PERDITA DI CARICO IN UNA CONDUTTURA ORIZZONTALE

LICEO SCIENTIFICO E SCIENTIFICO TECNOLOGICO PRIMO LEVI VIA BIAGI N., 30 MONTEBELLUNA (TV) CONCORSO SPERIMENTA ANCHE TU 006 PERDITA DI CARICO IN UNA CONDUTTURA ORIZZONTALE CLASSE A B LICEO SCIENTIFICO TECNOLOGICO SIMONE BANDIERA, ALBERTO BASSO, ALVISE PICCOLO, ALBERTO SOLIGO, ENRICO DE BORTOLI, FRANCESCO NUBIÉ DOCENTE COORDINATORE: PROF. MASSIMO BASURTO Il dispositivo che presentiamo evidenzia il problema delle perdite di carico di un liquido reale in una conduttura orizzontale di forma cilindrica e sezione costante. Questo fenomeno, in modo più o meno marcato, interessa qualsiasi liquido che scorre all interno di una tubazione e, come vedremo, è legato alla presenza dell attrito viscoso che si manifesta in seno al liquido e fra il liquido e le pareti della conduttura.. L equazione di continuità, l equazione di Bernoulli e il fenomeno della perdita di carico. L equazione di continuità e l equazione di Bernoulli sono due leggi fondamentali della fluidodinamica che descrivono il moto dei fluidi incomprimibili, non viscosi (fluidi conservativi) in moto laminare e in regime stazionario all interno di un tubo di flusso. L equazione di continuità formula matematicamente la condizione di incomprimibilità, soddisfatta con ottima approssimazione per i liquidi reali. Considerando in tratto di tubo senza pozzi né sorgenti il volume del liquido che attraversa la sezione A nell unità di tempo, con velocità media v, è uguale al volume del liquido che esce dalla sezione A, con velocità media v, nella stessa unità di tempo; pertanto (.) A v = Av. L equazione di Bernoulli (.) ρ v + ρgy + P = ρv + ρgy + P, traduce il principio di conservazione dell energia meccanica per i fluidi conservativi, in particolare per i liquidi non viscosi. Nell equazione (.) il coefficiente ρ indica la densità del liquido, g=9.8 m/s è l accelerazione di gravità terrestre, y e y sono le altezze delle sezioni A e A, rispettivamente, misurate a partire da un piano orizzontale di riferimento; infine P e P denotano le pressioni del liquido che attraversa rispettivamente le sezioni A e A. Tutti i liquidi reali non sono esattamente incomprimibili, tuttavia nella pratica è questo ciò che si osserva con ottima approssimazione. In molte applicazioni alcuni liquidi reali, come ad esempio l acqua, possono essere considerati non viscosi, nel senso che in una varietà di applicazioni gli effetti della viscosità possono essere considerati trascurabili. Pertanto, trattando un liquido come incomprimibile e non viscoso, le equazioni (.) e (.) valgono contemporaneamente e formano dunque il sistema (.3) Av = Av ρv + ρgy + P = ρv + ρgy + P Se aggiungiamo l ipotesi che il liquido scorra in un tubo orizzontale (y =y ) e a sezione costante (A =A ), dall equazione di continuità segue v =v e l equazione di Bernoulli porge P =P qualunque siano le sezioni

