Original Article: IPOTESI SULLA SEMPLIFICAZIONE DEI SISTEMI SOVRADETERMINATI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Peer Reiewed, Oen Access, Free Online Journal Published monthly : ISSN: 308-83X Issue 10(19); October 014 Original Article: IPOTESI SULLA SEMPLIFICAZIONE DEI SISTEMI SOVRADETERMINATI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Citation Zaytse M. L., Aerman V.B. Iotesi sulla semlificazione dei sistemi soradeterminati di equazioni differenziali. Italian Science Reiew. 014; 10(19). PP. 113-14. Aailable at URL: htt://www.ias-journal.org/archie/014/october/zaytse.df Authors M. L. Zaytse, Nuclear Safety Institute of the Russian Academy of Sciences, Russia. V.B. Aerman, West Virginia Uniersity, USA. Submitted: Setember 0, 014; Acceted: Setember 7, 014; Published: October 9, 014 Astratto E 'dimostrato che qualsiasi sistema indiendente equazione soradeterminato di equazioni differenziali uò essere ridotto in dimensione, che rende il sistema facile da simulare. In articolare, inece di sistemi tridimensionali di equazioni uò essere risolto bidimensionale, unidimensionale, ecc Troato una condizione sufficiente er l'indiendenza della equazione di incolo. Esemi numerici e risultati fisici. 1. Introduzione Soluzioni esatte delle equazioni differenziali della fisica matematica hanno solto e continuano a solgere un ruolo fondamentale nella comrensione delle caratteristiche qualitatie di molti fenomeni e rocessi in ari cami della scienza e della tecnologia (cfr. [1]). Possiamo dire che l'incaacità di risolere queste equazioni analiticamente è un ostacolo er l'ulteriore studio di molti fenomeni fisici e la loro alicazione ratica. Soluzioni esatte delle equazioni non lineari dimostrare e ermettere di comrendere il meccanismo di tali effetti non lineari comlessi come la localizzazione saziale dei rocessi di trasorto, onde di combustione, reazioni eslosie, o la mancanza di moltelicità di stati stazionari e altri. Interesse scientifico anche ricerca di soluzioni di equazioni differenziali che non hanno una chiara fisico l'alicazione. Tuttaia, questi esemi ossono essere usati con successo come roblemi "di roa" durante la conalida e alutare l'accuratezza dei ari metodi numerici, asintotici e arossimatie, che, a sua olta, ermetterà di studiare i roblemi iù comlessi hanno calore e di massa trasferimento. Tuttaia, troare le esatte soluzioni analitiche a molti roblemi di fisica matematica non è semre ossibile. Pertanto è necessario ricorrere a dirigere simulazione numerica er ottenere risultati numerici arossimati. Nella simulazione, in roblemi ratici sesso deono essere grigliato numerico molto fine nello sazio e nel temo, che richiede molta otenza di calcolo e di temo (edi. []). Come risultato, una delle ossibili uscite è grande interesse in ari modi dell'annuncio, in articolare, il sistema comleto delle equazioni idrodinamiche in termini di un sistema di equazioni sulla suerficie (edi. [3-7]). Tale rocedura uò ridurre la dimensione del roblema er uno, che riduce sensibilmente la otenza di calcolo necessaria. Noto classiche equazioni er 113 Italian Science Reiew

