LIMITI DI FUNZINI. CNCETT DI LIMITE Esula dallo scopo di qusto libro la trattazion dlla toria sui iti. Tuttavia, pnsando di far cosa gradita allo studnt, ch dv possdr qusta nozion com background, ritniamo più util prsntar, com richiamo, l intrprtazioni grafich di tal conctto. Sia data, a tal proposito, una funzion ral f ( ) dfinita su un insim E R sia, appartnnt o no all insim, un punto di accumulazion di E. In gnral quando si pnsa al conctto di it si fa rifrimnto alla scrittura f ( ) l In raltà può avrsi una casistica più amplia potndo sia ch f ( ) tndr ad un lmnto dll insim ovvro l,,,, dov con si indica tutta la rtta ral (, ). Così si potrbbro prsntar bn sdici casi con scrittur quali: f ( ) l f ( ) l f ( ) f ( ) ch si possono racchiudr nlla sgunt sprssion f ( ) ± l ± A volt, prò, il it non sist d allora occorr studiar il comportamnto in un sottoinsim di un intorno complto di avndosi casi com i sgunti: f ( ) f ( ) f ( ) su E ssndo E un sottoinsim di R d un suo punto di accumulazion la situazion tnd a complicarsi maggiormnt in trmini di casistica. Siano d l du numri rali finiti. Elnchiamo qui di sguito i vari casi possibili: ) it finito quando tnd ad un numro finito f ( ) l l
Esmpio ( ) l P(, ) il it è rapprsntato proprio dal punto P ) it finito quando tnd ad infinito comprndnt i sgunti quattro casi a) b) l l f ( ) l f ( ) l Notasi ch scrivr formalmnt l d l fornisc un informazion aggiuntiva sulla tndnza dall alto dal basso dlla nostra funzion f ( ) vrso la rtta l. c) d) l l f ( ) l f ( ) l Esmpi b) c) La funzion è dfinita su tutta la rtta ral trann ch nl punto (cfr. capitolo prcdnt). Sgu allora ch:
a) d) ) it infinito quando tnd ad un numro finito comprndnt i sgunti du casi a) it dstro sinistro coincidnti f ( ) ± o f ( ) ±
Esmpio ± o ± b) it dstro sinistro diffrnti b ) f ( ) f ( ) Esmpio
b ) f ( ) f ( ) l l Esmpio a a a > l N.B ± a ± ) it infinito quando tnd ad infinito comprndnt i sgunti quattro casi a) f ( ) f ( ) (, ) (, ) 5
Esmpio o più in gnral n n b) f ( ) f ( ) (, ) (, ) Esmpio ( ) o più in gnral ( n ) ( ) n ( ) 6
c) f ( ) f ( ) Esmpio o più in gnral n n d) f ( ) f ( ) 7
Esmpio ( ) ( ) Esmpio Sia f ( ) sin Si dimostra ch Risulta prtanto: sin non sist o mglio oscilla tra. Si considri allora l insim E R : con n N n su E sin ( sin n) n n N In ogni intorno di zro la curva compi infinit oscillazioni ch vanno via via infittndosi a mano a mano ch ci si avvicina a zro. 8
. TEREMI SUI LIMITI In qusto paragrafo ci proponiamo di nunciar i più importanti tormi ch rgolano l oprazioni sui iti di funzion. Torma dll unicità dl it: il it di una funzion, s sist, è unico. Torma dlla prmannza dl sgno: s, al tndr di ad, la funzion f ( ) tnd al it l, sist un intorno di in cui, scluso tutt al più, la funzion assum lo stsso sgno dl suo it.. PERAZINI SUI LIMITI Limit dlla somma (o diffrnza) di du (o più) funzioni. Primo caso Dat du funzioni f ( ) d g( ) dfinit rispttivamnt sugli insimi F G d indicato con un punto di accumulazion, appartnnt o no all insim F G, risulta: f ( ) ± g( ) f ( ) ± g( ) ± posto [ ] l l f ( ) l g( ) l Quindi il it dlla somma di du o più funzioni è ugual alla somma di iti dll singol funzioni. Esmpio Siano f ( ) 6 g( ) Si ha: f ( ) g( ) 6 da cui f ( ) ± g ( ) f ( ) ± g ( ) ± 6 ± 6 [ ] Scondo caso Ci si pon adsso il problma s il torma di cui sopra continui a valr anch quando la tnda a valori infiniti. La risposta a tal qusito è affrmativa. Esmpio Siano f ( ) 6 g( ) Si ha: f ( ) g( ) da cui [ ] f ( ) ± g ( ) f ( ) ± g ( ) ± Trzo caso Ci si pon ora nl caso gnral in cui il valor dl it può ssr anch infinito si affrma ch la rgola, indipndntmnt da dov tnd, val scondo i risultati riportati nlla sgunt 9
TABELLA DELLA SMMA l' l, l' > l l l'??? indica ch il torma gnral dlla somma in qusti casi (uno l altro ) non porta a conclusion. Si suol sprimr tal circostanza dicndo ch si è in un caso indtrminato o di indcision. Esmpio Siano f ( ) 5 g( ) Risulta: f ( ) g( ) da cui [ f ( ) g ( )] ch, com è vidnt dalla tablla, è un caso di indcision. Limit dl prodotto di du (o più) funzioni. Dat du (o più) funzioni f ( ) d g( ) dfinit rispttivamnt sugli insimi F G d indicato con un punto di accumulazion, appartnnt o no all insim F G, risulta: f ( ) g( ) f ( ) g( ) posto f ( ) [ ] l l l g( ) l cioè il it dl prodotto di du (o più) funzioni è ugual al prodotto di iti dll singol funzioni. Esmpio Siano f ( ) 5 g( ) Risulta: f ( ) g( ) 6 da cui f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) ( ) 6 6 [ ]
Quanto sopra dtto si può riassumr nlla sgunt TABELLA DEL PRDTT l' l' l ll' ll'?? l ll' ll'?? l, l' >? indica ch il torma gnral dl prodotto in qusti casi (uno l altro o ) non porta a conclusion. Si suol sprimr tal circostanza dicndo ch si è in un caso di indcision o di indtrminazion. Esmpio Siano f ( ) g( ) Risulta: f ( ) g( ) Sgu ch: f ( ) g( ) ( ) [ ] ch, com è facil vrificar confrontando la tablla, è una forma di indcision. Limit dl quozint di du funzioni Dat du funzioni f ( ) d g( ), con g( ), dfinit rispttivamnt sugli insimi F G d indicato con un punto di accumulazion, appartnnt o no all insim F G, risulta: ( ) f ( ) f l g( ) g( ) l posto f ( ) l g( ) l cioè il it dl quozint di du funzioni è ugual al rapporto tra i iti dll singol funzioni considrat. Esmpio Siano f ( ) 5 g( ) Risulta: f ( ) g( ) 6 Sgu ch:
f ( ) g( ) 6 Quanto sopra nunciato si può riassumr nlla sgunt TABELLA DEL QUZIENTE l' l'? l l l l' l' l l l l' l'??? indica ch il torma gnral dl quozint in qusti casi (ntrambi oppur ntrambi ) non porta a conclusion. Si suol sprimr tal circostanza dicndo ch si è in un caso di indcision o di indtrminazion. Esmpi ) Siano f ( ) g( ) Risulta: f ( ) g( ) Sgu ch: f ( ) g( ) ch, com è facil vrificar confrontando la tablla, è una forma di indcision. ) Siano f ( ) g( ) Risulta: f ( ) g( ) Sgu ch: f ( ) g( ) ch, com è facil vrificar confrontando la tablla, è una forma di indcision. Limit dlla potnza di una funzion S, al tndr di ad, la funzion intro qualsiasi, risulta:? f ( ) tnd ad un numro finito l, indicando con n un [ f ] ( ) n l n?
cioè il it di una potnza è ugual alla potnza dl it.
