Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-5 - A Esercizio ( punti Data la funzione f(x, y = x + y + 4xy 8x 4y + 4 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; ii determinare massimo e minimo di f(x, y sul triangolo di vertici ( ( ( P =, Q =, R = Esercizio ( punti Calcolare l area dell insieme Ω = (x, y R : x + y, y 4 x 4 Esercizio ( punti Data la curva (γ, I, con I = [ π, π] e parametrizzazione [ π ] ( γ :, π R, γ(t = + t cos t, t sin t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P = ( π, ; ii calcolare il lavoro lungo la curva (γ, I del campo di vettori F(x, y = ( x y x +y x+y x +y
Svolgimento Esercizio Data la funzione f(x, y = x + y + 4xy 8x 4y + 4 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; La funzione è un polinomio definito su tutto R, dunque è anche di classe C su tutto R Per trovare i punti critici dobbiamo dunque risolvere il sistema f(x, y =, ossia x + 4y 8 = y + 4x 4 = Dalla prima equazione si ricava x = 4 y, e sostituendo nella seconda otteniamo Dunque f ha un solo punto critico, dato da 6y + = y = C = ( Per caratterizzarlo andiamo a calcolare la matrice Hessiana di f Osserviamo che essendo f un polinomio, è una funzione anche di classe C su tutto il dominio, dunque la matrice Hessiana sarà simmetrica In particolare troviamo ( 4 Hf(x, y = Hf(, = 4 Si ha det Hf(, = < Dunque P è un punto di sella ii determinare massimo e minimo di f(x, y sul triangolo di vertici ( ( ( P =, Q =, R = Il triangolo, chiamiamolo Ω, è rappresentato nella figura Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione La funzione f non ha punti di non derivabilità, e il punto critico trovato al punto i non è interno all insieme Ω Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω Gli spigoli sono i punti P = ( Q = ( R = (
5 5 5 5 Figure : L insieme Ω Parametrizziamo ora i tre segmenti del bordo Troviamo ( ( ( t γ (t = ( t + t = ( ( ( γ (t = ( t + t = t ( ( ( t γ (t = ( t + t = t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile, t [, ], t [, ], t [, ] g (t = f(γ (t = 4t 6t + 4, t [, ] g (t = f(γ (t = t 4t + 4, t [, ] g (t = f(γ (t = t 6t +, t [, ] Tutte le funzioni sono sempre derivabili e gli estremi dei loro domini corrispondono agli spigoli Dunque ci rimane di trovare i punti critici delle tre funzioni Per g si trova g (t = 8t 6, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] Per g si trova g (t = t 4, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] Per g si trova g (t = 6t 6, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] I valori che dobbiamo confrontare sono dunque solo quelli degli spigoli, ossia f(p = 4, f(q = 8, f(r = Per cui su Ω, il minimo di f è 8, e il massimo è 4 Esercizio Calcolare l area dell insieme Ω = (x, y R : x + y, y 4 x 4
5-5 - - -5 5 Figure : L insieme Ω L insieme Ω è rappresentato nella figura Il dominio suggerisce di risolvere l esercizio usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψ(ρ, θ = (x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ Dunque ponendo S l insieme tale che ψ(s = Ω, abbiamo Area(Ω = dx dy = Ω e det J ψ (ρ, θ = ρ S ρ dρ dθ Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice Dalla definizione di Ω troviamo S = (ρ, θ [, + [, π] : ρ, ρ sin θ 4 4 ρ cos θ La prima condizione ci dice che ρ [, ], mentre la seconda condizione si riscrive come sin θ sin θ < ρ sin θ 6 (4 ρ cos θ (ρ, θ [, + [, π] L insieme S si ottiene quindi come unione degli insiemi di soluzioni dei due sistemi ρ [, ] ρ [, ] sin θ e sin θ < ρ sin θ 6 (4 ρ cos θ Analizziamo il primo sistema: ρ [, ] sin θ ρ sin θ 6 (4 ρ cos θ 4 (ρ, θ [, + [, π] ρ [, ] θ [, π] ρ 4 +5 sin θ
