RETICOLI DI DIFFRAZIONE

RETICOLI DI DIFFRAZIONE Il reticolo i iffrazione è un coponente ottico in grao i eflettere la raiazione luinosa con angoli iversi ipenenteente alla lunghezza 'ona; ossia un fascio luinoso policroatico che incie su un reticolo i iffrazione viene isperso angolarente coe ostrato in figura 1. In questa figura è ostrato un tipico reticolo funzionante in riflessione, costituito a una serie i specchi, uguali fra loro, isposti secono una grainata; il reticolo i iffrazione è pertanto una struttura perioica. Illuinano un reticolo i iffrazione con un'ona piana si osserva un'ona riflessa (coe se non fossero presenti le rugosità) e una coponente i iffrazione ovuta alla rugosità. i1 i2 1 2 Fig. 1 Esistono anche reticoli funzionanti in trasissione. Il reticolo i iffrazione trova applicazione nell'analisi spettrale ella raiazione luinosa (spettroetria) e gli struenti che ipiegano questo coponente vengono chiaati spettrofotoetri a reticolo. Più recenteente il reticolo ha trovato applicazione negli oscillatori laser per la selezione elle righe i eissione e in ottica integrata. Principio i funzionaento el reticolo i iffrazione Si iagini un reticolo costituito a tanti sottili fili etallici equiistanziati e si consieri la situazione in cui la norale al piano el reticolo, la norale ai singoli fili e la irezione i propagazione ell'ona siano coplanari. Ogni filo, esseno il etallo riflettente, si coporta a sorgente seconaria (ossia eette se illuinata) con un proprio iagraa i raiazione e una certa fase. Si eve consierare l'interferenza ovuta ai singoli raiatori seconari. Per una trattazione copleta è necessario consierare un nuero grane i raiatori eleentari filifori, tuttavia inizialente è conveniente veere cosa avviene per ue raiatori eleentari puntifori aiacenti, supponeno che siano illuinati in eguale oo a una sorgente lontana e unifore. 1/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

Fig. 2 Con riferiento alla figura 2 si consierino ue raggi E 1 e E 2 che inciono con un angolo α i sui raiatori 1 e 2, che si suppongono isotropi. Lo sfasaento fra E 1 e E 2, opo la iffrazione, è ato a: 2π 2π 2π φ = φe φe = sin αi + sin α = ( sin αi + sin α ) (1) 2 1 Il segno positivo eriva alla convenzione ei segni. Coe si vee nella figura 2, α i è positivo entre α è negativo. Se ϕ 2π, con = 0, ±1, ±2,..., si hanno ei vettori sul piano coplesso che non si soano in fase. Se ϕ = 2π si ha il assio el capo. Ciò vale anche per un insiee N i raiatori. Si ha unque la soa in fase quano: 2π ( sinαi + sinα ) = 2π (2) con =0, ±1, ±2,... Per =0 si ha α i = - α = - α r, ossia il raggio è riflesso coe per effetto i un coune specchio. Ricorano che α r = - α i la (2) può essere scritta: sin α = sinα r + (3) Pertanto il terine / rappresenta la variazione, che ipene a e a, ella iffrazione rispetto alla riflessione ovuta a uno specchio. Si ha quini conteporaneaente un fascio riflesso e iversi fasci iffratti; l'angolo ei fasci iffratti ipene alla lunghezza 'ona, il nuero al valore che può assuere. Orine assio i iffrazione Per eterinare il nuero ei fasci iffratti a un reticolo funzionante in riflessione, ossia siile a quello rappresentato in figura 1, conviene consierare un'ona inciente raente alla superficie el reticolo (α i = π/2), coe inicato in figura 3. L'ona iffratta i orine aggiore sarà ancora raente (α = π/2) alla 2/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

