CORSO DI PROGETTAZIONE COSTRUZIONI ED IMPIANTI A.S. 2012-2013
Casi particolari di sistemi di forze Nel caso di un sistema composto da n forze tutte parallele tra loro, la ricerca del risultante R del sistema risulta agevolata dal fatto che, almeno per la determinazione della intensità, sarà sufficiente sommare tra loro i moduli dei vettori che costituiscono il sistema. La retta di azione invece, può essere determinata attraverso la procedura grafica del poligono delle forze. In seguito introdurremo il "teorema di Varignon" con il quale, sarà possibile sostituire la procedura grafica con una analitica.
Un esempio di sistema di vettori "peso" tutti paralleli è dato da un gruppo di uccelli che sosta sul filo della elettricità. È possibile rappresentare con i vettori delle superfici. Fissata una scala di rappresentazione, ad ogni unità può corrispondere una superficie convenzionale. Una figura complessa può sempre essere ridotta ad una somma di figure geometriche semplici. La superficie di ogni figura semplice può essere rappresentata da un vettore collocato nel baricentro della figura stessa. Se calcoliamo il modulo del risultante del sistema avremo un area totale che risulterà dalla sommatoria dei moduli dei vettori. La ricerca della retta di azione su cui applicare il vettore risultante ci consente di calcolare il baricentro della figura complessa.
Si traslano a lato i vettori A1,A2,A3, facendo attenzione al vettore A1, che, rappresentando un area negativa, risulterà di verso opposto agli altri La spezzata (1-0);(2-1);(3-2) costituisce il poligono e il risultante R sarà il vettore (3-0) Si assume un polo arbitrario e da questo si conducono le rette: a,b,c,d, che, riportate in sequenza sul primo disegno consentono di individuare la retta di azione del risultante Si replica la procedura girando il foglio L'intersezione tra le due rette di azione individua il baricentro della figura.
Una forza, quando è applicata in modo eccentrico rispetto ad un polo o una retta di riferimento, produce sul sistema una rotazione. L'azione che produce la rotazione si chiama momento della forza rispetto al polo o alla retta di riferimento. Il momento è una grandezza vettoriale e come tale può essere rappresentato. La convenzione grafica cambia a seconda del tipo di rappresentazione. In una rappresentazione tridimensionale il vettore momento si disegna uscente dal polo con la stessa direzione dell'asse coordinato (z) che non contiene il piano di appartenenza della forza (x,y). Il verso si rappresenta con due frecce, quando è positivo (rotazione oraria) è rivolto verso l'alto. Quando è negativo (rotazione antioraria) risulterà rivolto verso il basso. Il modulo del vettore momento si calcola attraverso il prodotto tra l'intensità ed il braccio del momento, inteso come la distanza tra la retta di azione della forza e il polo (o la retta) di riferimento. In una rappresentazione "piana" il momento si rappresenta con un vettore circolare di verso orario o antiorario a seconda dei casi. Allo stesso modo delle forze i momenti possono essere sommati tra loro dando luogo a momenti risultanti che, come vedremo in seguito, godono di proprietà utili alla risoluzione dei principali problemi di meccanica delle costruzioni.
Se ad un sistema applichiamo due forze di pari modulo e direzione ma di verso opposto, l'effetto che otteniamo sarà quello di produrre una rotazione. Il momento risultante dal sistema si chiama coppia e gode di una particolare proprietà. Il valore del momento è una invariante del sistema. Infatti il valore del momento prodotto dalla coppia risulta lo stesso quale sia il polo prescelto per calcolarlo. Nel caso rappresentato, la coppia di vettori F e Q produce un momento risultante orario che vale: M = (Qxb2) - (Fxb1) = 4,70 x (11,4-6,3) = 23,97daNm Che risulta identico se calcolato con un polo spostato in avanti, per comodità assunto nella origine del vettore F M = (Qxb2) - (Fx0) = 4,70 x 5,10 = 23,97 danm Pertanto, misurata la distanza "d" tra le due rette parallele che contengono i vettori della coppia il valore del momento prodotto si calcola mediante: M = F x d
Composizione di un vettore con una coppia Si traslano a lato i vettori T,F,Q riportando in sequenza i numeri di inizio e fine vettore La spezzata (1-0);(2-1);(3-2) costituisce il poligono e il risultante R sarà il vettore (3-0) = T Si assume un polo arbitrario e da questo si conducono le rette: a,b,c,d. La retta b risulterà sovrapposta alla retta d. Si riportano in sequenza le rette sul primo disegno, l' intersezione tra le rette a e d individuano la retta di azione del risultante Il risultato della composizione tra le forze del sistema produce un "vettore spostato" da un lato e di una quantità legata al segno e all'entità del momento prodotto dalla coppia.
