ESEMPI DI ANALISI DI CIRCUITI DINAMICI LINEARI coro: Teoria dei Circuiti docente: Stefano PASTORE 1 Eempio di tableau dinamico (tempo e Laplace) 1.1 Dominio del tempo Conideriamo il eguente circuito dinamico in Fig. 1: Fig. 1: Circuito dinamico del I ordine. Il itema tableau completo del circuito è: Ai(t) v(t) A T e(t) ( M v M v d ) ( v(t) M i M i d ) i(t) h (t) dt dt, (1) dove b 3en 1 2. La matrice ridotta di incidenza è: [ 1 1 A, (2) 1 1 1
mentre le relazioni cotitutive ono: 1 1 d dt R 1 d dt C i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) v 1 (t) v 3 (t) v (t). (3) Se crivo eteamente le equazioni del tableau, ottengo un itema con una incognita in più ripetto al numero di equazioni. In queto eempio, l incognita è v 3 (t), la derivata della tenione (variabile di tato) dell unico elemento dinamico (condenatore). Il tableau completo è: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R C 1 e 1 (t) e 2 (t) v 1 (t) v 3 (t) v 3 (t) i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) v (t). (4) Supponiamo che: R 1Ω, C 1µF e v (t) 1 V. Poo allora ridurre la matrice T direttamente con un metodo di eliminazione gauiana delle variabili fino ad ottenere un unica equazione in v 3 (t), v 3 (t) ev (t). Oppure, poo coniderare la derivata v 3 (t) un parametro, per cui poo crivere: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e 1 (t) e 2 (t) v 1 (t) v 3 (t) i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) Invertendo la matrice quadrata rimanente, i ottiene: 1 e 1 (t) 1 1 e 2 (t) 1 1 v 1 (t) 1 1 v 3 (t) 1 1 1 1 1 i 1 (t) 1 i 2 (t) 1 1 i 3 (t) 1 1 1 1 6 1 6 v 3 (t). (5) v 3 (t) 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 Pertanto, trovo la eguente equazione in v 3 (t), v (t) (1V)e v 3 (t): v 3 (t). (6) 1 3 v 3 (t)v 3 (t) 1 (7) che, unitamente alle condizioni iniziali v 3 (t) v C (), rappreenta la pura evoluzione dinamica del circuito. Queta equazione viene chiamata equazione di tato del circuito, nella variabile di tato v 3 (t). La ua oluzione è: 1.2 Dominio di Laplace v 3 (t) [ (v 3 () 1) e 1 t 1 u(t). (8) Applicando la traformata di Laplace al circuito di Fig. 1, ottengo il eguente itema tableau: AI() V() A T E(), (9) (M v M v ) V()(M i M i ) V() H ()H () dove H () tiene conto delle condizioni iniziali degli elementi dinamici. Nel notro cao particolare, i ha: 1 V 1 () 1 V 2 () 1 6 V 3 () 1 1 I 1 () I 2 () I 3 () Il tableau completo T() è: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 E 1 () E 2 () V 1 () V 2 () V 3 () I 1 () I 2 () I 3 () 1 1 1 1 1 6 v 3 () 1 6 v 3 (). (1). (11) 3
La oluzione del itema è ottenuta invertendo la matrice T(): E 1 () E 2 () V 1 () V 2 () V 3 () T 1 (), (12) I 1 () 1 1 I 2 () I 3 () 1 6 v 3 () dove la matrice T 1 () è: 1 1 6 1 1 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 1 6. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4
La tenione V 3 () è uguale allora a: V 3 () 1 1 1 16 1 1 6 v 3 () (13) 1 1 1 v 3() 1 v 3() 1 1 1. Antitraformando, i ottiene: v 3 (t) [ (v 3 () 1) e 1 t 1 u(t) (14) che è la tea epreione (ovviamente!) trovata operando nel dominio del tempo (vedi eq. (8)). 5