e del tubo. Ne consegue che la pressione del liquido è necessariamente uguale in tutti i punti della conduttura orizzontale. Orbene, questa previsione teorica non sempre si riscontra in tutte le applicazioni pratiche con liquidi reali. In questo senso anche la comune acqua, ad esempio, può nascondere delle insidie. Per rendercene conto abbiamo costruito il dispositivo schematizzato nella figura seguente, formato da un insieme di vasi comunicanti montati verticalmente a una serie di raccordi idraulici uniti in modo da formare un lungo tubo orizzontale, cilindrico, di sezione costante A=πr entro cui scorre dell acqua con velocità media W. Fig... Nelle cannule trasparenti del dispositivo considerato in figura il liquido non raggiunge la stessa quota perché nel liquido reale (acqua) che scorre nella conduttura orizzontale si verifica una perdita di carico. Sul fondo del recipiente di raccolta vi è una pompa che recupera l acqua a la invia al serbatoio. Il moto è mantenuto stazionario. L acqua entra dall estremità sinistra ed esce dall estremità destra del tubo orizzontale. Non entriamo nel merito della costruzione dell apparecchiatura, che verrà descritta nel paragrafo seguente, ma ci limitiamo unicamente a rilevare che l acqua si dispone all interno delle cannule con un livello che diminuisce vistosamente man mano che aumenta la distanza dal punto d ingresso, contravvenendo curiosamente al principio dei vasi comunicanti conseguenza della legge di Stevin. Vediamo che cosa implica questo risultato sperimentale. Consideriamo due sezioni qualsiasi, e, del condotto orizzontale in corrispondenza delle quali sono fissate due cannule. Sia x la distanza che separa le due sezioni. Supponiamo che la sezione si trovi a sinistra della sezione, pertanto se indichiamo con h l altezza del liquido nella cannula n. e con h l altezza del liquido all interno della cannula n., risulta h >h. Poiché il moto è stazionario la pressione del liquido alla base delle due colonnine è quella che si deduce in condizioni idrostatiche applicando la legge di Stevin quindi, indicando con P atm. la pressione atmosferica, risulta (.) P = ρgh +P atm. e P = ρgh +P atm. e quindi, essendo h >h, risulta anche P >P. Poiché questo vale qualunque sia la coppia di sezioni considerate, è dimostrato che un dislivello h del liquido nelle cannule si traduce in una corrispondente perdita di pressione (.5) p =ρg h in seno al fluido che scorre nel tubo orizzontale verso il rubinetto di uscita. Questa perdita di pressione viene detta, in idraulica, perdita di carico. Questa evidenza sperimentale smentisce la previsione teorica che si ha combinando l equazione di Bernoulli con l equazione di continuità, poiché ci troviamo nelle condizioni in cui il liquido non vede diminuire la propria velocità W lungo il tubo orizzontale, essendo la sezione costante e la portata la stessa in tutte le sezioni, tuttavia vede diminuire la sua pressione durante il moto. L equazione di continuità vale certamente, poiché il liquido è incomprimibile; evidentemente l equazione di Bernoulli non vale quindi almeno una delle ipotesi di lavoro viene a cadere. D altra parte l unica ipotesi debole è quella sulla non viscosità del liquido, di conseguenza in questa applicazione la viscosità non può essere trascurata, ovvero lo studio va eseguito trattando il liquido come un liquido viscoso e applicando una teoria appropriata. Parlare di liquido viscoso significa considerare, all interno del liquido, delle forze di attrito interno che, come abbiamo visto, possono avere effetti notevoli sul moto. Poiché non si ha diminuzione di velocità, l energia cinetica K del liquido è la stessa lungo le varie sezioni del tubo e il lavoro fatto dalle forze di pressione va speso, evidentemente, contro queste forze di attrito dette forze di attrito viscoso che, come tutti gli attriti, sono forze non conservative. Il complesso delle forze di attrito viscoso può essere riassunto da una grandezza fisica detta appunto viscosità, che denotiamo con µ e misuriamo in Pa s (Pascal per secondo).

Utilizzando il teorema dell energia cinetica è possibile determinare una relazione che leghi la viscosità alla portata Q e alla differenza di pressione p. In effetti la variazione di energia cinetica è uguale alla somma del lavoro fatto dalle forze di pressione L press. con il lavoro fatto dall attrito viscoso L a.v., per cui (.6) K K = L press. + L a. v. = p Q t + = pq t ρv ρv = ( P P ) A x + La. v. = p ( AW ) t + La. v. 0 L a. v. 3 L a. v.. Se poniamo t = s allora risulta che, nell unità di tempo, si sviluppa in seno al liquido una forza di attrito di modulo L a.v. = pq, da cui risulta L L (.7) Q a. v. v p f ( r L) p p ( a.. = = µ,,. p) Nella (.7) si è espresso la portata Q in funzione di p, esplicitamente, e di una quantità f che è funzione della viscosità e di parametri geometrici, come il raggio r e la lunghezza L della tubatura. Questa grandezza f può essere modellata in diversi modi. Se la velocità media W può essere considerata relativamente bassa così da poter considerare il moto praticamente come un flusso laminare, si può assumere πr (.8) f ( µ, r, L) L che permette di ottenere la legge di Poiseuille πr (.9) Q = p. 8 µ L Se la velocità supera quel valore critico oltre il quale il moto diventa marcatamente turbolento si deve ricorrere ad altre teorie: di questo problema non ci siamo occupati perché abbiamo ritenuto che la velocità media massima W fosse ragionevolmente moderata (W 0.8 m/s) e quindi abbiamo sempre considerato la formula (.9) e quelle che da esse si deducono. In particolare, sapendo che la sezione è circolare di area A=πr allora Q=AW=πr W, pertanto l equazione (.9) implica per confronto πr r πr W = p W = p, L L da cui si ricava anche LW LW LW (.0) p = ρg h = h = r r ρgr e quindi l espressione esplicita della viscosità ρgr µ = h 8 LW in funzione di tutte le altre grandezze misurabili. Introducendo l espressione del diametro interno D=r del tubo, che può essere misurato direttamente col calibro o fornito dal costruttore, si ottiene infine ρgd (.) µ = h. 3 LW Quindi un dispositivo che evidenzia la perdita di carico mediante il dislivello tra le superfici libere del liquido che si distribuisce in un sistema di vasi comunicanti, che attraversa un unica conduttura cilindrica orizzontale, permette anche di stimare dinamicamente l entità del coefficiente di viscosità µ del liquido con cui si opera. Naturalmente la stima più attendibile è quella che si ottiene eseguendo la media dei valori calcolati mediante la formula (.) in un certo numero di prove.. Descrizione del dispositivo. L apparecchiatura che abbiamo realizzato è formata da una serie di otto cannule verticali in gomma trasparente collegate ad altrettanti raccordi a T tutti dello stesso tipo, uniti l uno con l altro in modo da formare un tubo cilindrico orizzontale, a sezione pressoché costante, della lunghezza di 7 cm circa e del diametro interno di 3/8 di pollice (D 0.95 cm). La distanza tra una cannula e l altra è costante. L estremità sinistra del tubo è il punto in cui entra il liquido, una miscela di densità ρ=00 kg/m 3 ottenuta diluendo 0.5 litri di antigelo di colore verde in 0 litri di acqua, mentre l estremità destra è collegata a un rubinetto che permette al liquido di fuoriuscire. Il tutto è montato su un pannello sul quale sono tracciate delle linee

