per Scienze Ambientali Insiemi e Combinatoria - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 23 - Ottobre 2012
Il concetto di insieme Non tratterò la teoria assiomatica degli insiemi e mi limiterò a precisare alcune idee intuitive sul concetto di insieme e su alcune operazioni e relazioni che si possono introdurre sugli insiemi. Queste precisazioni hanno il solo scopo di fissare un linguaggio e delle notazioni convenienti, che verranno utilizzate ampiamente durante il corso. Un insieme è una qualsiasi collezione o aggregato di oggetti. Si noti come questa non è una definizione matematica in termini di concetti più elementari ma una descrizione del concetto mediante altre parole a loro volta non definite. È conveniente infatti assumere il concetto di insieme come un concetto primitivo e di specificarne con assiomi le proprietà e le relazioni tra questo concetto e altri concetti primitivi come quello di elemento e di appartenenza, come si fa in geometria euclidea con i concetti di punto, retta e le ralazioni di appartenenza tra punti e rette, ecc. Non seguiremo però questo approccio assiomatico, neppure a grandi linee e assumeremo che lo studente abbia una conoscenza ordinaria e intuitiva della nozione di insieme.
Insiemi, elementi e appartenenza Un insieme è determinato dai suoi elementi. Diremo che un elemento a di un insieme A appartiene ad A e indicheremo questa circostanza con la notazione a A. Indicheremo invece b A quando b non appartiene all insieme A. Nozione di uguaglianza Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi, ovvero se per ogni a A si ha a B e per ogni b B si ha b A. Sottoinsieme Diremo che un insieme B è sottoinsieme di A, e scriveremo B A, se ogni elemento b di B è anche elemento di A. Si noti che un elemento a A non è un sottoinsieme di A. Il sottoinsieme di A costituito dal solo elemento a si indica con {a} e ovviamente a {a}. L insieme vuoto Tra gli insiemi va considerato l insieme vuoto, cioè l insieme privo di elementi. L insieme vuoto è sottoinsieme di ogni altro insieme e si indica.
Esempi Esempi di insiemi che considereremo costantemente sono: 1 L insieme dei numeri naturali N = {1, 2, 3,... }. 2 L insieme dei numeri naturali esteso con lo zero N + = {0, 1, 2, 3,... }. 3 L insieme dei numeri interi Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }. 4 L insieme dei numeri razionali Q. 5 L insieme dei numeri reali R. 6 L insieme 1 : n = {1, 2,..., n} dei numeri interi da 1 a n e più in generale gli insiemi n : m degli interi compresi tra n ed m (estremi inclusi). Si ha che 1 : n N N + Z Q R anche se alcune di queste inclusioni sono più precisamente delle identificazioni di un insieme con un particolare sottoinsieme dell insieme più grande. Per esempio, ogni numero razionale si può identificare con un numero reale, ovvero con un espressione decimale finita o periodica. Per esempio, il numero 1/3 si identifica con il numero reale 0.3.
Operazioni tra insiemi Unione L unione di due sottoinsiemi A, B X, denotato A B è il sottoinsieme degli elementi che appartengono a A o a B. Per esempio, (3 : 9) (1 : 5) = 1 : 9. Intersezione L intersezione di due sottoinsiemi A, B X, denotato A B è il sottoinsieme degli elementi che appartengono a A e a B. Per esempio, (3 : 9) (1 : 5) = 3 : 5. Complementare Il complementare di un sottoinsieme A X, denotato A c è il sottoinsieme degli elementi che appartengono a A ma non appartengono ad A. Per esempio, se 1 : 9 N allora (1 : 9) c = {10, 11, 12,... }.
Operazioni tra insiemi (II) Differenza La differenza A \ B di due sottoinsiemi A, B X è l insieme degli elementi di A che non sono in B. Per esempio, (3 : 11) \ (8 : 15) = 3 : 7 Prodotto cartesiano Il prodotto cartesiano A B di due insiemi è l insieme dell coppie ordinate (a, b) con a A e b B. Per esempio, (2 : 4) (4 : 5) = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5)}. Insieme della parti L insieme delle parti P(X) di un insieme X è l insieme di tutti i sottoinsiemi di X. Per esempio, P(1 : 3) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Funzioni Una funzione f : A B è una qualunque procedura, trasformazione, legge o prescrizione che trasforma ogni elemento a del dominio A in uno e un solo elemento del codominio B. Anche per la nozione di funzione, come per quella di insieme, quella che abbiamo dato non è una definizione nel senso matematico. Una funzione non si riduce ad una procedura. Parte integrante di una funzione sono il dominio e il codominio. Cambiando il dominio o il codominio, la funzione cambia. Le funzioni con cui avremo principalmente a che fare sono funzioni reali di variabili reale cioè funzioni f : A B dove dominio e codominio sono sottoinsiemi di R. Per esempio la funzione f : R R che trasforma ogni numero reale nel suo quadrato. Assumiamo tacitamente che, se non diversamente specificato, il codominio di una funzione reale di variabile reale è R e il dominio è il più grande sottoinsieme di numeri reali su cui ha senso applicare la trasformazione, cioè il suo campo di esistenza. Per esempio, se non diversamente specificato, la funzione 1/x si intende da R \ {0} a R.
Funzioni (II) Se f : A B e g : B D sono funzioni tali che il codominio di f è uguale al dominio di g, possiamo definire la composizione g f di f con g come la funzione definita da a g f (a) = g(f (a)). Per esempio, se f (x) = x 2 e g(x) = x 3 allora g f (x) = x 6. In generale g f f g. Per esempio se f (x) = x 2 e g(x) = x + 1, g f (x) = x 2 + 1 mentre f g(x) = (x + 1) 2. Per ogni insieme A la funzione identica id A : A A è la funzione che trasforma ogni elemento a A in sè stesso. Una funzione f : A B si dice bijettiva se esiste una funzione g : A B tale che g f = id A e f g = id B. Ad una funzione f : A B sono associati l immagine, f (A) = {b B a A, f (a) = b} e il grafico, Γ f = {(a, f (a)), a A} A B.