Esmpio Siano f ( ) 5 n Risulta: f ( ) ( ) [ f ( ) ] 8 Quanto dtto si può riassumr nlla sgunt TABELLA DELL ELEVAMENT A PTENZA [ ] f ( ) g( ) f ( ) ± ± ± l l' l l'? l l' g( ) l l' s l' è pari s l' è dispari ±? ±?? indica ch il torma gnral dlla potnza in qusti casi (uno l altro ± oppur ntrambi oppur uno ± l altro ) non porta a conclusion. Si suol sprimr tal circostanza dicndo ch si è in un caso di indcision o di indtrminazion. Esmpi ) Siano f ( ) g( ) Risulta: f ( ) g( ) da cui si ha [ f ] ( ) g( ) ch è una forma indtrminata. ) Siano f ( ) ( ) Risulta: g( )
f ( ) da cui sgu [ f ] ( ) g( ) g( ) ch è un altra forma di indcision. ) Siano f ( ) ( ) g( ) Risulta: f ( ) g( ) da cui si ottin [ f ] g( ) ( ) ( ) ch è ancora un caso di indcision. Limit dlla radic n-sima di una funzion S, al tndr di ad, la funzion f ( ) tnd ad un numro l (finito o infinito), indicando con n un intro positivo, risulta: n n f ( ) l con la sola ipotsi rstrittiva ch, punto di accumulazion dll insim di dfinizion dlla, dv ssr anch un punto di accumulazion dll insim di dfinizion dlla n f ( ). Quindi il it dlla radic n- sima di una data funzion è ugual alla radic n-sima dl it dlla funzion stssa. ssrvazion: la tablla dlla radic si può ricavar da qulla dll lvamnto a potnza ricordando ch con m, n intri positivi. n m [ f ( ) ] [ f ( ) ] Esmpi ) Sia f ( ) n Allora n f ( ) 8 ) Sia f ( ) n Allora n f ( ) ) Sia f ( ) n Allora n f ( ) m n 5
Limit di funzioni trascndnti compost A) S, al tndr di ad, la funzion f ( ) tnd ad un numro l (finito o infinito), indicando con a un intro positivo divrso da, risulta: f ( a ) Esmpio Sia a f ( ) 5 Quindi f ( ) a ( 5 ) ( 5 ) B) S, al tndr di ad, la funzion f ( ) tnd ad un numro l >, indicando con a un intro positivo divrso da, risulta: log a f ( ) loga l Esmpio Sia f ( ) a Allora ( ) ( ) a l [ ] log f ( ) log log log a Analizziamo adsso più da vicino qull ch abbiamo già dfinito com FRME INDETERMINATE DI INDECISINE ) In qusto caso è sufficint calcolar il it dl solo trmin di grado massimo. Esmpi a) f ( ) 5 b) f ( ) 5 c) f ( ) 5 d) f ( ) 7 f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) 5 f ( ) ( 5 ) ) In tal caso si ina l indtrminazion mdiant una smplic oprazion di scomposizion in fattori. Esmpio f ( ) g( ) 6
[ f ( ) g ( ) ] ( ) Scomponndo si ottin: f ( ) ( ) ( ) g( ) [ f g ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ) In qusto caso si procd utilizzando il solito mtodo dlla scomposizion in fattori oppur, s ciò non è possibil, la rgola di D L Hopital (cfr. capitolo sull drivat). Esmpio f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Scomponndo si ha: f ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) f ( ) ( ) g( ) ( ) ) Pr tal forma di indcision occorr distingur i sgunti tr casi: a) il numrator d il dnominator hanno lo stsso grado il it è finito d è ugual al rapporto tra i cofficinti di trmini di grado massimo b ) il grado dl numrator è maggior di qullo dl dnominator il it è infinito (± a sconda di casi) g) il grado dl numrator è minor di qullo dl dnominator il it è finito val smpr zro, indipndntmnt dal caso in cui ci si trova Esmpi a) f ( ) g( ) 5 f ( ) g( ) 5 7
