PARTE V RISPOSTE CARATTERISTICHE, RETI DUE PORTE, LINEE

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1 PARTE V RISPOSTE CARATTERISTICHE, RETI DUE PORTE, LINEE. Funzioni di rete: funzioni immettenza e funzioni di traferimento I rapporti tra le traformate di due grandezze elettriche (tenioni e correnti) di un circuito lineare e tazionario prendono in generale il nome di funzioni di rete. Quete i ditinguono in funzioni immettenza e in funzioni di traferimento. Le prime rappreentano rapporti fra traformate di grandezze elettriche che ono entrambe relative a una tea porta di una rete (i tratta perciò di ammettenze o di impedenze d'ingreo, da cui il nome immettenza). Le econde rappreentano invece rapporti fra grandezze elettriche relative a due porte divere. Quete ultime i ditinguono in impedenze e ammettenze di traferimento, e in funzioni prive di dimenioni (rapporti fra le traformate di due tenioni o di due correnti). Tutte quete funzioni, definite come rapporti fra traformate di grandezze elettriche, poono eere interpretate in vari modi. La prima interpretazione è quella di ripota, nel dominio di, a una eccitazione impuliva unitaria, oia di traformata della ripota all impulo. Conideriamo per eempio la funzione di traferimento H(), definita dal rapporto fra le traformate della tenione alla porta e di quella alla porta di una rete: H V V E' evidente che quando v (t) = (t), e quindi V () =, la V () coincide con H(), che quindi rappreenta la traformata della ripota impuliva h(t) della rete.. Ripota in frequenza Una econda, importantiima, interpretazione delle funzioni di rete, e in particolare delle funzioni di traferimento, riguarda la ripota in frequenza, cioè la relazione fra l'ampiezza e la fae del egnale di ripota e le corripondenti grandezze del egnale di eccitazione, quando quet'ultimo ia cotituito da un egnale inuoidale di frequenza fia.

2 Qui ricordiamo una proprietà fondamentale dei itemi lineari e tazionari: e eccitati con un egnale inuoidale, la loro ripota non può che eere inuoidale, della tea frequenza. Tant'è vero che qualiai deviazione della ripota dalla legge inuoidale può eere aunta come una efficace miura della nonlinearità (o della non tazionarietà) del itema. Infatti, per determinare la nonlinearità di un amplificatore i applica di olito al uo ingreo una inuoide e i oerva il contenuto di armoniche preente all'ucita, che rappreenta appunto la coiddetta ditorione dell'amplificatore, più preciamente la ditorione nonlineare. In generale, data una funzione di rete (e in particolare una funzione di traferimento) eprea in funzione della variabile complea = + j, la corripondente ripota in frequenza i ottiene emplicemente ponendo =, oia = j. Queto i dimotra come egue. Conideriamo la funzione di traferimento di un itema all'ingreo del quale è applicato un egnale eponenziale compleo: () v (t) = V exp(jt) con traformata di Laplace () V La ripota arà evidentemente: V j (3) V H V j con antitraformata (4) v (t) = V[U exp(jt) + i U i exp(p i t)] dove la ommatoria è etea a tutti i poli p i della funzione di traferimento (qui uppoti ditinti, per emplicità). Se il itema è tabile, cioè le parti reali di tutti i uoi poli ono negative, allora a tempi ufficientemente lunghi i termini relativi alla ommatoria nella (4) ono tutti detinati a vanire, mentre opravviverà olo il primo termine. Il coefficiente di quet'ultimo, calcolato al olito modo, vale (5) U = [H()] =j = H(j) icchè per t la tenione d'ucita, eprea nel dominio del tempo, aume la forma (6) v (t) = V H(j) exp(jt) = V H(j) exp(j H(j)) exp(jt)

3 Si conclude che l'ampiezza e lo faamento della inuoide d'ucita, ripetto ai corripondenti valori della inuoide d'ingreo alla frequenza angolare, ono determinati dal valore (in generale compleo) della funzione di traferimento calcolata per = j. In particolare, il modulo dell'amplificazione è dato dal modulo della H(j), lo faamento è dato dalla fae della tea funzione. Si potrebbe penare di calcolare la ripota in regime inuoidale permanente di una rete di cui ia nota la funzione di traferimento H() antitraformando il prodotto di tale funzione per la traformata di Laplace di una inuoide o /(²+ o ²). Va notato tuttavia che il egnale coì ottenuto rappreenta la ripota deiderata (cioè la ripota in regime permanente inuoidale) oltanto dopo un certo tempo. Il motivo è che la "inuoide" coì applicata non è un egnale armonico puro, ma il prodotto di un egnale armonico per un gradino unitario a t =, a cui è aociata una ripota tranitoria che i eaurice oltanto dopo un tempo ufficientemente lungo (3-5 volte, in pratica) ripetto alla più lunga delle cotanti di tempo in gioco (determinate dalle parti reali dei poli della funzione di traferimento). Si noti che il fenomeno è del tutto analogo a quanto i verifica nelle miure di ripota in frequenza, l eecuzione di ciacuna delle quali, come è noto, richiede un certo tempo (con particolare riferimento ai itemi rionanti ad altiimo Q e ai itemi lenti, come quelli termici). E del reto al tempo t dopo l applicazione della inuoide il egnale effettivamente applicato al itema non è altro che un pacchetto d onda di durata t, il cui contenuto pettrale non è certamente una riga. 3

4 RISPOSTE CARATTERISTICHE DEI CIRCUITI 3. Le ripote caratteritiche Per quanto i è detto in precedenza la caratterizzazione della ripota di un circuito può eere rappreentata in termini: a) delle funzioni di rete (funzioni di traferimento e funzioni immettenza) epree come funzioni reali della variabile oppure come funzioni complee della variabile, in quet ultimo cao intee come ripote in regime permanente inuoidale; b) delle ripote indici nel dominio del tempo (ripote impulive e ripote indiciali), calcolate riolvendo le equazioni del circuito oppure, più peo, mediante antitraformazione delle corripondenti funzioni di rete: ripota impuliva: h(t) = L - [H()] impedenza impuliva: z(t) = L - [Z()] ammettenza impuliva: y(t) = L - [Y()] ripota indiciale: h u (t) = L - [H()/] impedenza indiciale: z u (t) = L - [Z()/] ammettenza indiciale: y u (t) = L - [Y()/] Notiamo che quete due caratterizzazioni ono formalmente equivalenti, dal momento che è empre poibile paare dall'una all'altra mediante traformazione o antitraformazione. Ma non empre, in pratica, il paaggio dall'una all'altra è immediato, in particolare quando la caratterizzazione del circuito (nel dominio del tempo o in quello della frequenza) è tata eeguita perimentalmente e i dati ono allora diponibili in forma di grafici o tabelle, e non in forma analitica. La forma delle funzioni di rete, che ono empre funzioni reali della variabile, dipende dalla natura dei circuiti. Nel cao dei circuiti a cotanti concentrate ee ono funzioni razionali fratte di, a coefficienti cotanti reali ; nel cao dei circuiti a cotanti ditribuite, come per le linee di tramiione, funzioni tracendenti di. Nel primo cao, del quale ci occupiamo in quanto egue, il numero di ingolarità (poli e zeri) è finito, nel econdo, invece, generalmente infinito (il numero di variabili di tato è infatti infinito I coefficienti ono cotanti dato che i circuiti ono tazionari (e del reto le funzioni di rete ono definite oltanto per circuiti lineari e tazionari). I coefficienti ono reali dato che ono reali i parametri (R, C, L, ecc.) degli elementi che cotituicono i circuiti. 4

