Esercizi di ecoometria: serie Esercizio Per quali delle segueti uzioi di desità cogiuta le variabili casuali ed soo idipedeti?......3.4.5..5 (a) (b) 3 4....3.6.9..4...5..5 3.. 3.8..4.6 (c) (d) Nel caso (c) calcolare la uzioe di desità della codizioata ad = e la uzioe di desità icodizioata della Soluzioe Due variabili casuali e soo idipedeti quado, comuque predo due valori x e, è veriicata ua delle segueti codizioi: ) = ( x) ( ) ) x, ( x / ) = ( x) x ) /, a. Veriichiamo l idipedeza della tabella (a) co la prima codizioe ( ) ( ) = (.3)(.4) =.. ( ) =, Possiamo già dire che le due variabili o soo idipedeti poiché la codizioe deve essere rispettata da tutti i valori di e di b. Veriichiamo l idipedeza ella tabella (b) co la secoda codizioe. ( / ) =. 4 ( ) / = ( / ) =.5.4 ( ) / = Ache i questo caso le due variabili o soo idipedeti. c. Veriichiamo ora l idipedeza tra le variabili ella tabella (c) attraverso la secoda codizioe. ( / ) =.3 ( ) / ( / ) =.5 = ( ) / ( 3/ ) =. = ( 3) ( / ) =.3 ( ) / ( / ) =.5 = ( ) / ( 3/ ) =. = ( 3) ( / 3) =.3 ( ) / ( / 3) =.5 = ( ) / ( 3/ 3) =. = ( 3) ( / 4) =.3 ( ) / ( / 4) =.5 = ( ) / ( / 4) =. = ( 3) / = / = / = / = 3 3
Esercizi di ecoometria serie Le due variabili casuali soo idipedeti, poiché la codizioe è rispettata per tutti i valori di e. d. Veriichiamo la prima codizioe per l idipedeza ( ) ( ) =.4 ( ) =, Ache i questo caso si può dire che o sussiste idipedeza Per deiizioe la uzioe di desità discreta codizioata della variabile aleatoria dato = è data dalla seguete espressioe: ( x ) =, ) ( ) el ostro caso, dato che = e x può assumere i valori, e 3, avremo: ( x ) / /. =. 67.6.4 = =.667.6. =. 67.6 x = x = x = 3 La uzioe di desità icodizioata della o è altro che la sua uzioe margiale. (x)..6 3. Totale Tabella : uzioe di desità margiale Esercizio Si laci u tetraedro regolare (dado a quattro acce) volte. Sia = {umero sul primo tetraedro} ed = {più alto dei due umeri}. Le variabili casuali ed soo idipedeti? Soluzioe Siao: = {umero sul primo tetraedro} = {il più alto dei due umeri} Esse possoo assumere le segueti modalità: 4
Esercizi di ecoometria serie = { 3 3 3 3 4 4 4 4} = { 3 4 3 4 3 3 3 4 4 4 4 4} Lo spazio campioario è il seguete: Ω = {,,,3,4,,,3,4 3, 3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4,4 } La uzioe di desità cogiuta è pari a: 3 4 (x) /6 /6 /6 /6 4/6 /6 /6 /6 4/6 3 3/6 /6 4/6 4 4/6 4/6 () /6 3/6 5/6 7/6 Tabella : uzioi di desità cogiuta e margiale Per provare l idipedeza tra le due variabili casuali veriichiamo la codizioe: ) = ( x) ( ) x, 4 ( ) ( ) = = = (, ) 6 6 64 6 Già a questo puto possiamo dire che le due variabili casuali o soo idipedeti, i quato la codizioe deve essere rispettata per tutti i valori della e della. Esercizio 3 Siao ed variabili casuali dicotomiche che possoo assumere solo i valori - ed co le segueti probabilità: P(=-, =-)=P(=, =) = a e P(=-,=)=P(=,= -) = a a. Trovare le distribuzioi margiali di ed b. Determiare il valore di a tale che ed siao idipedeti Soluzioe a. Il calcolo delle uzioi margiali risulta immediato e i valori soo i segueti: - (x) - a (/)-a / (/)-a a / () / / Tabella 3: uzioi di desità margiale 5