superficie el reticolo a con verso opposto rispetto a quella inciente. Così faceno assue valori positivi e si evita la confusione che potrebbe essere generata al oppio segno. L'avere iposto che α i α π/2 iplica: sin α = sin α 1 i = e pertanto alla (2) risulta: = 2 / x La quantità x rappresenta il nuero ei fasci iffratti per un fascio inciente e viene etto orine assio i iffrazione. α n α i Fig. 3 α r Si osservi che un reticolo in cui </2 si coporta a specchio perché l'orine assio i iffrazione è 0; quini, affinché un reticolo si coporti effettivaente a tale, eve essere verificato che > /2. Conizione i Littrow Esiste la possibilità che un fascio torni inietro su se stesso, esclueno ovviaente il caso i riflessione per incienza norale; la conizione (i Littrow) è che: α = (4) α i Si ha pertanto coportaento a specchio per una sola lunghezza 'ona; in questa situazione il reticolo può costituire uno specchio selettivo per un risuonatore. Per la (4), la (2) iventa: = sin αi (5) 2 Distribuzione angolare el capo iffratto Il capo iffratto E ipene all'angolo α sia perché ogni raiatore è caratterizzato a un iagraa i raiazione che in genere non è né unifore né sietrico sia per l'interferenza fra gli N raiatori. In base a queste consierazioni il capo irraiato al reticolo è: N jnφ ( α ) = Es ( α ) e = Es ( α ) n= 1 3/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica N n= 1 jnφ E e (6) aveno supposto che tutti i raiatori hanno lo stesso iagraa i raiazione E s (α ); ϕ è lo sfasaento fra i capi eessi a ue raiatori aiacenti.

L'angolo ϕ può essere espresso a: ϕ = 2π + δ con 0 δ 2π (7) Per la (7), la (6) iventa: E N ( α ) = Es ( α ) n= 1 e jnδ La rappresentazione grafica ella soatoria sul piano coplesso è una poligonale i N segenti (figura 4); quano N è olto grane e δ è piccolo la poligonale si confone con un arco i lunghezza N e raggio R. La cora ell'arco è ovviaente la risultante ella soa vettoriale. Fig. 4 Dalla figura 4 si ottiene il rapporto cora/arco: N n= 1 e N jnδ 2R sin(nδ/ 2) = 2RN sin( δ/ 2) alla quale, esseno δ piccolo: e jnδ sin(nδ / 2) sin(nδ / 2) = sin( δ/ 2) δ/ 2 L'anaento i questa funzione è rappresentato in figura 5. Il capo iffratto E è il prootto i questa funzione per una funzione "lenta" nella irezione α : sin ( ) ( ) ( Nδ / 2) E α Es α (9) δ/ 2 4/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

ove il prio terine è il fattore i iffrazione el singolo raiatore e il secono il fattore i interferenza ell'insiee ei raiatori. Il valore assio è E s (α )N e l'intensità assia E s 2 (α )N 2. Fig. 5 L'anaento ell'intensità, ato elevano al quarato la (9), assue la fora inicata in figura 6. Fig. 6 Il iagraa coplessivo ell'intensità iffratta in funzione i α al variare ell'orine è rappresentato in figura 7; questo iagraa suppone i raiatori isotropi. A titolo i esepio si supponga i inviare un'ona a incienza norale; gli angoli per i quali si ha interferenza costruttiva sono ati alla (3) con α i = α r =0: sin α = (10) Fig. 7 5/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

Questi angoli sono stati eterinati graficaente (ipotizzano /=4) in figura 8a. Fig. 8 Per quanto riguara il fattore i interferenza i assii sono uguali a non equiistanti. Si eve tenere inoltre presente il iagraa i raiazione E s (α ) el singolo raiatore che ha, a esepio, una curva el tipo i quella riportata in figura 8b. La curva tracciata favorisce il fascio iniviuato a = -2. Il posizionaento i questa curva "lenta" viene effettuato, a esepio, orientano opportunaente il profilo ei solchi el reticolo. Bana el reticolo Si efinisce bana el reticolo la istanza angolare fra il assio e il prio inio ella funzione intensità. La relazione i fase (1), con Φ ato alla (7), iventa: δ sin α = sin αi + + 2π Defineno α l'angolo α quano si ha il assio i interferenza costruttiva (δ=0): sin α = sinαi + (11) e efineno α 0 l'angolo α relativo a quel valore i δ che à il prio zero nel iagraa i raiazione: 6/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

