CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI Consideriamo un fluido in una scatola. Questo è un insieme di tanti piccoli costituenti che supponiamo per semplicità essere identici. Dalla meccanica quantistica sappiamo esistere il dualismo onda-corpuscolo che afferma che la lunghezza d onda λ caratteristica di una particella è inversamente proporzionale al suo momento p dove la costante di Planck è il coefficiente di proporzionalità: (1) λ = h p. Fintanto che la distanza media tra le particelle d è d λ la meccanica quantistica può essere ignorata e per descrivere il sistema è sufficiente la teoria cinetica classica. Tuttavia, siccome il momento medio risulta essere in prima approssimazione funzione crescente della temperatura T (2) p (mk B T ) 1/2, dove m è la massa della singola particella e k B la costante di Boltzmann, a parità di densità nel sistema si può avere d λ per temperature sufficientemente basse. Siccome la densità n risulta essere legata alla distanza media tra le particelle come n d 3 allora la natura quantistica si rivela importante in un fluido quando vale (3) k B T n2/3 h 2 m. Occorre ricordare che le particelle in natura possono essere bosoni o fermioni e questi sono contraddistinti da proprietà di simmetria diametralmente opposte. Senza entrare nei particolari è sufficiente ricordare che a causa del principio di esclusione di Pauli due fermioni non possono occupare lo stesso stato quantistico mentre due o più bosoni sì. Questo ha un fondamentale impatto a basse temperature perchè le particelle si sentono diversamente: due funzioni d onda bosoniche possono sovrapporsi mentre due fermioniche no. Per avere uno condensato, cioè uno stato dove tutti gli atomi sono nello stesso livello energetico, è quindi necessario considerare un sistema composto da bosoni a temperature al di sotto di una temperatura critica T c detta temperatura di condensazione. Riporto Figure 1. Rappresentazione qualitativa del dualismo onda-corpuscolo in un gas. 1
2 CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI Figure 2. Rappresentazione qualitativa di un gas a basse temperature per un sistema bosonico ed un sistema fermionico. Sistema Statistica Densità (cm 3 ) Temperatura critica (K) Elettroni nei metalli classici Fermi 10 23 1-25 4 He liquido Bose 10 22 2.17 3 He liquido Fermi 10 22 2 10 3 Gas alkalini bosonici Bose 10 15 10 7 10 5 Gas alkalini fermioni Fermi 10 12 10 6 Table 1. Caratteristiche di condensazione in vari sistemi. in tabella 1 gli ordini di densità e temperatura critica necessari ad avere condensazione (anche attraverso il meccanismo di coppie di Cooper per i fermioni) in diversi sistemi. È bene precisare che tutte le particelle massive scoperte finora sono fermioniche. Tuttavia, alcuni sistemi riportati in tabella sono considerati bosonici poichè composti da un numero pari di fermioni come per esempio 4 He liquido (composto da 2 protoni, 2 neutroni e 2 elettroni). Questa assunzione non è valida nei casi in cui sia energeticamente conveniente lo scambio di uno dei singoli componenti della particella con un altro di un altra particella: a questo punto la natura fermionica del sistema si manifesta e impedisce la condensazione. 1. L equazione di Gross-Pitaevskii In uno stato condensato (nell ipotesi di temperatura T 0) la funzione d onda totale del sistema Ψ può essere scomposta in prima approssimazione come un prodotto delle funzioni d onda di singola particella ψ perché tutti i componenti sono nello stato fondamentale e le correlazioni tra le particelle sono praticamente nulle. (4) Ψ(x 1, x 2,..., x N, t) = N i=1 ψ(x i, t) N
CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI 3 Sappiamo che l evoluzione della funzione d onda di singola particella è regolata dalla nota equazione di Schrödinger ψ(x, t) (5) i t = 2 2m 2 ψ(x, t) + V ext (x, t)ψ(x, t), dove V est rappresenta un eventuale potenziale esterno che agisce sulla particella. In questo caso tuttavia ogni particella interagisce anche urtando con le altre e quindi dobbiamo includere un termine di accoppiamento aggiuntivo nell equazione. Siccome le temperature sono basse è buona norma considerare solo gli urti binari utilizzando la sezione d urto di scattering dell autofunzione di forma s della funzione di particella singola. Questo porta ad introdurre un potenziale medio efficace (6) V eff (x, t) = 4πa s 2 m ψ(x, t) 2, dove a s è detta lunghezza di scattering di onda-s ed è una quantità che