Esercizi di ecoometria serie b. Sappiamo ioltre che due variabili casuali e soo idipedeti se soo uguali la uzioe di desità cogiuta e il prodotto delle uzioi margiali, comuque preda due valori di e di. Aiché si abbia idipedeza il valore di a dovrà essere tale da rispettare la codizioe: ) = ( x) ( ) x, (, ) = ( ) ( ) a = = = 4 La tabella della uzioe di desità cogiuta coterrà quidi i segueti valori: - (x) - /4 /4 / /4 /4 / () / / Tabella 4: uzioi di desità cogiuta e margiale Si tratta di ua distribuzioe uiorme co le margiali ach esse uiormi. Esercizio 4 Determiare se soo idipedeti le variabili casuali ed co uzioe di desità cogiuta: ( x ) 3x = < < x < altrimeti Soluzioe L idipedeza di variabili casuali è strettamete coessa co le distribuzioi codizioate delle variabili stesse. I particolare, date due variabili casuali e, queste soo idipedeti quado la distribuzioe codizioata e la distribuzioe margiale hao lo stesso valore, ossia: ( x / ) = ( x) x /, Calcoliamo le distribuzioi margiali della e della. ( x) = ) d = 3x d = x 3x ( ) = ) dx = 3x dx = 3 6
Esercizi di ecoometria serie Veriichiamo la codizioe: ) ( ) 3x x / ( x / ) = = = 3x = 3 Se e deduce che le due variabili casuali soo o idipedeti. ( x) Esercizio 5 Sia la distribuzioe di Beroulli co parametro p e sia E( =) = e E( =) =. A cosa e uguale E()? Soluzioe La distribuzioe beroulliaa ha uzioe di desità cogiuta pari a: (x) p -p Tabella 5: uzioe di desità margiale Utilizzado i dati dell esercizio e sruttado la seguete proprietà: ( ) E[ E( / x )] E = = possiamo ricavare il valore atteso di el seguete modo: E ( ) E [ E ( / = x) ] = E [ / = x] ( x) = ( p) p = ( p p) = p = x= Esercizio 6 Suppoiamo che la variabile casuale ( R) sia distribuita uiormemete ell itervallo (,), e la variabile casuale distribuita codizioatamete ad =x come ua biomiale di parametri e p=x a. Trovare E() b. Trovare la distribuzioe di.(ricordare l itegrale della uzioe beta) a b (a )(b ) B(a,b) = x ( x) dx = (per a e b iteri positivi) (a b ) 7
Esercizi di ecoometria serie Soluzioe La v. a. è uiormemete distribuita, per cui la uzioe di desità è la seguete: ( x) < x < = altrimeti Sappiamo ioltre che la v.c. / = x si distribuisce come ua biomiale di parametri e p=x / = x B[,x] / ( / x) = x ( x) a. per il calcolo del valore atteso della sruttiamo la proprietà: ( ) = E[ E( / x )] E = la quatità al secodo membro è il valore atteso del valore atteso di ua biomiale. Il valore atteso della biomiale sappiamo essere pari a p, el ostro caso essedo p=x, sarà pari a x. Per cui abbiamo: ( ) E[ x ] E = Sappiamo, ioltre, che la variabile casuale è uiormemete distribuita ell itervallo (,), per cui il suo valore atteso sarà: E dx = [ x] x ( x) dx = ( x) ( x) dx = x ( ) = Il valore atteso della è pari a /. b. Sappiamo che la distribuzioe codizioata della è ua biomiale. Per ricavare la distribuzioe della dobbiamo risolvere l itegrale: ( ) = )dx I primo luogo, ricaviamo la uzioe di desità cogiuta delle due variabili e. Partiamo dalla ormula della uzioe di desità codizioata: ) = / ( x / ) ( x) ( ) ) / x / = () Sappiamo, ioltre, che la (x), ell itervallo cosiderato, è pari ad, per cui, la () diveta ) = ( x / ) = ( x / ) = x ( x) / / Torado ora alla uzioe di desità della, possiamo scrivere: ( ) = ) dx = x ( x) dx = x ( x) Per la risoluzioe di questo itegrale, ricordiamo che l itegrale della uzioe beta è: ( ) dx () B a ( a, b) = x ( x ) b dx = ( a ) ( b ) ( a b ) 8
Esercizi di ecoometria serie 9 Nel ostro caso: a = = a- b = -- - = b- Il calcolo della (), può essere così scritto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x = = = dx