5 dal momento che tale è il numero degli elementi in grado di immagazzinare energia). Quete ingolarità poono, in generale, trovari in qualiai poizione del piano compleo, ma già appiamo che la tabilità impone che i poli i trovino ecluivamente nel emipiano di initra. Dalle poizioni dei poli delle funzioni di rete dipende in modo deciivo la forma delle corripondenti ripote indici, come illutrato nella figura per la ripota impuliva: a poli reali corripondono andamenti eponenziali, a coppie di poli complei corripondono andamenti ocillanti, Dal valore della parte reale dei poli dipende poi la convergenza (e negativo), la cotanza nel tempo (e nullo) o la divergenza (e poitivo) degli andamenti anzidetti. Qui notiamo che le funzioni di traferimento relative alle reti paive poono avere oltanto poli con parte reale negativa o nulla. Ma iccome i poli con parte reale nulla derivano dalla preenza di elementi reattivi ideali (enza diipazioni) ne conegue nei circuiti paivi reali i poli hanno empre parte reale negativa. Soltanto nel cao delle reti attive i poono avere poli con parte reale poitiva, e in tal cao ee ono intabili. 4. I circuiti RC Coniderariamo il circuito cotituito dalla dipoizione in erie di un reitore R e di un condenatore C. Eo preenta impedenza (7) Z() = R + /C e ammettenza, avendo poto = RC: 5

6 (8) Y L'ammettenza indiciale, cioè la corrente che corre nel circuito quando eo è eccitato da una tenione a gradino unitario, è (9) C R / C RC R Y yu t L L R Il valore iniziale e il valore finale i ottengono immediatamente applicando i teoremi del valore iniziale e del valore finale: lim () y Y R y Y u ; u lim All'atto dell'applicazione del gradino il condenatore i comporta infatti come un cortocircuito icchè la corrente è /R (per un gradino unitario). Ai tempi lunghi, invece, il condenatore i comporta come un circuito aperto e la corrente pertanto i annulla. L'epreione completa dell'ammettenza indiciale, ottenuta antitraformando la (9), è () Y u t yu t L exp t R L'ammettenza impuliva y(t), cioè la corrente che corre nel circuito quando eo è eccitato da una tenione impuliva unitaria, i può ottenere antitraformando la Y() oppure derivando ripetto al tempo l'ammettenza indiciale: () yt Queto andamento i interpreta come egue. La tenione impuliva d'ingreo provoca il paaggio di una corrente anch'ea impuliva che carica t u t expt R R 6

7 poitivamente il condenatore; ucceivamente l'ingreo i porta a zero e allora il condenatore i carica eponenzialmente a zero attravero il reitore, con una corrente di egno oppoto a quella iniziale. Il circuito CR i ottiene dal circuito precedente diponendolo come motrato nella figura, realizzando coì una rete a due porte. La funzione di traferimento è la eguente () H RY Si noti che per << / (cioè ai tempi lunghi) tale funzione i può approimare con, che rappreenta la funzione di traferimento di un derivatore. Per queto il circuito CR viene anche denominato "quai derivatore". La ripota impuliva e quella indiciale i ottengono moltiplicando per R le corripondenti funzioni y(t) e y u (t) trovate prima: u t (3) ht Ry t t exp t (4) h t Ry t utexp t u u Eaminando la ripota impuliva, i nota che all itante iniziale l'ucita riproduce la funzione impuliva d'ingreo mentre la corrente impuliva carica itantaneamente il condenatore, portando a tenione negativa l'armatura collegata al nodo d'ucita; ucceivamente, di coneguenza, l'ucita aume valore 7

8 negativo tendendo poi eponenzialmente a zero. Eaminando la ripota indiciale i nota che ai tempi lunghi ea tende ad annullari, pertanto approimando bene la derivata temporale del gradino d'ingreo. La ripota in regime inuoidale permanente i ottiene dalla () ponendo = j: (5) H j j j (6) H j ; H j arctan La ripota in ampiezza i annulla in continua, dove il circuito preenta un anticipo di fae di /; mentre ad alta frequenza la ripota in ampiezza è unitaria e lo faamento i annulla. Il circuito i comporta come "paaalto". Scambiando fra loro il reitore e il condenatore i ottiene il circuito RC paabao, già coniderato più volte in precedenza. La funzione di traferimento i ottiene moltiplicando per /C l'ammettenza Y() del bipolo RC C (7) H Y Si noti che per >> / (cioè ai tempi brevi) tale funzione i può approimare con /, che rappreenta la funzione di traferimento di un integratore. Per queto il circuito RC viene anche denominato "quai integratore". La ripota impuliva e quella indiciale i ottengono dalla (7) mediante antitraformazione: (8) ht L H (9) t u t exp H exp hu t L u t t 8

9 Sviluppando in erie per t << gli eponenziali nella (8) e nella (9) i trova che ai tempi brevi la ripota impuliva approima bene l'integrale nel tempo dell'impulo d'ingreo, mentre la ripota indiciale approima bene l'integrale del gradino d'ingreo, come riulta anche dai grafici delle funzioni. La ripota in regime inuoidale permanente i ottiene dalla (7) ponendo = j: () H j j () H j ; H j arctan La ripota in ampiezza aume il valore maimo, unitario, in continua, dove il circuito preenta faamento nullo; mentre ad alta frequenza la ripota in ampiezza i annulla e lo faamento tende a -/. Il circuito i comporta come "paabao". 5. Il circuito RLC erie Il bipolo in figura rappreenta il circuito RLC erie, ottenuto diponendo in erie i tre elementi paivi fondamentali. Eo preenta impedenza Z() = L + R +/C e ammettenza () Y C Z RC LC L LC R L con uno zero all'origine e due poli (3) p, = - R/L ± ½[R /L - 4/LC] ½ Notiamo ubito che i poli dell'ammettenza Y() ono anche i poli delle funzioni dei circuiti che i ottengono diponendo i tre elementi in modo da realizzare una rete a due porte, come negli eempi motrati nella figura a pagina eguente: un filtro paabao, un paabanda e un paaalto. Le funzioni di traferimento dei tre circuiti ono date infatti dal prodotto di Y() per l'impedenza del ramo traverale. Si trova poi che quando il fattore di merito del circuito, coì definito, (4) L o Q L R R C 9

