LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b R sono fissati Un sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un insieme di m equazioni lineari della forma a, x + a,2 x 2 + + a,n x n = b (22 a 2, x + a 2,2 x 2 + + a 2,n x n = b 2 a m, x + a m,2 x 2 + + a m,n x n = b m ove a i,j, b i R Una soluzione dell Equazione (2 è una successione ordinata di numeri reali (x, x 2,, x n per cui vale l identità numerica a x + a 2 x 2 + + a n x n = b Una soluzione del Sistema (22 è una soluzione di ogni equazione del sistema Esempio 22 L equazione 2x x 2 = 2 è lineare: le coppie ordinate (, 0, (0,, (, 4 sono sue soluzioni Invece le coppie ordinate (0,, (, 0, ( 4, non sono soluzioni Convenzionalmente, ad un sistema della forma del Sistema (22, viene aggiunta una parentesi graffa che indica quali equazioni devono essere considerate: perciò un sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali viene spesso denotato con a, x + a,2 x 2 + + a,n x n = b a 2, x + a 2,2 x 2 + + a 2,n x n = b 2 a m, x + a m,2 x 2 + + a m,n x n = b m Typeset by AMS-TEX
2 2 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Pertanto le scritture 2x x 2 = 3 x + x 2 = 0 x + x 2 =, { 2x x 2 = 3 x + x 2 = 0 x + x 2 =, hanno significati diversi Si noti che al Sistema (22 possono essere naturalmente associate due matrici, precisamente a, a,2 a,n a 2, a 2,2 a 2,n A = a m, a m,2 a m,n, B = A e B vengono rispettivamente dette matrice dei coefficienti del sistema (o anche matrice incompleta del sistema e matrice dei termini noti del sistema Invece la matrice (A B = a, a,2 a,n a 2, a 2,2 a 2,n a m, a m,2 a m,n viene detta matrice completa del sistema La sbarra serve a ricordare che ciò che si trova alla sua sinistra è la matrice incompleta del sistema e ciò che si trova alla sua destra è la colonna dei termini noti Si noti che, posto X = x x 2 x n, il Sistema (22 può essere scritto in forma matriciale come (23 AX = B In particolare, con tale formalismo, le soluzioni del Sistema (22 sono esattamente le matrici numeriche x x 2 X = x n tali che valga l identità matriciale AX = B b b 2 b m b b 2 b m
LEZIONE 2 3 Per questo motivo, da adesso in poi, identificheremo R n con R n, : quindi nel seguito varrà l identità insiemistica R n = R n, e scriveremo (x, x 2,, x n = X = La scelta di una notazione piuttosto dell altra sarà legata esclusivamente a ragioni di comodità di scrittura Esempio 24 Si consideri il sistema 2x x 2 = 3 (24 x + x 2 = 0 x + x 2 = La matrice completa del sistema è (A B = 2 x x 2 x n 3 0 Il sistema può essere scritto in forma matriciale come 2 ( x = 3 0 x 2 Si noti che (, è soluzione del Sistema (24 poiché 2 ( = 3 0 Invece (, non è soluzione del Sistema (24: infatti 2 ( = 3 0 3 0 2 Definizione 25 Si consideri il Sistema (23 Il sistema si dice omogeneo se B = 0 m,, non omogeneo in caso contrario Il sistema si dice compatibile se ha soluzioni, non compatibile o incompatibile in caso contrario Diamo ora qualche esempio di sistema omogeneo, non omogeneo, compatibile, incompatibile
4 22 MATRICI FORTEMENTE RIDOTTE PER RIGHE Esempio 26 Il Sistema (24 2 ( x = 3 0 x 2 è non omogeneo e compatibile poiché ammette (, come soluzione Se A R m,n allora ogni sistema omogeneo AX = 0 m, è compatibile in quanto 0 n, è sempre sua soluzione Invece il sistema 2 ( x x 2 = 3 0 è non omogeneo e non può essere compatibile: infatti se (x, x 2 R 2 fosse una sua soluzione si dovrebbe avere x +x 2 = 0 e, contemporaneamente, x +x 2 =, il che è, ovviamente, impossibile 22 Matrici fortemente ridotte per righe Nel precedente paragrafo abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari In questo paragrafo ci poniamo il problema di descrivere un metodo efficiente per la determinazione della totalità delle soluzioni di un tale sistema A tale scopo iniziamo considerando un semplice esempio Esempio 22 Si consideri il sistema a + b + 2c + e = (22 b + d + g = 0 3b + f + 3g = Il Sistema (22 si scrive nella forma matriciale 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 a b c d e f g = 0 Il Sistema (22 ha una proprietà notevole : in ogni sua equazione, c è un incognita con coefficiente non nullo, che non figura in nessuna delle altre equazioni Questo ci permette di risolvere il sistema in maniera veloce In ogni equazione si sceglie un incognita che non figura nelle rimanenti equazioni del sistema e la si esplicita in funzione delle altre incognite dell equazione stessa
