Teoremi Gauss e Stokes / Alcuni esercizi svolti (1)

M.Guida, S.Rolando, 14 1 Teoremi Gauss e Stokes / Alcuni esercizi svolti (1) ESERCIZIO. R 3 definito da Usando il teorema di Stokes, calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F : R 3 F(x, y, z) = x y, x 3 + z, arctan e x+y+z attraverso la superficie orientata secondo i versori uscenti dall origine. x + y + z =4 : z Svolgimento. Il teorema di Stokes assicura che il flusso (rot F) del rotore di F attraverso la calotta orientata coincide con il lavoro del campo F lungo il bordo () di orientato coerentemente con (cioè secondo il verso di un osservatore che, disposto come il campo normale che orienta, percorre () vedendo alla sua sinistra). La superficie è la semisfera di centro l origine e raggio contenuta nel semispazio z e dunque il suo bordo = () è la circonferenza del piano xy di centro l origine e raggio, che ammette la rappresentazione parametrica x =cost : y =sint z =, t [, ]. Tale rappresentazione risulta coerente con l orientamento di, in quanto, al crescere di t, ilpunto (t) = ( cos t, sint, ) si muove lungo come in figura. Dunque, poiché si ha (rot F) = F ( (t)) = F ( cos t, sint, ) = 8cos t sin t, 8cos 3 t, arctan e cost+ sin t, (t) =(sint, cost, ), =16 F dp = F ( (t)) (t) dt = cos t sin t +cos t dt =16 16 cos t sin t +16cos 4 t dt t +costsin t cos tdt=16 =16. 1 Altri esercizi svolti sugli integrali superficiali e sui teoremi di Gauss e Stokes si possono trovare all indirizzo: http://cantor.polito.it/didattica/index.php?percorso=analisi matematica /Calcolo integrale

M.Guida, S.Rolando, 14 ESERCIZIO. Calcolare il lavoro del campo vettoriale lungo la circonferenza F (x, y, z) = sin x + z yz, xz +sin y + z, sin x + y x : + y =1 z =3 percorsa in modo che la proiezione sul piano xy giri in senso orario (rispetto ad un osservatore disposto come l asse z). Svolgimento. Vista l espressione del campo, il calcolo diretto del lavoro richiesto non pare agevole. D altra parte, risulta i j k rot F = x y z sin x + z yz xz +sin y + z sin x + y = y cos x + y x +cos y + z, cos x + z y x cos x + y, 4z (,, ) e quindi il campo F non è conservativo in alcun aperto contenente (in quanto non è irrotazionale), per cui non si può applicare il teorema di equivalenza per dedurre che il lavoro richiesto è nullo. Ricorriamo allora al teorema di Stokes, che è applicabile in quanto F èdiclassec 1 su R 3 (addirittura di classe C ) e la circonferenza x + y =1 : z =3 è il bordo della calotta regolare x + y 1 : z =3 (cerchio del piano z =3con raggio 1 e centro in (,, 3) ). Dunque si ha F dp = rot F n d, dove n è la normale a coerente con l orientamento scelto su, ossia tale che un osservatore disposto su come n che percorra nel verso stabilito lasci alla sua sinistra, ossia n = k =(,, 1). Sfruttando il calcolo già eetuato di rot F, si ottiene subito rot F n = 4z e pertanto si conclude F dp = rot F n d = 4 zd = 1 d = 1 area () =1, dove si è usato il fatto che z =3in ogni punto di echearea () =, essendo un cerchio di raggio 1.

M.Guida, S.Rolando, 14 3 ESERCIZIO. Calcolare la circuitazione del campo F (x, y, z) =(zy) i +(x z) j +(y x) k lungo il bordo della calotta triangolare T R 3 di vertici A =(1,, ), B =(, 1, 1) e C =(,, 1), orientato nel verso secondo cui C segue A e precede B. Svolgimento. Si deve calcolare L (T ) (F) = (T ) F (x, y, z) dp (1.1) dove l arco regolare a tratti chiuso (T ) è orientato come nel testo (e in figura). Controllato che F non è conservativo in alcun aperto contenente (T ), inquanto (x, y, z) R 3 risulta i j k rot F (x, y, z) = x y z =(,, ) =, (1.) z yxzyx non si può applicare il teorema di equivalenza per dedurre che il lavoro (1.1) è nullo, per cui si deve procedere per altra via. Possiamo allora procedere in due modi: 1) ricorrendo al teorema di Stokes (che pare di agevole applicazione in quanto rot F =(,, ) è costante e T è un insieme piano, per cui saranno costanti anche i versori normali a T )edeterminando quindi L (T ) (F) tramite il calcolo del flusso di rot F attraverso il triangolo T (orientato coerentemente con il verso stabilito su (T )); ) procurandosi una parametrizzazione (regolare) per ciascuno dei tre segmenti che compongono (T ) e calcolando l integrale di linea (1.1) direttamente. Vediamo entrambi i procedimenti. 1 Tramite teorema di Stokes. Applicando il teorema di Stokes, si ha L (T ) (F) = rot F (x, y, z) n (x, y, z) d T