Disegnando la funzione ρ = 4 per θ [, π], otteniamo la figura con θ sulle ascisse e ρ +5 sin θ sulle ordinate Dunque, dato θ [, π ] soluzione di sin θ = 5, il primo sistema ha come soluzione 5 5 5 5 5 5 Figure : l insieme θ 4 θ θ, ρ θ π θ, ρ + 5 sin θ π θ θ π, ρ Analizziamo il secondo sistema: ρ [, ] sin θ < (ρ, θ [, + [, π] e quindi la sua soluzione è l insieme ρ [, ] θ (π, π (ρ, θ [, + [, π] Possiamo quindi scrivere S come dove Dunque Area(Ω = Ω π < θ < π, ρ S = S S S, S = θ θ, ρ S = θ θ π θ 4, ρ + 5 sin θ dx dy = Per i singoli integrali si trova S = π θ θ π, ρ S S ρ dρ dθ + ρ dρ dθ + ρ dρ dθ S S S θ ( θ 5 dθ = θ
= S π θ π θ θ ( 4 +5 sin θ ρ dρ dθ = π θ θ + 5 sin θ dθ = 4 π cos θ + 6 tan θ dθ = arctan(4 tan θ = π θ arctan(4 tan θ π ( π S π θ π θ dθ = (π + θ Usando la funzione arcsin : [, ] [ π, π ], possiamo scrivere θ = arcsin 5 e tan θ =, e quindi Area(Ω = π + arcsin 5 arctan L integrale si poteva svolgere anche senza il cambiamento in coordinate polari, e riducendo i calcoli con osservazioni sulla simmetria dell insieme Esercizio Data la curva (γ, I, con I = [ π, π] e parametrizzazione [ π ] ( γ :, π R, γ(t = + t cos t, t sin t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P = ( π, ; La parametrizzazione γ(t è di classe C, quindi la retta tangente al sostegno della curva esiste in tutti i punti che corrispondono ai valori del parametro t I per cui γ (t In particolare per P = ( π, troviamo innanzitutto t [ π, π] tale che γ(t = P, quindi risolviamo il sistema + t cos t = π t sin t = Dalla seconda troviamo t π, π, e sostituendo nella prima si ricava che l unica soluzione è t = π La retta tangente al sostegno nel punto P è quindi generata dal vettore velocità ( ( cos t t γ sin t (t = = sin t + t cos t π e un vettore normale al sostegno nel punto P è quindi ( π n = L equazione cartesiana cercata è allora π (x + π y = 6
ii calcolare il lavoro lungo la curva (γ, I del campo di vettori F(x, y = ( x y x +y x+y x +y Studiamo innanzitutto le proprietà del campo F Il suo dominio è R \ (, e rot(f(x, y = F x (x, y F (x, y = y = x + y x(x + y (x + y x y y(x y (x + y = Quindi il campo F è irrotazionale Essendo il suo dominio non semplicemente connesso, dobbiamo calcolare il lavoro per una curva chiusa che vada intorno al punto (, Prima di chiederci se il campo è conservativo, studiamo le proprietà della curva (γ, I La curva, che è un pezzo di spirale traslata, ha come sostegno l insieme in figura 4-4 6 - - - -4-5 Figure 4: Il sostegno di (γ, I Possiamo quindi considerare la restrizione di F a un sottoinsieme Ω R che sia semplicemente connesso, contenga il sostegno della curva ma non il punto (, Un insieme siffatto potrebbe essere Ω = R \ x, y = x Ristretto a questo insieme Ω, il campo risulta conservativo, e possiamo quindi calcolare il lavoro di F lungo (γ, I scegliendo una nuova curva ( γ, Ĩ con gli stessi punti iniziali e finali, e il cui sostegno sia contenuto in Ω Scegliamo γ = γ γ dove γ è la parametrizzazione di una circonferenza che ha come punto iniziale γ ( π e termina sul semi-asse positivo delle ascisse, e γ è la parametrizzazione del segmento sul semi-asse positivo delle ascisse dal punto finale di γ a γ(π Poniamo quindi ( γ : [ t, π] R, γ (t = R cos t, R sin t con R = + π 4 e t = arccos R, e γ : [, ] R, γ (t = ( R + t( + π R, In questo modo abbiamo ( π γ ( t = γ, γ (π = γ ( e γ ( = γ(π 7
Possiamo quindi scrivere L(F, γ = L(F, γ + L(F, γ = π ( R cos t R sin t R cos t + R sin t = R ( R sin t + R (R cos t dt+ t = π t + log ( R + t( + π R = π arccos + log( + π ( 4 + π log (+π R dt = R + t( + π R + π 4 8