descriere il flusso bidimensionale nel iano con l'aiuto delle equazioni scritte sul confine di [8-1]. Ad esemio, er un irrisorio roblema iscosità di descriere il otenziale flusso nel iano si riduce a un'equazione integrale sul contorno (il roblema di Dirichlet, Neumann) [1, 8-10] Questa equazione riguarda le comonenti tangenziali e normali della elocità. Conoscere uno di loro sul confine del coro, è ossibile definire tutto il flusso esterno [8-10]. Questo ale anche er il caso di iscosità molto eleato ("creeing flow"). Strisciante flussi iscosi - un flusso lento, in cui tutte le caratteristiche idrodinamiche sono determinate da stress iscoso e gli effetti inerziali sono trascurabili (accelerazione sono così iccoli che engono trascurati) [13]. Essa si erifica durante ghiacciai (iscosità ghiaccio è così alta che molti chilometri massa di ghiaccio in moimento molto lentamente), la lubrificazione dei disositii tecnici, il moto di iccole articelle in sosensione, ecc Pressione e orticità in strisciante flussi sono funzioni armoniche, e quindi la loro resenza in tutto lo sazio uò anche essere ridotto a una equazione integrale sul confine. In [14] un metodo abbastanza comune di ridurre la dimensionalità dei sistemi soradeterminati di equazioni differenziali. Ciò consente, ad esemio, di ridurre le equazioni idrodinamiche in termini di un sistema di equazioni sulla suerficie. Questo documento roone una semlificazione (modifica) del metodo. Il numero di calcoli ed equazioni dimensione ridotta è significatiamente ridotta, ma allo stesso temo è necessario che il sistema originale era una "forma normale" ed un determinante non era identicamente uguale a zero. Vi resentiamo l'idea e dare esemi numerici e risultati fisici. L'idea di base di Ad esemio, si consideri il seguente sistema di due equazioni differenziali lineari, soradeterminato da una sola equazione: Esemio 1. (1), (), (3). Questo sistema ha una soluzione totale ari a zero. Sostituto (3), l'esressione er il deriato G x della formula (1): H H x H 0 o (4). t t Differenziare (4) da x : o doo la sostituzione deriato H x della formula () (5) Fissare un unto x. Poi si ottiene un sistema di equazioni differenziali ordinarie ha (4) e (5), in continua eoluzione rigorosamente unto x. Ora distinguiamo (5) da x : (6) Doo sostituendo nella (6) G x e H x deriati delle formule (1) e () troiamo (7) Esrimiamo i deriati H t, H t, 3 H t 3, G t delle formule (4) e (5). abbiamo, (8), (9), (10), (11). Sostituendo la (8) - (11) (7). Di conseguenza, (1). Noi fissiamo di nuoo un unto x. Abbiamo già sistema di equazioni differenziali ordinarie (4), (5) e (1), unto strettamente eolutio soradeterminato x. Cerchiamo di troare una soluzione. Noi distinguiamo (1) e sostituire in (8) - (11). Allora otteniamo (13). Fate lo stesso con (13). Aere (14). Così, abbiamo troato un sistema di tre equazioni lineari (1) - (14) delle tre incognite G t, G e H che ha la soluzione oia H 0 e G Const ex( t) ( G t G 0 ). Pertanto, doo aer sostituito in (1) - (3) troiamo che oltre alla soluzione di zero, sistema soradeterminato di equazioni (1) - (3) ha anche una soluzione esonenziale. Altre soluzioni del sistema (1) - (3) non è. Consideriamo ora il sistema di equazioni differenziali alle deriate arziali 114 Italian Science Reiew

del rimo ordine, un soradeterminato una equazione indiendente (su qualsiasi decisione, er esemio): (15), (16). Si rocede M quindi al unto di un sistema di coordinate τ1, τ, n su una suerficie fissa (edi. Fig. Uno). Quindi l'equazione (15), (16) uò essere scritta come (17), (18). Esrimere l'equazione (17), i deriati normali S n eslicitamente (19). Noi sostituiamo le loro esressioni (19) in (18). oi (0). Differenziare (0) nella direzione n e sostituiamo le loro S n esressioni da (19). Poi scoriamo che. (1) Fare di nuoo la stessa rocedura. Ottenere equazioni della forma sulla suerficie ().. Abbiamo troato un sistema chiuso di equazioni differenziali della suerficie () esattamente lungo il bordo della suerficie (edi. Fig. One) e lo stesso numero di ariabili S, 1..., eoluzione nel temo. Così abbiamo dimostrato il seguente teorema. Teorema 1. Ogni sistema di equazioni differenziali alle deriate arziali del rimo ordine (15), che descrie le soluzioni eolono nel temo nello sazio S r, t, 1..., e ridefinito euclideo, da qualsiasi equazione differenziale (16) del rimo ordine, si uò conertire in un sistema di equazioni differenziali e lo stesso numero di incognite, S, t r, 1..., er qualsiasi suerficie fissa, se il sistema di coordinate τ, τ, n sulla 1 suerficie tutte le normali deriati S n del sistema (15) uò essere esressa eslicitamente come funzione delle ariabili definite esclusiamente sulla suerficie in questione (19). Formalmente, nulla imedisce rocedura analoga a riceere iù di suerficie delle equazioni (), ale a dire troare un sistema di equazioni soradeterminato ha su di esso. Pertanto, er ridurre la dimensionalità alla suerficie, ecc fino alla soluzione analitica. Tuttaia, questo non significa che lo stesso rocedimento uò essere troato in qualsiasi soluzione analitica di un sistema soradeterminato di equazioni. Ad esemio, il seguente sistema di equazioni soradeterminato ha la ex x t. soluzione generale Esemio. (3), (4). Tuttaia, un'ulteriore riduzione di una dimensione non uò andare aanti. Teoricamente ossibile caso seguente. Si consideri il sistema di equazioni differenziali alle deriate arziali del rimo ordine, non un oerride qualsiasi equazione (15). Fissare qualche funzione sconosciuta S come una funzione di arametro, e si ricercheranno le altre funzioni sconosciute. Quindi, formalmente, il sistema di equazioni (15) er quanto riguarda le restanti incognite sarà ridefinito, e abbiamo roosto un metodo er ridurre la sua dimensione fino alla soluzione analitica. Troiamo che l'ignoto rimanente (e loro deriati) saranno S funzioni e dei suoi deriati, e er la maggior arte la funzione di arametro S seareremo equazione (o iù equazioni) a deriate arziali. Se, er qualsiasi motio, questa funzione S uò essere determinato in modo indiendente, le restanti incognite (e / o loro deriati) saranno immediatamente scaricate attraerso di essa. introduciamo la notazione (5). Noi raresentiamo la ista (5) l'esressione (19), (0) nella forma (6), (7). Differenziare (7) nella direzione e l'esansione n conseguente indicano i comonenti che contengono i iù alti deriate temorali t (8). o, tenendo conto (6) (9). 115 Italian Science Reiew

