I Triangoli e i criteri di congruenza 1 Le caratteristiche di un triangolo Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni I punti estremi dei tre lati si chiamano vertici Un vertice del triangolo viene detto opposto a un lato se non appartiene al lato stesso Gli angoli individuati da ciascuna delle coppie del triangolo vengono detti angoli interni Un angolo è adiacente ad un lato quando uno dei due lati dell angolo contiene quel lato del triangolo Gli angoli esterni di un triangolo sono quelli adiacenti agli angoli interni ngolo esterno Definiamo 4 elementi particolarmente importanti per i triangoli:
1. In un triangolo, la bisettrice relativa al vertice è il segmento costituito dai punti della bisettrice dell angolo in che sono anche punti del triangolo Si dimostra che le bisettrici di un triangolo relative ai tre vertici si incontrano in unico punto detto incentro. Incentro 2. In un triangolo, la mediana relativa a un lato è il segmento che ha per estremi il punto medio del lato e il vertice opposto a quel lato M Si dimostra che le mediane di un triangolo, relative ai tre lati, si incontrano in un punto detto baricentro aricentro
3. In un triangolo, l altezza relativa a un lato è il segmento che, partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando con esso due angoli retti H Si dimostra che le altezze relative ai tre lati del triangolo si incontrano in un punto detto ortocentro. Ortocentro H 4. In un triangolo, l asse di un lato è quella retta che taglia il lato perpendicolarmente (formando un angolo retto) M Si dimostra che gli assi di un triangolo si incontrano in un punto chiamato circocentro ircocentro M Successivamente quando si studieranno le proprietà dei cerchi circoscritti ed inscritti ad un triangolo vedremo le proprietà degli elementi appena introdotti.
Possiamo classificare i triangoli rispetto ai lati: equilatero isoscele scaleno o rispetto agli angoli: ateto Ipotenusa ateto rettangolo ottusangolo acutangolo 2 I riteri di congruenza dei triangoli Due triangoli sono congruenti se essi sono sovrapponibili. Esistono dei criteri che permettono di stabilire quando due triangoli sono congruenti. Primo riterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l angolo fra essi adiacenti, allora sono congruenti
Secondo riterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti, allora sono congruenti Terzo riterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati allora sono congruenti. I tre criteri di congruenza permettono di dimostrare una serie di proprietà sul triangolo isoscele: M
Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele Se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice dell angolo è anche altezza mediana rispetto alla base Sempre attraverso i criteri di congruenza si riescono a dimostrare altre proprietà sui triangoli: In ogni triangolo non equilatero, a lato maggiore si oppone angolo maggiore In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti ad esso. In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due. (questa è la così detta disuguaglianza triangolare e permette, date tre segmenti, di stabilire se essi possono essere i lati di un triangolo 3 Rette parallele e perpendicolari Il V postulato di Euclide permette di dimostrare tutta una serie di proprietà sui triangoli. Prima di illustrarle occorre dare una serie di definizioni e proprietà sulle rette. Rette perpendicolari Due rette incidenti sono perpendicolari quando dividono il piano in due angoli retti Si dimostra che per un punto del piano passa una e una sola retta perpendicolare a una retta data
Rette parallele Due rette sono parallele quando non hanno alcun punto in comune Per studiare la proprietà delle rette perpendicolari occorre definire gli angoli che due rette formano con una trasversale che le taglia 2 3 4 1 6 5 7 8 Si danno le seguenti definizioni per gli angoli: (4;6), (3;5) alterni interni (1;7), (2;8) alterni esterni (1;5), (2;6), (4;8), (2;6), (3;7) corrispondenti (4;5), (3;6) coniugati interni (1;8), (2;7) coniugati esterni Usando queste definizioni e possiamo provare il seguente teorema: riterio di parallelismo tra due rette Se due rette, incontrandone una terza, formano: ngoli alterni congruenti oppure ngoli corrispondenti congruenti oppure ngoli coniugati supplementari (la somma è un angolo piatto) llora le due rette sono parallele
partire dal V postulato di Euclide si può dimostrare l esistenza di un unica retta parallela ad una retta data e tutta un altra serie di proprietà relative alle rette e ai triangoli: Data una retta e un punto fuori di essa, è unica la retta passante per quel punto e parallela alla retta data. Se due rette sono parallele, formano con una qualunque trasversale angoli alterni congruenti, angoli corrispondenti congruenti e angoli coniugati supplementari In ogni triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni non adiacenti ad esso La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è congruente a un angolo piatto La somma degli angoli interni in un poligono convesso di n lati è congruente a (n-2) angoli piatti. La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è congruente a un angolo giro Le ultime proprietà dimostrate permettono di aggiungere un criterio di congruenza per i triangoli rettangoli. 4 I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli I tre criteri di congruenza si possono ridefinire per i triangoli rettangoli Primo criterio triangoli rettangoli Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i due cateti (conseguenza I criterio generale di congruenza) Primo criterio triangoli rettangoli Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente un cateto e un angolo acuto corrispondenti (conseguenza II criterio generale di congruenza)
Terzo criterio triangoli rettangoli Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente l ipotenusa e un angolo acuto (conseguenza II criterio generale di congruenza) Quarto criterio triangoli rettangoli Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente l ipotenusa e un cateto