orizzontali di riferimento spaziate di cm l una dall altra. Il pannello è montato verticalmente su un vecchio banco di scuola, sul quale è praticato un foro che consente al liquido di essere raccolto all interno di un serbatoio da 0 litri ricavato da una tanica di latta stagnata, montata sotto il piano del banco. Sotto la tanica è stata saldata una lattina che serve ad alloggiare una piccola pompa elettrica a immersione del tipo da acquario, che serve a convogliare l acqua dal serbatoio a una tanica di plastica da 0 litri montata dietro il pannello verticale, a un altezza di 5 cm rispetto all asse della tubatura. Dal serbatoio sopraelevato il liquido scende per gravità all interno di un tubo di plastica ed entra nell estremità sinistra della conduttura orizzontale. Si ottiene così un circuito idraulico all interno del quale supponiamo che il liquido si muova di moto laminare (bassa velocità). La pompa viene azionata tenendo premuto un apposito pulsante (START). Fig... Il dispositivo sperimentale: parte anteriore (a sinistra) e parte posteriore (a destra). 3. Esecuzione dell esperimento. Raccolta e analisi dei dati. Anzitutto bisogna accertarsi che il rubinetto sia chiuso e che il serbatoio sopraelevato e le cannule siano completamente piene: se così non fosse bisognerebbe chiudere il rubinetto e azionare la pompa fino a riempimento completo. Fatto ciò, l esperimento può essere eseguito cominciando ad aprire moderatamente il rubinetto e osservando il modo in cui si distribuisce il liquido nelle cannule. La distribuzione delle altezze h=h(x) ricalca la distribuzione delle pressioni P(x)=ρg h(x)+p atm nei diversi punti x del condotto orizzontale. Come si è detto si osserva un profilo pressoché rettilineo con pendenza verso il basso, come quello rappresentato dalla linea tratteggiata di Fig... Man mano che passa il tempo, però, il livello del liquido tende ovviamente ad abbassarsi e questo avviene tanto più rapidamente quanto più è aperto il rubinetto. Per ovviare a questo inconveniente, che può rendere molto difficile l osservazione del fenomeno, si deve tenere premuto il pulsante START che, mettendo in funzione la pompa sommersa, consente di riportare il liquido in cima al serbatoio sopraelevato. Se si riesce a modulare l apertura del rubinetto in modo opportuno, contemporaneamente all azionamento della pompa, è possibile sincronizzare la portata del liquido che esce dal condotto orizzontale con quella che del liquido che vi entra. Quando questo accade il flusso è stazionario e il profilo delle pressioni appare inchiodato, fisso e costante nel tempo, fornendo un impronta visiva della perdita di carico distribuita lungo il condotto. Le altezze h(x) sono state lette, trascritte in una tabella EXCEL e analizzate mediante il calcolo della retta di regressione lineare e dell errore. L analisi dei dati ha confermato che, entro i limiti degli errori sperimentali, la pressione si distribuisce seguendo un andamento rettilineo con pendenza negativa (la correlazione lineare è sempre molto vicino al valore ). L esperimento è stato ripetuto diverse volte alla pressione atmosferica P atm. = 758 mmhg = 0058 Pa e i dati sono riportati di seguito, in forma tabulare e grafica. PROVA N. x (m) h (m) P (Pa) Regressione lineare Errore Errore % 0,000 0,550 06.6 06.6 0 0,00 6,7 0,50 06.69 06.77-07 -0,0 3,9 0,505 06.0 06.090-68 -0,06 0,3 0,85 05.85 05.90-77 -0,07 6,857 0,80 05.776 05.75 6 0,06 33,57 0,50 05.8 05.58-7 -0,0 0,86 0,30 05.85 05.3-56 -0,05 7,000 0,0 05.86 05.5 33 0,03

