DISTRIBUZIONE DI GAUSS ( o normale [ 26 ] )

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 DISTRIBUZIOE DI GAUSS ( o normal [ 6 ] ) La dnstà d probabltà d Gauss è: f ( x) π ( xm) Valor mdo: E() m Varanza: () La dstrbuzon gaussana è carattrzzata da du paramtr m : dov z (x-m)/ - la curva è smmtrca rsptto a m; - ha du flss n corrspondnza d m - m + ; - l massmo dlla funzon ( m) val (quanttà dtta modulo d prcson); prcò π s raddoppa la (com succd, ad smpo, pr un aumnto dll mprcson d una msura), s dmzza l valor dl massmo. DERIVAZIOE DELLA DISTRIBUZIOE Pr capr l'orgn dlla dstrbuzon supponamo ch l rsultato dal d una msura sa m ch un grand numro d pccol caus ndtrmnat n possano varar l valor ora aumntandolo, ora dmnundolo. Supponamo ch l'nttà dlla varazon sa la stssa m ch la probabltà ch ogn fftto somm o sottragga a m la quanttà m sa/. S dll caus, k hanno l'fftto d aggungr ognuna m, l rmannt -k sottraggono la stssa quanttà. Il rsultato dlla nostra msura sarà qund: m + k m - (-k) m. Con qust poszon dvnta una varabl alatora {P() g[p(k)]} ch nl lmt pr m 0 è contnua. Poché k è una v.a. bnomal sappamo ch l suo valor mdo è p qund possamo calcolar l valor mdo d : E() m + E(K) m - [-E(K)] m m + m [- ] m m. Allo stsso modo, ma con una quanttà d passagg ch non è l caso d rportar, s 6 dstrbuzon dlla "norma" o mda PROBABILITÀ pag.3

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 potrbb vdr ch, mantnndo costant la varanza facndo tndr a m a zro, la dstrbuzon d probabltà d è: f ( x) π ( xm) In bas a qusta drvazon è ntutvo capr prché la dstrbuzon d Gauss sa smmtrca ntorno a m (abbamo supposto ch con ugual probabltà s sommassro o sottrassro quanttà m al valor m) tnda a zro man mano ch c s dscost da m (la probabltà ch k sa molto dvrso da p è pccola). CARATTERISTICHE E RIASSUTI - Vrfchamo la proprtà d chusura rcorrndo alla varabl rdotta Z ( xm) π z dx dz (ntgral notvol [ 7 ] ) π m : - Valor mdo m m E ( ) ( xm) m x dx ( z + m) dz z dz + dz π π π π 0 + m m ; ( l prmo ntgral è nullo prché l'ntgrando è una funzon dspar; l - Varanza () Applchamo la dfnzon d varanza: () ( x E( ) ) scondo val m prché, com gà vsto, ( xm) π z dx z ( x m) π z z ( xm) π dz ) z z dx z π ntgrando pr part con z dz z d( ) s ha () z + z π z π z dz dz ; - FUZIOE DEGLI ERRORI I lvll d confdnza rlatv alla curva d Gauss non sono calcolabl analtcamnt. Pr qusto motvo s rcorr a tabll [ 8 ] ch rportano l rsultato dll ntgrazon ffttuata numrcamnt. Poché la gaussana è dfnta da du paramtr pr smplfcar l'uso dll tabll c s rfrsc alla varabl standardzzata Z(-m)/. 7 vd l calcolo n appndc 8 n appndc n è rportato un smpo PROBABILITÀ pag.33

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 z z' La funzon f(z) dz' è dtta funzon dgl rror (ERF); l orgn dl nom è 0 π vdnt s s rfltt sulla drvazon dlla dstrbuzon: la gaussana è la dstrbuzon dgl rror casual. Alcun lvll d confdnza notvol sono: P(m m + ) P(-,0 Z,0) 68,3 % P(m m + ) P(-,0 Z,0) 95,4 % P(m 3 m +3 ) P(-3,0 Z 3,0) 99,7 % COFROTI CO ALTRE DISTRIBUZIOI Avvamo accnnato n prcdnza alla drvazon dlla dstrbuzon d Gauss dalla bnomal; nlla fgura d snstra è mostrato l confronto fra una bnomal (punt) con du paramtr 0; p 0,5 una gaussana (lna) con m 5,5 (coè la stssa mda varanza dlla bnomal). lla fgura d dstra, nvc, è mostrato com pr m molto lvato la dstrbuzon d Posson tnda a qulla d Gauss: nll'smpo è rportata una possonana (punt) con m 5 confrontata con una gaussana (lna) con m 5. Bsogna prstar attnzon al fatto ch mntr l dstrbuzon d Brnoull d Posson sono rlatv a v.a. dscrt, qulla d Gauss è valda pr v.a. contnu. Prcò la scala rportata n ordnata n qust smp va ntsa com probabltà n un caso (punt pr la bnomal o la possonana) dnstà d probabltà nll'altro (lna contnua dlla gaussana). PROBABILITÀ pag.34

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 DISTRIBUZIOE t DI STUDET S è dstrbuta gaussanamnt [ 9 ] ( m), allora la varabl alatora t () con s (), (x ) S ( m) () sgu la dstrbuzon d Studnt con ν - grad d lbrtà: ν + ν + Γ t f () t + ν ν νπ Γ dov Γ è la funzon gamma d Eulro ch rapprsnta l'stnson, al contnuo, dl fattoral: s n è un ntro allora s Γ π 3 Γ Γn + n n n π ( n) ( n )! Valor mdo: E(t) 0 Varanza: (t) - t è dfnta nll'ntrvallo [ - ; ] ν (valda pr ν > ) ν - f(t) è smmtrca rsptto alla mda - la dstrbuzon t-studnt dpnd solo dal numro d grad d lbrtà ν - pr ν la dstrbuzon tnd a qulla d Gauss ma gà pr ν 0 l grado d approssmazon è notvol: 9 com spsso accad n bas al torma dl lmt cntral PROBABILITÀ pag.35

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 La funzon cumulatva s trova spsso tabulata. Il suo uso rguarda l calcolo dl lvllo d confdnza rlatvo alla mda artmtca quando d qusta non s conosca la varanza ma solo la varanza stmata. Ad smpo n qusta tablla è rportato, pr var valor dl numro d grad d lbrtà ν, l numro d dvazon standard ntorno alla mda ch dfnsc un ntrvallo d confdnza corrspondnt a lvll d confdnza dl 90%, 95% 99%. Ovvamnt l caso d nfnt grad d lbrtà concd con la dstrbuzon d Gauss. t-studnt ν 90% 95% 99% 6,3,7 63,66,9 4,30 9,9 3,35 3,8 5,84 4,3,78 4,60 5,0,57 4,03 6,94,45 3,7 7,89,36 3,50 8,86,3 3,36 9,83,6 3,5 0,8,3 3,7 5,75,3,95 0,7,09,85 5,7,06,79 30,70,04,75 50,68,0,68 00,66,98,63,65,96,58 gaussana Pr smpo consdramo una sr d 0 msur d lunghzza con mda artmtca 9 cm dvazon standard stmata dlla mda artmtca S ( ) 7,89 cm. S anzché stmar la ( ) fossmo n grado d conoscrla, l rsultato dlla nostra msura sprsso com ± ( ) corrspondrbb ad un lvllo d confdnza dl 68,3% (Gauss). Invc, non conoscndo la ( ) ma potndo solo stmarla con S ( ) dobbamo usar pù corrttamnt la dstrbuzon d Studnt con 0-9 grad d lbrtà. La tablla rportata s utlzza nl sgunt modo: s voglamo ottnr un lvllo d confdnza dl 90% occorr un ntrvallo d confdnza ±,85 S ( ) ch nl nostro smpo corrspond a m (9 ± 5) cm. Pù frquntmnt l tabll a dsposzon sono dl tpo rportato n appndc dov anzché l lvllo d confdnza ntorno alla mda s consdra la funzon cumulatva. Su qusta dstrbuzon s può basar un tst statstco d confronto fra msur pr accttar o rgttar l pots d dstrbuzon gaussana d rsultat ( qund d prsnza d sol rror casual) PROBABILITÀ pag.36