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-5 - B - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio ( punti Data la funzione f(x, y = x + y xy 6x + y + 9 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; ii determinare massimo e minimo di f(x, y sul triangolo di vertici ( ( ( P =, Q =, R = Esercizio ( punti Calcolare l area dell insieme Ω = (x, y R : x + y, x y Esercizio ( punti Data la curva (γ, I, con I = [ π, 5 π] e parametrizzazione γ : [π, 5 ] π R, γ(t = ( t cos t, + t sin t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P = (, π ; ii calcolare il lavoro lungo la curva (γ, I del campo di vettori F(x, y = ( x y x +y x+y x +y 9
Svolgimento Esercizio Data la funzione f(x, y = x + y xy 6x + y + 9 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; La funzione è un polinomio definito su tutto R, dunque è anche di classe C su tutto R Per trovare i punti critici dobbiamo dunque risolvere il sistema f(x, y =, ossia x y 6 = y x + = Dalla prima equazione si ricava y = x 6, e sostituendo nella seconda otteniamo Dunque f ha un solo punto critico, dato da x 9 = x = C = ( Per caratterizzarlo andiamo a calcolare la matrice Hessiana di f Osserviamo che essendo f un polinomio, è una funzione anche di classe C su tutto il dominio, dunque la matrice Hessiana sarà simmetrica In particolare troviamo ( Hf(x, y = Hf(, = Si ha det Hf(, = > e traccia Hf(, = 4 > Dunque P è un punto di minimo locale ii determinare massimo e minimo di f(x, y sul triangolo di vertici ( ( ( P =, Q =, R = Il triangolo, chiamiamolo Ω, è rappresentato nella figura 5 Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione La funzione f non ha punti di non derivabilità, e il punto critico trovato al punto i non è interno all insieme Ω Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω Gli spigoli sono i punti P = ( Q = ( R = (
-5 - -5-5 5 Figure 5: L insieme Ω Parametrizziamo ora i tre segmenti del bordo Troviamo ( ( ( t γ (t = ( t + t = ( γ (t = ( t ( γ (t = ( t ( + t + t ( ( = t ( t = t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile, t [, ], t [, ] g (t = f(γ (t = 4t t + 9, t [, ] g (t = f(γ (t = t t + 9, t [, ] g (t = f(γ (t = t 9t + 7, t [, ], t [, ] Tutte le funzioni sono sempre derivabili e gli estremi dei loro domini corrispondono agli spigoli Dunque ci rimane di trovare i punti critici delle tre funzioni Per g si trova g (t = 8t, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] Per g si trova g (t = t, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] Per g si trova g (t = 6t 9, che si annulla per t =, quindi mai nell intervallo [, ] I valori che dobbiamo confrontare sono dunque solo quelli degli spigoli, ossia f(p = 9, f(q =, f(r = 7 Per cui su Ω, il minimo di f è, e il massimo è 9 Esercizio Calcolare l area dell insieme Ω = (x, y R : x + y, x y
5-5 - - -5 5 Figure 6: L insieme Ω L insieme Ω è rappresentato nella figura 6 Il dominio suggerisce di risolvere l esercizio usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψ(ρ, θ = (x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ Dunque ponendo S l insieme tale che ψ(s = Ω, abbiamo Area(Ω = dx dy = Ω e det J ψ (ρ, θ = ρ S ρ dρ dθ Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice Dalla definizione di Ω troviamo S = (ρ, θ [, + [ π, π] : ρ, ρ cos θ ρ sin θ La prima condizione ci dice che ρ [, ], mentre la seconda condizione si riscrive come cos θ cos θ < ρ cos θ 9 ( ρ sin θ (ρ, θ [, + [ π, π] L insieme S si ottiene quindi come unione degli insiemi di soluzioni dei due sistemi ρ [, ] ρ [, ] cos θ e cos θ < ρ cos θ 9 ( ρ sin θ (ρ, θ [, + [ π, π] Analizziamo il primo sistema: ρ [, ] cos θ ρ cos θ 9 ( ρ sin θ ρ [, ] θ [ π, π ] ρ +8 cos θ