M.Guida, S.Rolando, 14 4 dove, nell integrale di superficie a secondo membro, n (x, y, z) è il versore normale al triangolo T nel suo punto di coordinate (x, y, z), orientato coerentemente con la percorrenza stabilita su (T ), ossia in modo che, percorrendo (T ) nel verso stabilito, un osservatore disposto su T come n lasci T alla sua sinistra. Il calcolo in (1.) mostra che (x, y, z) T, rot F (x, y, z) =(,, ). D altra parte, poiché T giace sul piano x + z 1=(ottenuto ad esempio come piano parallelo ad AC =(1,, 1) e CB =(, 1, ) epassantepera), il versore n (x, y, z) ècostantesut ecoincidecon uno dei due versori normali a tale piano, che sono ± (1,,1) (1,,1) = ± 1 1,,. Tenendo conto del fatto che l orientamento dato da n deve essere coerente con quello stabilito su (T ), siottiene (x, y, z) T, (come rappresentato in figura). Dunque L (T ) = rot F (x, y, z) n (x, y, z) d = T = d = area (T )=, T n (x, y, z) = T (,, ),,,, d = d T dove si è utilizzato il fatto che T è rettangolo in C (essendo AC CB =) per calcolare elementarmente area (T )= AC CB/ = /. Calcolo diretto. Denotando con 1,, 3, rispettivamente, i segmenti AC, CB,BA orientati concordemente con il verso di percorrenza stabilito su (T ) (cioè secondo il verso dei vettori AC, CB, BA), si ha (T )= 1 3 e (T ) F (x, y, z) dp = 3 i=1 i F (x, y, z) dp. (1.3) Per eseguire il calcolo diretto dei tre integrali a secondo membro, serve una rappresentazione parametrica per ciascuno dei segmenti 1,, 3. Siccome 1 giace sulla retta r 1 parallela ad AC =(1,, 1) epassantepera, che ha equazioni parametriche x =1t r 1 : y =, t R, z = t si ha subito che 1 = 1 ([, 1]) con 1 (t) =(1t,,t). Inoltre la parametrizzazione 1 è concorde con il verso di percorrenza prestabilito su 1, in quanto abbiamo parametrizzato r 1 con vettore direttore AC (alternativamente, si può osservare che 1 () = A e 1 (1) = C, per cui al crescere del parametro t il punto 1 (t) si muove su 1 da A a C). Dunque 1 1 1 F (x, y, z) dp =+ F ( 1 (t)) 1 (t) dt = (t, 1 t, 1+t) (1,, 1) dt = (1) dt = 1. 1

M.Guida, S.Rolando, 14 5 Analogamente si ottengono le parametrizzazioni x = x = t : y = t, t [, 1] e 3 : y =1t z =1 z =1t, t [, 1], di e 3, ambedue concordi con i versi di percorrenza fissati, che forniscono F (x, y, z) dp =+ e 1 3 F (x, y, z) dp =+ F ( (t)) (t) dt = 1 (1 t, 1,t) (, 1, ) dt = 1 F ( 3 (t)) 3 (t) dt = 1 Sostituendo nella (1.3), si conclude allora L (T ) (F) = 3 i=1 1 (1) dt = 1 (, t 1, 1 t) (1, 1, 1) dt =. i F (x, y, z) dp =. ESERCIZIO. dell insieme Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = x +3z,zx, log x uscente dalla frontiera A = (x, y, z) R 3 : x + y 1, y 1 z y + 1,x. Svolgimento. L insieme A è la chiusura di un dominio di Green di R 3 ed F C 1 (A) (essendo F di classe C su dom F = (x, y, z) R 3 : x>1 ed essendo A dom F), dunque il teorema della divergenza assicura che il flusso uscente cercato è dato da A,ne (F) =+ div F (x, y, z) dxdydz = xdxdydz A (essendo div F (x, y, z) =x ++). Per calcolare l integrale triplo a secondo membro, osserviamo che A è z-semplice, in quanto può essere riscritto come A = (x, y, z) R 3 :(x, y) D, y 1 z y + 1 dove D è individuato dalle disequazioni imposte su (x, y) dalla definizione di A, ossia A x + y 1 y 1 y + 1 x, cioè x + y 1 y 1 x.