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 DISTRIBUZIOE DEL χ (ch-quadro). S,,..., ν sono ν v.a. gaussan ndpndnt con mda nulla varanza untara (com è l caso dll varabl standardzzat), la varabl alatora U + + + ν sgu una dstrbuzon dtta dl χ con ν grad d lbrtà. È oltr gl scop dl corso rcavar la dnstà d probabltà dl χ : dov Γ è la funzon gamma d Eulro. f ν χ χ ( χ ) ν Γ Valor mdo: E(χ ) ν Varanza: (t) ν - Poché χ è una somma d trmn postv la sua funzon d dstrbuzon è dfnta nll'ntrvallo [0,]. - Qusta dstrbuzon dpnd da un solo paramtro: l numro d grad d lbrtà ν. - Pr ν la dstrbuzon dl χ tnd a qulla d Gauss. Qund, s l numro d grad d lbrtà è lvato, n assnza d tabll dlla funzon cumulatva dl χ, s può utlzzar qulla dlla gaussana (sgmod) o l tabll ERF. Spsso s consdra la f l cu valor mdo è untaro: ν χ Su qusta dstrbuzon s basa un tst statstco (tst dl χ ) d notvol mportanza PROBABILITÀ pag.37

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 Il dagramma sgunt rporta rassunt dll dstrbuzon ch abbamo samnato d ndca con qual approssmazon possono ssr sosttut l'una all'altra: ALTRE DISTRIBUZIOI DI PROBABILITÀ In fsca sstono numrosssm smp d altr dstrbuzon d probabltà. Lo studo dll loro carattrstch rassunt procd nllo stsso modo utlzzato con l dstrbuzon gà studat. Com smpo consdramo la dstrbuzon dll vloctà dll molcol n un gas n qulbro trmco laborata da Maxwll-Boltzmann scondo qual la probabltà ch una molcola possda una vloctà comprsa fra v v + dv è dp f(v) dv con Carattrstch rassunt f(v) c v a v m dov la costant a val a KT - La vloctà pr la qual s ha l massmo dlla funzon (valor pù probabl) s ottn n KT corrspondnza d v v p (è suffcnt uguaglar a zro la drvata d f(v)) a m - A partr dalla proprtà d chusura rcavamo l valor dlla costant c: 0 c v a v dv - Valor mdo 6 a E π - Varanza ( V) π c 3 6 a 3 0 v 3 a v (V) E(V )-[E(V)] da cu c dv 6 a π 0 3 a 3 6 a 4 a v π v 6 a 3 π dv,8 vp. π a π a 6 a π 3 9 π 64a 5 4 πa 3 4 - a πa PROBABILITÀ pag.38

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 TEOREMA DEL LIMITE CETRALE L'nuncato d qusto mportant torma, n una dll su formulazon, è: s,,..., sono v.a. ndpndnt con mda varanza dllo stsso ordn d grandzza d dstrbuzon qualsas, allora la varabl alatora + +...+ ha una dstrbuzon d probabltà ch pr tnd ad ssr gaussana. Inoltr, s l varabl sguono una dstrbuzon gaussana allora anch sgu una dstrbuzon gaussana ndpndntmnt da (è ovvo s ). La dmostrazon dl torma va oltr lmt d qusto corso ma è bn soffrmars sul sgnfcato dll'nuncato: s l rsultato d una msura è dtrmnato dalla concorrnza d un numro lvato d fnomn mcroscopc ch, ognuno con la sua dstrbuzon d probabltà, altrano la grandzza n sam, la v.a. ch rapprsnta l rsultato dlla msura tndrà ad avr una dstrbuzon d tpo gaussano. Pr qusto motvo acqusta una partcolar mportanza la dstrbuzon d Gauss: è, gnralmnt, la dstrbuzon dll msur (funzon dgl rror). Analogamnt la mda artmtca d varabl alator sgu una dstrbuzon gaussana (pr ) ndpndntmnt da qual sa la dstrbuzon d partnza. Qund, avndo sguto pù msur d una stssa grandzza, la mda artmtca d tal msur tnd ad avr una dstrbuzon gaussana tanto pù quanto pù è lvato l numro dll msur ffttuat. Com smpo consdramo v.a.,,..., dstrbut unformmnt fra 0 pr cu E( ) 0,5 ( ). Dlla funzon abbamo apprso: - l valor attso d è E ( ) E( ) 0,5 - la varanza d val ( ) ( ) ; qund ( ) dmnusc al crscr d. - pr l torma dl lmt cntral s è lvato ha una dstrbuzon gaussana. In fgura sono rportat l dnstà d probabltà d al varar d : pr la dstrbuzon è unform gà pr 0 la dstrbuzon è prssoché gaussana. La convrgnza vrso la curva d Gauss è ovvamnt pù rapda pr funzon con un andamnto a campana o almno con un valor cntral pù probabl (com avvn spsso nl corso d msur). L'smpo dll dstrbuzon unform mostra tuttava com tal convrgnza sa rapda anch pr dstrbuzon snza un massmo pronuncato. PROBABILITÀ pag.39

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 ITERVALLI E LIVELLI DI COFIDEZA Lo scopo d ogn msurazon è qullo d ottnr la mglor stma dl valor vro dl msurando. Supponamo d avr prodotto ogn sforzo nll'ndvduar, lmnar o rdurr, gl rror sstmatc. La prsnza dgl rror casual produc tuttava dvrstà n rsultat dll msurazon d cu tnamo conto mdant l'laborazon statstca d dat. Alla fn ottnamo un rsultato; quanto samo confdnt nlla possbltà ch l valor ottnuto sa rapprsntatvo dl valor vro? Dat l prmss occorrono du consdrazon: ) dobbamo rtnr null o trascurabl gl fftt sstmatc prché non samo n grado d produrr nssuna prvson s ss sono ancora prsnt. Prché cò sa lcto dobbamo avr consdrato sotto ogn ragonvol asptto tutta la procdura dlla msurazon, la strumntazon, la prsnza d fattor potnzalmnt nflunt, la corrttzza d ogn assunzon, d valor numrc d vntual costant d calcol numrc. S non samo stat drttamnt no ad sgur la msurazon dobbamo potr vrfcar la qualtà d controll ffttuat dagl altr nl tntatvo d ndvduar l caus d rror sstmatc. ) la natura ntrnscamnt alatora dgl rror casual non c consntrà d produrr una rsposta quanttatva s non n trmn probablstc. A qusto proposto occorr consdrar ch gl rror sstmatc, pur non altrando la stma dlla varanza, altrrbbro qulla dl valor attso (assunto com valor vro). Infatt, s ogn msura vn altrata pr un trmn costant c la mda artmtca vn altrata dlla stssa quanttà: ( + c) + c + c [( + c) ( + c) ] [ ] mntr la varanza S ( ) rsta naltrata. Da qu dscnd la prcolostà dgl rror sstmatc: non vngono vdnzat, com gl rror casual, da una grand varanza; la loro dntfcazon può avvnr solo confrontando msur ottnut n condzon dvrs (pr vdnzar dvrs costant c nll dvrs md artmtch). Quando ndchamo l rsultato d una msurazon con la notazon m ± s () stamo ndcando l'ntrvallo [- s () ; + s () ] (ntrvallo d confdnza) all'ntrno dl qual rtnamo ch, compatblmnt con rsultat ottnut, s trov, con una dtrmnata probabltà (lvllo d confdnza), l valor vro m. C è da prcsar ch m non è una varabl alatora. Pù corrttamnt la probabltà s rfrsc all ntrvallo m ± s () all ntrno dl qual s può trovar ch è nvc una varabl alatora: m () < < m + () m < () () < m < + (). S S Anch s n molt camp s è convnzonalmnt dcso d rportar rsultat sotto forma d ntrvall d confdnza d ± ntorno alla mda artmtca (da qu è possbl dfnr qualsas altro ntrvallo d confdnza) a volt occorr conoscr l lvllo d confdnza. S S S PROBABILITÀ pag.40

