ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA I Maggiorazioe della edia geoetrica co la edia aritetica Siao x 1,, x 0 Allora er ogi vale la aggiorazioe x1 x x 1 + + x (1) Suggerieto: diostrare er iduzioe utilizzado la seguete diseguagliaza Diseguagliaza di Youg Siao a, b R +, r, s Q tali che r + s 1, allora se 0 < r < 1 vale la seguete diseguagliaza Questa diseguagliaza si diostra utilizzado il seguete esercizio Esercizio Siao r Q, x > 0, x 1, 0 < r < 1, allora La diostrazioe utilizza il seguete esercizio Esercizio 1 Se, N \ {0}, > 1, x > 0 e x 1 allora a r b s r a + s b () x r 1 < r(x 1) x 1 > x 1 Per rovare la tesi alicare la diseguagliaza di Beroulli Diseguagliaza di Beroulli, h > 1, h 0 risulta Diostrare er iduzioe i) (1 + h) > 1 + h, ii) 1 + h(1 + h) 1 > (1 + h) 1
Svolgieto degli esercizi roosti Diseguagliaza di Beroulli, h > 1, h 0 risulta i) (1 + h) > 1 + h, ii) 1 + h(1 + h) 1 > (1 + h) (3) Diostrazioe Diostriao er iduzioe le diseguagliaze Diostrazioe (i) Prio asso: se si ha che (1 + h) > 1 + h Iduttivitá (1 + h) +1 (1 + h) (1 + ) > (er l iotesi iduttiva) (4) Diostrazioe (ii) Prio asso: se si ha (1 + h)(1 + h) 1 + h + h + h > 1 + h( + 1) 1 + h(1 + h) > (1 + h) che é vera erché euivale a Iduttivitá 1 + h + h > 1 + h + h (1 + h) +1 (1 + h) (1 + h) < (er l iotesi iduttiva) (5) Distiguiao i casi h > 0 e 1 < h < 0 Se h > 0 allora, essedo 1 < (1 + h), i (5) si ha < [1 + h(1 + h) 1 ](1 + h) 1 + h + h(1 + h) 1 + h + h(1 + h) < 1 + h(1 + h) + h(1 + h) < 1 + ( + 1)h(1 + h) Se ivece 1 < h < 0 allora (1 + h) < 1 da cui, essedo h < 0, h < h(1 + h), uidi i (5) si ha 1 + h + h(1 + h) < 1 + h(1 + h) + h(1 + h) 1 + h(1 + h) ( + 1) 1 + ( + 1)h(1 + h) +1 (6) Esercizio 1 Se, N \ {0}, > 1, x > 0 e x 1 allora x 1 > x 1 (7)
Diostrazioe I) Siao 1 e II) Siao > > 1 x 1 > (x 1) x 1 > x 1 x 1 x 1 > x 1 (x 1) (x 1) > 0 (8) Per verificare la diseguagliaza sora ioriao il terie co ua uatitá ositiva che deteriiao ediate oortue trasforazioi algebriche dell esressioe: (x 1) (x 1) x x + x x + x x + (9) er la diseguagliaza di Beroulli (i), co e h x 1, abbiao (10) x (x 1) ( )(x 1), (11) x > 1 + ( )(x 1) x 1 > ( )(x 1); (1) etre er la diseguagliaza di Beroulli (ii), co e h x 1, risulta 1 + x 1 (x 1) > x x 1 (x 1) > x 1 (x 1) > x 1 (x 1) (13) Teuto coto di (1) e (13) l ultio terie di (11) viee iorato coe segue x (x 1) ( )(x 1) > x ( )(x 1) ( )x 1 (x 1) (x 1)( )[x x 1 ] (x 1)( )x 1 [x 1] (x 1) ( )x 1 > 0 Esercizio Siao r Q, x > 0, x 1, 0 < r < 1, allora x r 1 < r(x 1) Diostrazioe Allo scoo di utilizzare l Esercizio 1, oiao r Dato che 0 < r < 1 risulta 1 r > Possio uidi scrivere > 1, uidi x r 1 < r(x 1) [ ] (x 1 ) 1 < (x 1 ) 1 [ ] (x 1 ) 1 < (x 1 ) 1 (x 1 ) 1 < (x 1 ) 1 L ultia diseguagliaza é vera er uato diostrato ell Esercizio 1 Diseguagliaza di Youg Siao a, b R +, r, s Q tali che r + s 1, allora se 0 < r < 1 vale la seguete diseguagliaza a r b s r a + s b (14) 3