b) f ( ) 5 g( ) 7 f ( ) 5 g( ) 7 c) f ( ) g( ) 5 7 f ( ) g( ) 5 7 5) Tal forma indtrminata ricorr nl calcolo di iti di funzioni dl tipo [ ( )] f g ( ). Pr inar l indtrminazion, quindi, si utilizza l idntità logaritmica a log a ch ci consnt di scrivr: [ f ( ) ] g( ) g( ) log f ( ) Esmpio f ( ) g( ) f ( ) [ ] g( ) log Risulta: ( log) log Dunqu: [ f ] ( ) g( ) 6) ( log ) (cfr. capitolo sull drivat) Anch qusta forma di indcision si prsnta nl calcolo di iti di funzioni dl tipo [ ( )] procd, prtanto, com al punto 5). Esmpio f ( ) [ f ] g( ) g( ) ( ) Risulta: log log Dunqu: [ f ] ( ) g( ) log log (cfr. capitolo sull drivat) f g ( ). Si 8
7) Com l prcdnti anch tal forma di indtrminazion ricorr nl calcolo di iti di funzioni dl tipo f g ( ( ) ). Prtanto si procd com ai punti 5) 6). [ ] Esmpio f ( ) 5 g( ) ( ) log( ) log g 5 ( ) ( ) f 5 5 [ ] ( ) Risulta: log( ) log ( 5 ) 5 Dunqu: [ f ] ( ) g( ) ssrvazion: pr l funzioni trascndnti dl tipo a (a > ), n (n > ), log a (a > ) val la sgunt grarchia tra gli infiniti: sponnzial-lvamnto a potnza-logaritmica cioè una funzion sponnzial tnd all infinito più vlocmnt risptto ad una potnza ch, a sua volta, tnd all infinito più vlocmnt risptto ad una funzion logaritmica. Esmpi a) b) log c) log Riportiamo ora qui di sguito alcuni LIMITI NTEVLI sin ) ) ± dov con si indica il numro di Npr, comprso tra a ) log a cos ) 9
ESERCIZI PRPSTI Calcolar i sgunti iti immdiati (-8) dopo avr analizzato gli smpi a)-i): 5 5 5 a) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) 5 5 6 d) ( ) 5 6 ) ( ) ( ) 8 f) ( ) ( ) ± ± g) ( ) ( ) ± ± ± h) sin sin i) tg 6 tg tg ) ( ) ( ) ) ( 7 ) ( a a ) a ) ( ) ( ) ) 5) 6 6 6) 9 5 6 7) 5 ± 5 8) [ ] [ a ] 5 [9 9] [ ] [ ] [ ] 5 9) [ ] ) 6 : 6
) 5 ) ) 5 5 6 ) 5 5) ( sin cos) ( sin cos) 6) ( ) 7) ( ) 5 5 cos cos sin cos 7 8) 5 sin sin 9) cos cos ) ) tg tg 5 tg ( tg ) ) ( sin cos) ( cos sin) ) 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [5 ] sin cos sin cos ) sin cos 5) sincos ( ) ( log) 6) ln( sin) ( tg) 7) ( ) 5 [i ] [ ] [ ] 8) ln log cos 9) ln 5tg cos ) ln cos [ ] [ ] [ ] [ ]
) ) log log ( 5 ) log( sin) log log log ( ) a log( a) ) log ( ) log ) log log log( 5) log ) 6) sin log ( logsin) 7) log ( ) log( ) 8) log log log( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Calcolar i sgunti iti di funzioni razionali fratt ch si prsntano sotto la forma indtrminata (-5): a) b) ( ) ( ) 7 7 9 ( ) ( 9) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) d) 6 ( 6) ( ) ( ) ( 6) ( ) ) 9 ( 6) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) [ ] sin sin sin cos f) cos tg sin sin cos