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 Qusta rchsta (l lvllo d confdnza altr non è ch la probabltà ch la v.a. sa all'ntrno d un dato ntrvallo) può ssr soddsfatta solo qualora sa nota la dstrbuzon d probabltà assocata al valor numrco dlla msura. on è banal rcavar da un sprmnto la dstrbuzon d probabltà dlla msura: occorr produrr un campon d msur (sotto condzon d rptbltà) così lvato pr cu l fluttuazon statstch non possono confondr l'andamnto dll frqunz. Dl rsto anch n prsnza d un campon d grand dmnson, l torma d Brnoull (lgg fort d grand numr) c garantsc solo probablstcamnt ch la frqunza rlatva concd con la probabltà. Spsso, prò, non è rchsta un'lvata prcson nl calcolo d lvll d confdnza coè non è ncssaro conoscr prfttamnt la dstrbuzon madr dalla qual abbamo rcavato l campon dll nostr msur. Pr l calcolo approssmato d lvll d confdnza s può consdrar ch: ) anch s l rsultato d una msura non sgu una dstrbuzon gaussana, molto spsso l'fftto dgl rror casual tnd a produrr una curva grossolanamnt smmtrca con un valor cntral assa pù frqunt. ) la mda artmtca anch d poch msur approssma assa bn la curva d Gauss (s cò succd rapdamnt con varabl dstrbut unformmnt a maggor ragon cò accad con rsultat d msurazon) Sotto qusto asptto, allora, molt dstrbuzon d dat s somglano avndo un valor cntral pù frqunt un andamnto grossolanamnt smmtrco ch rcordano la curva d Gauss consntndo l'uso d tabll d ERF. Ovvamnt pr pccol campon com nl caso d 3-4 msur la stma s () d ( ) è troppo approssmatva pù corrttamnt l lvllo d confdnza va calcolato sgundo la dstrbuzon d Studnt. Prché spsso non occorr calcolar l lvllo d confdnza c s lmta ad ndcar solo un ntrvallo d confdnza? Prché, com gà dtto, l dstrbuzon dll msur sono approssmatvamnt gaussan qund lvll d confdnza pr l md artmtch, graz al torma dl lmt cntral, non varano moltssmo fra un caso l altro. Qusta affrmazon trova la sua gustfcazon [ 30 ] n tabll tpo la sgunt dov valor 3, 5, 0 0 sono ottnut dalla dstrbuzon d Studnt: P( m S ( ) P( m S ( ) P( m 3 S ( ) 3 60,9% 86,0% 94,3% 5 63,5% 89,8% 97,0% 0 65,8% 9,7% 98,7% 0 67,0% 94,% 99,3% Gauss 68,3% 95,4% 99,7% Chbychv 0 % 75,0% 88,9% L'ultma rga rporta quanto s ottrrbb snza mporr nssuna condzon sulla dstrbuzon dlla mda artmtca (dsuguaglanza d Chbychv) [ 3 ]. 30 com s può notar, pr smpo dalla prma colonna, lvll d confdnza varano poco al crscr dll msur 3 n raltà la dsuguaglanza d Chbychv utlzza mda varanza non l loro stm qund rchd mplctamnt nfnt msur PROBABILITÀ pag.4

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 IL METODO DEI MIIMI QUADRATI Supponamo d volr studar un sstma fsco ma d conoscrlo gà a un lvllo tal da potr prvdr ch s vn sottoposto alla sollctazon sso produrrà una rsposta scondo la lgg p + q dov p q sono du paramtr ncognt, scopo dlla nostra msura. Pr ogn valor dlla sollctazon (con, valor dvrs) sguamo una msura dlla rsposta. Vdamo com s prsntrbb un grafco dll copp d valor (, ) avndo trattggato la rtta p + q dlla qual pr l momnto ancora non conoscamo valor d p q: Poché punt su qusto grafco rapprsntano dll msur (qund afftt da rror) la rtta (funzon analtca) non passrà pr tutt punt sprmntal anch s la nostra schmatzzazon dlla lgg fsca foss corrtta. Pr charr mglo l ruolo dll ncrtzz aggungamo ad ogn punto un sgmnto la cu smlarghzza è par all'ncrtzza dlla msura [ 3 ] : Com smpo samnamo ora n dttaglo l punto A calcolamo la dstanza u dl valor msurato drttamnt (crcho pno) da ( ) stmato a partr dalla conoscnza d 3 non s prd n gnraltà dl mtodo s ottngono sostanzalmnt gl stss rsultat s s potzza ch l sollctazon sano afftt da rror trascurabl PROBABILITÀ pag.4

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 (crcho vuoto). Essa potrbb autarc pr stmar paramtr p q (poché l fluttuano ntorno a valor ( ) p + q, pù è pccola la dstanza u -( ) (p + q) mglor sarà stata la nostra stma d paramtr). Dovndo dar una valutazon complssva dlla dstanza d tutt punt dalla rtta potrmmo sommar tutt l dstanz u dll dall ( ). Pr vtar compnsazon d dffrnz postv ngatv è prò prfrbl utlzzar l modulo dlla dffrnza o mglo ancora la somma d quadrat dll dstanz [ 33 ] : U u [ ( p + q) ], Tuttava s samnamo punt B C notamo ch mntr la dstanza dalla rtta dl punto B è supror a qulla dl punto C, l'ncrtzza dlla msura dl punto B è molto pù lvata qund qust'ultma dv nflunzar la nostra stma mno d quanto non dbba far l punto C ch è mglo dtrmnato. Pr qusto motvo qualora l dvrs dtrmnazon d abbano ncrtzz dvrs [ 34 ] (valutat com ), vn dfnta la varabl: ( ) U u p + q [ 35 ] dov u rapprsnta ancora la dstanza d da ( ) ma, ssndo dvsa pr la dvazon standard, vn attrbuto un maggor pso all msur con ncrtzza mnor; s comporta coè com una varabl rdotta (standardzzata). Il mtodo d mnm quadrat consst nlla mnmzzazon d U al varar d paramtr p q: quanto pù U è pccolo, tanto pù la rtta stmata passa nll vcnanz d punt sprmntal. I valor d paramtr ch mnmzzano U costtuscono la nostra stma; s ottngono mponndo ch l drvat parzal d U rsptto a paramtr p q sano null: U ( + ) p p q ( + ) p q p + p + q U ( + ) q p q ( + ) p q q + p + q 33 n raltà la sclta dlla funzon U s basa su argomntazon bn pù sold d qust. La loro dscusson, tuttava, è oltr gl scop d qusto corso. 34 n qusto caso, n corrspondnza d ogn valor dlla sollctazon andranno ffttuat pù msur dlla rsposta n modo da rcavarn sa una mda ch una varanza (mda artmtca ncrtzza corrspondnt) 35 qualora l avssro una dstrbuzon gaussana paramtr p q fossro not, U sgurbb la dstrbuzon dl χ con grad d lbrtà; poché nvc rcavrmo l stm d paramtr da dat, grad d lbrtà saranno -. Il tst dl χ potrà ssr utlzzato pr quantfcar la bontà dlla stma d paramtr. PROBABILITÀ pag.43