2 Circuito del II ordine nel tempo (p k R) Conideriamo il eguente circuito lineare, tempo-invariante, dinamico e autonomo, dal momento che l unica orgente indipendente (di tenione) è cotante (Fig. 2): Fig. 2: Circuito dinamico del II ordine. Notiamo che è un circuito del econdo ordine, dove le due candidate a diventare variabili di tato, le tenioni ui condenatori, ono manifetatamente indipendenti. L equazione di tato del circuito dovrà aumere la forma: ẋ(t) Ax(t)Bū (15) dove x(t) R n, A è una matrice di dimenione [n n, B è un vettore [n k eū èun vettore [k 1 che rappreenta le k orgenti del circuito. In queto cao n 2ek 1, mentre il vettore di tato è: [ v1 (t) x(t). (16) Per la crittura dell equazione di tato, uiamo il metodo dei Componenti Complementari. A tal fine, conideriamo il doppio bipolo adinamico (reitivo) di Fig. 3. La rappreentazione eplicita del doppio bipolo adinamico, da adottare nel cao di due condenatori, è la rappreentazione controllata in tenione, eprea come: [ [ [ [ i1 g11 g 21 v1 i1 (17) i 2 g 12 g 22 v 2 i 2 Nel notro cao, con emplici calcoli i ottiene la eguente rappreentazione: [ [ [ [ i1 1/15 1/3 v1 1/3 1/3 1/15 1/3 i 2 v 2 (18) Ricordando che le relazioni cotitutive dei condenatori ono (con la convenzione nonnormale): i 1 C 1 v 1, i 2 C 2 v 2 (19) 6
Fig. 3: Doppio-bipolo adinamico aociato al circuito di Fig. 2. e otituendo le tee in (18), dopo aver eeguito qualche facile operazione, trovo le equazioni di tato rappreentate dalle eguenti matrici: [ [ 2/3 1/3 1 A, B ū 4 /3 1/3 2/3 1 4. (2) /3 Vediamo ora di trovare la oluzione di queta equazione differenziale, con condizione iniziale data x(). Troviamo innanzi tutto gli autovalori e gli autovettori della matrice A. per far ciò, i deve riolvere l equazione: det[i A 2 4 3 3 16 9. (21) I due autovalori ono: { 1 1 2 1/3. (22) Il primo autovettore detro deve oddifare all equazione: [ 1 I A x 1, (23) da cui i ottiene lo pazio lineare rappreentato da: [ 1 x 1. (24) 1 Il econdo autovettore è ottenuto dall equazione: [ 2 I A x 2, (25) da cui i ottiene lo pazio lineare rappreentato da: [ 1 x 2. (26) 1 7
Sapendo che: A SA diag S 1 [ 1 1 1 1 [ 1 1/3 [ 1/2 1/2 1/2 1/2, (27) eche: [ e e A t 1 t S e 1/3 t S 1, (28) i trova l epreione dell eponenziale della matrice A: [ ( e 1 t e 1/3 t) ( /2 e 1 t e 1/3 t) /2 e A t ( e 1 t e 1/3 t) ( /2 e 1 t e 1/3 t). (29) /2 Poiamo ora coniderare la preenza della orgente cotante di tenione. La oluzione particolare, o imilare, o di regime, i trova facilmente coniderando degli aperti i condenatori. Le tenioni che vedo alle porte del doppio-bipolo adinamico ono: x p (t) [ v p 1(t) v p 2(t) La oluzione generale è allora: [ ([ v1 (t) x(t) e A t v1 () v 2 () [ 1 1. (3) [ 1 1 ) [ 1 1. (31) Un altro metodo, per trovare la oluzione generale, conite nell eprimere il vettore di tato come combinazione lineare peata degli autovettori e della oluzione particolare. Si ha quindi: [ [ [ v1 (t) 1 1 k 1 e 1 t k 1 2 e 1/3 t 1 [ 1 1, (32) dove le cotante k 1,k 2 Rdipendono dalle condizioni iniziali. Pertanto, per t,i deve riolvere il eguente itema in k 1 e k 2 : { v1 () k 1 k 2 1 v 2 () k 1 k 2 1 k 1 v 1() v 2 () 2 k 2 v 1() v 2 () 2 2. (33) Come i vede con una veloce otituzione, e come deve eere, la oluzione trovata è identica alla precedente. 8
3 Circuito del II ordine nel tempo (p k C) Conideriamo il eguente circuito lineare, tempo-invariante, dinamico e autonomo, dal momento che le due orgenti indipendenti ono cotanti: Fig. 4: Circuito dinamico del II ordine. Notiamo che è un circuito del econdo ordine, dove le due candidate a diventare variabili di tato, la tenione ul condenatore e la corrente dell induttanza, ono manifetatamente indipendenti. L equazione di tato del circuito dovrà aumere la forma: ẋ(t) Ax(t)Bū (34) dove x(t) R n, A è una matrice di dimenione [n n, B è un vettore [n k eū èun vettore [k 1 che rappreenta le k orgenti del circuito. In queto cao n k 2, mentre il vettore di tato è: [ i1 (t) x(t). (35) Per la crittura dell equazione di tato, uiamo il metodo dei Componenti Complementari. A tal fine, conideriamo il doppio bipolo adinamico (reitivo) di Fig. 5. La rappreentazione eplicita del doppio bipolo adinamico, da adottare nel cao di un condenatore e di un induttore, è la rappreentazione ibrida, eprea come: [ [ [ [ v1 h11 h 21 i1 v1 (36) i 2 h 12 h 22 v 2 i 2 Nel notro cao, con emplici calcoli i ottiene la eguente rappreentazione: [ [ [ [ v1 9.9 i1 1.9.19.5 i 2 v 2 (37) Ricordando che le relazioni cotitutive dei condenatori ono (con la convenzione nonnormale): v 1 L 1 i 1, i 2 C 2 v 2 (38) 9
Fig. 5: Doppio-bipolo adinamico aociato al circuito di Fig. 4. e otituendo le tee in (37), dopo aver eeguito qualche facile operazione, trovo le equazioni di tato rappreentate dalle eguenti matrici: [ [ 9.9 1 A, B ū. (39) 9 19 5 Vediamo ora di trovare la oluzione di queta equazione differenziale, con condizione iniziale data x(). Troviamo innanzi tutto gli autovalori e gli autovettori della matrice A. per far ciò, i deve riolvere l equazione: I due autovalori complei coniugati ono: det[i A 2 28 981. (4) { 1 14 28j 2 14 28j ( 1). (41) Il primo autovettore detro deve oddifare all equazione: [ 1 I A x 1, (42) da cui i ottiene lo pazio lineare rappreentato da: [ [.3.56j.32 e j2.96 x 1.9995j.9995 e jπ/2. (43) Il econdo autovettore è ottenuto dall equazione: [ 2 I A x 2, (44) 1
da cui i ottiene lo pazio lineare coniugato rappreentato da: [ [.3.56j.32 e j2.96 x 2.9995j.9995 e jπ/2 ( x 1). (45) Sapendo che: A SA diag S 1 [.32 e j2.96.32 e j2.96.9995 e jπ/2.9995 e jπ/2 [ 14 28j [ 16.7.5e j1.39 14 28j 16.7.5e j1.39, (46) eche: i trova l epreione di e A t : e A t e A t S [ e ( 1428j)t e ( 14 28j) t S 1, (47) [ 1.3 e 14t co(28t 2.96).32e 14t co(28t 1.57) 32.12 e 14t co(28t 1.57).9995e 14t co(28t.18) Come i vede, il calcolo in forma chiua dell eponenziale di matrice è abbatanza lungo e laborioo in preenza di autovalori complei e coniugati. Poiamo ora coniderare la preenza della orgente cotante di tenione. La oluzione particolare, o imilare, o di regime, i trova facilmente applicando il principio di ovrappoizione degli effetti, dopo aver aperto il condenatore e cortocircuitata l induttanza. La corrente che vedo alla prima porta del doppio-bipolo adinamico e la tenione alla econda porta ono: x p (t) [ i p 1(t) v p 2(t) La oluzione generale è allora: [ ([ i1 (t) x(t) e A t i1 () v 2 () [.145 9.45 [.145 9.45 (48). (49) ) [.145 9.45. (5) Un altro metodo più rapido, per trovare la oluzione generale, conite nell eprimere il vettore di tato come combinazione lineare peata degli autovettori e della oluzione 11
particolare. Si ha quindi: [ [ i1 (t).3.56j ke ( 1428j)t.9995j [ [.3.56j.145 k e ( 14 28j) t.9995j 9.45 [.32 e j2.96 } [.145 2 R {k e ( 1428j)t (51).9995e jπ/2 9.45 [ [.64 co(28t 2.96 ϕk ).145 k e 14t, (52) 1.999 co(28t 1.57 ϕ k ) 9.45 dove la cotante k k r jk i k e jϕ k dipende dalle condizioni iniziali. Pertanto, per t, i deve riolvere il eguente itema in k: { i1 () 2 R{k (.3.56j)}.145 v 2 () 2 R{k (.9995j)} 9.45. (53) Si ottiene pertanto: { i1 ().6k r.11k i.145 v 2 () 1.999k i 9.45 da cui i ricavano il modulo e la fae della cotante k. k i 9.45 v 2() 1.999 k r i 1().6ki.145.2, (54) 12
