Esempi di sensitivity analisys SELEZIONE DI INVESTIMENTI: Un modello multiperiodale Prendiamo ora in esame un esempio di problema di selezione di investimenti che ci permette di evidenziare alcune possibilità di applicazione dei modelli della Programmazione Lineare in ambito finanziario. Sono disponibili 5 progetti di investimento (A, B, C, D, E) i cui flussi di cassa sono illustrati nella tabella seguente Si possono investire nell anno iniziale (anno 0) $100.000 complessivamente ma al più $75.000 possono essere investiti in ciascun tipo di investimento ed inoltre si suppone che sia possibile, in ogni anno, effettuare un investimento alternativo nel mercato monetario con un tasso di rendimento dell'8%. I ricavi ottenuti dai cinque investimenti possono essere immediatamente reinvestiti, ad es. l'incasso del progetto C al tempo 1 può essere reinvestito in B, oltre che nell'investimento alternativo a tasso fisso. Tab. 1: FLUSSO DI CASSA AL TEMPO: 0 1 2 3 A - $1 $0.50 $1 $0 B $0 - $1 $0.50 $1 C -$1 $1.2 $0 $0 D -$1 $0 $0 $1.9 E $0 $0 - $1 $1.5 FORMALIZZAZIONE DEL MODELLO VARIABILI DECISIONALI: A = dollari investiti in A B = dollari investiti in B C = dollari investiti in C D = dollari investiti in D E = dollari investiti in E S t = dollari investiti nel mercato monetario alternativo al tempo t (t=0, 1, 2) OBIETTIVO: massimizzare la disponibilità di cassa al tempo 3. La funzione obiettivo é quindi: Max B + 1.9D + 1.5E + 1.08S 2 EQUAZIONE DI BILANCIO NEI VARI PERIODI: Disponibilità di cassa al tempo t = soldi investiti in progetti al tempo t + soldi investiti nel mercato monetario al tempo t Questo é un classico esempio di analisi multiperiodale dove si stabilisce una relazione tra un periodo ed il successivo. Vediamo in dettaglio i vincoli relativi ai vari periodi:
Il vincolo relativo al primo periodo (tempo 0) é il seguente: A + C + D + S 0 =100.000 (VINCOLO DI BILANCIO) questo vincolo impone che i fondi disponibili ($100.000) siano uguagliati ai fondi investiti al tempo 0. Osserviamo che i fondi disponibili al tempo 0 possono essere investiti solo in A, C, D ed in S 0. Vincolo relativo al tempo 1: 0.5A + 1.2C +1.08 S 0 = B + S 1 vincolo relativo al tempo 2: A + 0.5B + 1.08 S 1 = E + S 2 A questo punto abbiamo i vincoli relativi a tutti i periodi che ci interessano, in più abbiamo altri vincoli, dati dal problema, che stabiliscono di non investire più di $75.000 per ciascun progetto che abbiamo a disposizione: A <= 75.000 B <= 75.000 C <= 75.000 D <= 75.000 E <= 75.000 infine avremo i vincoli di segno sulle variabili: A, B, C, D, E, S 0, S 1, S 2 >=0. Notiamo che S 0, S 1, S 2 >= 0 sta ad indicare che non investiamo più di quanto abbiamo incassato. In definitiva il modello finale (per risolverlo con LINDO è necessario modificarlo leggermente scrivendo tutte le variabili a sinistra dei vincoli; LINDO è un parente di LINGO; la sintassi è leggermente diversa) é il seguente: MAX B + 1.9 D + 1.5 E + 1.08 S2 SUBJECT TO 2) D + A + C + S0 = 100000 3) 0.5 A + 1.2C + 1.08S0 = B + S1 4) A + 0.5B + 1.08S1 = E + S2 5) A, B, C, D, E <= 75000 6) A, B, C, D, E, S1, S2 >=0 La cui soluzione ottima è la seguente:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 218500.0 VARIABLE B VALUE 3000 REDUCED COST D 4000 E S2 7500 0.040000 A 6000 C S0 0.028000 0.215200 S1 0.350400 ROW 2) SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1.900000 3) -1.560000 4) 5) 1500-1.120000 6) 4500 7) 8) 7500 3500 9) 0.380000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE B COEF 1.000000 INCREASE 0.029167 DECREASE 0.284415 D 1.900000 0.475000 0.050000 E S2 1.500000 1.080000 0.040000 0.380000 A 0.050000 0.058333 C S0 0.028000 0.215200 S1 0.350400 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE 2 RHS 10000 INCREASE 3500 DECREASE 4000 3 3750 5625 4 5 7500 1875 4375 1500 6 7500 4500 7 8 7500 7500 7500 3500 9 7500 1875 4375 Osserviamo che dal resoconto del LINDO si ottengono numerose informazioni significative oltre al valore della soluzione ottima. Infatti, ad esempio, il fatto che il costo ridotto di S2 sia 0.04 ci permette di stabilire che se nella funzione obiettivo il valore del coefficiente di S2 viene aumentato di una quantità maggiore di 0.04 (ad esempio se si suppone che divenga 1.13S2, ovvero un tasso di interesse del 13%) allora nella soluzione ottima il valore di S2 diventerà positivo. Al contrario se il coefficiente di S2 assume un qualsiasi valore minore di 1.12 la soluzione ottima rimarrà invariata (provare per esercizio).