10 è molto maggiore dell'unità, la ripota in frequenza di tutti e tre i circuiti coniderati opra preenta un picco attorno alla frequenza angolare (5) o = /(LC) con larghezza di banda o /Q (f o /Q, eprimendo la banda in hertz). Ei i comportano cioè (per Q >> ) come paabanda attorno a o, pur preentando, per che tende a zero e all'infinito, le loro divere proprietà caratteritiche (ripettivamente, paabao, paabanda e paaalto). Fiiamo ora l'attenzione ul denominatore della funzione Y() data dalla (), che cotituice un funzione del econdo ordine in. Queto, oltre che nella forma fattorizzata ( - p )( p ) (A) viene epreo di olito nell'una o nell'altra delle due forme tandard (6) + o /Q + o ² (B) (7) + o + o ² (C) dove i è introdotto il fattore di morzamento (8) = /Q I poli della Y(), dati dalla (3), i eprimono come egue in termini dei parametri o, Q e : (9) o p, 4Q Q o o e ono dunque reali ditinti per R > 4L/C Q <,5 > reali coincidenti per R = 4L/C Q =,5 = complei coniugati per R < 4L/C Q >,5 < Quando i poli ono complei, i può eprimerli come egue in termini della loro parte reale e di quella immaginaria :

11 (3) p, = ± j Sviluppando il prodotto ( - p )( - p ), i ottiene una terza forma tandard: (3) + + (D) Uguagliandola alle precedenti, i ottengono le eguenti relazioni fra i parametri: (3a) o = + (3) = - o /Q = - o (33) = o ( - /4Q²) / = o ( - ²) / Se il circuito RLC è cotituito da elementi paivi reali, eo è icuramente tabile: ne conegue che deve eere <, e quindi anche Q >, >. E' intereante eaminare come i poli i potano nel piano compleo al variare del fattore di merito Q, aumendo o cotante. Il grafico nella figura, tracciato utilizzando le relazioni (3) e (33), motra che i poli, uppoti inizialmente reali e ditinti con Q <,5, al crecere di Q i potano ull'ae reale, avvicinandoi fino a coincidere per Q =,5. Succeivamente ei invece i allontanano fra loro, muovendoi ulla circonferenza di raggio o, fino a raggiungere, quando Q aume valore infinito, l'ae immaginario. Il prolungamento delle traiettorie nel emipiano di detra, che rappreenta il cao di una rete attiva empre più fortemente intabile, corriponde a valori negativi di Q, di valore crecente (decrecente in modulo) a partire da -: all'attraveramento dell'ae immaginario corriponde infatti a una dicontinuità di Q da + a -).

12 6. Il circuito RLC parallelo Il bipolo in figura, ottenuto diponendo in parallelo i tre elementi paivi fondamentali, rappreenta il circuito RLC parallelo, che cotituice il circuito duale di quello eaminato prima. Eo preenta ammettenza Y() = C + /R + /L e impedenza Z() = /Y() con uno zero all'origine e due poli. Eprimiamo l'impedenza nella forma tandard più uuale: L L R LC C LC RC C o Q o (34) Z dove la frequenza angolare caratteritica è data ancora dalla (5), mentre il fattore di merito, a differenza di prima (ma coerentemente con la definizione (9) a pag. 7 della parte I), è dato dall'epreione R (35) Q orc L o Si noti che in queto circuito (empre quando Q >,5) è l'impedenza, e non l'ammettenza, che preenta rionanza, anche qui con larghezza di banda o /Q. In pratica, nei circuiti reali, il valore della reitenza R non è una cotante, ma dipende dalla frequenza. Tale reitenza, infatti, non rappreenta oltanto quella del reitore in parallelo, che peo è addirittura aente, ma anche le diipazioni aociate agli elementi L e C, che in genere dipendono dalla frequenza. Speo poi la reitenza parallelo R dipende opratutto dalle perdite dell induttore, che i rappreentano, come appiamo, con una reitenza equivalente erie R L a cui corriponde il fattore di merito Q L =L/R L. Uguagliando a Q L il fattore di merito epreo dalla (35), i ricava la eguente relazione fra R ed R L (35a) R = Q R L Eempio. Eaminiamo l'effetto delle diipazioni aociate ai tre elementi ul fattore di merito compleivo di un circuito RLC parallelo reale. Rappreentiamo le diipazioni degli elementi reattivi con reitenze dipote in erie a ciacuno di ei: R L e R C. Nella approimazione di alto Q, chiamando V l'ampiezza della tenione ocillante ai capi del circuito alla frequenza di rionanza, le correnti che corrono attravero i tre

13 elementi hanno intenità (valori di picco): I R = V/R, I L = V/ o L, I C = V o C = V/ o L. La potenza diipata nel circuito è dunque: I R I R I R V V R V R P P P P R L C R L L C C L C R o L o L Attribuendo tutte le diipazioni a un'unica reitenza equivalente R eq dipota in parallelo a elementi reattivi ideali, dalla precedente epreione i ricava: R RC R R L L L eq o o Utilizzando la precedente, il fattore di merito compleivo Q = R eq / o L può eere epreo nella forma eguente, nella quale i individuano i contributi dei fattori di merito aociati ai tre elementi reali ol ol RL RC Q R R L L Q Q Q eq o o R L C Queto riultato, aai importante, può eere generalizzato a) a un rionatore di qualiai natura fiica, b) al cao di accoppiamenti parziali di elementi diipativi a un rionatore principale, in tal cao peando nell epreione precedente i fattori di merito di tali elementi con dei fattori di accoppiamento energetico di valore opportuno (inferiori all unità). Per eempio, nel cao di un critallo di quarzo (pag. 4, parte III), chiamando Q M il fattore di merito della parte meccanica e Q E quello della parte elettrica (che rappreenta le diipazioni aociate alla capacità C ), i ha /Q = /Q M + /Q E, dove il fattore d accoppiamento è =C /(C +C ). Tale epreione vale anche nel cao di un antenna gravitazionale rionante, rappreentando la dipendenza del Q totale del modo meccanico dalle diipazioni elettriche. Ricaviamo in quanto egue una epreione approimata per l'impedenza del circuito RLC parallelo nell'intorno della frequenza angolare di rionanza o. Nella (34), eprea in funzione di j, otituiamo con o +. Sviluppando i calcoli nella approimazione << o i ottiene: (36) Z j oql R jq j o con = Q/ o. Queta epreione approimata riulta aai utile grazie alla ua emplicità. Uiamola, per eempio, per calcolare la ripota normalizzata in regime inuoidale di un circuito RLC con Q = 5, che riuona a MHz. In queto cao la larghezza di banda totale è MHz/5 = khz, la emilarghezza khz (data da /). Di coneguenza alla frequenza di khz (e di 99 khz) la ripota i riduce di -3 db, a khz (e a 9 khz) i riduce di - db. Queito. Perché calcolando come opra la ripota del circuito a MHz otteniamo un riultato inenato? 3