δ sin α 0 = sin αi + + (12) 2π Dalla (9), affinché si annulli E e quini si ottenga α 0, eve essere sin(nδ/2)=0, ossia (al prio zero): δ=2π/n. Di conseguenza la (12) iventa: sinα 0 = sinαi + + (13) N Sottraeno alla (13) la (11): sinα 0 sinα = N Il prio terine rappresenta il ifferenziale el seno e poiché cosα cosα 0 cosα si ha: cosα ( α0 α ) = N Di conseguenza la istanza angolare tra la irezione el assio i raiazione e il prio zero è: α 0 α = = = (14) Ncosα Dcosα a esseno D=N la lunghezza el reticolo e "a" la lunghezza el reticolo proiettata noralente alla irezione ella raiazione iffratta; la quantità "a" viene etta apertura el raiatore equivalente. Quini la bana non ipene al nuero N ei raiatori, a all'estensione che questi coprono (consierazioni analoghe valgono, a lunghezze 'ona aggiori, per le antenne). Dispersione e risoluzione croatica el reticolo La (11), scritta per ue lunghezze 'ona iverse a pari orine, iventa: 2 sinα 2 = sinαi + 1 sinα 1 = sinαi + Operano la ifferenza fra queste ue quantità si ha il ifferenziale el seno: ( α α ) = ( ) sinα 2 sinα 1 = cosα 2 1 2 1 quini: 2 1 α 2 α 1 = (15) cosα Questa è la ispersione el reticolo, cioè quanto iscriina il reticolo ue lunghezze 'ona. Si aette che ue lunghezze 'ona 1 e 2 possano essere iscriinate quano, coe ostrato in figura 9, è verificata la conizione: 7/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

α α α α (16) 2 1 0 Fig. 9 Da questa è possibile trovare la inia variazione ella lunghezza 'ona che può essere risolta che si inica con ( 2 1 ) in = Dalla (16), le (14) e (15): ( 2 1) in = cosα cosα N cosα a cui: 1 N La quantità / è chiaata potere risolvente o risoluzione croatica el reticolo. Si confronti questo risultato con l'analogo ottenuto per i risuonatori Fabry-Perot. Si osservi che lo stesso reticolo su un orine superiore è più selettivo. Criteri i progetto i un reticolo aatto a selezionare le righe i un laser Il reticolo sostituisce uno specchio piano el risuonatore, ossia eve essere posto in una zona ove il fascio gaussiano ha fronte 'ona piano, ossia nella vita el fascio. Si vuole che per una certa lunghezza 'ona il fascio torni inietro su se stesso, ossia eve essere verificata la conizione i Littrow: = sin αi = sin α (5) 2 Il reticolo eve coportarsi in oo tale che torni inietro soltanto questa lunghezza 'ona; ossia il fascio relativo alla lunghezza 'ona inesierata ( 2 ) eve spostarsi tanto a non sovrapporsi a quello relativo alla esierata ( 1 ) per non eno i un raggio trasversale W u ; in altri terini la ispersione el reticolo (15) eve 8/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