Pressione (Pa) 06.600 06.00 06.00 06.000 05.800 05.600 05.00 05.00 05.000 0,000 0,000 0,000 30,000 0,000 50,000 y = -8,87x + 066 R = 0,978 PROVA N. 0,000 0,505 06.0 06.0 0 0,00 6,7 0,70 05.678 05.77-9 -0,05 3,9 0,0 05.383 05.3-8 -0,05 0,3 0,05 05.039 05.36-97 -0,09 6,857 0,00 0.990 0.8 9 0, 33,57 0,350 0.98 0.56-7 -0,05 0,86 0,30 0.03 0.5-7 -0,05 7,000 0,300 0.007 03.955 5 0,05 06.500 06.000 Pressione (Pa) 05.500 05.000 0.500 0.000 03.500 0,000 0,000 0,000 30,000 0,000 50,000 y = -3,973x + 060 R = 0,9877 PROVA N. 3 0,000 0,90 05.875 05.875 0 0,00 6,7 0,50 05.8 05.5-6 -0,06 3,9 0,5 05.37 05. -75-0,07 0,3 0,380 0.793 0.88-87 -0,08 6,857 0,370 0.695 0.59 6 0, 33,57 0,30 0.03 0.8 - -0,0 0,86 0,80 03.80 03.886-76 -0,07 7,000 0,60 03.6 03.555 59 0,06 5

06.000 05.500 Pressione (Pa) 05.000 0.500 0.000 03.500 03.000 0,000 0,000 0,000 30,000 0,000 50,000 y = -9,37x + 05875 R = 0,989 PROVA N. 0,000 0,80 05.776 05.776 0 0,00 6,7 0,30 05.85 05.00-5 -0, 3,9 0,390 0.89 05.03-3 -0,3 0,3 0,350 0.98 0.67-9 -0, 6,857 0,30 0.00 0.7 9 0, 33,57 0,90 03.909 03.895 0,0 0,86 0,5 03.66 03.58-5 -0,05 7,000 0,0 03. 03. 79 0,08 06.000 05.500 Pressione (Pa) 05.000 0.500 0.000 03.500 03.000 0,000 0,000 0,000 30,000 0,000 50,000 y = -56,03x + 05776 R = 0,9855 PROVA N. 5 0,000 0,0 05.86 05.86 0 0,00 6,7 0,30 0.00 0.66-6 -0,5 3,9 0,90 03.909 0.3-3 -0,3 0,3 0,0 03.7 03.6-0 -0,0 6,857 0,30 03.39 03.00 9 0, 33,57 0,50 0.53 0.578-6 -0,0 0,86 0,00 0.0 0.056-6 -0,0 7,000 0,060 0.68 0.535 3 0, 6

Pressione (Pa) 05.500 05.000 0.500 0.000 03.500 03.000 0.500 0.000 0.500 0.000 0,000 0,000 0,000 30,000 0,000 50,000 y = -77,683x + 0586 R = 0,977 3. Deduzione della viscosità. Utilizzando i dati raccolti e applicando la già nota formula (.) che esprime µ in funzione degli altri parametri, abbiamo ricavato la viscosità della nostra miscela acqua-antigelo in ciascuna prova. Di questi valori abbiamo poi calcolato la media. Calcolo della viscosità per la miscela acqua-antigelo PROVA W (m/s) P min (Pa) P max (Pa) P (Pa) µ (Pa s) 0,8 05.86 066 78 0,033 0,8 0007 060 05 0,00 3 0,8 036 05875 6 0,0357 0,8 03 05776 555 0,066 5 0,8 068 0586 3538 0,03689 Media 0,08 7