Inoltre il fatto che il prezzo duale del primo vincolo sia 1.9 ci permette di concludere che per ogni lira aggiuntiva disponibile nel primo periodo si ottengono 1.9 lire alla fine del terzo periodo. Questa affermazione è ovviamente valida solo nell ambito prescritto dall analisi di sensitività, ovvero per importi compresi fra 65.000 dollari e 140.000 dollari. ESERCIZI: 1) Determinare per tentativi, con l'ausilio di LINGO, il valore minimo del tasso di rendimento dell'investimento a tasso fisso che renda positivo almeno uno dei valori St, o in alternativa tutti i valori. 2) Formulare il modello precedente con vincoli di disuguaglianza del tipo Disponibilità di cassa al tempo t soldi investiti in progetti al tempo t + soldi investiti nel mercato monetario al tempo t Risolvere il nuovo modello e confrontare la soluzione con la precedente. 3) Formulare il modello con EXCEL e risolverlo.
PIANIFICAZIONE FINANZIARIA Un'azienda deve far fronte nei successivi 8 anni al prepensionamento di un certo numero di impiegati, ed a seguito di questi prepensionamenti dovrà sostenere delle uscite pari alle seguenti cifre: nel primo anno $430, nell'anno due $210, nell'anno tre $222, e così di seguito secondo la tabella seguente: ANNO 1 2 3 4 5 6 7 8 $ RICHIESTI 430 210 222 231 240 195 225 255 Abbiamo dunque un flusso di uscite previste per i prossimi 8 anni. Per far fronte a queste uscite di denaro l'azienda ha deciso di procurarsi una copertura finanziaria, utilizzando a tal proposito i titoli di Stato, che hanno un rendimento del 4%, e tre tipi di titoli (B1; B2; B3) che hanno determinati prezzi correnti con un valore nominale di $1.000 ed hanno scadenze e rendimenti illustrati nella tabella seguente: PREZZO REND. SCAD.(anni) CORRENTE B1 1150$ 8,875 5 B2 1000$ 5.5 6 B3 1350$ 11.75 7 In effetti, tutto quello non investito in questi titoli puó essere investito in titoli di stato ad un rendimento fisso del 4%. Le variabili decisionali risultano cosi' essere: F = somma totale richiesta per l' investimento iniziale a copertura delle spese degli 8 anni successivi B1 = quantità titoli B1 (taglio $1000) B2 = quantità titoli B2 (taglio $1000) B3 = quantità titoli B3 (taglio $1000) St = investimento in titoli di Stato (t = 1,2,...,8) L obiettivo che si pone la ditta è quello di minimizzare la somma iniziale investita che garantisce di finanziare il pensionamento di tutti gli impiegati. Introduciamo pertanto una variabile F che indica la somma sborsata inizialmente, quindi la funzione obiettivo consisterà semplicemente nella minimizzazione di F: min F Una caratteristica dei problemi di questo tipo è che i fondi disponibili all'inizio dell'anno, meno i fondi investiti per pagamenti in anni futuri devono essere uguali alle obbligazioni di cassa per l'anno corrente.
All'anno 1 saranno disponibili in cassa $F, da questi devo sottrarre il prezzo dei titoli acquistati per la loro quantità e sottrarre ancora S1 che rappresenta la quantità investita a reddito fisso del 4%, la somma risultante deve essere uguale alle obbligazioni di cassa dell'anno corrente, ossia alla somma da pagare per i pensionamenti che nel primo anno corrisponde a $430. Si possono poi formulare i vincoli degli anni successivi che saranno basati sullo stesso principio: dal rendimento dell'anno 2 devo sottrarre S2 che mi indica quanto investirò nei titoli a reddito fisso. La differenza deve essere uguale all'esborso di cassa per il secondo anno che risulta essere di $210. Si procede analogamente per i successivi anni ottenendo così i vincoli rimanenti. Il problema dunque può essere formalizzato nel modo seguente: MIN F st F-1.150B1-B2-1.35B3-S1=430 0.08875B1+0.0055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=210 0.08875B1+0.0055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=222 0.08875B1+0.0055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231 0.08875B1+0.0055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=240 1.08875B1+0.0055B2+0.1175B3+1.04S5-S6=195 1.0055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=225 1.1175B3+1.04S7-S8=225 Risolvendo il modello si trova che il valore minimo che deve avere la variabile F, ovvero l'investimento iniziale, é $1711.777. Questa soluzione é realizzata mediante i seguenti investimenti: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1711.777 VARIABLE VALUE REDUCED COST F 1711.110596 B1 335.192322 B2 0.240713 B3 201.342285 S1 623.827393 S2 492.186554 S3 343.280029 S4 179.417267 S5 0.064025 S6 193.598343 S7 0.034773 S8 0.669564
A questo punto sorge un problema: non possiamo acquistare una quantità decimale di titoli. Un modo di risolvere questo problema é quello di arrotondare per eccesso i valori delle variabili dei titoli, ma così facendo si investe di più di quello che risulta essere sufficiente. Tuttavia, vista la dimensione delle grandezze in gioco (dell ordine delle centinaia di unità) l errore che si commette rispetto alla migliore soluzione intera è sicuramente piccolo in percentuale. Vediamo ora i prezzi duali: ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) -1.000000 3) -0.961538 4) -0.924556 5) -0.888996 6) -0.854804 7) -0.760364 8) -0.731120 9) -0.669564 Osserviamo che i prezzi duali indicano la variazione della soluzione ottima al variare di un'unità dei termini noti. Possiamo quindi interpretarli in questo caso come: attualizzazione monetaria all anno considerato di una lira disponibile alla fine del periodo (anno 8).