essere aggiore ell'angolo W u /Z u, ove Z u è la istanza fra il reticolo e lo specchio i uscita, ossia: 2 1 Wu cosα Z u Sostitueno ottenuto alla conizione i Littrow (5) e ricorano che α i = α : 2 1 Wu 2tan α Z 1 u Da questa si ricava l'angolo α : 1 1 W u 1 α tan 2 Zu 2 1 Si eve anche evitare che gli orini i iffrazione contigui a quello aoperato soisfino conteporaneaente la conizione i Littrow per altre lunghezze 'ona i oscillazione el laser ossia, con riferiento alla figura 10: α α" α' α' > α' α" α' (17) " + 1 + 1 + 1 α" + 1 ove gli angoli con l'apice ' e " sono riferiti agli estrei el capo elle lunghezze 'ona nel quale il ezzo attivo consente le oscillazioni. Fig. 10 Per la conizione i Littrow (5): " ' sin α " + 1 sin" α sin α' + 1 sin' α 2 2 2 e a questa, esseno il prio terine il ifferenziale el seno: α " + 1 α" α' + 1 α' (18) 2cosα Sepre per la conizione i Littrow: sin α ' sin α" = ( ' " ) 2 e a questa, esseno il prio terine il ifferenziale el seno: 9/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

α ' α" ( ' " ) (19) 2 cosα Sostitueno le (18) e (19) nella (17) si ottiene: < ' " Meiante questa si eterina il valore i. Dalla conizione i Littrow (5), assegnato, è possibile eterinare il passo el reticolo: = 2sin α Da questa si osserva che il segno i eve essere positivo. Si eve poi costruire il reticolo in oo tale che il iagraa i raiazione el singolo raiatore abbia il assio nella irezione iniviuata a α. Ricorano poi che in un fascio gaussiano il 99% ell'energia è confinata in un'area il cui iaetro è pari a 3W 0, l'apertura el raiatore equivalente, così coe efinita nella (14), eve essere uguale o aggiore a 3W 0 : N cosα = a 3W 0 Poiché con un reticolo non è possibile ottenere riflettività olto elevate, la soluzione i selezione elle righe i oscillazione eiante un reticolo i iffrazione va bene soltanto per i sistei a alto guaagno. Utilizzo el reticolo i iffrazione negli analizzatori i spettro ottico Per analizzare lo spettro eesso a una sorgente luinosa è possibile usare un prisa isperente, basato sulla proprietà che l'inice i rifrazione cabia lentaente al variare ella lunghezza 'ona. Poiché però la ispersione ei ateriali ielettrici è piuttosto piccola, la risoluzione che si riesce a ottenere è bassa. Utilizzano un reticolo i iffrazione è possibile raggiungere risoluzioni nettaente più elevate. Risoluzioni ancora più elevate possono essere ottenute utilizzano risonatori ottici accorabili (risonatore i Fabry-Perot) che tuttavia sono aatti all'analisi i capi spettrali piuttosto liitati. Il reticolo i iffrazione può essere progettato facilente in oo tale a soisfare le specifiche richieste sia per quanto riguara la risoluzione che il capo spettrale e quini su i esso sono basati parecchi struenti ottici coerciali che vengono couneente chiaati spettroetri. Un esepio classico i spettroetro (i Czerny-Turner) è riportato in figura 10. Lo specchio sferico più in alto raccoglie la luce ivergente che proviene alla fenitura ("slit") i ingresso e la trasfora in un fascio colliato (ossia che non è più ivergente, o quasi) largo che illuina uniforeente il reticolo. La luce iffratta è raccolta ello specchio sferico più basso e focalizzata sulla fenitura i uscita. Meiante la rotazione el reticolo è possibile far si che una bana olto liitata 10/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