Cardinalità di insiemi Due insiemi si dicono avere la stessa cardinalità quando sono isomorfi, ovvero quando esiste una bijezione tra loro. La teoria degli insiemi è stata inventata per trattare l infinito. Come si definiscono gli insiemi infiniti? Definizione Un insieme X è infinito se esiste un sottoinsieme proprio D X (cioè diverso dall insieme vuoto e da X stesso) che ha la stessa cardinalità di X. un insieme si dice finito se non è infinito. Per esempio, per dimostrare che N è infinito basta sdimostrare che ammette il sottoinsieme P dei numeri pari e che la funzione N P che associa ad ogni numero naturale il suo doppio è una bijezione.
Teoremi sulla cardinalità N ha la stessa cardinalità di Z e di Q. La cardinalità comune a questi insiemi si dice numerabile. R non è numerabile. La cardinalità di R si dice del continuo. Ogni insieme finito X è isomorfo a un insieme del tipo 1 : n per un opportuno n che si dice la cardinalità di X e si indica X. Per un insieme finito la cardinalità è il numero dei suoi elementi. Se X è un insieme finito, X = {x 1,..., x n }, allora P(X) = 2 n. Infatti abbiamo tanti sottoinsieme quanti sono i possibili modi di scegliere una parte degli elementi di X. Siccome ogni elemento si può scegliere o non scegliere, esistono 2 n diversi sottoinsiemi di X.
Coefficienti binomiali Per ogni k n possiamo considerare il numero ( n k) dei sottoinsiemi di 1 : n costituiti da k elementi. Dalla definizione segue immediatamente che ( ) n 0 = ( ) n n = 1 ( ) n 1 = ( ) n n 1 = n. La corrispondenza che associa ad ogni sottoinsieme il suo complementare implica la relazione ( ) ( ) n n = k n k I sottoinsieme con k elementi di 1 : n si possono dividere in due classi. Quelli che non contengono n, che sono ( ) n 1 k e quelli che contengono n che sono ( n 1 k 1). Abbiamo allora ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k k 1
Coefficienti binomiali II La relazione ( ) n = k con le condizioni iniziali ( n ( n 1 k ) + ( ) n 1 k 1 ( 0) = n ( n) = 1 permette di calcolare n k iterativamente con il triangolo di Tartaglia. Il calcolo di ( n k) si può fare direttamente senza difficoltà. Basta osservare che per costruire una sequenza ordinata di k elementi scelti da n posso scegliere il primo in n modi, il secondo in n 1 modi... il k esimo in n k + 1 modi e quindi ( n k ) = n(n 1) (n k + 1) k! dove abbiamo indicato con k! il numero di possibili riordinamenti o permutazioni di k oggetti. Per costruire una permutazione di k oggetti possiamo scegliere il primo elementro in k modi, il secondo in k 1 modi etc. Si ha quindi k! = k (k 1) 2 1 e quindi ( n k ) = Il numero k! si dice fattoriale di k. n! k!(n k)! )
Ricapitolazione Disposizioni Il numero delle disposizioni senza ripetizione di k oggetti scelti tra n è (n) k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) e conta il numero di modi distinti in cui si possono costruire sequenze ordinate di k elementi scelti da n senza ripetizioni. Permutazioni Il numero delle permutazioni di n oggetti è n! = n(n 1)(n 2) 2 1 e conta il numero di modi distinti in cui si possono costruire sequenze ordinate di n elementi senza ripetizioni. Evidentemente n! = (n) n. Combinazioni Il ( numero delle combinazioni di k oggetti scelti tra n è n ) k = (n)k /k! = n!/(k! (n k)!) e conta il numero dei sottoinsiemi di k elementi che posso estrarre da un insieme di n elementi.
Funzioni iniettive e suriettive Una funzione f : X Y si dice iniettiva se f (a) = f (b) implica a = b; si dice suriettiva se per ogni y Y esiste un x X tale che y = f (x). Una funzione è bijettiva se e solo se è sia iniettiva che suriettiva. Il numero delle funzioni da 1 : n a 1 : m è m n. Il numero delle funzioni iniettive da 1 : k a 1 : n è (n) k se n k altrimenti è zero. Il numero delle funzioni suriettive da 1 : m a 1 : n è S(m, n) n!, dove S(m, n) è il numero delle partizioni di 1 : m in n parti, ovvero il numero modi in cui posso suddividere 1 : m in n sottoinsiemi disgiunti (numero di Stirling di seconda specie). Relazione di ricorrenza per i numeri di Stirling S(n + 1, k) = ks(n, k) + S(n, k 1); S(0, 0) = 1; S(n, 0) = S(0, n) = 0
Tabella dei primi numeri di Stirling n/k 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 0 1 2 0 1 1 3 0 1 3 1 4 0 1 7 6 1 5 0 1 15 25 10 1 6 0 1 31 90 65 15 1
Partizioni di un insieme Una partizione di un insieme X è una famiglia {U α } di sottoinsiemi di X tali che Uα = X U α U β se e solo se α = β. Ad ogni f : X Y è associata la funzione f 1 : P(Y ) P(X) definita ponendo f 1 (B) = {x X t.c. f (x) B} B Y f 1 (B) si dice la controimmagine di B con f. Teorema Per ogni funzione f : X Y, la famiglia di sottoinsiemi {f 1 ({y})} y Y è una partizione di X.