Fare di nuoo la stessa rocedura. Poi il sistema di equazioni (), che sono eidenziati in termini di aere maggiori deriate temorali t, uò essere scritto come (30). Noi distinguiamo ogni l equazione ritracciamento del sistema (30) risetto al temo t l di nuoo. Quindi si ottiene il seguente sistema (31). Sistema di equazioni di suerficie (31) è lineare risetto ai deriati di temo maggiori S t, 1.... La condizione che questi deriati ossono essere esressi in modo eslicito (31), come segue (3) doe (33), (34). In questo caso (31) uò essere scritta come (35). Così, abbiamo dimostrato la seguente affermazione. Teorema. Se er un sistema di equazioni differenziali arziali del rimo ordine (15), che descriono le soluzioni S r, t, eolono nel temo nello 1..., sazio euclideo, e ridefinizione di alcuni equazione differenziale (16) del rimo ordine, er una condizione suerficie fissa (3), oi uoi conertirlo in un sistema di equazioni differenziali e lo stesso numero di incognite S, t r, 1..., sulla suerficie in questione, i deriati iù eleati risetto al temo della S r, t in olontà chiaramente esressa termini di tutte le altre incognite. Il sistema di equazioni della suerficie (35) è già ossibile mettere il corrisondente roblema di Cauchy. Secondo il generale teorema di Cauchy- Kowalewsi, questo roblema nel caso di analiticità di tutte le funzioni in questione ha una soluzione locale unica [15, 16]. Vediamo che se la condizione (3), le condizioni al contorno non hanno bisogno di chiedere una suerficie infinita aerto. Dalle formule (19) e (35) si ede che se conosciamo ad un certo unto della j j suerficie del S t, j0... 1, 1..., alore, allora saiamo tutti i j j deriati normali, in S n, 1..., j 0... qualsiasi unto della suerficie in questione. Di conseguenza, rendendo la serie di Taylor, si uò troare la S r, t, distribuzione di quantità, 1..., non solo su questa suerficie, ma anche nel olume esterno almeno in rossimità della suerficie. Per il nostro esemio, (1) - (3) (Esemio 1) corrisondente determinante ha la forma (36). (Vedi figura.) - Per tener conto della suerficie in moimento Vn, si muoe con una elocità, in cui l'unità normale alla suerficie, V F F è n F F t F x... 0 1, x m,t = la seguente relazione oia alla suerficie: (37). Inece del sistema di equazioni () è un sistema di equazioni (19), () e sufficiente utilizzare j j (37) e sconosciuto S t, j 0..., 1.... Pertanto, la seguente affermazione è era. Teorema 3. Qualsiasi sistema di equazioni differenziali alle deriate arziali del rimo ordine (15), che descriono le S r, t, 1..., soluzioni eolono nel temo nello sazio euclideo, e ridefinito da qualsiasi equazione differenziale (16) del rimo ordine, si uò conertire in un sistema di equazioni differenziali e incognite j j S t, j 0..., 1..., qualsiasi suerficie in F x... 0 1, x,t =, se il sistema moimento m di coordinate τ, τ, 1 n sulla suerficie tutte le normali deriati S n del sistema (15) ossono essere esresse eslicitamente come funzione delle ariabili definite esclusiamente sulla suerficie in questione (19). Se, inoltre, la condizione di suerficie (3), i deriati nel temo, 116 Italian Science Reiew