14 RETI DUE PORTE Ci occupiamo qui delle reti a due porte (vedi Parte II) lineari e tazionarie, intee come catole nere, cioè precindendo dalla loro cotituzione interna, coniderando pertanto come acceibili oltanto le grandezze elettriche relative alle porte, attravero cui quete reti poono interagire con altri circuiti. L'obiettivo è quello di rappreentarle mediante equazioni e circuiti equivalenti, ricavare epreioni per le loro funzioni di rete, individuarne certe proprietà intereanti ed eaminare alcuni cai particolari. In quanto egue tracureremo quai empre, per emplicità, di indicare eplicitamente la dipendenza dalla variabile complea (o dalla frequenza angolare complea j) delle grandezze elettriche, delle funzioni di rete e dei parametri caratteritici delle reti. In altre parole, invece di crivere, per eempio, Z(j) o Z() criveremo emplicemente Z. 7. Rappreentazione delle reti due porte Nella caratterizzazione delle reti a due porte i individuano quattro grandezze elettriche, cioè quattro variabili: le due tenioni e le due correnti relative alle due porte. Perchè quete grandezze variabili iano tutte determinate, occorre tabilire due relazioni, evidentemente lineari e a coefficienti cotanti, fra due coppie di ee, eprimendo cioè due grandezze, celte come variabili dipendenti, in termini delle due retanti, celte come variabili indipendenti; e individuando di coneguenza i quattro coefficienti a ciò neceari. Queto i può fare in ei poibili modi diveri 3, a ciacuno dei quali corriponde un divero itema di equazioni e coneguentemente un divero inieme di parametri caratteritici della rete. I I + + V porta RETE porta V - DUE PORTE - Per determinare quattro variabili occorrono quattro equazioni indipendenti fra ee. Alle due equazioni che rappreentano la rete i aggiungono infatti le due equazioni che ne decrivono le condizioni di terminazione, mettendo coì in relazione fra loro la corrente e la tenione a ciacuna delle due porte o tabilendone altrimenti i valori. 3 Oltre alle ei rappreentazioni fondamentali e ne uano anche altre. La più diffua fra quete è quella detta in bae S, (baata ulla matrice di diffuione o di cattering), che tratta le grandezze elettriche in termini di onde. 4

15 Le rappreentazioni più uate in pratica ono le tre eguenti, dove i coniderano come variabili indipendenti, ripettivamente, le correnti di porta, le tenioni di porta, la corrente della porta e la tenione alla porta : (37) V = Z I + Z I ; V = Z I + Z I (38) I = Y V + Y V ; I = Y V + Y V (39) V = H I + H V ; I = H I + H V Nelle (37) i parametri hanno tutti le dimenioni di un impedenza (rappreentazione in bae Z), nelle (38) di un ammettenza (bae Y); nelle (39) (bae H) i parla di parametri ibridi, dato che uno dei parametri è un'impedenza, un altro un'ammettenza e gli altri due ono adimenionali. La celta fra le divere rappreentazioni dipende da varie coniderazioni. Per eempio, e alle porte della rete ono collegati dei bipoli in parallelo, può eere conveniente la rappreentazione in bae Y; e i bipoli ono collegati in erie, la rappreentazione in bae Z. Un altro apetto riguarda il comportamento naturale della rete, che può eere tale che in una rappreentazione occorra tener conto di tutti e quattro i parametri, mentre in un'altra poa batarne un numero minore. Queto è il cao della rappreentazione linearizzata dei tranitori bipolari: qui, in prima approimazione, ma oltanto nella rappreentazione in bae H, può eere ufficiente coniderare olo uno o due parametri (H, che rappreenta il guadagno in corrente, e ubordinatamente l impedenza H ). Per quanto detto la caratterizzazione completa di una rete due porte richiede in generale la conocenza di quattro parametri, più preciamente di quattro funzioni di o di j, dato che in generale i parametri aranno funzioni della frequenza, oppure di quattro operatori integrodifferenziali (eprimendo nel dominio del tempo le relazioni (37), (38), (39)). Notiamo innanzitutto che, alvo particolari cai degeneri, quando i conocono i parametri relativi a una certa rappreentazione è empre poibile calcolare quelli relativi a un'altra, con opportune traformazioni. Ma notiamo anche che non tutte le reti due porte ammettono tutte e ei le rappreentazioni fondamentali. Queto è quanto i verifica, ad eempio, per il traformatore ideale e per i generatori controllati ideali, e in tutti i cai in cui la rete due porte degenera in un bipolo. 5

16 A ogni itema di equazioni corriponde un determinato circuito equivalente, che i ricava immediatamente da ee. Nelle figure a detra ono motrati i tre circuiti equivalenti relativi alle tre rappreentazioni u bae Z, Y e H. Eaminando le equazioni, o i corripondenti chemi equivalenti, è immediato tabilire il ignificato fiico dei parametri. Per eempio Z rappreenta l'impedenza della rete alla porta quando la porta viene laciata aperta: infatti quando I = la prima equazione i riduce a V = Z I e i ha quindi Z = V /I. Ragionando imilmente i trova che Y rappreenta l'ammettenza della rete alla porta quando la porta i trova in cortocircuito (e queto chiarice che Z è coa ben divera da /Y ). Queti tei ragionamenti ono utilizzati anche per tabilire le modalità di miura per determinare perimentalmente i valori dei parametri di una rete due porte. Per eempio, volendo miurare la tranimpedenza Z, che in bae alla econda delle equazioni (37) è definita dal rapporto V /I quando I =, i diporrà un generatore di corrente alla porta e i collegherà un voltmetro alla porta. Notiamo poi che e la funzione della rete è quella di tramettere egnali da una porta all'altra, per eempio dalla alla, è evidente che rivetono particolare importanza i parametri con indice, che determinano appunto come il circuito in cui è inerita la porta influenza quello collegato alla. Notiamo infine che è molto diffua anche una divera notazione per gli indici dei parametri, opratutto per quanto riguarda i modelli linearizzati dei dipoitivi attivi. Coniderando la porta come ingreo e la come ucita, i ua peo l'indice i (input, ingreo) al poto di, l'indice o (output, ucita) al poto di, l'indice f (forward, diretto) al poto di e l'indice r (revere, invero) al poto di. Per eempio, H i indica con H fe. I parametri H, inoltre, i indicano peo con lettere minucole, coniderati come cotanti reali (h fe ) che rappreentano relazioni fra grandezze differenziali. 6

