Consideriamo i due insiemi: INSIEMI DI NUMERI DIRETTAMENTE PROPORZIONALI A = {1 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}. Chiamiamo CORRISPONDENTI un numero del primo insieme e un numero del secondo insieme che occupano lo stesso posto. Quindi sono corrispondenti: A 1 2 3 4 5 6 7 B 4 8 12 16 20 24 28 Notiamo che ad OGNI ELEMENTO dell'insieme A corrisponde un SOLO ELEMENTO dell'insieme B, e VICEVERSA. Quindi la corrispondenza tra l'insieme A e l'insieme B è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA. Inoltre notiamo che il RAPPORTO tra un qualsiasi elemento di B e il suo corrispondente elemento di A è sempre lo stesso, cioè diciamo che tale rapporto è COSTANTE. Infatti: A 1 2 3 4 5 6 7 B 4 8 12 16 20 24 28 4/1 = 4 8/2=4 12/3 = 4 16/4 = 4 20/5 = 4 24/6 = 4 28/7 = 4 Il numero 4 che abbiamo ottenuto dividendo ogni elemento di B per il corrispondente elemento di A prende il nome di COEFFICIENTE DI PROPORZIONALITA' da A a B. Quando, come nell'esempio che abbiamo appena visto: fra due insiemi di numeri A e B vi è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA; e il RAPPORTO tra un QUALSIASI ELEMENTO di B e il suo CORRISPONDENTE in A è COSTANTE si dice che i due gruppi di numeri che costituiscono rispettivamente i due insiemi sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI o che si ha una PROPORZIONALITA' DIRETTA da A a B. Se prendiamo due numeri a caso dell'insieme A, ad esempio: 3 e 6 e i rispettivi CORRISPONDENTI, ovvero: 12 e 24. possiamo scrivere: 3 : 6 = 12 : 24 perchè 3 x 24 = 6 x 12 Poichè questo accade per ogni coppia di numeri possiamo concludere: se DUE INSIEMI di numeri sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI, il RAPPORTO di due QUALSIASI NUMERI del PRIMO INSIEME è UGUALE al RAPPORTO dei CORRISPONDENTI numeri del SECONDO INSIEME.
Consideriamo i due insiemi: INSIEMI DI NUMERI INVERSAMENTE PROPORZIONALI A = {2, 3, 4, 5, 6, 8} B = {60, 40, 30, 24, 20, 15}. Chiamiamo CORRISPONDENTI un numero del primo insieme e un numero del secondo insieme che occupano lo stesso posto. Quindi sono corrispondenti: A 2 3 4 5 6 8 B 60 40 30 24 20 15 Notiamo che ad ogni ad OGNI ELEMENTO dell'insieme A corrisponde un SOLO ELEMENTO dell'insieme B, e VICEVERSA. Quindi la corrispondenza tra l'insieme A e l'insieme B è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA. Inoltre notiamo che il PRODOTTO tra un qualsiasi elemento di B e il suo corrispondente elemento di A è sempre lo stesso, cioè diciamo che tale prodotto è COSTANTE. Infatti: A 2 3 4 5 6 8 B 60 40 30 24 20 15 2x60=120 3x40=120 4x30=120 5x24=120 6x20=120 8x15=120 Il numero 120 che abbiamo ottenuto moltiplicando ogni elemento di B per il corrispondente elemento di A prende il nome di COEFFICIENTE DI PROPORZIONALITA' INVERSA da A a B. Quando, come nell'esempio che abbiamo appena visto: fra due insiemi di numeri A e B vi è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA; e il PRODOTTO di un QUALSIASI ELEMENTO di B per il suo CORRISPONDENTE in A è COSTANTE si dice che i due gruppi di numeri che costituiscono rispettivamente i due insiemi sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI o che si ha una PROPORZIONALITA' INVERSA da A a B. Se prendiamo due numeri a caso dell'insieme A, ad esempio: 3 e 6. e i rispettivi CORRISPONDENTI, ovvero:40 e 20. possiamo scrivere: 3 : 6 = 20 : 40 perchè 3 x 40 = 6 x 20 Poichè questo accade per ogni coppia di numeri possiamo concludere: se DUE INSIEMI di numeri sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI, il RAPPORTO di due QUALSIASI NUMERI del PRIMO INSIEME è UGUALE al RAPPORTO INVERSO dei CORRISPONDENTI numeri del SECONDO INSIE
PROBLEMI DI RIPARTIZIONE SEMPLICE Sono problemi in cui si richiede di suddividere una quantità numerica o una grandezza in parti proporzionali a delle quantità note, utilizzando la catena di rapporti. Si procede in questo modo: definire il tipo di proporzionalità (diretta o inversa); scrivere correttamente la catena di rapporti; calcolare le incognite. Abbiamo due tipi di problema Anche qui indichiamo con x, y e z le parti in cui verrà suddiviso 98. Esse sono inversamente proporzionali ai numeri 2, 4 e 8 e possiamo scrivere questo legame sotto forma di uguaglianza di prodotti x 2 = y 4 = z 8. Il prodotto tra due numeri si può considerare come il quoziente tra il primo e l'inverso (reciproco) del secondo per cui la nostra uguaglianza di prodotti si trasforma in una catena di rapporti.