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 PROBABILITÀ pag.44 ponndo S q s, p p U 0 s ottn: p S + qs da S q s, p q U 0 s ottn: p S + qs dov p S q S rapprsntano l stm rspttvamnt d p q. S è così ottnuto un sstma d du quazon nll du ncognt p S q S dalla cu rsoluzon s ottngono: ps qs (A-) I valor d p S q S sono afftt da un'ncrtzza dovuta all ncrtzz dll sngol msur d ma, poché p S q S sono funzon lnar dll varabl alator [ 36 ] è possbl, applcando la formula d propagazon dll ncrtzz n modo satto, stmar "faclmnt" la loro varanza ottnndo: (p s ) (q s ) (A-) L rlazon (A) consntono la msura d paramtr dlla rtta d mnm quadrat ma rsultano un poco complss dal punto d vsta dl calcolo. Vdamo ora n qual cas è possbl smplfcarl n ch modo. S pr l msur d lo stsso oprator utlzza lo stsso mtodo gl stss strumnt è lcto rtnr ch gl rror d msura qund l varanz dll sano tutt ugual fra loro [ 37 ]. In qusto caso, consdrando ch, la funzon da mnmzzar è: U u + ) q (p 36 l non sono v.a. prché abbamo supposto trascurabl la loro varanza ( sgmnt sprmnt l'ncrtzza sono solo nlla drzon vrtcal); anch l non sono v.a. nlla msura n cu l rtnamo not anzché stmat da dat 37 non s tratta d un caso raro, anz, nlla grand maggoranza d cas l ncrtzz non s dscostano pr pù d un fattor -3 consntndo l uso dll formul smplfcat B

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 PROBABILITÀ pag.45 con poch passagg s ottngono (è un srczo ch s raccomanda caldamnt) l quazon: ps qs (B-) ch s sarbbro potut rcavar dall (A-) ponndo l. Anch n qusto caso la formula d propagazon dll ncrtzz c consnt d calcolar l ncrtzz da assocar all stm d paramtr: (p s ) ( ) S p S p [ ] [ ] ) ( + ( ) [ ] + [ ] [ ] Σ Σ (B-) Analogamnt s rcava: (q s ) Σ Σ Σ (B-) Ora non rsta ch stmar da dat a dsposzon la varanza dll ch abbamo supposto ssr ndpndnt da par a. Pr qusto scopo consdramo la quanttà ( ) [ ] q p + ; ssa rapprsnta la mda artmtca dl quadrato dgl scart dll da valor p + q atts n bas all ; n altr parol s tndss ad nfnto sarbb la solta dfnzon d varanza. Poché non conoscamo p q ma solo l loro stm p S q S una stma non dstorta d è: ( ) [ ] q p S S + (B-3) (- prché qusta volta c sono du rlazon (p s q s ) ch lgano fra loro l v.a. ). L rlazon (B) consntono la msura [ 38 ] d paramtr dlla rtta d mnm quadrat nl caso d ncrtzz ugual. 38 molt calcolatrc hanno mmorzzat l rlazon (B-) (rtta d rgrsson). Consglo vvamnt d prndr confdnza con l funzon statstch mplmntat nlla vostra calcolatrc prché l rsparmo d tmpo è dcsamnt notvol la probabltà d sbagl s rduc drastcamnt

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 Consdramo tmporanamnt valor com fossro dtrmnazon d una varabl alatora dstrbuta con varanza ntorno a (n raltà samo no ch dcdamo con qual valor dlla grandzza sollctamo l sstma). In qusto caso s avrbb da cu s ottn rapdamnt ( ) coè l dnomnator nll sprsson dll formul d mnm quadrat. Ponndo, con qualch passaggo s rcavano: p s q s + (B-) Da qusta rscrttura [ 39 ] dll ncrtzz d paramtr dlla rtta d mnm quadrat rsulta vdnt com convnga sollctar un sstma pr studarlo. Infatt, volndo mnmzzar l ncrtzz s può agr n tr drzon: rdurr l mprcson nll msur dlla rsposta (pccola ), aumntar l numro d msur, sollctar l sstma con valor quanto pù possbl largamnt dstrbut (grand ), s possbl con valor sa postv ch ngatv ( quas nullo). Gnralzzamo quanto samnato fnora al caso d una funzon d ordn pù lvato: schmatzzamo l nostro fnomno con una grandzza ch dpnd dalla grandzza da un crto numro d paramtr non msurat o non msurabl q,q,...q m : f(;q, q,..., q m ) Pr ognuna dll sollctazon dlla grandzza supponamo d avr ffttuato una sr d msur dl corrspondnt valor assunto dalla grandzza d avrn dtrmnata l'ncrtzza:......... Analogamnt al caso dlla rtta s mnmzza la quanttà ( ;q,q,,q ) f m U drvandola rsptto agl m paramtr q. Dal sstma d m quazon (c sono m drvat) n m ncognt (gl m paramtr) s rcavano l stm d paramtr q. In pratca è raro ch l mtodo d mnm quadrat vnga utlzzato pr funzon pù complss dlla parabola prché s prfrscono n qul caso altr mtod d stma d paramtr. 39 s da un lato l formul scrtto n qusto modo sono d facl mmorzzazon, dall altro possono confondr lo studnt dsattnto n quanto non è la dvazon standard d (ch non è una varabl alatora) ma solo una rlazon fra dvrs valor d PROBABILITÀ pag.46

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 Un caso partcolar d applcazon d mnm quadrat [ 40 ] è rapprsntato dalla stma dlla pndnza d una rtta passant pr l'orgn: p on è possbl utlzzar rsultat gà ottnut ponndo smplcmnt q S 0 ma occorr rcavar nuovamnt la stma p S d p prché nl caso n cu la rtta non sa forzata a passar pr l'orgn la pndnza potrbb ssr dvrsa. In qusto caso la quanttà da mnmzzar è U u Ponndo U p p p U p p s 0 s ottn p p + p. p s da cu : ps In qusto caso (nl caso d o pù paramtr la vrfca è mno banal) è facl vrfcar ch U p s sa ffttvamnt un punto d mnmo pr U n quanto > 0. p Applcando la formula d propagazon dll ncrtzz n modo satto è al solto possbl stmar la varanza dlla stma d p ch rsulta ssr una combnazon lnar dll v.a. : (ps),,, Anch n qusto caso, qualora l varanz dll non sano not ma sa possbl rtnrl tutt ugual fra loro, col procdmnto gà vsto s potrà ottnr la stma dl paramtro p: ponndo nll sprsson prcdnt s ottngono ps (ps) Infn da dat a dsposzon stmamo la varanza dll ch abbamo supposto ssr ndpndnt da ( ) par a ps (al dnomnator compar - prché qusta volta c'è una sola rlazon [ 4 ] ch lga fra loro l v.a. ).. 40 consdratlo poco pù d un srczo rassuntvo svolgtlo pr vrfcar s avt affrrato l mtodo 4 n STATISTICA s accnna al prché la stma pù corrtta rchda - PROBABILITÀ pag.47