4 Circuito del II ordine con Laplace Conideriamo il eguente circuito lineare, tempo-invariante, dinamico e autonomo, dal momento che l unica orgente indipendente (di tenione) è cotante: Fig. 6: Circuito dinamico del II ordine. Traformiamo il circuito con Laplace etraendo le condizioni iniziali dai componenti dinamici, mettendo il valore di impedenza accanto a ogni componente (i componenti dinamici ono coniderati inizialmente carichi) e coniderando le traformate delle forme d onda delle orgenti indipendenti. Otteniamo il eguente circuito: Fig. 7: Circuito di Fig. 6 traformato con Laplace. Il circuito può eere ora riolto nel dominio della traformata di Laplace, crivendo 13
dunque un itema algebrico di equazioni nella variabile. Formalmente, ècomeefoe un circuito reitivo in continua. Scriviamo, quindi, un itema completo e indipendente di equazioni applicando il metodo nodale puro. Notiamo che tutti i componenti ono controllati in tenione, dal momento che ogni generatore di tenione ha in erie una impedenza. Il itema di 3 equazioni in 3 incognite è il eguente: V () V 1 () 1 V 1 () V () 1 V 2 () V () 1 V () 1/ 1 i L() V 1() L 1 V () V 2() 1 V 2() v C ()/ 1/c 1, (55) da cui i ottiene, eliminando V (): [ 2(15L1 ) V 1 () V 2 ()[ 1 1 L 1 3i L() [ V 1 () 1 L [ 1 11C2 V 2 () i L() C 2 v C () 1L 1 1. (56) Riolvendo il itema di 2 equazioni in 2 incognite, troviamo che: V 1 () 5 1 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L () 2 65 1 V 2 () 1 (15 )(1 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L ()) ( 2 65 1) 3i L() 1 Da V 1 () iricavalacorrentei L () nell induttanza carica:. (57) I L() V 1() L 51 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L (). (58) ( 2 65 1) Aggiungendo le condizioni iniziali, i ottiene infine: I L () I L ()i L() 5 1 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L () ( 2 65 1) i L(). (59) Da V 2 () i ricava direttamente la tenione ul condenatore carico: V C () V 2 () V C() 3i L() 1 (6) Notiamo che la tenione V C () ègià compreniva della tenione iniziale ul condenatore. Notiamo inoltre che non è conveniente procedere alla omma dei termini in I L () ev C () per ottenere un unica frazione, dal momento che dovremo poi procedere alla compoizione delle funzioni tee per l operazione di antitraformazione. 14
Ora poiamo antitraformare le due funzioni complee I L () ev C () per ottenere le relative funzioni nel dominio del tempo i L (t) ev C (t). Innanzi tutto, dobbiamo trovare i poli del denominatore di I L () ev C (). Si ha che: 2 65 1 1 4 2 25, (61) da cui, componendo I L () ev C () nella omma di frazioni parziali, i ottiene: I L () A B 25 C i L() }{{ 4 } I L () V C () A B 25 C 3i. (62) L() 1 }{{ 4 } V C () Applicando il metodo dei reidui, poiamo calcolare le cotanti A, B, C, A,B e C nel modo eguente: A lim I L() lim 51 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L () 2 65 1.5(1 2i L ()) B lim 25 ( 25)I L() lim 25 51 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L () ( 4) 1.333 (1 2i L () 25 [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L ()) C lim 4 ( 4)I L() lim 4 51 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L () ( 25).833 (1 2i L () 4 [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L ()) (63) 15
A lim V C() lim 1(15 )(1 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L ()) 2 65 1 15 (1 2i L ()) B lim 25 ( 25)V C() lim 25 1(15 )(1 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L ()) ( 4) 26.666 (1 2i L () 25 [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L ()) C lim 4 ( 4)V C() lim 4 1(15 )(1 2i L() [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L ()) ( 25) 41.666 (1 2i L () 4 [1 2 1 3 v C () 3 1 2 i L ()) Le ripettive funzioni nel dominio del tempo ono infine: (64) i L (t) (A i L () Be 25t Ce 4t ) u(t) A (65) v C (t) (A 3i L () 1 B e 25t C e 4t ) u(t) V 16