Coppia di trasporto L'esempio precedente mostra una proprietà fondamentale dei sistemi di forze. Data una forza risultante agente ad una certa distanza e dal baricentro del sistema (continuo o discreto) si può ridurre il sistema di partenza ad un altro, meccanicamente equivalente, applicando un momento di trasporto pari al prodotto tra la risultante R e la distanza tra il punto di applicazione della forza e il baricentro.
Teorema di Varignon - "dato un polo appartenente al piano che contiene i vettori, il momento prodotto dalla risultante di un sistema di forze è uguale alla somma dei momenti prodotti da ogni singola forza" Graficamente il momento prodotto da una forza può considerarsi come "la doppia area di un triangolo". Il momento prodotto dalla forza F rispetto al polo P vale: M1= Fxh1; il momento prodotto dalla forza Q vale: M2= Qxh2. Questi momenti sono numericamente equivalenti alle doppie superfici dei triangoli (1-0)xh1 e (2-0)xh2. La dimostrazione dell'enunciato richiede la verifica che la doppia area del triangolo costruito sulla base (P-0) possiede una altezza h3* pari alla somma h1*+h2* (vedi disegno a destra). In forma generale il teorema di Varignon può scriverai come: MR = M1+M2... + Mn
Il teorema di Varignon consente di risolvere analiticamente sia il problema della composizione di un sistema di forze che quello della ricerca del baricentro di una figura complessa. Se torniamo al l'esercizio visto in precedenza abbiamo, applicando il teorema di Varignon: Calcolo delle aree A1 = - 7,06 cmq A2 = 24 cmq A3 = 8cmq Braccio del momento statico risp. Y X1 = 4,4cm X2 = 5,8cm X3 = 8,8cm Braccio del momento statico risp. X Y1 = 5cm Y2 = 5cm Y3 = 8cm Applichiamo il th. Varignon risp. asse Y (AT)x(XG)= (A1xX1)+(A2xX2)+(A3xX3) XG=(-31,06+139,20+70,4)/ 24,94 = 7,16cm Applichiamo il th. Varignon risp. asse X (AT)x(YG)= (A1xY1)+(A2xY2)+(A3xY3) YG=(-35,3+120+64)/ 24,94 = 5,96cm ELEMENTI DMI TEORIA DEI VETTORI _DISP. 2
Casi particolari di sistemi di forze Con il teorema di Varignon abbiamo dimostrato che, come per le risultanti di forze, anche i momenti prodotti da un sistema possono essere ridotti ad un unico momento risultante. Ne risulta che un qualsiasi sistema di forze può essere ridotto ad uno equivalente composto da una sola forza ed un solo momento (caso generale). Esistono dei casi particolari di sistemi di forze che ammettono delle risultanti nulle in parte o del tutto. Tutte le condizioni sono graficamente descritte da particolari configurazioni del poligono funicolare. In un poligono funicolare appartenente ad un sistema equilibrato si verifica che il primo e l'ultimo segmento della spezzata risultano agenti sulla medesima retta di azione
Sistemi equilibrati di forze Le strutture edilizie sono soggette ad un sistema squilibrante dato dalle condizioni di impiego. Per garantire la stabilità, le connessioni (vincoli) devono essere in grado di produrre un sistema equilibrante che, composto al sistema squilibrante, deve dare luogo ad un sistema equilibrato. La misura della entità delle forze da applicare lungo prefissate rette di azione al fine di ottenere un sistema equilibrante rappresenta un problema classico delle costruzioni.
Traiettoria delle sezioni all'interno di una deformata elastica Come abbiamo visto nelle lezioni precedenti le strutture nel trasferire i carichi verso il basso cimentano ogni singola sezione che, rispetto alla configurazione "scarica" si troverà spostata per effetto di una risultante di forze. La determinazione della entità della forza e la sua eccentricità fornisce i dati di ingresso per il progettista che dovrà (fissato il materiale) assumere le scelte relative alle inerzie della sezione al fine di contenere, entrò i limiti accettati dal materiale, gli allungamenti o accorciamenti indotti dalle sollecitazioni nelle fibre del materiale.