SELEZIONE DEI MEDIA Affrontiamo ora un classico problema di marketing, ossia quello della scelta dei media per una campagna pubblicitaria. Le caratteristiche del problema sono le seguenti: abbiamo cinque modi di pubblicizzare il nostro prodotto: Tab. 1 TIPO MEDIA FAMIGLIE RAGGIUNTE COSTI IN $ TEMPO MAX DISPONIBILE PER MESE ESPOSIZIONE ATTESA TV giorno (1 min.) 1000 1500 15 65 TV notte (30 sec.) 2000 3000 10 90 Quotidiano 1500 400 25 40 Giornale della Domenica 2500 1000 4 60 Radio 300 100 30 20 Di questi cinque tipi di pubblicità sono state individuate le caratteristiche tecniche: ad esempio si è stimato che un minuto di pubblicità diurna in TV raggiunga 1000 famiglie; inoltre 30 sec. notturni, sempre in TV, raggiungono 2000 famiglie; il giornale raggiunge 1500 famiglie e cosi' via (si veda la tabella). I costi di ogni tipo di pubblicità sono noti, abbiamo inoltre un vincolo di budget, ed abbiamo infine una unità di esposizione attesa che é un parametro soggettivo che rappresenta il fattore di impatto sui consumatori. In base a questi dati dobbiamo formulare un modello che massimizzi l'impatto della campagna pubblicitaria. Le variabili decisionali rappresentano la somma investita in ciascun tipo di pubblicità, l obiettivo è costituito dalla massimizzazione dell esposizione attesa. Un vincolo importante è il vincolo di bilancio ($30.000). Altri vincoli sono tipici del problema: almeno 10 uscite televisive, non più di $18.000 spesi in annunci televisivi, copertura minima sulle famiglie del messaggio pubblicitario. Formalizzando abbiamo: MAX 65 X1 + 90 X2 + 40X3 + 60 X4 + 20 X5 SUBJECT TO 2) X1 <= 15 disponibiltà dei media 3) X2 <= 10 4) X3 <= 25 5) X4 <= 4 6) X5 <= 30 7) 1500 X1 + 3000 X2 + 400 X3 + 1000 X4 + 100 X5 <= 30000 vincolo di bilancio 8) X1 + X2 >= 10 restrizioni per i messaggi televisivi
9) 1500 X1 + 3000 X2 <= 18000 10) 1000 X1 + 2000 X2 + 1500 X3 + 2500 X4 + 300 X5 >= 50000 audience coperta 11) X1 >= 0 12) X2 >= 0 13) X3 >= 0 14) X4 >= 0 15) X5 >= 0 END Con la seguente soluzione ottima: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2370.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2 1 65.000000 X3 25.000000 X4 X5 2.000000 3 ROW 2) SLACK OR SURPLUS 5.000000 DUAL PRICES 3) 1 4) 5) 2.000000 16.000000 6) 14.000000 7) 8) 0.060000-25.000000 9) 300 10) 1150 NO. ITERATIONS= 8 Ricordiamo che i modelli sono delle approssimazioni della realtà. In particolare a questo modello possiamo fare, tra le altre, le seguenti critiche: - se acquistiamo un certo numero di pacchetti possiamo avere uno sconto del prezzo in base alla quantità acquistata (questo richiederebbe una funzione di costo concava e non lineare), - ci può essere una sovrapposizione di coperture per i vari pacchetti (una persona che legge il giornale probabilmente guarda anche la televisione, diminuendo così la copertura pubblicitaria). Anche questo aspetto può essere modellizzato ma compromettendo la linearità del modello, - vi possono essere degli errori sulla stima dei valori di esposizione dei vari messaggi pubblicitari, - altri parametri strutturali, economici e sociali, che il modello lineare non ci permette di ponderare.