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 Un caso notvol: la MEDIA PESATA. Può captar ch una grandzza fsca vnga msurata pù volt con mtod o strumnt dvrs. In qusto caso avrmo a dsposzon non solo l msur ma anch l loro varanz. S l varanz sono dvrs sgnfca ch l msur sono afftt da rror casual n nttà dvrsa qund non è logco attrbur la stssa mportanza a tutt rsultat com s farbb s vnss calcolata smplcmnt la mda artmtca dll :. Il mtodo d mnm quadrat prmtt d rcavar la formula d una mda psata n modo da attrbur maggor mportanza all msur mglo dtrmnat. In qusto caso, smpr pr usar la notazon prcdnt, la funzon da studar è q Al solto consdramo la funzon U u ponndo U q q q - q ; U 0 s ottn q s q q ; La nostra mglor stma è dunqu una mda psata dov sngol ps sono l'nvrso dll varanz dvsa pr la somma dgl nvrs dll varanz. Va notato ch alla stma dl valor vro contrbuscono maggormnt l msur con varanz pù pccol coè pù grand (s attrbusc un sgnfcato maggor all msur mglo dtrmnat). (qs) Calcolamo la varanza dlla mda psata col solto mtodo: q s Coè la varanza dlla mda psata è data dall'nvrso dlla somma dgl nvrs dll sngol varanz ( qund è nfror alla pù pccola d ss). Occorr prstar attnzon al valor dll msur prma d utlzzar la mda psata: la tora s basa sul fatto ch l dvrs msur s rfrscono alla stssa grandzza fsca ch qund non sano prsnt fftt sstmatc mportant. S l msur dstano fra loro pù d quanto è consntto dall nttà dgl rror casual stmat con l varanz sgnfca o ch sono prsnt rror sstmatc non trascurabl o ch l varanz msurat non valutano corrttamnt l nttà dgl rror casual. In ntramb cas è prfrbl dmntcar l sstnza dll varanz d usar la normal mda artmtca la sua ncrtzza.. PROBABILITÀ pag.48

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 APPEDICE CALCOLO COMBIATORIALE Pr rcavar l valor dlla probabltà sgundo la dfnzon classca è suffcnt contar cas favorvol qull possbl. Quando l numro d vnt è lvato può ssr utl utlzzar alcun lmnt d calcolo combnatoral d cu qu s rporta qualch cnno: Prmutazon: lmnt possono ssr collocat n poszon n! mod dvrs. Esmpo: l 3 lttr A,B,C possono prmutar n 3!3xx6 mod dvrs: ABC ACB BAC BCA CAB CBA In gnral: l prmo lmnto può ssr collocato n poszon; pr ognuna d qust, l scondo lmnto può ssr collocato n - poszon; qund complssvamnt l prmo scondo lmnto hanno x(-) mod dvrs d collocars così va. In total qund x(-)x(-)x... x(-[-])x(-[-])! Quando è lvato, l calcolo d! può ssr ffcntmnt sosttuto dall'applcazon dlla formula approssmata d Strlng:! Ν π Ν ch gà pr 0 dffrsc da! pr mno dll'%. Dsposzon:! lmnt possono ssr collocat n K poszon n ( K)! mod dvrs. Esmpo: l 4 lttr A,B,C,D possono ssr collocat n K poszon n 4! 4x3xx mod dvrs: (4 )! x AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC In gnral: s l poszon fossro gl lmnt prmutrbbro n! mod dvrs. Ordnamo qust! prmutazon n modo tal ch l prm K poszon sano occupat dagl stss lmnt. Poché l poszon sono solo K l rmannt -K non sono utlzzabl, pr ogn dsposzon dvrsa d prm K lmnt rmannt -K potrbbro prmutar; qulla partcolar dsposzon è qund prsnt (-K)! volt. L dsposzon dvrs nll prm K! poszon sono qund. ( K)! Lo stsso rsultato s ottrrbb anch nl caso dll dsposzon d K lmnt n poszon (ndchamo con x una poszon occupata da un lmnto dvrso da K consdrat): ABxx AxBx AxxB xabx xaxb xxab BAxx BxAx BxxA xbax xbxa xxba PROBABILITÀ pag.49

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 Combnazon: s non ntrssa l ordn con cu lmnt possono ssr collocat n K poszon allora l! dsposzon s rducono a K!( K)! combnazon. Esmpo: l 4 lttr A,B,C,D possono ssr collocat n K poszon, a prscndr 4! 4x3xx dall'ordn, n 6 mod dvrs:!(4 )! (x)x(x) AB AC AD BC BD CD! In gnral: consdramo l dsposzon d lmnt n K poszon dvrs; ( K)! poché non ntrssa l'ordn n cu s prsntano K lmnt nll K poszon (K! prmutazon), l combnazon dvrs sono par al numro dll dsposzon dvso K! Lo stsso rsultato s ottrrbb nl caso dll combnazon d K lmnt n poszon: ABxx AxBx AxxB xabx xaxb xxab! La quanttà vn rapprsntata dal smbolo K!( K)! ch s lgg " su K". K Essa è dtta coffcnt d wton o bnomal prché è utlzzata nlla formula d spanson dlla potnza d un bnomo: (a + b) k 0, a k Com smpo d applcazon dl calcolo combnatoro consdramo la probabltà d vncr una cnquna gocando al lotto su una partcolar ruota. Abbamo un solo caso favorvol dobbamo calcolar cas possbl. S tratta qund d contar quant cnqun dvrs, a prscndr dall ordn, s possono avr con 90 lmnt. Tal combnazon sono: 90! 90x89x88x87x86x85! 90x89x88x87x86 43 949 68 5!x(90 5)! 5!x85! 5x4xx3x qund la probabltà è crca,3x0-8. k b k CALCOLI PARTICOLARI I 0 (a) a z I I J I I J dz π a r 0 0 a(x + y ) π nfatt, dtto I a a x dx J a y dy è I J qund dx dy. Passando da coordnat cartsan a coordnat polar π a r π r dr dθ d(ar ). Prcò I0 (a) a a 0 a z di I (a) z dz 0 (a) π 3 da a Da qust du rsultat, ponndo a ½, s ottngono valor d du ntgral utl n calcol con l gaussan: z dz π z z dz π. a π. PROBABILITÀ pag.50