dipende dalla specie bosonica considerata. Includendo questo termine si ottiene l equazione di Gross-Pitaevskii ψ(x, t) (7) i = 2 t 2m 2 ψ(x, t) + 4πa s 2 m ψ(x, t) 2 ψ(x, t) + V ext (x, t)ψ(x, t) che regola la dinamica del condensato. Trascurando per semplicità da qui in poi il potenziale esterno, l equazione può essere scritta in forma adimensionale (8) i t ψ + 2 ψ ψ 2 ψ = 0, introducendo le seguenti trasformazioni: (9) t t = t x x = x 2m m ψ ψ = 4πa s 2 ψ 2. Trasformazioni di Madelung e proprietà superfluide L equazione di Gross-Pitaevskii può essere espressa in formulazione fluidodinamica attraverso la trasformazione di Madelung (10) ψ(x, t) = ρ(x, t)e iφ(x,t), dove ρ e φ sono funzioni a valori reali. Applicando la trasformazione all equazione adimensionale e separando la parte reale dalla parte immaginaria si ottiene il seguente sistema: (11) Ponendo t φ + 2 ρ ρ ( φ) 2 ρ = 0, t ρ + (ρ 2 φ) = 0. (12) v = 2 φ, si osserva che la seconda equazione non è altro che l equazione di continuità per un fluido avente densità ρ che ammette compressibilità. Applicando ora l operatore divergenza alla prima equazione e utilizzando la relazione tra v e φ si ricava (13) t v + 1 ( 2 2 ) ρ 2 v2 = (2ρ) +. ρ
4 CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI Sfruttando la proprietà del calcolo vettoriale (14) (v ) v = 1 2 v2 + ( v) v e ricordando che il secondo termine a secondo membro è nullo poiché v è un gradiente si ottiene ( 2 2 ) ρ (15) t v + (v ) v = (2ρ) +. ρ Quest ultima relazione non è altro che l equazione di Bernoulli per un fluido irrotazionale con l aggiunta di un termine di pressione chiamato pressione quantistica. Di conseguenza un condensato regolato dall equazione di Gross-Pitaevskii non è altro che un fluido senza viscosità, cioè un superfluido, comprimibile e irrotazionale. 3. I vortici quantizzati Il fatto che il fluido sia irrazionale non esclude però che ci siano delle strutture a vortice al suo interno. È possibile misurare la circuitazione della velocità lungo un generico cammino γ chiuso nello spazio tridimensionale (16) C = v dl = 2 φ dl = 2 φ. γ Pertanto se la fase della funzione d onda ha un salto durante il cammino su γ allora la circuitazione è diversa da zero e all interno del cammino la vorticià è non nulla. Affinché il campo ψ sia continuo su tutto il cammino deve valere (17) φ = 2π n, con n Z da cui ne consegue che la vorticià è quantizzata. Inoltre, dal teorema della divergenza (18) C = v dl = v dσ = 2 φ dσ = 0 γ= Σ Σ ci si accorge che se la circuitazione è diversa da zero allora il dominio Σ avente come contorno γ deve necessariamente essere non semplicemente connesso, cioè contenere delle singolarità al suo interno. Per capire la natura di queste singolarità consideriamo per semplicità una funzione d onda bidimensionale ψ(x, y, t) che al tempo t 0 possiede una particolare condizione di simmetria circolare attorno all origine: la densità dipende solo dalla componente radiale e la fase solo da quella angolare. Attraverso il passaggio a coordinate polari x = r cos θ (19) y = r sin θ questo significa (20) ψ(x, y, t 0 ) ψ(x, y) = f(r) e ig(θ). Affinché il campo sia continuo percorrendo un giro attorno all angolo θ deve valere per esempio { g(θ) = n θ + θ0 (21) g, con n Z (θ) = n ovvero abbiamo scelto che la funzione di fase g abbia la particolare condizione di essere costantemente crescente, decrescente o uniforme (vedi figura 4). Ricordando che γ
CONDENSATI DI BOSE-EINSTEIN E SUPERFLUIDI 5 Figure 3. Passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari. Figure 4. Rappresentazione qualitativa di tre casi della famiglia di funzioni g(θ). l operatore gradiente in coordinate polari è (22) = r e r + 1 r si ottiene che la velocità del fluido è θ e θ, (23) v = 2 g = 2 1 g r θ e θ = 2n r e θ e la circolazione attorno all origine su una generica circonferenza S è 2π 2π (24) C = v dl = r v θ dθ = 2n dθ = 4π n. S 0 Siccome questo risultato vale per una qualsiasi circonferenza di raggio r è possibile prendere raggi via via più piccoli. Notiamo che la velocità è infinita solo per r 0 ed è proprio in questo unico punto che si trova la singolaritá (infatti anche la fase stessa non è definita nell origine). Queste singolarità sono dette vortici quantizzati e si presentano come dei punti su un piano e come delle linee nello spazio. Inoltre, in tre dimensioni queste linee devono necessariamente chiudersi formando o anelli oppure terminando ai bordi del sistema. 0