j j d dt S t, j 0..., 1..., saranno esresse in modo eslicito attraerso altre incognite. Diamo ora un semlice esemio di idrodinamica, quando il metodo recedente funziona. Si consideri l'equazione di Lalace che descrie il otenziale flusso di un fluido incomrimibile nel caso bidimensionale [8] Esemio 3. (38). Questa equazione ha oiamente una Ax Ay soluzione in cui che A const soddisfa (39) Riscriiamo (38) nella forma (40), (41). Quindi l'equazione (39) uò essere scritta come (4). Noi distinguiamo l'esressione (4) e sostituendo inece le deriate arziali dalle loro esressioni da (40) e (41) (43). Come risultato, abbiamo un sistema di ridotta dimensionalità di due equazioni e due incognite (4), (43), doe ci sono solo deriati x. Così, in una articolare soluzione, nonché qualsiasi altra Ax Ay soluzione articolare risondenti (39), abbiamo dimostrato che la dimensione è ridotta. 3. Sistemi Oerride di equazioni differenziali aumentando le loro dimensioni Consideriamo ora il sistema di equazioni differenziali arziali del rimo ordine nello sazio r,t (44). Si consideri la funzione (45). Oiamente, le seguenti relazioni (46), (47). Pose (46), (47) nell'esressione (44). Quindi si ottiene (48). Se consideriamo (48), come un sistema di equazioni nello sazio r,, t er le 1 funzioni incognite, U r,, t, S,, t r, 3..., allora aremo una equazione è soradeterminato sistema di equazioni differenziali. Questo sistema di equazioni (48) contiene effettiamente una soluzione del sistema (44). Nulla imedisce di considerare la funzione (49) e usarlo er conertire un sistema simile (44) er il sistema di equazioni (50) che contiene una sola U r,, t. funzione sconosciuta Se il sistema di equazioni (44) sono indicati Cauchy dati iniziali [15,16] (51) dee essere reso in considerazione quando si riduce la dimensione uò essere, er esemio, in (44) er effettuare la sostituzione di funzioni incognite (5). Poi (53). Se è rigorosamente dimostrato quello ottenuto con il metodo sora il sistema di suerficie di equazioni è corretta e coerente, allora non c'è nulla al flusso esterno si tiene conto: a) i termini delle condizioni iniziali, b) attraerso le condizioni al contorno, c) attraerso la struttura stessa del l'oerride del sistema originale di equazioni differenziali del olume, ale a dire attraerso il metodo stesso, che è stata ottenuta con ulteriori relazione indiendente. Altro modo logico er siegare il flusso esterno non è. Lasciate instabile flusso infinito di suerfici in moimento. Usando il metodo di sostituzione, er la sua generalità, ossiamo conertire tutti non stazionario equazione soradeterminato di sistema dimensionale ridotto, un gran numero di equazioni "fisse", doe le deriate temorali sono assenti. Poi, il confine flusso esterno è determinato e solo le condizioni al contorno in suerficie, in qualsiasi momento queste equazioni "fisse". Utilizzando il metodo di sostituzione selezionata (in articolare ulteriori ariabili e loro deriati) in qualsiasi momento, conoscendo le informazioni sulla suerficie in questione uò, risolendo il sistema di equazioni er determinare l'intera filettatura esterna. Suerficie, muoendo secondo le equazioni ottenuti da un metodo di sostituzione, attraerso questo meccanismo uò siegare il flusso esterno in sé, cioè, in termini di quantità definite su questa suerficie. 4. Conclusione 117 Italian Science Reiew