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 z TABELLE GAUSS: f(z) π 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,398 0,3980 0,3977 0,3973 0, 0,3970 0,3965 0,396 0,3956 0,395 0,3945 0,3939 0,393 0,395 0,398 0, 0,390 0,390 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,385 0,3 0,384 0,380 0,3790 0,3778 0,3765 0,375 0,3739 0,375 0,37 0,3697 0,4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,36 0,3605 0,3589 0,357 0,3555 0,3538 0,5 0,35 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,349 0,340 0,339 0,337 0,335 0,6 0,333 0,33 0,39 0,37 0,35 0,330 0,309 0,387 0,366 0,344 0,7 0,33 0,30 0,3079 0,3056 0,3034 0,30 0,989 0,966 0,943 0,90 0,8 0,897 0,874 0,850 0,87 0,803 0,780 0,756 0,73 0,709 0,685 0,9 0,66 0,637 0,63 0,589 0,565 0,54 0,56 0,49 0,468 0,444,0 0,40 0,396 0,37 0,347 0,33 0,99 0,75 0,5 0,7 0,03, 0,79 0,55 0,3 0,07 0,083 0,059 0,036 0,0 0,989 0,965, 0,94 0,99 0,895 0,87 0,849 0,86 0,804 0,78 0,758 0,736,3 0,74 0,69 0,669 0,647 0,66 0,604 0,58 0,56 0,539 0,58,4 0,497 0,476 0,456 0,435 0,45 0,394 0,374 0,354 0,334 0,35,5 0,95 0,76 0,57 0,38 0,9 0,00 0,8 0,63 0,45 0,7,6 0,09 0,09 0,074 0,057 0,040 0,03 0,006 0,0989 0,0973 0,0957,7 0,0940 0,095 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,088 0,0804,8 0,0790 0,0775 0,076 0,0748 0,0734 0,07 0,0707 0,0694 0,068 0,0669,9 0,0656 0,0644 0,063 0,060 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,056 0,055,0 0,0540 0,059 0,059 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0449, 0,0440 0,043 0,04 0,043 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,037 0,0363, 0,0355 0,0347 0,0339 0,033 0,035 0,037 0,030 0,0303 0,097 0,090,3 0,083 0,077 0,070 0,064 0,058 0,05 0,046 0,04 0,035 0,09,4 0,04 0,09 0,03 0,008 0,003 0,098 0,094 0,089 0,084 0,080,5 0,075 0,07 0,067 0,063 0,058 0,054 0,05 0,047 0,043 0,039,6 0,036 0,03 0,09 0,06 0,0 0,09 0,06 0,03 0,00 0,007,7 0,004 0,00 0,0099 0,0096 0,0093 0,009 0,0088 0,0086 0,0084 0,008,8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,007 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,006,9 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,005 0,0050 0,0048 0,0047 0,0046 3,0 0,0044 0,0043 0,004 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0034 3, 0,0033 0,003 0,003 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,005 3, 0,004 0,003 0,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,009 0,008 0,008 3,3 0,007 0,007 0,006 0,006 0,005 0,005 0,004 0,004 0,003 0,003 3,4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,0009 0,0009 3,5 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006 b (xm) La probabltà ch (gaussano) sa comprso fra a b è: P(a b) dx. a π Qusto ntgral non è rsolvbl analtcamnt; sstono prò tabll ch rportano l calcolo sguto numrcamnt; occorrrbbro tabll con quattro paramtr: a, b, m,. x m Pr smplfcar tal tabll s rcorr all'uso dlla varabl rdotta z pr cu: a m b m P(a b) P(z a z z b ) con z a z b. Qund è suffcnt l'uso dlla sgunt tablla (funzon dlla sola varabl rdotta z) ch rporta l rsultato dll'ntgral z 0 π z' dz' ch è dtto funzon d'rror (ERror Functon): PROBABILITÀ pag.5

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 z ERF(z) 0 π dz' 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,00 0,060 0,099 0,039 0,079 0,039 0,0359 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0,057 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,074 0,0754 0, 0,0793 0,083 0,087 0,090 0,0949 0,0987 0,06 0,064 0,03 0,4 0,3 0,79 0,7 0,55 0,93 0,33 0,369 0,406 0,443 0,48 0,58 0,4 0,554 0,59 0,68 0,664 0,70 0,737 0,773 0,808 0,844 0,880 0,5 0,95 0,950 0,985 0,00 0,054 0,089 0,3 0,57 0,9 0,4 0,6 0,58 0,9 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,58 0,549 0,7 0,580 0,6 0,643 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,853 0,8 0,88 0,9 0,939 0,968 0,996 0,304 0,305 0,3079 0,306 0,333 0,9 0,359 0,386 0,3 0,338 0,364 0,390 0,335 0,3340 0,3365 0,3389,0 0,343 0,3438 0,346 0,3485 0,3509 0,353 0,3555 0,3577 0,3600 0,36, 0,3644 0,3665 0,3687 0,3708 0,379 0,3750 0,3770 0,3790 0,380 0,3830, 0,3850 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3998 0,405,3 0,403 0,4049 0,4066 0,4083 0,4099 0,45 0,43 0,447 0,46 0,478,4 0,493 0,408 0,4 0,437 0,45 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,439,5 0,433 0,4345 0,4358 0,4370 0,438 0,4395 0,4406 0,448 0,4430 0,444,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4485 0,4495 0,4506 0,456 0,456 0,4535 0,4545,7 0,4555 0,4564 0,4573 0,458 0,459 0,4600 0,4608 0,467 0,465 0,4633,8 0,464 0,4649 0,4656 0,4664 0,467 0,4679 0,4686 0,4693 0,4700 0,4706,9 0,473 0,470 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,476 0,4767,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,483 0,487, 0,48 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4858, 0,486 0,4865 0,4868 0,487 0,4875 0,4878 0,488 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4899 0,490 0,4904 0,4906 0,4909 0,49 0,494 0,496,4 0,498 0,490 0,493 0,495 0,497 0,499 0,493 0,4933 0,4935 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,494 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,495 0,495,6 0,4954 0,4955 0,4956 0,4958 0,4959 0,4960 0,496 0,496 0,4963 0,4965,7 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4970 0,497 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4975 0,4975 0,4976 0,4977 0,4978 0,4978 0,4979 0,4980 0,4980 0,498,9 0,498 0,498 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 0,4990 3, 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,4993 0,4993 3, 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 Supponamo d volr calcolar P(9,9 g M 0, g) sapndo ch la massa M (dstrbuta gaussanamnt) ha un valor mdo m 0,00 g 0,0 g. a m 9,9 0,0 b m 0, 0,0 Calcolamo: z a - z b. 0, 0, P(9,9 g M 0, g) P(- z ) P(- z 0) + P(0 z ) [ 4 ] P(0 z ) + P(0 z ) ERF() + ERF() 0,343 + 0,4773 8,9 % z' 4 P(- z 0) P(0 z ) pr la smmtra dlla gaussana PROBABILITÀ pag.5

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 DISTRIBUZIOE DI STUDET Valor t 0 dlla funzon cumulatva F(t 0 ) P(t t 0 ) pr var grad d lbrtà ν ν\f(t 0 ) 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,975 0,35 0,77,000,376 3,08 6,3,7 0,89 0,67 0,86,06,89,9 4,30 3 0,77 0,584 0,765 0,978,64,35 3,8 4 0,7 0,569 0,74 0,94,53,3,78 5 0,67 0,559 0,77 0,90,48,0,57 6 0,65 0,553 0,78 0,906,44,94,45 8 0,6 0,546 0,706 0,889,40,86,3 0 0,60 0,54 0,700 0,879,37,8,3 5 0,58 0,536 0,69 0,866,34,75,3 0 0,57 0,533 0,687 0,860,3,7,09 40 0,55 0,59 0,68 0,85,30,68,0 0 0,54 0,56 0,677 0,845,9,66,98 0,53 0,54 0,674 0,84,8,645,96 gaussana ESEMPIO Avndo sguto du sol msur dlla grandzza s ottngono valor x x. Da qust du valor s ottn pr l ntrvallo d confdnza ± S ( ) [ 43 ] x x x + x ± un lvllo d confdnza dl 50% (potzzando ch sgua una dstrbuzon gaussana). Infatt pr ν - n corrspondnza d t 0 la tablla ndca pr la funzon cumulatva 0,75 qund P(- t ) x ( - 0,75) 0,50. 43 vrfcar pr srczo l sprsson dlla dvazon standard sprmntal dlla mda artmtca nl caso d su sol msur PROBABILITÀ pag.53