17 Il numero di parametri (generalmente funzioni della frequenza) neceari a caratterizzare una rete due porte è minore di quattro per reti dotate di proprietà particolari. Nelle reti reciproche il numero di parametri eenziali i riduce a tre (u bae Z e Y), dal momento che, evidentemente, i ha Z = Z (e Y = Y ). Il numero dei parametri i riduce poi a due nel cao delle reti immetriche, nelle quali le due porte ono inditinguibili fra loro: i ha allora Z = Z, oltre che Z = Z. Il cao delle reti reciproche è piuttoto importante, dal momento che tali ono tutte le reti paive, eclue quelle contenenti giratori, cioè le reti cotituite dagli elementi paivi uuali: reitori, condenatori, induttori e traformatori (e induttori accoppiati). Ne conegue che quete reti i poono rappreentare con chemi equivalenti più emplici, in cui intervengono oltanto tre elementi, come è motrato negli eempi della figura qui otto che illutrano i due modelli detti a T e a (che ono fra loro duali)chiamati ripettivamente tella e triangolo dagli elettrotecnici. I parametri Z i eprimono aai emplicemente in termini dei parametri del modello a T, nel modo eguente: (4) Z = Z T + Z T ; Z = Z = Z T ; Z = Z T + Z 3 T Analogamente, i parametri Y i eprimono coì in termini dei parametri del modello a : (4) Y = Y + Y ; Y = Y = -Y ; Y = Y + Y 3 Gli chemi qui opra illutrano invece, anzichè modelli, alcune particolari trutture circuitali interne uate nella realizzazione delle reti a due porte. 7

18 Eercizio. Ricavare le epreioni necearie per eeguire la traformazione dei parametri del modello a T in quello a. Calcolare quindi i valori dei parametri del modello a di una rete che nel modello a T preenta i eguenti valori dei parametri: R T =, R T =, R 3 T =. 8. Amplificazioni, impedenze e impedenze caratteritiche Conideriamo una rete due porte generica, per calcolarne le amplificazioni fra le porte e le impedenze offerte alle porte utilizzando la rappreentazione a parametri Z. A una porta () colleghiamo un generatore di tenione ideale e all'altra () un carico Z L, che è decritto dall'equazione V = -Z L I. In quete condizioni la tenione V riulta nota e le altre tre grandezze (V, I, I ) i poono calcolare dal momento che diponiamo di tre equazioni. ha: Sotituendo nella econda delle (37) l'epreione di V ottenuta dall'equazione del carico i (4) - Z L I = Z I + Z I da cui i ricava immediatamente il rapporto fra le correnti alle due porte, cioè l'amplificazione di corrente A i : I Z (43) Ai I Z Z L Notiamo ubito che il "motore" del funzionamento della rete è cotituito dalla tranimpedenza diretta Z. Notiamo poi che il egno meno deriva dalla definizione del guadagno di corrente come rapporto fra le due correnti di porta (entranti per convenzione); il egno arebbe infatti poitivo e definiimo il guadagno come rapporto fra la corrente nel carico (I L = -I ) e quella della porta. Ricavando I dalla (43) e otituendo nella prima delle equazioni (37) i ha: V = Z I - (Z Z /(Z +Z L )) I da cui i ricava la eguente epreione per l'impedenza d'ingreo alla porta : Z V Z Z Z (44) in I Z ZL 8

19 E' intereante eaminare la dipendenza di Z in dal carico Z L. I due cai limite i hanno per Z L =, quando Z in = Z - Z Z /Z, e per Z L =, quando, come già appiamo, Z in = Z. Una ituazione aai particolare i verifica quando l'impedenza di carico è tale che l'impedenza d'ingreo viene ad eguagliarla. Queta particolare impedenza prende il nome di impedenza caratteritica e i indica di olito con il imbolo Z o. Si noti peraltro che per una rete due porte i definicono in generale due impedenze caratteritiche, corripondenti alle due porte. Quete ono: Z o, che è l'impedenza di carico Z L alla porta per cui alla porta i ha Z in = Z L = Z o, e Z o, che è il valore dell'impedenza di carico Z (che generalmente ha il ruolo di impedenza di orgente) collegata alla porta per cui l'impedenza offerta dalla porta verifica l'uguaglianza Z in = Z = Z o. L'impedenza caratteritica Z o i calcola otituendo nella (44) ia Z L che Z in con Z o e riolvendo l'equazione quadratica Z o + Z o (Z - Z ) = Z Z - Z Z Da queta i ottiene (45) Z o Z Z Z Z 4Z Z che per le reti immetriche (Z =Z, Z =Z ) i riduce a (46) Z Z Z o (e in queto cao, evidentemente, i ha Z o = Z o ). Entrambe le oluzioni della (45), in generale, preentano ignificato fiico. Quando l'impedenza di carico è uguale all'impedenza caratteritica Z o i dice che la rete è adattata in ucita; quando l'impedenza di orgente è uguale all'impedenza caratteritica Z o i dice che la rete è adattata in ingreo; i dice poi che la rete è adattata quando entrambe le condizioni ono verificate. Eercizio. Coniderate la rete reitiva immetrica che nel modello a T ( pag. 7) ha i eguenti valori dei parametri: R T =, R T = 4. Calcolate i valori dell'impedenza caratteritica, dicutendo i riultati ottenuti. 9

20 L'amplificazione di tenione di una rete due porte (cioè la funzione di traferimento per la tenione dalla porta alla porta ) i ricava uando l'equazione del carico per eprimere la tenione V e crivendo la tenione V come prodotto di I per l'impedenza d'ingreo (utilizzando le epreioni (43) e (44) per il guadagno di corrente e l'impedenza d'ingreo): V Z I Z Z Z L L L (47) Av Ai V Zin I Zin ZZ ZZ L ZZ Anche qui è intereante eaminare l'andamento in funzione di Z L. Quando Z L = i ha evidentemente A v =, mentre quando Z L = i ha A v = Z /Z, che rappreenta il guadagno maimo ottenibile dalla rete (con la porta aperta). Se poi la rete è adattata in ucita, cioè i ha Z L =Z o e quindi Z in = Z o = Z L, i trova che (48) A v = -A i cioè l'amplificazione di tenione è uguale all'amplificazione di corrente cambiata di egno. Si ua peo anche un'altra definizione dell'amplificazione di tenione, alternativa alla (47), cioè l'amplificazione A v fra la orgente e l'ucita (A v = V /V ). Queta amplificazione i calcola aai emplicemente otituendo nella (47) V al poto di V. Dato che (49) V = Z S I + V = (Z + Z in )I i ricava (5) A v V ZL I ZL ZZL A V Z Z I Z Z Z Z Z Z Z Z i in in L Allo teo riultato i arriva direttamente otituendo Z con Z + Z nell'epreione finale della (47). Infatti, otituendo la rete originale con una che inglobi l elemento Z, i parametri Z retano immutati ad eccezione di Z, a cui i omma Z. E e la (47) foe tata eprea in termini di parametri Y? 9. Reti in cacata Alcuni itemi elettronici ono realizzati collegando in cacata, fra una orgente e un carico, un certo numero di reti due porte (amplificatori, attenuatori, linee di tramiione, ecc.), che

