Banda passante - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Controlli Automatici L Spettri e banda passante DEIS-Università di Bologna Tel. 5 2932 Email: crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Esempio: Altoparlante magnetico Banda passante - 2 N S N Funzione di trasferimento del sistema (dall ingresso, all uscita ): Induttanza bobina Resistenza bobina Costante di forza bobina Massa del cono Costante elastica sospensione Coefficiente attrito cono nell aria Costante velocità cono/ potenza acustica Mappa poli/zeri: Zero nell origine Poli meccanici Polo elettrico Banda passante - 3 2 Bode Diagram Magnitude (db) -2-4 -6-8 9 Phase (deg) -9-8 - 2 3 4 5 6 La presenza dello zero nell origine mette in luce che le componenti continue non vengono trasferite (senso fisico) Le frequenze elevate non vengono trasferite (senso fisico)
Banda passante - 4 Il sistema esaminato risulta essere un passa banda, ovvero solo le armoniche comprese in un certo intervallo frequenziale vengono trasferite in uscita senza attenuazione in ampiezza (a meno di una costante) e con sfasamenti trascurabili Curva normalizzata Magnitude (db) Phase (deg) 5-5 - -5-2 9 45-45 -9-35 -8 Bode Diagram 2 3 4 banda passante Banda passante: intervallo di frequenze in cui il diagramma di Bode delle ampiezze è compreso tra (in generale compreso in una fascia ampia centrata sul valore massimo) Classificazione sistemi Banda passante - 5 Ogni sistema dinamico agisce sullo spettro delle frequenze in ingresso in modo selettivo. Molti sistemi di interesse fisico possono essere classificati in base la tipo di azione filtrante Passa Basso Passa Alto Banda passante Banda passante Passa Banda Banda passante - 6 Elimina Banda Banda passante Banda passante 2
Alcuni casi significativi: Sistemi del primo ordine: Si può facilmente verificare che la pulsazione in cui il diagramma vero interseca la striscia corrisponde con la pulsazione di rottura Banda passante - 7 Sistemi del secondo ordine reali: La banda del sistema dipende dalle costanti di tempo congiuntamente. Nel caso di separazione delle scale dei tempi e lecito attendersi che la banda coincida con l inverso della costante di tempo più lenta (polo dominate). sistemi del secondo ordine reali Banda passante - 8 Dalla definizione di banda: Avendo definito Caso polo dominante: Caso poli coincidenti Ci aspettiamo che:. sistemi del secondo ordine reali Banda passante - 9.95.9.85.8.75.7 La banda passante risulta essere una funzione quasi lineare di (con costante di proporzionalità che dipende dalla posizione reciproca delle due costanti di tempo).65.6..2.3.4.5.6.7.8.9 Doppia scala dei tempi (dinamica dominante ) Dinamiche equivalenti ( ) 3
Sistemi del secondo ordine c.c.: Banda passante - Il concetto di banda, così come definito, si applica solo per sufficientemente elevati Magnitude (db) 6 4 2-2 -4 Bode Diagram 5 45 Phase (deg) -45-9 -35 4 35 3 25 2 5 5..2.3.4.5.6.7 zoom M R -8-4.5 4 3.5 3 2.5 2.5.5.45.5.55.6.65.7.75 δ. sistemi del secondo ordine c.c. Banda passante - Calcoli analoghi a quelli fatti per il doppio polo reale portano a definire la banda come: dove.4.3.2. La banda, per i valori di.9 per cui e definita, risulta essere proporzionale al.8 valore di con costante di proporzionalità che dipende.7 praticamente linearmente da.6.5.55.6.65.7.75.8.85.9.95 δ Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari Banda passante - 2 Dalla definizione di funzione di risposta armonica, l uscita a regime di un sistema lineare asintoticamente stabile con funzione di risposta armonica, forzato da un ingresso con spettro frequenziale, è un segnale temporale il cui spettro : ha le stesse componenti frequenziali di quello in ingresso (non vengono aggiunte frequenze non presenti nello spettro di ingresso); ha un andamento che è quello dello spettro di ingresso modulato dall andamento della funzione di risposta armonica ( ). regime di Fourier di Fourier 4
Banda passante - 3.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8-2 3 4 5 6 7 8-2 2 22 23 24 25 26 27 28 29 3 Banda passante - 4 Interpretazione nel dominio della frequenza della proprietà bloccante degli zeri: regime di Fourier ingresso di Fourier uscita Effetto di una coppia di zeri sull asse immaginario Caso zero nell origine Banda passante - 5 regime di Fourier ingresso di Fourier uscita 5
Banda passante - 6 In realtà è facile rendersi conto che la proprietà dello spettro del segnale di uscita di essere quello del segnale di ingresso modulato dalla funzione di risposta armonica non vale solo per il segnale a regime ma bensì per l andamento completo. Dominio Temporale Laplace Frequenze Spettro di Banda passante - 7.9.8.8.6.4.7.6.5.4.3.2.2..2.4.6.8.2.4.6.8 2 25 7.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Time (sec) 2 6 5 5 4 3 2 5 2 4 6 8 2 4 6 2 Banda passante - 8.9.8.8.6.4.7.6.5.4.3.2.2..2.4.6.8.2.4.6.8 2 25.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Time (sec) 7 2 6 5 5 4 3 5 2 2 4 6 8 2 4 6 2 6
Banda passante - 9.9.8.8.6.4.7.6.5.4.3.2.2..2.4.6.8.2.4.6.8 2 25 7.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Time (sec) 2 6 5 5 4 3 5 2 2 4 6 8 2 4 6 2 Banda passante - 2 Con riferimento all esempio visto in precedenza riguardo la proprietà bloccante degli zeri: di Fourier ingresso trasformata di Fourier uscita N.B.: l uscita è solo asintoticamente nulla (proprietà bloccante degli zeri). L andamento del transitorio è governato dalle componenti spettrali della funzione di risposta armonica del sistema. Banda passante - 2 Relazione tra larghezza banda e risposta al gradino (tempo di assestamento) Sistemi del primo/secondo ordine reali: Dall analisi della risposta al gradino sappiamo che sistemi del primo ordine sistemi del secondo ordine Dall analisi in frequenza, e in particolare dall analisi della banda passante di un sistema del primo/secondo ordine, sappiamo che la banda passante e uguale (proporzionale) a ( ). Quindi: Per un sistema del primo/secondo ordine, il tempo di assestamento e inversamente proporzionale alla banda passante del sistema. 7
Banda passante - 22 Determinazione sperimentale funzione di risposta armonica Sistemi del secondo ordine c.c.: Dall analisi della risposta al gradino sappiamo che Dall analisi in frequenza, e in particolare dall analisi della banda passante di un sistema del secondo ordine c.c., sappiamo che la banda passante, per quei valori di per cui e definita ( ), e proporzionale a. Quindi: Per un sistema del secondo ordine c.c con, il tempo di assestamento e inversamente proporzionale alla banda passante del sistema. 8