attorno a una certa lunghezza 'ona attraversi la fenitura i uscita. La bana ipene alla larghezza ella fenitura i uscita. Tuttavia anche la fenitura i ingresso influenza la bana. Infatti il sistea ottico costituito ai ue specchi sferici crea l'iagine ell'oggetto "fenitura i ingresso" sulla fenitura i uscita. Se l'oggetto è grane anche la sua iagine è grane e quini l'analisi con una fenitura piccola non auenta la risoluzione a riuce soltanto l'energia trasessa. Quini affinché uno spettroetro funzioni in oo corretto è necessario che entrabe le feniture abbiano la stessa larghezza. Fig. 10 Ieiataente opo la fenitura i uscita si può sisteare un fotorivelatore e quini per ogni lunghezza 'ona, correlata alla posizione angolare el reticolo, è possibile iniviuare l'intensità. Più oernaente si antiene il reticolo fisso e si sostituisce alla fenitura i uscita un insiee lineare i fotorivelatori, piccoli e vicini fra loro (CCD). In questo oo si ha, in tepo pressoché reale, la istribuzione spettrale ella sorgente a esainare. Si utilizza una fenitura anziché un foro circolare per auentare l'energia luinosa che raggiunge l'uscita ello struento ove in genere è sisteato il rivelatore e che può avere una notevole estensione lungo la fenitura. Infatti la risoluzione ello spettroetro è influenzata soltanto alla larghezza ella fenitura, non alla sua lunghezza perché lungo quest'ultia non à presente l'effetto ella iffrazione. Se nello spettroetro con ue feniture si ette in ingresso una sorgente a bana larga si ottiene in uscita luce a bana stretta la cui lunghezza 'ona può essere scelta ageno sulla posizione angolare el reticolo i iffrazione; in questo caso lo struento prene il noe i onocroatore. Nel isegno i figura 10 gli specchi (piani) posti in prossiità elle feniture hanno la sola funzione i irigere i fasci nella giusta irezione. Si osservi che con la isposizione i figura il fascio in uscita è allineato al fascio in ingresso. 11/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica

Tipi i reticolo I reticoli cui si è fatto riferiento sino a ora sono reticoli uniiensionali in riflessione a esistono anche reticoli biiensionali, ossia con ue orini i solchi, reticoli in trasissione uniiensionali e biiensionali ottenuti per anneriento a righe i substrati trasparenti. Esistono in natura anche reticoli triiensionali che anno tre orini i fasci iffratti; si pensi infatti alle strutture cristalline ove il passo è la istanza interatoica; poiché questa istanza è inore ella lunghezza 'ona visibile è necessario aoperare lunghezze 'ona inori, cioè raggi X. Reticolo i iffrazione generato a one acustiche superficiali Un'ona acustica (ossia che, a ifferenza elle one elettroagnetiche, ha bisogno i un ezzo i supporto) che si propaga in un ielettrico genera una perioica copressione e rarefazione el ezzo con conseguente variazione ell'inice i rifrazione. Un'ona acustica stazionaria che si genera sulla superficie i un ielettrico crea un reticolo i iffrazione caratterizzato a un passo che ipene alla frequenza ell'ona acustica. E' possibile realizzare un oulatore utilizzano reticoli così fatti. Problei 1 - Dati ue fasci a lunghezza 'ona 1 e 2 che inciono con lo stesso angolo su un reticolo, stabilire quale elle ue lunghezze 'ona è aggiore noto che, a pari orine, α 1 - α r > α 2 α r 2 - Per un reticolo con 5000 solchi/c illuinato a incienza norale eterinare la separazione angolare fra fasci iffratti el 2 orine fra le lunghezze 'ona i 400 e 600 n. 3 E' richiesto un reticolo in riflessione che eve risolvere lunghezze 'ona vicine separate i 0,02 Å nel secono orine e in prossiità ella lughezza 'ona i 350n. La raiazione luinosa incie noralente alla superficie el reticolo. Il costruttore è in grao i realizzare reticoli estesi 10 c. Deterinare: a) il nuero inio i solchi/c richiesto, b) l'angolo i iffrazione, c) la ispersione espressa in n/grai. 4 - Progettare un reticolo aatto a selezionare le righe i un laser a anirie carbonica elle seguenti caratteristiche: 10µ, ( 2-1 ) in /= /=10-3, W u =5, Z u =1,5, "- ' = 1µ. Bibliografia F.L. Perotti, L.S. Perotti: Introuction to optics, Prentice-Hall 12/12 RETICOLI DI DIFFRAZIONE - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.ieet.unipa.it/cali/iattica