LEZIONE 2 5 Per esempio nella prima equazione scegliamo l incognita a, e si ha nella seconda l incognita d, e si ha nella terza l incognita f, e si ha a = b 2c e, d = b g, f = 3b 3g Dunque le soluzioni del Sistema (22 sono necessariamente tutte e soli gli elementi di R 7 della forma ( b 2c e, b, c, b g, e, 3b 3g, g al variare di b, c, e, g in R Per esempio, scelti b = c = e = g = 0, si ottiene la soluzione (, 0, 0, 0, 0,, 0 Invece, scelti b =, c = 0, e =, g =, si ottiene la soluzione (2,, 0, 0,, 8, Il fatto che in ogni equazione del Sistema (22 c è un incognita che non figura in nessuna delle altre equazioni può essere tradotto in linguaggio matriciale osservando che in ogni riga della sua matrice (incompleta c è un entrata non nulla che è l unica entrata non nulla nella sua colonna A tutti i sistemi la cui matrice incompleta ha questa proprietà si può applicare il metodo descritto nell esempio precedente ottenendo facilmente la soluzione generale Per questo motivo è utile dare un nome a tale tipo di matrici Definizione 222 La matrice A = (a i,j i m R m,n si dice fortemente ridotta j n per righe se valgono le seguenti proprietà: (FR se la riga di indice i 0 contiene entrate non nulle allora esiste una sua entrata a i0,j 0, detta pivot (della riga di indice i 0, che vale e tale che a i,j0 = 0 per ogni i i 0 ; (FR2 se tutte le entrate della riga di indice i 0 sono nulle allora le entrate di ogni riga di indice i > i 0 sono anch esse nulle Quindi il metodo sopra descritto si può applicare ogni volta si abbia a che fare con un sistema la cui matrice incompleta sia fortemente ridotta per righe Esempio 222 Si considerino le matrici 0 0 0 0 0 A = 0 2 0 5 2 0 4 0 2 0 4, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 5 2 2 A 2 =, A 0 2 0 5 2 3 = 0 4 0 2 0 4 0 4 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0
6 22 MATRICI FORTEMENTE RIDOTTE PER RIGHE A è fortemente ridotta per righe, mentre A 2 ed A 3 non lo sono Spesso è utile lavorare con matrici aventi delle proprietà simili ma un po più deboli Definizione 224 La matrice A = (a i,j i m R m,n si dice ridotta per righe j n se vale la seguente proprietà: se la riga di indice i 0 < m contiene entrate non nulle allora esiste una sua entrata a i0,j 0 0 tale che a i,j0 = 0 per ogni i > i 0 Chiaramente ogni matrice fortemente ridotta per righe è ridotta per righe, ma non vale il viceversa come mostra il seguente esempio Esempio 225 Si considerino le matrici 3 0 0 3 0 0 2 0 5 2 2 A = 0 4 0 2 0 4 0 5 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 2 0 5 2 2 A 2 = 0 4 0 2 0 4 4 5 0 0 0 0 0 La matrice A è ridotta per righe ma non fortemente ridotta per righe Invece la matrice A 2 non è ridotta per righe, dunque non lo è neanche fortemente 23 Operazioni elementari di riga Dato un sistema di equazioni lineari però, in generale, la sua matrice non è fortemente ridotta per righe, o anche solo ridotta per righe Per esempio la matrice completa del sistema (23 { x + y + z = x y + 2z = 3 è ( 2 3 che non è ridotta per righe Un possibile metodo di soluzione è quello di trasformare il Sistema (23 in un nuovo sistema con le stesse soluzioni e che abbia una matrice fortemente ridotta per righe e risolvere quest ultimo invece di quello di partenza Per esempio, se nel Sistema (23 si sostituisce alla seconda equazione la somma delle due equazioni, si ottiene il nuovo sistema (232 { x + y + z = 2x + 3z =