Riduzione della dimensione è un comito imortante, che consente, in articolare, er semlificare i calcoli di flussi idrodinamici [3-7]. In generale, le alicazioni nella rogettazione di motori a combustione interna, motori a razzo, turbine a gas e altri., Questo studio è necessario ridurre la otenza di calcolo necessaria er risolere questi roblemi al momento. In articolare, la riduzione della dimensione uò consentire di ridurre la durata di tali calcoli er uno o iù ordini. Proosto in questo documento, il metodo è alicabile a qualsiasi sistema di equazioni differenziali, e ti ermette di fare rogressi significatii nel risolere il roblema generale della risoluzione su iccola scala nel temo e nello sazio. Ed è di grande utilità ratica, er esemio quando la modellazione della circolazione fronte di fiamma turbolenta (edi. [17]). Si noti che in questo documento, a differenza [14] ha troato una condizione sufficiente er l'equazione di incolo indiendenza (3), che, tuttaia, non è necessario, e quindi uò teoricamente essere attenuato in qualche modo. Realizzato erifica di questa condizione ad alcuni esemi. Questo metodo uò anche essere utilizzato er indiiduare eentuali soluzioni articolari di equazioni differenziali. Abbastanza er scriere qualche equazione di incolo aggiuntio, che è soddisfatta, er esemio, er ogni soluzione articolare. Se è ossibile ridurre gradualmente la dimensione del sistema soradeterminato risultante fino alla soluzione analitica, troiamo articolari soluzioni del sistema originale di equazioni differenziali er cui l'equazione di comunicazione. References: 1. Tihono A.A. 1966. Samara Equations of mathematical hysics.. Samarsy A.A., Poo Yu.P. 1980. Difference methods for soling roblems of gas dynamics. 3. Bycho V.V. 1998. Nonlinear equation for a cured stationary flame and the flame elocity. V. 10. P.091. 4. Bycho V., Zaytse M., Aerman V. 003. Coordinate-free descrition of corrugated flames with realistic gas exansion. V. 68. P. 06,31. 5. Zaitse M.L., Acerman V.B. 009. Nonlinear theory of hydrodynamic motion surfaces breas. V. 135. P. 800-819. 6. Siashinsy G.I. 1977. Nonlinear analysis of hydrodynamics instability in laminar flames. Deriation of basic equations. V. 4. P. 1177. 7. Franel M. 1990. An equation of surface dynamics modeling flame fronts as density discontinuities in otential flows. V.. P. 1879. 8. L.D. Landau, E.M. Lifshitz. 1986. Theoretical Physics: Hydrodynamics. 9. L.I. Sedo. 1978. Continuum Mechanics. V.1,. 10. Loitsyansii L.G. 1987. Fluid Mechanics. 11. M. Van-Dye. 1986. Album of liquid and gas. 1. J. Meys. 1974. Theory and roblems of continuum mechanics. 13. Hael D., Brenner G. 1976. Hydrodynamics at low Reynolds numbers. 14. Acerman V.B., Zaitse M.L. 011. Reduction of dimension in the hydrodynamic equations, Journal of Comutational Mathematics and Mathematical Physics.. 1518-1530. 15. R. Curant. 1964. Partial Differential Equations. 16. I.G. Petrosii. 1961. Lectures on artial differential equations. 17. Zel'doich Ya.B., Barenblatt G.I., Libroich V.B., Mahiladze G.M. 1980. Mathematical theory of combustion and exlosion. 118 Italian Science Reiew

Figura 1. Suerficie stabile. F x,..., 0 1 xm t. Figura. Suerficie mobile 119 Italian Science Reiew

H G H t x (1) G H G () t x H t G x x 0. (3) H 1 x xh 0 t (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 10 Italian Science Reiew

(1) (13) H (14) S S S,,... 0, 1..., 1..., (15) r t S S GS,,... 0 r t (16) H S S S S S,,,,... 0, 1..., 1..., (17) 1 n t S S S S GS,,,,... 0 1 n t (18) S, S, S F S, S..., 1..., 1... (19) n 1 t G 1 S S S S,,,... 0 1 t (0) G S S S S,,,... 0 1t t t (1) G 1 S S S S,,,... 0, 1 t. () 11 Italian Science Reiew

G S S S,,,... 0. S 1 1 1t t t 0, (3) t x 0. (4) t A S t, 1.... (5) S n F A..., 1..., 1..., (6) 1 G A... 0. (7) (8) (9) 1 l G F F 1 S l1 l l...... G... 0, l 1... l A A A t 1,... l 1 1 l (30) 1 F F S, l 1... (31) G 1 l1 l...... 0 1,... l 1 A A 1 A t l a 0 (3) ji 1 Italian Science Reiew

a ji G 1 F F 1 j1..., 1 1,... j 1 1 A A A 1 i j (33) a 1i 1 G, j 1 (34) A i 1 S S S Q,... 1 1, 1..., 1... (35) t t 1t a ji 0 1 x x 1 0 0 (36) j1 j j d S S S V j1. j 1..., 1... (37) j j1 dt t t t n x y 0 (38) A x y (39) x y 0 (40). (41) y A x (4) x x 0 (43) H S S r, t, S,,... 0, 1..., 1... (44) r t U( r, t, ) S ( r, t) S ( r, t) (45) 1 13 Italian Science Reiew

U ( r, t, ) S( r, t) (46) U ( r, t, ) S1( r, t) U( r, t, ) (47) U U U U S S H r,, t, U,,,,, S,,... 0, 3..., 1... (48) t r tr r t 1 ( r, t, ) ( r, t) ( r, t)... ( r, t) (49) 1! U S1 S S H,,,,,,,,...,... 0, 1..., (50) t r tr r 1 U U U U U U r t U 1 1 S S 0 r, 1... t0 (51) S S r S, 1... (5) 0 S 1, 1.... (53) t0 14 Italian Science Reiew