21 vengono coì a cotituire un'unica rete due porte. I parametri di queta rete, per eempio l'amplificazione e l'impedenza d'ingreo, non i ottengono di olito in modo emplice in funzione dei parametri delle ingole reti. In particolare, e l'amplificazione di tenione compleiva è certamente pari al prodotto delle amplificazioni locali, ciacuna di quete dipende però dall'impedenza di carico, che è cotituita dall'impedenza d'ingreo della rete che egue, la quale può dipendere a ua volta dal carico finale della rete compleiva. Queta ituazione i emplifica grandemente quando tutte le reti che cotituicono il itema preentano alta impedenza d'ingreo e baa impedenza d'ucita, con valori tali che l'amplificazione compleiva ia emplicemente il prodotto delle amplificazioni a vuoto delle reti cotituenti, condizione peraltro difficilmente verificata in preenza di reti di tipo paivo (attenuatori, linee di tramiione, ecc.). Ma anche quando tutte le reti cotituenti preentano la tea impedenza caratteritica. In quet ultimo cao l'inieme delle reti in cacata i preenta come un'unica rete due porte con impedenza caratteritica data da quella delle reti cotituenti e con amplificazione di tenione (in condizioni di adattamento) pari al prodotto delle amplificazioni (empre in condizioni di adattamento) delle ingole reti cotituenti. Queto criterio trova numeroe applicazioni pratiche, come nei itemi a 6 uati in telefonia, nei itemi a 75 uati a radiofrequenza (antenna TV, preamplificatore, cavo di dicea) e in quelli a 5 uati nella trumentazione fiica per l'elaborazione di egnali veloci. CONDIZIONI DI NON DISTORSIONE E SFASAMENTI. Condizioni di non ditorione Per ditorione i intendono in generale le modifiche che ubice la forma dei egnali quando attraverano un itema. Quete poono eere dovute all effetto di nonlinearità 4 (provocando, per eempio, l inorgere di armoniche di un egnale inuoidale) oppure, come vogliamo coniderare qui, a effetti puramente lineari, provocati dalla dipendenza dalla frequenza della ripota del itema. 4 Vedi parte VII, pag. 3.

22 Occupandoci della ditorione lineare, diciamo allora che un itema con funzione di traferimento H() fornice una ripota fedele, cioè inditorta, e per qualiai egnale d ingreo x(t) l ucita y(t) ha la tea forma dell ingreo, ammettendo naturalmente un fattore di cala per le ampiezze (amplificazione o attenuazione) e anche una poibile tralazione nel tempo (evidentemente in ritardo). Ciò detto, i conclude che le condizioni di non ditorione poone eere coì formulate: (5) (a) H(j) = H o (b) /H(j con i parametri H o e T reali e cotanti. In tal cao i ha infatti: y(t) = H o x(t-t). La funzione di traferimento deve dunque avere la forma: (5) H(j) = H o exp(-jt). Le condizioni precedenti riultano verificate olo nei eguenti due cai: a) itemi tatici (con H(j) = H o e T=), b) elementi di ritardo puro (con H(j) = H o e T>). E riultano verificate oltanto per itemi ideali, dato che appiamo che ad alta frequenza qualiai oggetto reale introduce attenuazione e faamento. Le condizioni di non ditorione, in particolare, non ono mai verificate eattamente per i itemi dinamici a cotanti concentrate. Ee poono eere tuttavia verificate approimativamente in determinati intervalli di frequenza. Prendiamo, ad eempio, la funzione H(j = /( + j). Si oerva immediatamente che per << / i ha: H, /H(j) = - arctang() -.. Relazioni fra ampiezza e fae Senza in alcun modo approfondire l argomento, diciamo qui che per una etea clae di funzioni di traferimento vi ono delle relazioni fra l andamento del modulo in funzione della frequenza e quello della fae. Per eempio, negli intervalli di frequenza dove il modulo è cotante la fae è nulla; dove il modulo ha una data pendenza, la fae aume un valore cotante (cioè a una pendenza di db/dec nel diagramma di Bode corriponde una fae di /, ecc.). Ciò i verifica in particolare per le funzioni di traferimento razionali fratte in prive di zeri con parte reale poitiva 5 Tali funzioni i chiamano a minimo faamento, perchè ono quelle che, a 5 Attenzione: nulla a che vedere con la tabilità, che riguarda invece la preenza di poli con parte reale poitiva.

23 ogni frequenza, preentano il minimo faamento fra tutte le funzioni di traferimento che hanno lo teo andamento del modulo in funzione della frequenza. Due eempi di funzioni a faamento non minimo ono i eguenti: a) H(j = ( - j z )/( + j p ), con z > e p >, che è una funzione razionale fratta che poiede uno zero con parte reale poitiva, Tale funzione è chiamata paatutto. Perchè? b) H(j) = H o exp(-jt), che è una funzione tracendente di j.. Il problema della fae La fae di un numero compleo è definita uualmente nell intervallo -,. Ma molte funzioni di traferimento preentano faamenti che eccedono tale intervallo. Queto avviene, per eempio, per le funzioni exp(-jt) e /( + j) 3, la cui fae, al crecere della frequenza, raggiunto -non ridiventa certamente poitiva, ma continua a crecere in valore aoluto, tendendo a - per la prima, a 3/ per la econda. L impiego della funzione arcotangente per determinare la fae di un numero compleo z = x + jy, inoltre, aggrava il problema, dato che l arcotangente funziona oltanto nell intervallo -, (aegnando coì, per eempio, la tea fae ai numeri +j e -j). All intervallo -, i ritorna utilizzando funzioni a due argomenti che ono diponibili in vari linguaggi di programmazione. Nel Fortran e nel C, per eempio, oltre alla funzione arcotangente tandard (ATAN(y/x), che ha un olo argomento), c è la funzione ATAN(y,x), che ha due argomenti e fornice quindi la fae giuta nell intervallo -,. Reta il problema, utilizzando il calcolatore, di determinare correttamente la fae in funzione della frequenza per una generica funzione di traferimento. Per quanto detto, evidentemente, ciò non i può ottenere quando la funzione è eprea nella forma di rapporto di polinomiali in j con grado maggiore di. In tali cai occorre fattorizzare la funzione, eprimendola cioè come prodotto di più funzioni, ciacuna cotituita da polinomiali di grado minore o uguale a. Calcolando eparatamente la fae per ciacuna funzione e poi ommando. Lo teo problema orge nell impiego dell analizzatore di pettro per viualizzare la caratteritica di fae della funzione di traferimento di un circuito o di un itema. Puo dari, infatti, che la fae ecceda l intervallo -, e quindi, per eempio, uperata la frequenza a cui vale -, ea preenti una apparente dicontinuità aumendo il valore. Sicchè tali grafici vanno interpretati con la dovuta attenzione. 3