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 DISTRIBUZIOE DEL χ Valor t 0 dlla funzon cumulatva F(t 0 ) P(t t 0 ) pr var grad d lbrtà ν ν\f(t 0 ) 0,05 0,05 0,0 0,5 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,000 0,0039 0,058 0,0 0,455,3,7 3,84 5,0 0,0506 0,03 0, 0,575,39,77 4,6 5,99 7,38 3 0,6 0,35 0,584,,37 4, 6,5 7,8 9,35 4 0,484 0,7,06,9 3,36 5,39 7,78 9,49, 5 0,83,5,6,67 4,35 6,63 9,4,,8 6,4,64,0 3,45 5,35 7,84 0,6,6 4,4 8,8,73 3,49 5,07 7,34 0, 3,4 5,5 7,5 0 3,5 3,94 4,87 6,74 9,34,5 6,0 8,3 0,5 5 6,6 7,6 8,55,0 4,3 8,,3 5,0 7,5 0 9,59 0,9,4 5,5 9,3 3,8 8,4 3,4 34, 50 3,4 34,8 37,7 4,9 49,3 56,3 63, 67,5 7,4 00 74, 77,9 8,4 90, 99,3 09 8 4 30 PROBABILITÀ pag.54

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 ESERCIZI ) Gl ntrruttor n qust crcut hanno ognuno la probabltà dl 0% d ssr aprt; calcolar la probabltà ch n cascun schma possa crcolar corrnt: ) Prché la funzon f(x) x + c con - g x 5 g non può ssr consdrata una dnstà d probabltà? [la domanda non rguarda l calcolo dll probabltà ] 3) Vrfcar s l sgunt funzon possono ssr dll dstrbuzon d probabltà, nl caso, calcolar mda varanza: A C (0 x Ω) B (- x ma) ( x m) D E F ( x 4kg) ( x cm) ( x cm) G I {,,3,4,5} H {0,,3} g {-,, } 4) La vta d un componnt è unformmnt dstrbuta fra 000 0 000 or. Qual è la probabltà ch un componnt vva pù d 5 000 or? 5) Dmostrar ch ( ),, 6) Dall dnstà d probabltà dlla corrnt I: f(i) K I (ma - I) [0 I ma] dlla rsstnza R: f(r) Kr R [0 R kω] con I R statstcamnt ndpndnt rcavar f(v) d E(V) sapndo ch l varabl sono lgat dalla lgg d Ohm: VR I. 7) Vngono prodott dll sbarr clndrch d lunghzza unformmnt varabl fra 98 cm 0 cm d szon dstrbuta unformmnt fra 9 cm 3 cm. Il volum mdo dll sbarr è d 3,000 dm 3. Lunghzza szon sono statstcamnt ndpndnt? Prché? 8) Una macchna pr la ralzzazon d crcut ntgrat è garantta pr avr un tasso d scart dl,0% (vnto raro). In una produzon d 5000 componnt 50 non funzonano. S può affrmar ch la macchna funzona corrttamnt? (quanto valgono mda varanza dl numro d componnt guast?) 9) Vngono ffttuat 80 lanc d 6 dad a s facc: la facca 5 sc volt n lanc: 0 3 4 5 6 30 7 8 4 0 0 Confrontar la mda artmtca d rsultat con qulla attsa. ( 79; 5) 0) Calcolar l probabltà P 6,/0 (3) (bnomal) P 0,6 (4) (Posson) PROBABILITÀ pag.55

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 ) Calcolar E(K) (K) pr l dstrbuzon P,3/4 (k) (bnomal) P 3 (k) (Posson) ) Vngono lancat 8 dad ttradrc. All 4 facc vngono assocat valor dlla v.a. dscrta {0,,, 3}. Calcolar l valor attso la varanza dlla mda artmtca d rsultat d un lanco. 3) Da una sr d 50 msur s ottngono x 50 x 640. Stablr s rsultat sono compatbl con quanto attso (valor mdo varanza) da a) dstrbuzon bnomal con 7 p 70 % b) dstrbuzon d Posson con m 8 c) dstrbuzon unform (contnua) fra 0, 0,0. 4) La v.a. (0 x a) ha una dstrbuzon trangolar: f(x) a Calcolar l lvllo d confdnza corrspondnt a E() ± () dscrvr la funzon d dstrbuzon dlla mda artmtca ottnuta da campon d 00 msur. 5) Dtrmnar K, E(), () pr la sgunt dnstà d probabltà: f(x) K 0 a a 3a x 6) All'uscta dll s facc d un dado (contrassgnat con l lttr A, B, C, D, E F) vn assocata una varabl alatora ch assum l valor: 0 n corrspondnza d A, B F 0 n corrspondnza d C D 50 n corrspondnza d E. Dtrmnar l lvllo d confdnza d rlatvo all'ntrvallo [m-;m+]. 7) Da una sr d 00 msur d forza s ottn -5,7 () 0,4. Qual è la probabltà ch un'altra sr d 00 msur fornsca un rsultato ' -7,4? Qual è la probabltà ch un'altra msura sngola fornsca 0? 8) S T (00±0) K è stato ottnuto da un grosso campon d msur qual è la probabltà ch l valor attso d T sa > 0 K? 9) Vn stratto un campon d 00 msur d M da una dstrbuzon unform contnua fra 0 g 0 g. Fra qual valor è prvdbl ch sa comprsa la mda artmtca M rcavata dal campon? 0) La varabl alatora (0 x 30) ha una dstrbuzon unform. Scrvr la f( ) avndo sguto 750 msur d. PROBABILITÀ pag.56

