh i Cos ω V i,f = i e c A 0 f z i E f E i Cos ω V i,f = i e c A 0 f z i ω f,i Cos ω P f,i = V i,f = 4 e c A 0 f z i ω f,i Cos ω P f,i = e c A 0 f z i ω f,i
Transizioni di Dipolo Magneico V d.m = e mc A 0 L x +S x Sin ω V i,f = f V d.m i = eω mc A 0 f L x +S x i Sin ω P f,i = V i,f = e ω Transizioni di Quadrupolo Elerico m c 4 A 0 f L x +S x i Sin ω P f,i = e ω m c 4 A 0 f L x +S x i V q.e = e mc A 0 P z y + zp y Sin ω V i,f = f V q.e i = e mc A 0 f P z y + zp y i Sin ω V i,f = e mc A 0 im f H, z y + z H, y i Sin ω V i,f = ie c A 0 f H zy zh y + zh y zyh i Sin ω V i,f = ie c A 0 f H zy zyh i Sin ω V i,f = ie c A 0 f zy i E f E i Sin ω V i,f = ie c A 0 f zy i ω f,i Sin ω P f,i = V i,f = e c A 0 f zy i ω f,i Sin ω P f,i = e c A 0 f zy i ω f,i
Regole di Selezione Le regole di selezione che possiamo usare sono: Teorema di Wigner Ecar: si può riassumere dicendo che se Q(x, y, z) è un polinomio omogeneo di grado, e i ed f sono sai a momeno angolare definio, allora f Q i può essere non nullo se e solo se la composizione del momeno angolare dello sao iniziale con un momeno angolare con l = può dare una componene del momeno angolare dello sao finale, cioè se l i l f l i + Parià: se è pari e i ed f sono sai a parià definia, P i = ( 1) i i e P f = ( 1) f f, allora P Q i = Q P i invece se è dispari si ha P Q i = Q P i, di conseguenza f Q i = f P + P Q i = ( 1) f P + Q P i = ( 1) +i+f f Q i e quindi se è pari l elemeno di marice è nullo se la parià dello sao finale è diversa da quella dello sao iniziale, viceversa se è dispari l elemeno di marice è nullo se la parià dello sao finale è uguale a quella dello sao iniziale. Nel caso in cui uno sao è s auosao di L, L s = l(l + 1) s allora P s = ( 1) l s. Momeno angolare azimuale: se e i ed f sono auosai di L z, L z i = m i i e L z f = m f f, sempre secondo il eorema di Wigner Ecar si può scomporre Q come combinazione lineare di poenze di operaori L +, L ed L z che aumenano o diminuiscono l auovalore di L z di 1, quindi si avranno elemeni di marici non nulli solo se Q i ha lo sesso auo valore per l operaore L z di f. Per esempio per Q = L allora L z Q i = m i 1 i l elemeno di marice è nullo se non vale m f = m i 1. Consideriamo ora gli auosai dell aomo di idrogeno n, l, m, s dove n è il numero quanico principale, l il numero quanico secondario, m il numero quanico magneico ed s il numero quanico di spin. Regole di Selezione per Transizioni di Dipolo Elerico Dobbiamo rovare le regola sull elemeno di marice f z i. Regole di selezione su L Per parià P z n i, l i, m i, s i = z P n i, l i, m i, s i
quindi deve essere P n i, l i, m i, s i = P n f, l f, m f, s f e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere l i l f 1 Per il eorema di W.E. Quindi l i 1 l f l i + 1 l f {l i 1, l i, l i + 1} Da cui dobbiamo ogliere il caso l f = l i perché non soddisfa la regola di parià. Regole di selezione su m Nel caso ε = z l f {l i 1, l i + 1} Si ha z n i, l i, m i, s i L z n i, l i, m i, s i n i, l i, m i, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m i = m f Nel caso ε = x+iy Si ha x+iy n i, l i, m i, s i L + n i, l i, m i, s i n i, l i, m i + 1, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m i + 1 = m f Nel caso ε = x iy Si ha x iy n i, l i, m i, s i L n i, l i, m i, s i n i, l i, m i 1, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m i 1 = m f Nel caso ε = x Si ha x n i, l i, m i, s i L + + L n i, l i, m i, s i n i, l i, m i + 1, s i + n i, l i, m i 1, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m f = m i ± 1
Nel caso ε = x Si ha y n i, l i, m i, s i L + L n i, l i, m i, s i n i, l i, m i + 1, s i + n i, l i, m i 1, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m f = m i ± 1 Regole di Selezione per Transizioni di Dipolo Magneico Dobbiamo rovare le regola sull elemeno di marice f L x +S x i. L x +S x n i, l i, m i, s i L + + L + S + + L n i, l i, m i, s i n i, l i, m i + 1, s i + n i, l i, m i 1, s i + n i, l i, m i, s i + 1 + n i, l i, m i, s i 1 Quindi ho un elemeno di marice non nullo in uno dei segueni casi: l f = l i, m f = m i + 1, s f = s i l f = l i, m f = m i 1, s f = s i l f = l i, m f = m i, s f = s i Regole di Selezione per Transizioni di Quadripolo Elerico Dobbiamo rovare le regola sull elemeno di marice f zy i. Regole di selezione su L Per parià P zy n i, l i, m i, s i = zy P n i, l i, m i, s i quindi deve essere P n i, l i, m i, s i = P n f, l f, m f, s f e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere l i l f 0 Per il eorema di W.E. Quindi l i l f l i + l f {l i, l i 1, l i, l i + 1, l i + } Da cui dobbiamo ogliere i casi l f = l i ± 1 perché non soddisfano la regola di parià. l f {l i, l i, l i + }
Regole di selezione su m Nel caso ε = z Si ha zy n i, l i, m i, s i L z L + L n i, l i, m i, s i L z n i, l i, m i + 1, s i + L z n i, l i, m i 1, s i n i, l i, m i + 1, s i + n i, l i, m i 1, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m f = m i ± 1 Nel caso ε = x Si ha xz n i, l i, m i, s i L + + L L z n i, l i, m i, s i L + + L n i, l i, m i + 1, s i n i, l i, m i + 1, s i + n i, l i, m i 1, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m f = m i ± 1 Nel caso ε = y Si ha yx n i, l i, m i, s i L + L L + + L n i, l i, m i, s i L + + L n i, l i, m i + 1, s i + L + + L n i, l i, m i 1, s i n i, l i, m i +, s i + n i, l i, m i, s i + n i, l i, m i, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m f = m i ± 1 o m f = m i Nel caso ε = x+iy Si ha x + iy z n i, l i, m i, s i L + L z n i, l i, m i, s i L + n i, l i, m i, s i n i, l i, m i + 1, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m f = m i + 1
Nel caso ε = x iy Si ha x iy z n i, l i, m i, s i L L z n i, l i, m i, s i L n i, l i, m i, s i n i, l i, m i 1, s i e quindi per avere un elemeno di marice non nullo deve valere m f = m i 1