Diostrazioe Segue dalla diseguagliaza rovata ell Esercizio rededo x a b : a r ( a ) b r 1 < r b 1 ar b r < 1 + r ( a b 1 ) Moltilico rio e secodo ebro er b s b r b s+r b (erché s + r 1): b s a r < b s b r + r a bs b r b r b s b r b + ra rb (1 r)b + ra ra + sb Maggiorazioe della edia geoetrica co la edia aritetica Siao x 1,, x 0 Allora er ogi vale la aggiorazioe Diostrazioe Procediao er iduzioe Per é vera, ifatti x1 x x 1 + + x (15) x1 x < x 1 + x Iduttivitá Dobbiao dedurre da la aggiorazioe 4x 1 x < x 1 + x + x 1 x 0 < x 1 + x x 1 x (x 1 x ) (16) x1 x x 1 + + x, (17) Per uesto rocediao coe segue +1 x 1 x x +1 x 1 + + x + x +1 (18) + 1 +1 x 1 x x +1 +1 x 1 x +1 x +1 ( x 1 x ) +1 x 1 +1 (alichiao la diseguagliaza di Youg co r + 1, s 1 + 1, a x 1 x, b x +1 ) + 1 x 1 x + 1 + 1 x +1 (er l iotesi iduttiva) x 1 + + x + 1 + 1 + 1 x +1 x 1 + + x + x +1 + 1 4
Illustro ora la diostrazioe roosta da Cauchy (Oeuvres Colétes 1897) Questa si cooe di due assi: I asso: verificare la diseguagliaza er, ; II asso: verificare la diseguagliaza er, Il rio asso di uesta si svolge er iduzioe, etre il secodo utilizza il rio Iiziao co l osservare che la diseguagliaza (1) é euivalete alla seguete ( ) x1 + + x x 1 x (19) Quidi rovare il rio asso vuol dire rovare er ogi ( x1 + + x x 1 x ) (0) Procediao er iduzioe Sia, ossiao scrivere, er cooditá (0) ella fora seguete A B < ( ) A + B (1) La diostrazioe é ovvia erché basta sviluare il uadrato e selificare (é la diostrazioe di (16)) Per diostrare l iduttivitá suoiao che (0) sia vera el caso i cui abbiao 1 terii (iotesi iduttiva) e la roviao el caso di terii Per fare uesto oltre l iotesi iduttiva utilizziao (1) Ifatti sezziao il rodotto al rio ebro di (0) i due arti coteeti lo stesso uero di fattori, erché esso é costituito da u uero ari di terii( 1 ) Per uesto oiao A (x 1 x 1), B (x 1 +1 x ) () Per l iotessi iduttiva, ovvero la aggiorazioe alicata a 1 terii, ossiao scrivere (x 1 x 1) (x 1 +1 x ) il secodo ebro si uó scrivere [ 1 (x 1 + + x 1) (x 1 +1 + + x ) ( ) ( x1++x 1 x ) +1 ++x 1 ] (er la aggiorazioe (1) [ ( ) ] 1 x1 + + x 1 + x 1 +1 + + x (3) [ 1 (x 1 + + x 1 + x 1 +1 + + x ) [ x1 + + x 1 + x 1 +1 + + x Che é uato volevao diostrare 1 Si osservi che la etá di é 1 ] ] 5
Utilizziao uato abbiao diostrato uato abbiao diostrato er rovare la aggiorazioe se Per fare uesto oiao K x 1 + + x (4) Sia grade abbastaza i odo che < Alichiao la aggiorazioe rovata i recedeza er fattori al rodotto costituito dagli fattori dati, ovvero x 1 x oltilicati er fattori tutti uguali a K, ovvero cosideriao: ( )fattori {}}{ x 1 x K K, uesto rodotto uó essere uidi aggiorato ediate (0) el odo seguete x 1 x ( )fattori {}}{ K K ( x1 + + x + ( )K ) ( x 1++x + ( )K ) (5) Da uesta, essedo (teuto coto di (4)) ( K + ( )K ( )fattori {}}{ K K ) K K, otteiao ifie x 1 x K K x 1 x K 1 x 1 x K ( ) x1 + + x 6