MATEMATICA LEZIONE 15 ARGOMENTI 1) Definizione di monomio 2) Riduzione in forma normale 3) Monomi simili, interi e frazionari 4) Grado di un monomio I MONOMI (Prof. Daniele Baldissin) Un MONOMIO è il PRODOTTO di più FATTORI rappresentati da NUMERI e LETTERE. Ad esempio: sono tre monomi. Infatti:
Nei monomi, quindi, non compaiono MAI i segni dell'addizione e/o della SOTTRAZIONE. Ad esempio non sono monomi perché in essi compaiono i segni dell'addizione e della sottrazione come è stato evidenziato nell'immagine sottostante. Invece
è un monomio. Infatti, se moltiplichiamo tra loro i fattori numerici (+2) e (-3) abbiamo: Successivamente moltiplichiamo i fattori letterali che hanno la stessa base, ovvero a. Il prodotto di due potenze aventi la stessa base e una potenza avente la stessa base e con esponente uguale alla somma degli esponenti: quindi a per a è uguale ad a alla seconda.. Quello che abbiamo adesso è un monomio esattamente come quelli che abbiamo visto prima. Questo MONOMIO si dice RIDOTTO A FORMA NORMALE. Possiamo affermare, quindi, che un monomio si dice ridotto a forma normale quando assume la sua forma tipica che è quella del prodotto tra un solo fattore numerico e di fattori letterali, in cui ciascuna lettera compare una sola volta elevata ad un certo esponente. In un monomio ridotto a forma normale, chiamiamo: COEFFICIENTE il FATTORE NUMERICO; PARTE LETTERALE il prodotto dei FATTORI LETTERALI COI LORO ESPONENTI.
COEFFICIENTE +3 PARTE LETTERALE +3 a 2 b a 2 b -5x 3 y 2 COEFFICIENTE -5 PARTE LETTERALE x 3 y 2 COEFFICIENTE -1/3 PARTE LETTERALE -1/3ab 2 c ab 2 c Si chiama MONOMIO NULLO il monomio che ha per COEFFICIENTE lo ZERO. Infatti, moltiplicando per zero la parte letterale, il risultato è zero. Si chiama SEGNO DEL MONOMIO il SEGNO DEL COEFFICIENTE del monomio. MONOMIO SEGNO DEL MONOMIO +4ab + -5a - Il segno + davanti ad un monomio può essere tralasciato. Ad esempio possiamo scrivere indifferentemente: +3a oppure 3a. Se il monomio ha coefficiente 1, esso si può tralasciare. Ad esempio possiamo scrivere: +1a oppure +a oppure, potendo tralasciare anche il segno + a -1a oppure -a in questo caso il segno deve essere sempre indicato, poiché esso è -
Supponiamo di avere un monomio ridotto a forma normale. Esso potrà essere INTERO o FRAZIONARIO. Un monomio ridotto a forma normale si dice INTERO se le lettere non figurano a denominatore. Un monomio ridotto a forma normale si dice FRAZIONARIO se le lettere figurano a denominatore. MONOMIO RIDOTTO A FORMA NORMALE LETTERE NON FIGURANO A DENOMINATORE INTERO 3a -1/2 a LETTERE FIGURANO A DENOMINATORE FRAZIONARIO -1/a a/b ATTENZIONE! Se troviamo scritto 2a -1 ci troviamo di fronte ad un monomio frazionario perché la lettera a è come se si trovasse a denominatore. Infatti, scrivere 2a -1 equivale a scrivere 2/a come abbiamo appreso parlando dei numeri relativi con esponente negativo. Quindi, a voler essere più precisi possiamo dire che un MONOMIO è: SE LE LETTERE COMPAIONO SOLO AL NUMERATORE CON ESPONENTE POSITIVO Esempio : 2a 3 INTERO SE LE LETTERE COMPAIONO SOLO AL DENOMINATORE CON ESPONENTE NEGATIVO Esempio : 2/a -3 = 2a 3 FRAZIONARIO SE LE LETTERE COMPAIONO SOLO AL DENOMINATORE CON ESPONENTE POSITIVO
Esempio : 2/a 3 SE LE LETTERE COMPAIONO SOLO AL NUMERATORE CON ESPONENTE NEGATIVO Esempio : 2a -3 = 2/a 3 Due MONOMI si dicono SIMILI quando hanno la STESSA PARTE LETTERALE. Due MONOMI si dicono UGUALI quando, OLTRE A ESSERE SIMILI, hanno anche lo STESSO COEFFICIENTE. Quindi due monomi sono uguali se hanno la stessa parte letterale e lo stesso coefficiente.