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 ) In una fabbrca d condnsator vn msura la capactà d 400 condnsator ottnndo C 48,0 nf con una dvazon standard (C),0 nf. S può rtnr ch C sa varato rsptto a una produzon prcdnt n cu C ' 48 800 pf? ) Da una sr d 00 msur d massa s ottngono l quanttà: Σ m 40 kg Σ m 6,009 9 kg. Un'altra sr d msur fornsc m 400,0 g con un'ncrtzza rlatva dllo 0,5 % ma qusto rsultato va aumntato, a causa d un fftto sstmatco, d una quanttà comprsa fra g 8 g. Qual è l valor dlla massa? 3) Fra l lunghzz l s ntrcorr la rlazon l l 0 - s. S sgu una sr d 9 msur d l al varar d s ottnndo la quanttà Σ(l + s ) 90 µm. A) S stm col mtodo d mnm quadrat l valor d l 0 sapndo ch l'ncrtzza rlatva nlla msura d l è trascurabl rsptto a qulla d s ch la dvazon standard d s non vara con d è par a 0,60 µm. B) S dtrmnno la probabltà ch sa l 0 > 0, µm C) l'ntrvallo d confdnza corrspondnt al lvllo d confdnza dl 95% (s assuma gaussana la dstrbuzon dlla stma d l 0 ) 4) Data la rlazon - a, scrvr l rlazon ch prmttono d stmar col mtodo d mnm quadrat a la sua ncrtzza nll'pots d una sr d copp d msur d n cu l dtrmnazon d hanno ncrtzza trascurabl qull d varanz ncognt ma ugual fra loro. 5) Rcavar l'sprsson dll'ncrtzza da attrbur alla formula dlla mda psata. 6) Mdant un galvanomtro al tmpo t 0 vn blancato un pont d Whatston; n tmp succssv s ffttuano l sgunt msur (l'ncrtzza nll msur d tmpo è trascurabl): tmpo [mn] 3 4 5 6 7 8 9 0 I [na] 0,0,0,0,0,0 4,0 3,0 4,0 4,0 5,0 Utlzzar l mtodo d mnm quadrat (rtta p con varanz ncognt ma ugual) pr dtrmnar s l'andamnto I(t) è dovuto a sol fftt casual o l pont s sta sblancando nl tmpo (rror sstmatco). [s non c fossro dpndnz tmporal quanto varrbb l coffcnt angolar dlla rtta?] 7) S sguono 6 msurazon dlla dffrnza d potnzal V a cap d una rsstnza R dll'ntnstà d corrnt I ch crcola n ssa al fn d dtrmnar l valor d R. [VR I] S ottngono l quanttà: V 400,05 V ; I 0-4 A ; V I 0, W. A qual dll du rsstnz R (990 ± 0) Ω o R (050 ± 0) Ω s rfrscono l msur ffttuat sapndo ch l'ampromtro utlzzato ra molto pù snsbl dl voltmtro? (utlzzar l mtodo d mnm quadrat con una rtta passant pr l orgn supporr ch l ncrtzz dll msur d V sano ugual fra loro qull d I trascurabl). 8) Scrvr l'sprsson dlla funzon d dstrbuzon dlla mda artmtca ottnuta da campon d 00 msur dlla varabl alatora Z ch sgu la dstrbuzon: PROBABILITÀ pag.57

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 SOLUZIOI ) P(A) 0,8 x 0,8 64 %; P(B) 0, x 0, 96 %; P(C) (-0,8x0,8)x(-0,8x0,8) 87,04 %; P(D) 0,96 x 0,96 9,6 % ) dmnsonalmnt [f(x)] [c] [x] mntr pr una dnstà d probabltà [f(x)] [x] - 3) A 3 Ω -3 E() 3/4 Ω () 3/80 Ω B la probabltà non può ssr ngatva pr nssun valor dlla v.a. C /ln E() /ln m () (3/ln-/ln ) m D 4 kg E() 4ln kg () 8-6ln kg E -/ln E() -/ln cm () (3/ln-/ln ) cm F la probabltà non può ssr ngatva pr nssun valor dlla v.a. G /55 E() 45/ () 644/605 H 0, g - E(),6 g () 0,4 g I 4/9 E() /9 () 04/8 0000 5000 4) P(vta 5 000 or) 0000 000 6,5 % 6) K 6 (ma) -3 E(I) 0,5 ma Kr (kω) - E(R) /3 kω Essndo I R ndpndnt s ha ch f(r I) f(r) f(i), analogamnt, E(RI) E(R) E(I) qund: f(v) R I ( ma - I) V - E(V) /3 V. 7) L grandzz L S sono statstcamnt ndpndnt s solo s E(LS) E(L) E(S). 98+ 0 9+ E(L) 00 cm; E(S) 3 30 cm ; L S sono statstcamnt ndpndnt prché E(V) 3,000 dm 3 è ugual a E(L) E(S) 3 000 cm 3. 8) m p 5000x0,0 00 da cu 0; c s asptta qund un tasso d guast par a 00 ± 0 mntr la varabl t-studnt val t (50-00)/0 5. Anch s la dstrbuzon non è gaussana è strmamnt mprobabl ch t rsult casualmnt >3 qund la dffrnza 50 00 è dovuta al cattvo funzonamnto dlla macchna 9) Dall frqunz d rsultat s calcolano la mda artmtca la sua dvazon standard: 5 (0,99 ± 0,). Il rsultato statstco ottnuto concd con la prvson probablstca: p 6 /6 0) Bnomal:,458% Posson: 0,96% ) Bnomal: E(K) p 3/ (K) p q 3/8 Posson: E(K) m 3 (K) m 3 ) dado: E() 3/ () 5/4; 8 dad: E( ) 3/ ( ) 5/3 3) c) nfatt: 5,00 ± 0,40 s (),8 mntr: bnomal E() 4,9 (), PROBABILITÀ pag.58

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 Posson E() 8,0 (),83 unform E() 5, (),83 x a 8 4) f(x) ; E() a ; () ; C.L. 6,9 %. Pr l torma dl lmt a 3 3 9 a cntral (00 ) f( ) è una gaussana (m a ; ) 3 30 5) gomtrcamnt: l ara val ak/ + ak + ak/ ak da cu K /(a); qund x 3 x 0 x a f(x) ; a x a f(x) ; a x 3a f(x) a a ; a a E() /6 a + ¾ a + 7/ a 3/ a () 5/ a 6) All'ntrvallo d confdnza 0 ± 00 corrspond un C.L. 5/6 7) A) pr l torma dl lmt cntral (00 ) f( ) è una gaussana con m -5,7 0,4,44 ; qund s ottn: 0,5 + ERF(,7/,44) 88, % 00 B) n qusto caso () 0,4 pr cu: 0,5 - ERF(5,7/0,4) 0,4 % 8) 6% 9) (5,00 ± 0,9) g 0) π 0,3 (5) x0,3 ) È varata: t 0 >> 3 m m Σ Σ Σm ) Prma sr: m ± (400,0 ±,0) g. Sconda sr: potzzando una dstrbuzon unform l valor mdo dlla corrzon + 8 (8) addtva è 5,0 g con una varanza 3,0 g. Prtanto da m (400,0 ±,0) g s ottn m' (405,0 ±,0) g. Poché valor dll du sr d msur dstano solo, dvazon standard è possbl utlzzar la mda psata pr ottnr: 400 + 405 m + 4 4 ± + 4 (40,00 ± 0,89) g. 3) A) Poché l'ncrtzza rlatva nlla msura d l è trascurabl rsptto a qulla d s convn nvrtr la rlazon: s l 0 - l consdrando l com varabl ndpndnt. La quanttà da mnmzzar al varar d l 0 è U,9 s (l0 l ) (s ) da cu s rcava PROBABILITÀ pag.59

LABORATORIO DI FISICA IGEGERIA "La Sapnza" gnnao 003 s + l (s) los 0 µm (los) 0,0 µm da cu: lo (0,00 ± 0,0) µm al 68,3% d C.L.(pots gaussana). B) La probabltà ch sa lo > 0, µm (z > ) è 6%; C) l 95% d C.L. corrspond a,96 dvazon standard: l 0 (0,00 ± 0,39) µm 4) as x y x x (as) x 6) Da Σ 86 na mn, Σ 385 mn, Σ 9 (na) s ottngono l quanttà: p 0,483 na/mn p ( p ) Σ 0,05 na/mn Σ pσ + p Σ Σ ( Σ ) Σ 0,488 na Poché la pndnza p (0,483±0,05) na/mn è dvrsa da zro pr crca 0 dvazon standard l'andamnto non costant d I(t) non è dovuto a sol fftt casual. V I ± con I I dsta 3,5 dvazon standard da R solo 0,7 da R. 7) Da R ( V I ) V I s rcava R (000 ± 0) Ω ch 8) f(z) z/8 cm - ; E(Z) 4 cm; (Ζ) cm ; ( Z ) 0,4 cm; pr l torma dl lmt cntral (00 ) f( Z ) è una gaussana: π0,4 (z4) 0,04 cm - PROBABILITÀ pag.60