g) ( a ) ( a ) a a a a a a a a a a ( a ) ( a a ) a a a ) [ ] a ) [ ] a a a ) 8 9 6 a ) a a a 5) m m m 5 m m m 5m 6 6) m m m 7 6 7 8 5 7) 6 9 6 8 [ ] ( ) 8) 5 5 9 7 5 9 5 7 9) b b b b b 6 b ) 6 5 7 5 7 5 7 ) 7 9 6 6 7 ) 6 9 ) 9 9 8 9 6 5 ) 5 7 6 9 5) 8 5 9 6) 7 8 7 5
7) 8) 8 6 8 6 9 5 5 9) 6 5 6 ) 6 5 ) 5 ) 6 ) 6 5 6 9 ) 8 5) 5 6 8 8 5 6) 6 5 7) 5 7 8) 5 6 9) 6 5 6 ) 9 8 a 6 ) a a ) ) 5 7 ) 5 6 5) log 7 5 5 5 7 5 [ ] 5 [ ] 7 [ ] [ ] [ ]
Calcolar i iti dll sgunti funzioni razionali fratt ch si prsntano sotto la forma indtrminata (-5): a) 5 5 5 5 5 5 5 5 b) 5 5 5 c) 6 d) 6 6 6 ) 8 ( ) ( ) ( ) 6 sin tg cos sin cos cos sin cos cos f) ( ) ) 5 5 5 5 5
5 ) 5 5 ) [ ] 5 6 6 ) 5 6 5 6 5) [ ] 6) 7 7 5 5 7) 9 5 9 8) 5 8 9 [ ] 9) 5 5 5 ) 8 5 5 ) 7 5 5 5 5 ) ) ) 5) 9 6 5 9 5 7 Calcolar i iti dll sgunti funzioni ch si prsntano sotto la forma indtrminata (-): a) ( ) ( ) ( ) 6
b) ( ) ( ) ( ) 7 7 [ ] c) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ] d) ( ) ( ) ( ) ( ) ) f) cos sin cos cos cos ( cos) ( cos) cos cos cos cos sin sin cos sin sin ( cos ) cos cos ( cos) sin ( cos) cos sin ( sin) ( cos) ( cos) sin ( cos) ( sin) cos sin ( cos) sin ( cos) cos sin sin sin sin sin sin ) ( ) ( ) ) ( ) 5 ( ) ) ( ) ( ) [ ] 5 6 9 7
) ( 8 ) ( 6 8 ) 8 5) ( ( ) ( ) ) ( ) 6) ( 6 ) ( ) 7) ( ) 8) ( ) ( ) ( ) [ ] 9) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( 7 ) ( ) ) ( ) [ log( ) log( )] [ ] ) log( ) log( ) 5 6 [ log logsin ] [ ] 5 [ ] 5 5 [ log 5] log Calcolar i iti dll funzioni ch si prsntano sotto la forma indtrminata (-7): a) ( ) 8 8 ( ) ( ) b) sin sin c) ( sin) cos cos cos cos sin cos cos ) ( ) 9 5 8
) ( ) ) ( ) [ ] ( ) ) ( sin) tg ( cos) 5) cos tg sin 6) tg tg sin 7) [( tg) tg ] sin cos tg cos [6 ] [ ] [ ] [ ] [ ] sin Calcolar i sgunti iti di funzioni trigonomtrich ricordando ch : sin n sin ) [n ] sin ) sin sin k k sin h h sin ( α) sin ( ) ) α α α sin sin5 ) 5 tg tg tg 5) cos [ ] tg5 tg5 6) 5 5 tg cos 7) cos 8) [ ] cos cos tg5 sin tg 9) tg cos cos ) 9 sin sin ) cos sin 5 cos sin sin 7 ) sin cos 5 sin 9
) cos sin ( ) [ ] cos ) cos sin 5) sin cos 5 sin cos cos cos sin ( cos) ( cos) sin 7 Dir a quali form di indcision conducono i sgunti iti quindi calcolarli: a a b ) b b a a ) a a b ) b b ) ( ) ( ) 5) ( ) [ ] b b a a 6 b b [ ] b 6) ( 5 ) 7) ( ) [ ] 5 8) ( ) ( ) 9) ( 5 ) ) ( 9 9 ) ) ( ) ) ( ) ) ( 9 ) 6 ) ( 6 8 ) 5) ( ) [ ] 5 8 7 5 ( ) 5 [ ] 6 [ ] [ ] 5 ( 7 ) 5
6) [ ] ( ) 5 8 7) log( ) log( ) 6 8) 9) ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) 5 [ ] [ ] 5 6 5 ) 5) log 5 6 log 6) ( log 5 log ) [ log( ) log( )] log log sin sin 7) tg [ ] tg sin 8) cos cos [ ] sin cos 9) cos sin cos [ ] ) ) ) cos ( cos) sin sin cos sin cos sin 5 sin cos cos cos cos tg tg tg [ ]