Due MONOMI si dicono OPPOSTI quando hanno la STESSA PARTE LETTERALE e COEFFICIENTE OPPOSTO. I COEFFICIENTI si dicono OPPOSTI se hanno LO STESSO VALORE ASSOLUTO, ma SEGNO CONTRARIO (Vedi I numeri relativi). Ricapitolando: MONOMI SIMILI MONOMI UGUALI MONOMI OPPOSTI STESSA PARTE LETTERALE STESSA PARTE LETTERALE STESSO COEFFICIENTE STESSA PARTE LETTERALE COEFFICIENTE OPPOSTO +4a; +1/2a +4a; +4a +4a; - 4a
Ora prenderemo in esame solamente MONOMI INTERI, cioè monomi le cui LETTERE figurano esclusivamente a NUMERATORE. Ad esempio: è un MONOMIO INTERO dato che le LETTERE vi compaiono solo a NUMERATORE e con ESPONENTE POSITIVO. Dato un MONOMIO INTERO si dice GRADO COMPLESSIVO del monomio la SOMMA DEGLI ESPONENTI delle sue LETTERE. Torniamo al monomio precedente: Avremo 4/3a 2 b 3. Monomio 4/3a 2 b 3 Parte letterale del monomio a 2 b 3 Esponente della lettera a 2 Esponente della lettera b 3 Somma degli esponenti delle lettere 2+3 = 5 Grado complessivo monomio 5 Quindi il GRADO COMPLESSIVO del nostro monomio è 5. Vediamo un altro esempio: 5x 2 y 5 z. La prima cosa che dobbiamo osservare è che la lettera z non ha esponente. ATTENZIONE!!! Quando una LETTERA è PRIVA DI ESPONENTE va considerata come una potenza avente ESPONENTE 1. Quindi avremo: Monomio 5x 2 y 5 z Parte letterale del monomio x 2 y 5 z Esponente della lettera x 2 Esponente della lettera y 5
Esponente della lettera z 1 Somma degli esponenti delle lettere 2+5+1 = 8 Grado complessivo monomio 8 Quindi il GRADO COMPLESSIVO del nostro monomio è 8. Oltre al grado complessivo di un monomio possiamo definire anche il GRADO DI UN MONOMIO RISPETTO AD UNA SUA LETTERA. Il GRADO DI UN MONOMIO INTERO RISPETTO ad una sua LETTERA è l'esponente DI QUELLA LETTERA. Ad esempio: se vogliamo sapere il grado del monomio: 5x 2 y 5 z rispetto alla lettera x, esso è 2, cioè l'esponente con il quale tale lettera compare nel monomio. ATTENZIONE!!! Se in un monomio MANCA una certa LETTERA, si dice che quel MONOMIO è di GRADO ZERO rispetto a QUELLA LETTERA. è un monomio di grado zero rispetto alla lettera b. Infatti possiamo immaginare di scrivere il monomio nel modo seguente: 4a 2 4a 2 b 0. E come sappiamo qualsiasi numero elevato a zero è uguale a 1. Quindi sarebbe come scrivere: 4 x a 2 x 1. Di conseguenza anche +5, o -3 sono monomi: essi sono MONOMI DI GRADO ZERO. Infatti li possiamo immaginare scritti come: +5a 0 = +5-3x 0 = -3.
Ricapitolando: GRADO COMPLESSIVO DI UN MONOMIO GRADO DEL MONOMIO RISPETTO AD UNA LETTERA SOMMA DEGLI ESPONENTI DELLE SUE LETTERE ESPONENTE DI QUELLA LETTERA +4a 2 b grado 2+1 =3 +4a 2 b grado del monomio rispetto alla lettera a = 2