Problemi 1. Giacomo, Giovanni e il loro papà giocano al super enalotto puntando rispettivamente 3, 4 e 5 euro. La fortuna li assiste e devono spartirsi proporzionalmente 1.380,00 euro,quanto spetta a ciascuno?. 2. I gemelli Giacomo e Giovanni con il loro amico Filippo hanno puntato al totocalcio rispettivamente 10 euro, 8 euro e 6 euro, realizzando un unica giocata. Dovendo ripartirsi proporzionalmente una vincita di 696 euro quanto spetta a ciascuno? 3. Nicolò, Andrea e la loro mamma Milena puntarono al totocalcio nel lontano 1999 rispettivamente 2.000, 3.000 e 6.000 lire, realizzando un unica giocata. Ebbero la fortuna di ripartirsi proporzionalmente una vincita di 209.000.000 di lire quanto spettò a ciascuno? 4.Tre soci hanno investito in una società rispettivamente duecentomila, trecentomila e cinquecentomila euro. Dovendo ripartirsi alla fine dell anno un utile di 720.000 euro quanto spetta a ciascuno di loro? 5. Tre fratelli devono dividersi in parti inversamente proporzionali alla loro età una vincita di 20.000 euro. Sapendo che hanno rispettivamente 30, 20, e 12 anni, calcola quanto prende ciascun fratello. 6.Dovete suddividere un premio di produzione di euro 2.560,00 è diviso tra i 4 impiegati di un ufficio in modo che a ognuno spetti in proporzione all anzianità lavorativa aziendale. I quattro impiegati sono in servizi 7. Tre azionisti hanno impiegato in una società i capitali di 60.000 euro, di 45.000 euro e 30.000 euro. Come si devono suddividere un utile di13.500 euro. 8.Tre comuni vicini devono contribuire alle spese annuali di manutenzione di una strada comune per un totale di 17.000 euro. La ripartizione deve essere fatta in base agli abitanti di ogni comune. Come si deve suddividersi la spesa se la popolazione è rispettivamente di 3000, 7000 e 15000 abitanti. 9. In un condominio occorre contribuire proporzonalmente al numero di stanze riscaldate alla spesa sostenuta durante l anno per un totale di 6.370 euro. La ripartizione deve essere fatta sapendo che due appartamenti hanno 6 stanze e altri due ne hanno sette. 10. Un genitore dispone che parte del suo patrimonio, pari a 130.000 euro, vada distribuito in maniera inversamente proporzionale all età dei figli. Esegui la ripartizione sapendo che i suoi tre figli hanno rispettivamente 12, 20 e 25 anni.
11.Le spese per la costruzione di una strada di collegamento tra tre comuni vicini è stata di 360.000 euro. Occorre ripartire tale spesa tra i tre comuni proporzionalmente ai loro abitanti sapendo che il primo comune ha una popolazione di 3000 abitanti, il secondo di 4000 abitanti e il terzo di 5000 abitanti. 12. I fratelli Ubi e Michele, con l amico Giampi hanno puntato al totocalcio rispettivamente 12 euro, 9 euro e 8 euro, realizzando una unica giocata. Dovendo ripartirsi proporzionalmente una vincita di 3.480 euro, quanto spetta a ciascuno? 13. Un segmento lungo 240 cm viene diviso in tre parti direttamente proporzionali ai numeri 4, 5 e 6. Qual è la lunghezza delle tre parti? 14. Tre Comuni devono effettuare un lavoro di manutenzione straordinaria su una galleria che si trova nella strada che collega i suddetti comuni. La somma preventivata è di 196000 euro. Si decide di suddividere la somma dovuta dai Comuni in parti inversamente proporzionali alle distanze dei Comuni dalla galleria. Conoscendo che le distanze sono rispettivamente 5 km, 8 km, 12 km, quale sarà la spesa di ciascun Comune?