la cui matrice completa è LEZIONE 2 7 ( 2 0 3 che è ridotta per righe Chiaramente se (x 0, y 0, z 0 è soluzione del Sistema (23 si ha x 0 + y 0 + z 0 = x 0 y 0 + 2z 0 + 3 = 0, dunque x 0 + y 0 + z 0 = (x 0 + y 0 + z 0 + (x 0 y 0 + 2z 0 + 3 = 0, sicché (x 0, y 0, z 0 è anche soluzione del Sistema (232: concludiamo che l insieme delle soluzioni del Sistema (23 è contenuto in quello del Sistema (232 Poiché, viceversa, il Sistema (23 si può ottenere dal Sistema (232 sostituendo alla sua seconda equazione la seconda equazione meno la prima anche l insieme delle soluzioni del Sistema (232 è contenuto in quello del Sistema (23, dunque tali insiemi coincidono, cioè i due Sistemi (23 e (232 hanno le stesse soluzioni, ovvero sono equivalenti nel senso della seguente Definizione 233 Due sistemi di equazioni (non necessariamente lineari si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni Proseguendo con il Sistema (232, dividendo la seconda equazione per 2 otteniamo il sistema equivalente (234 la cui matrice completa è { x + y + z = x + 3z/2 = ( 0 3/2 È facile osservare che il Sistema (234 è ancora equivalente al Sistema (32 di partenza Sottraendo poi alla prima equazione del sistema così ottenuto la seconda otteniamo (235 la cui matrice completa è { y z/2 = 2 x + 3z/2 = ( 0 /2 0 3/2 2
8 23 OPERAZIONI ELEMENTARI DI RIGA che è fortemente ridotta per righe Ragionando analogamente a quanto fatto prima osserviamo che il Sistema (234 è equivalente al Sistema (232, dunque al Sistema (23 Risolvendo il Sistema (234 come spiegato nell Esempio 22 otteniamo che la soluzione generale del Sistema (234 e, perciò, del Sistema (23 è { ( 3z/2, 2 + z/2, z z R } = { (, 2, 0 + z( 3/2, /2, z R } Si noti che ogni operazione fatta sulle equazioni del sistema corrisponde ad un analoga operazione fra le righe della matrice completa del sistema stesso: questa è la tecnica generale per risolvere un qualsiasi sistema di equazioni lineari Per enunciare il risultato generale introduciamo la definizione di operazioni elementari di riga Definizione 236 Sia A R m,n Le operazioni elementari di riga su A sono: (E sommare ad una riga di A un multiplo di un altra riga di A (se si somma alla riga di indice i la riga di indice i 0 i moltiplicata per α R tale operazione viene spesso indicata con R i R i + αr i0 ; (E2 moltiplicare una riga di A per una costante non nulla α R (se si moltiplica la riga di indice i per α tale operazione viene spesso indicata con R i αr i ; (E3 scambiare due righe di A (se si scambiano le riga di indici i e i 0 tale operazione viene spesso indicata con R i R i0 Il risultato fondamentale di questo paragrafo è il seguente Proposizione 237 Sia A R m,n Allora esiste una successione finita di operazioni elementari di riga che trasforma A in una matrice A R m,n (fortemente ridotta per righe Dimostrazione Supponiamo che A = (a i,j i m Supponiamo che A 0 m,n j n (altrimenti non c è nulla da dimostrare Sia i 0 il più piccolo indice per cui esiste a i0,j 0 0 Moltiplicando la riga di indice i 0 per a i0,j 0 (cioè R i0 R i0 /a i0,j 0 trasformiamo la matrice A in una nuova matrice A avente l entrata in posizione (i 0, j 0 Per ogni i i 0 si sostituisca la riga di indice i con la sua somma alla riga di indice i 0 moltiplicata per a i,j0 (cioè R i R i a i,j0 R i0 In questo modo trasformiamo la matrice A in una nuova matrice A = (a i,j i m j n la cui colonna di indice j 0 contiene un unica entrata non nulla che vale in posizione (i 0, j 0 A questo punto si presentano due possibilità Nel primo caso tutte le righe di indice i i 0 sono nulle: scambiando la riga di indice i 0 con la riga di indice (cioè R R i0 trasformiamo A in una nuova matrice A = (a i,j i m j n la cui colonna di indice j 0 contiene un unica entrata non nulla che vale in posizione (, j 0 e tale che a i,j = 0 per ogni i > Quindi A è fortemente ridotta per righe
LEZIONE 2 9 Nel secondo caso ripetiamo lo stesso procedimento con il più piccolo indice i > i 0 per cui esiste a i,j 0 Poiché a i,j 0 = 0 per i i 0 segue che j j 0 In questo modo dopo al più m passi (uno per ogni riga otteniamo una matrice fortemente ridotta per righe Esempio 238 Si consideri la matrice Allora 3 2 A = 2 4 2 3 2 5 7 A R R 2 R 2 R 0 2 3 0 3 R 3 R R 4 R 4 R 2 4 2 3 2 5 7 R 0 2 3 0 3 R 3 R 2 R 4 R 4 +R 2 0 2 3 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 = Â : 0 4 6 0 0 4 7 tale matrice è ridotta per righe Proseguendo R 2 R 2 /2 R R Â 4 R 4 /2 0 3/2 0 /2 2 R 2 +3R 4 /2 R R R 4 0 0 0 0 0 0 0 7/2 0 3 9/2 0 0 6 37/4 0 0 3 9/4 R R R 2 0 0 3 9/4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7/2 0 0 7/2 0 0 6 37/4 0 0 3 9/4 0 0 7/2 = A, 0 0 0 0 0 che è fortemente ridotta per righe R 3 R 4