24 LINEE DI TRASMISSIONE 3. Introduzione alle linee di tramiione Uciamo temporaneamente dal mondo dei circuiti a cotanti concentrate per entrare in quello dei circuiti a cotanti ditribuite. Per occuparci delle linee di tramiione, modellizzate come trutture unidimenionali uate per rappreentare ia linee vere e proprie, bifilari o coaiali, ia una varietà di altre truttura, come le pite conduttrici realizzate u circuiti tampati o all interno di circuiti integrati. Reitenza, induttanza, capacità e conduttanza ono ora grandezze ditribuite, definite per unità di lunghezza. Un trattino elementare di linea i rappreenta come nello chema in figura, dove gli operatori per unità di lunghezza e le loro traformate ono: (53) z t R L y t G C t t ; (54) Z R L (55) Y G C Le grandezze R, L, G e C, che rendono conto delle caratteritiche elettriche della linea (reitenza e induttanza dei conduttori, capacità e conduttanza fra ei), ono chiamate cotanti primarie. Ee ono definite per unità di lunghezza e in quanto egue ono coniderate cotanti lungo la linea. Le grandezze elettriche delle linee, tenioni e correnti, ono funzioni, oltre che del tempo, anche dello pazio, cioè dell acia definita lungo la linea. Coniderando un trattino elementare di linea di lunghezza dx, come nella figura a fianco. i può crivere: 4

25 va t vb t z t i x tdx vb' t va' t z t i x, tdx, ; Da quete, avendo poto v(x,t) = v A (t) v A (t) e v(x+dx,t) = v B (t) v B (t), i ha v x, t v x dx, t z t i x, t e derivando ripetto a x i ricava infine: (56),,, v x t v x dx t v x t x dx Procedendo analogamente i ricava (57) i x, t x y tv x, t z ti x, t Derivando ancora ripetto a x la (56) e utilizzando la (57) i ottiene infine (58) v x, t i x, t z t z t y t v x t x x, che i può porre nella forma,,, v x t v x t v x t RG v( x, t) ( LG RC) LC x t t Analogamente i ottiene per la corrente (59) i x, t x, z t y t i x t La (58) e la (59) ono tate introdotte da Lord Kelvin e prendono il nome di equazioni dei telegrafiti 6. Traformandole econdo Laplace e ignorando le condizioni iniziali i ha (6) (6) V x, x x I x,, Z Y V x, Z Y I x La oluzione della (6) ha la forma generale ( ) x ( ) x V x, Ae Be (6) 6 In ricordo del ucceo di Lord Kelvin nella realizzazione del primo cavi telegrafico ottomarino attravero l Atlantico. 5

26 dove i due termini i interpretano come onde che viaggiano in eni oppoti, le grandezze A e B dipendono dalla condizioni al contorno, cioè da come la linea è terminata ai uoi etremi e la grandezza (63) Z Y() anch ea definita per unità di lunghezza, prende il nome di cotante di propagazione. Ea può eere coì eprea nel dominio della frequenza in termini della ue parti reale e immaginaria (64) j j Introducendo nella (63) le definizioni di Z() e Y() i ha: R G R L G C L C (65) avendo poto (66) LC con il ignificato di ritardo per unità di lunghezza. Una ituazione aai importante i verifica quando le cotanti primarie della linea oddifano la coiddetta condizione di Heaviide (che in particolare è empre verificata in aenza di perdite, cioè per R =, G = )) (67) R G L C In tal cao nella (65) il termine otto radice i riduce a un quadrato perfetto e allora la cotante di propagazione aume la gradevole forma (68) R R LC L L E allora nel dominio della frequenza i ha (68a) C j j R j LC L dove la parte reale α non dipende dalla frequenza e la parte immaginaria β = -ωτ è direttamente proporzionale alla frequenza, con il ignificato, ripettivamente, di attenuazione e di faamento per unità di lunghezza. Queito. Il rapporto β/α può eere aunto come fattore di merito di una linea. Come i giutifica ciò? 6

27 Quando la condizione di Heaviide (67) è verificata, la forma del egnale i mantiene nella ua propagazione lungo la linea, cioè ono ripettate le condizioni di non ditorione ( pp. -), come i dimotra otituendo la (68) nella (6). Coniderando in particolare l onda diretta i ha ( ) x x x infatti: Ae Ae e. Percorrendo uno pazio unitario lungo la linea, l onda ubice il ritardo e quindi la ua velocità di propagazione è vp. Coniderando un tratto di linea come una rete a due porte, la ua impedenza caratteritica è (69) Z Z R L Y G C Queta, quando è verificata la condizione di Heaviide (67), aume un valore reale indipendente dalla frequenza chiamato reitenza caratteritica: (7) R L C e in tal cao i ha RR. Si noti che l impedenza (o la reitenza) caratteritica, a differenza di altre grandezze relative alle linee, è una grandezza concentrata, che i eprime quindi in unità di ohm e non di ohm/metro. Una epreione approimata della (69), ottenuta viluppandola in /, è la eguente (7) R L R G Z R R R G C L C Ceq cotanti primarie (per unità di lunghezza) R, L, C, G cotanti econdarie cotante di propagazione (per unità di lunghezza) Z Y() con attenuazione (per unità di lunghezza) faamento (per unità di lunghezza) da cui (per unità di lunghezza) Z() = R + L Y() = G + C e valgono le condizioni di Heaviide j j j R L C R R LC e ritardo (per unità di lunghezza) impedenza caratteritica LC Z Z Y ( ) R C R eq L C 7

28 4. Qualche coniderazione ulle cotanti delle linee di tramiione Per una linea bifilare cotituita da due conduttori paralleli di diametro d poti a ditanza r >> d i ha: r ln r r c r C L vp R ln r d c d ln r r d Per una linea coaiale, con diametro interno d e diametro eterno d i ha: d c d C L ln v R ln r r p d d c d r r ln d Nelle epreioni precedenti ε e μ indicano la cotante dielettrica e la permeabilità magnetica del mezzo iolante (vuoto, aria, ), c indica la velocità della luce nel vuoto, e la reitenza caratteritica è calcolata in aenza di perdite (o per perdite tracurabili). In pratica i ha empre μ r e nell aria ε r, icché nelle linee bifilari la velocità di propagazione è v p c. La cotante dielettrica relativa dei materiali iolanti uati nei cavi coaiali è tipicamente di poche unità icché la velocità di propagazione è poco inferiore a quella della luce, con ritardo per unità di lunghezza c 3,3 n / m. r r La reitenza caratteritica dipende eenzialmente dal rapporto, l impedenza caratteritica del mezzo, che nel vuoto, e praticamente anche nell aria, vale 376,7, mentre dipende olo debolmente dai parametri geometrici. I parametri di un tipico cavo coaiale (RG58 C/U) ono i eguenti: C = pf/m, L = 5 nh/m, R DC = 5 m/m. E quindi i ha: R = 5, = 5 n/m, α DC = -3. Per un cavo di m di lunghezza l attenuazione è circa 5 db a MHz, 8 db a MHz, 6 db a GHz. Eercizio. Calcolare la reitenza caratteritica di un cavo coaiale con diametro interno 3,6 mm, diametro eterno mm e dielettrico con cotante dielettrica relativa,3. Eercizio. Calcolare, in unità di decibel, l attenuazione di metri di un cavo RG58 C/U a baa frequenza. Individuate, e giutificate, una legge approimata per la dipendenza dalla frequenza del parametro R. 8