Disegnando la funzione ρ = +8 cos θ per θ [ π, π ], otteniamo la figura 7 con θ sulle ascisse e ρ sulle ordinate Dunque, dato θ [, π ] soluzione di cos θ = 4, quindi θ = π il primo sistema ha 5 5-5 - -5 5 5 Figure 7: come soluzione l insieme π θ π, ρ π θ π, ρ π + 8 cos θ θ π, ρ Analizziamo il secondo sistema: ρ [, ] cos θ < (ρ, θ [, + [ π, π] ρ [, ] θ ( π, π ( π, π (ρ, θ [, + [ π, π] e quindi la sua soluzione è l insieme π < θ < π, ρ π < θ < π, ρ Possiamo quindi scrivere S come dove Dunque Area(Ω = Ω S = S S S, S = π θ π, ρ S = π θ π, ρ + 8 cos θ π S = θ π, ρ dx dy = Per i singoli integrali si trova S S ρ dρ dθ + ρ dρ dθ + ρ dρ dθ S S S π π ( π π dθ = π
Quindi = π π S cos θ π π ( +8 cos θ ρ dρ dθ = π π + 9 tan θ dθ = ( π arctan tan θ π π ( π S π ρ dρ Area(Ω = 5 6 π dθ = π + 8 cos θ dθ = ( = arctan = π 6 dθ = π L integrale si poteva svolgere anche senza il cambiamento in coordinate polari, e riducendo i calcoli con osservazioni sulla simmetria dell insieme Esercizio Data la curva (γ, I, con I = [ π, 5 π] e parametrizzazione γ : [π, 5 ] π R, γ(t = ( t cos t, + t sin t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P = (, π ; La parametrizzazione γ(t è di classe C, quindi la retta tangente al sostegno della curva esiste in tutti i punti che corrispondono ai valori del parametro t I per cui γ (t In particolare per P = (, π troviamo innanzitutto t [ π, 5 π] tale che γ(t = P, quindi risolviamo il sistema t cos t = + t sin t = π Dalla prima troviamo t π, 5 π, e sostituendo nella seconda si ricava che l unica soluzione è t = π La retta tangente al sostegno nel punto P è quindi generata dal vettore velocità ( ( cos t t γ sin t (t = = π sin t + t cos t e un vettore normale al sostegno nel punto P è quindi ( n = L equazione cartesiana cercata è allora π x + π ( y + π = 4
ii calcolare il lavoro lungo la curva (γ, I del campo di vettori F(x, y = ( x y x +y x+y x +y Studiamo innanzitutto le proprietà del campo F Il suo dominio è R \ (, e rot(f(x, y = F x (x, y F (x, y = y = x + y x(x + y (x + y x y y(x y (x + y = Quindi il campo F è irrotazionale Essendo il suo dominio non semplicemente connesso, dobbiamo calcolare il lavoro per una curva chiusa che vada intorno al punto (, Prima di chiederci se il campo è conservativo, studiamo le proprietà della curva (γ, I La curva, che è un pezzo di spirale traslata, ha come sostegno l insieme in figura 8 8 6 4-4 6 - -4 Figure 8: Il sostegno di (γ, I Possiamo quindi considerare la restrizione di F a un sottoinsieme Ω R che sia semplicemente connesso, contenga il sostegno della curva ma non il punto (, Un insieme siffatto potrebbe essere Ω = R \ x, y = x Ristretto a questo insieme Ω, il campo risulta conservativo, e possiamo quindi calcolare il lavoro di F lungo (γ, I scegliendo una nuova curva ( γ, Ĩ con gli stessi punti iniziali e finali, e il cui sostegno sia contenuto in Ω Scegliamo γ = γ γ dove γ è la parametrizzazione di una circonferenza che ha come punto iniziale γ (π e termina sul semi-asse positivo delle ordinate, e γ è la parametrizzazione del segmento sul semi-asse positivo delle ordinate dal punto finale di γ a γ ( 5 π Poniamo quindi γ : [ t, π ] ( R, γ (t = R cos t, R sin t 5
con R = [ + π e t = π arcsin R (infatti vogliamo t ( π, π, mentre arcsin : [, ] π, π ], e γ : [, ] R, γ (t = (, R + t( + 5 π R In questo modo abbiamo ( π γ ( t = γ (π, γ = γ ( e γ ( = Possiamo quindi scrivere L(F, γ = L(F, γ + L(F, γ = π ( R cos t R sin t R cos t + R sin t = R ( R sin t + R (R cos t dt+ t ( 5 π R + t( + 5 π R(+5 π R dt = = π t + log (R + t( + 5 π R = ( π + arcsin + log + 5 + π π ( log + π 6