29 Eempio. Una antica linea bifilare, uata in telefonia, è cotituita da due conduttori in bronzo foforoo con raggio di 3 mm poti a ditanza di 5 cm. Le cotanti primarie reattive i ottengono dalle formule date opra: C = 3,4 8,85 - /ln(5/3) = 5,43 nf/km, L =,5 mh/km. I valori delle cotanti primarie diipative, miurati alle frequenze telefoniche, ono: R = 5,4 Ω/km, G μs/km (con forte dipendenza dall umidità). Le condizioni di Heaviide non ono verificate dato che R/L =,64 3 è alquanto maggiore di G/C = 84. Il valore approimato della reitenza caratteritica è 6 R,5 5, Le cotanti delle linee, in generale, non ono cotanti. Le cotanti primarie preentano infatti dipendenza dalla frequenza, oprattutto alle frequenze più elevate, per vari effetti elettromagnetici; nel cao di R, in particolare, interviene l effetto pelle. E qui notiamo che nelle linee bifilari, come nell Eempio precedente, le condizioni di non ditorione non ono generalmente verificate Linea di tramiione di lunghezza infinita e cai particolari Conideriamo una linea di tramiione uniforme, cioè con cotanti primarie indipendenti dall acia x, in condizioni di ripoo, cioè con condizioni iniziali nulle. Valgono in tal cao le equazioni (6) e (6) che qui ripetiamo per comodità: (6) V x, x, Z Y V x (6) x I x,, Z Y I x Si tratta di equazioni differenziali a coefficienti cotanti in x. Soluzione della (6) è la eguente (7) x I x, C e C e dove C () e C () dipendono dalle terminazioni della linea ai uoi etremi. Traformando la (56), i ha V x, x otituendo nella quale la (7) e integrando i ha: Z x Z V x, C e Ce La precedente, eendo Z Z x Z I x, x, i può crivere nella forma:, da cui,, V x Z I x dx 7 Per ottenerle, in alternativa ad aumentare la ezione dei conduttori (una celta cotoa) per ridurre R, in paato i è utilizzata a lungo una tecnica (pupinizzazione) propota dall ingegnere erbo M. Pupin: diporre degli induttori in erie alla linea ad intervalli regolari, in modo da accrecerne l induttanza equivalente per unità di lunghezza. 9

30 (73) x x V x, Z C e C e Quando la linea viene eccitata all acia x = da un generatore di tenione F() con impedenza interna Z (), poiamo coniderarla come una rete a due porte, con la porta all acia x = e la porta all infinito, con le eguenti condizioni di terminazione 8 : (74) V V F Z I, alla porta (75) V V I I,, alla porta La (75) i giutifica ammettendo che il generatore fornica alla linea energia finita e che la linea, di lunghezza infinita, preenti diipazioni non nulle, come è inevitabile, anche e eventualmente piccoliime. Dalla (75) conegue che aente. Pertanto lungo la linea i ha: (76) V x, Z C e x I x C E quindi per qualiai x i ha: V x, / I x, Z. C e quindi l onda retrograda è, e x La cotante C () è determinata dalla condizione (74). Sotituendovi I C i ricava C V Z C linea ono (77) V x (78) I x F, e Z Z F Z, e Z Z F Z Z L impedenza d ingreo alla porta è evidentemente (79) x x V V x, Z Z I I x, e e quindi la tenione e la corrente lungo la 8 Nella trattazione delle linee di tramiione i attribuice egno poitivo alla corrente ucente dalla porta, a differenza di quanto previto per le reti due porte a cotanti concentrate. 3

31 portando a concludere che la linea infinita i comporta come e foe adattata in ucita. Se poi Z () = Z () la linea è adattata in ingreo e in tal cao i ha (8) V F Un cao particolare molto importante è cotituito dalle linee non diperive, per cui è verificata la condizione di Heaviide (R/L = G/C). In tal cao, come appiamo, l impedenza caratteritica è reale, data dalla (7), e la cotante di propagazione è data dalla (69) che ricriviamo nella forma (8) Sotituendo nelle (77) e (78), e coniderando per emplicità il cao Z () =, i ha x x (8) V x, F e e I x Paando nel dominio del tempo, i ha (83) vx, t f t xexp x i x t f t x, exp R x F, e e Z x x Cioè l onda i propaga attenuandoi, ma preervando la ua forma, enza ditorione, come motrato nella figura. Un altro cao particolare riguarda le linee non induttive (L = ), per cui i ha RG C e Z R G C Se una linea iffatta è eccitata da una orgente impuliva con f(t) = δ(t), F() =, e con impedenza di orgente nulla (Z () = ), i trova la eguente oluzione 9 nel dominio di (84) con antitraformata V x, exp R G C x 9 A. Alberigi Quaranta, B. Ripoli Elettronica, Zanichelli, 96, pag

32 (85) x RC 3 G x v x, t t exp t RC u( t) C 4t Queta ripota impuliva, che (idealmente) i manifeta itantaneamente lungo tutta la linea, è fortemente ditorta, come motra la figura che la rappreenta a tre itanti ucceivi. Di maggiore interee è il cao delle linee RC, che poiamo immaginare cotituite da un numero grandiimo, al limite infinito, di cellette RC dipote in cacata. Eendo L = e G =, le cotanti econdarie ono: RC e Z La ripota impuliva a una orgente con impedenza interna nulla i ricava dalla (85) ponendo G =. La ua forma è imile a quella rappreentata nella figura a pagina precedente. L equazione differenziale che governa le linee RC i deduce dalla (58):, v x, t v x t x RC t Queto tipo di linee preenta ampio interee. Per eempio ai fini della modellizzazione dei reitori integrati, per la loro natura RC ditribuita, come pure delle interconneioni fra i diveri elementi di un circuito integrato, che oggi introducono ritardi confrontabili con (o addirittura maggiori di) quelli caratteritici dei dipoitivi tei. E anche perché il problema delle linee RC è formalmente analogo a quello della tramiione del calore per conduzione e della diffuione in una dimenione, per cui i ha ripettivamente:, C T x, t T x t x K t R C x, t x, t x D t dove T è la temperatura aoluta, C il calore pecifico, δ la denità e K la conducibilità termica del conduttore termico; ρ è la concentrazione della pecie che diffonde e D il uo coefficiente di diffuione. 6. Linea di tramiione di lunghezza finita collegata a un carico Conideriamo ora una linea di lunghezza finita l alimentata al uo ingreo (porta ) da un generatore e 3