M.Guida, S.Rolando, 14 6 Allora A xdxdydz = D y+ 1 y 1 dove, integrando per orizzontali, si ottiene D x (y +1)dxdy = = 1 1 1 1 xdz dxdy = D x y+ 1 y 1 1/y x (y +1)dx dy = (y +1) 1 y dy = 1 1 dz dxdy = 1 1 D x (y +1)dxdy, (y +1) x x= 1/y x= 1 + y y y 3 dy dy = y + y y3 y4 3 y= 1 y= 1 = 3 96 + 1. 6 Dunque A,ne (F) = 3 96 + 1. 6 ESERCIZIO. Sia la porzione di paraboloide y = x + z che si proietta sul piano y =nel semicerchio x + z 1,z. Tramite il teorema di Gauss, calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) =xz i + xzj + x zk attraverso, orientata in modo che il suo versore normale formi in ogni punto angolo ottuso con il versore j dell asse y. Svolgimento. Si chiede che per ogni P =(x, y, z) le coordinate x, z del punto proiezione (x,,z) di P sul piano y =soddisfino x + z 1 e z. Dunque = (x, y, z) R 3 : y = x + z,x + z 1, z = (x, y, z) R 3 : y = x + z,y 1, z, ossia è la parte del paraboloide y = x + z (di rotazione, con vertice nell origine e asse sull asse y) che giace nell intersezione dei semispazi y 1 e z. In figura sono rappresentati anche alcuni dei versori normali a, concordi con l orientamento stabilito, nonché la proiezione di sul piano y =, che individua l insieme piano = (x, z) R : x + z 1, z. Per calcolare il flusso (F) del campo F attraverso, il teorema di Gauss non può essere applicato direttamente, in quanto non è una calotta chiusa (frontiera di un dominio di Green). Occorre allora

M.Guida, S.Rolando, 14 7 chiudere, unendovi le due calotte 1 = (x, y, z) R 3 : y =1,x + z 1, z = (x, y, z) R 3 : y =1, (x, z), = (x, y, z) R 3 : z =,x y 1, per ottenere una calotta regolare a pezzi = 1 chiusa (e orientabile). Compatibilmente con l orientamento stabilito su, le calotte 1 e vanno orientate secondo il verso di attraversamento uscente dall interno di (comesivedebenedallefigure riportate). Ora, essendo un dominio di Green e la sua frontiera, il flusso,n e (F) di F uscente da può essere calcolato tramite il teorema di Gauss e, d altra parte, si avrà,n e (F) = (F)+ 1,n e (F)+,n e (F), cioè (F) =,n e (F) 1,n e (F),n e (F). (1.4) Per ottenere il flusso (F) richiesto, si tratta dunque di calcolare,n e (F) tramite il teorema di Gauss e 1,n e (F) e,n e (F) direttamente (il che risulterà piuttosto semplice in quanto 1 e sono superfici piane, ossia con versore normale costante). Poichè div F (x, y, z) =z + x, per il teorema di Gauss si ha,n e (F) =+ div F (x, y, z) dxdydz = x + z dxdydz (sinoticheilflusso a primo membro è uscente, dacuiilsegno + davanti al primo integrale). L insieme è costituito dai punti del paraboloide pieno x + z y che giacciono nell intersezione dei semispazi y 1 e z ed ammette la rappresentazione = (x, y, z) R 3 :(x, z), x + z y 1, la quale mette in evidenza la sua y-semplicità. Integrando per fili paralleli all asse y ed esprimendo poi \{(, )} = ( cos, sin ) R :< 1, in coordinate polari, si ottiene x + z 1 dxdydz = x + z dy dxdz = x + z 1 dy dxdz x +z x +z = x + z 1 x + z x dxdz = + z x + z dxdz 1 = 4 1 dd = d 3 5 4 1 6 d = 4 6 = 1. Dunque,n e (F) = 1. (1.5) Per ogni (x, y, z) 1 si ha F (x, y, z) = xz,xz,x z ed n e (x, y, z) =j costante (si ricordi che

M.Guida, S.Rolando, 14 8 n e è il versore normale a 1 orientato secondo il verso uscente da, comeinfigura), da cui 1,n e (F) = F (x, y, z) n e (x, y, z) d = xz,xz,x z (, 1, ) d = xz d. 1 1 1 Una parametrizzazione (regolare) di 1 è evidentemente data da Poiché 1 x si ottiene x = x 1 : y =1 z = z con (x, z). 1 =(1,, ) = i, z =(,, 1) = k ed N 1 = 1 1 x z = ik = j per ogni (x, z), xz d = xz N 1 (x, z) dudv = 1 1 = 3 d cos sin d xz dudv = = 1 4 1 sin d = 1 8 3 cos sin dd cos =, dove si è naturalmente passati a coordinate polari per calcolare l integrale esteso a. Dunque 1,n e (F) =. (1.6) Per ogni (x, y, z) immediatamente si ha z = equindif (x, y, z) = F (x, y, ) = (,, ), da cui segue,n e (F) =. (1.7) Grazie alle (1.4), (1.5), (1.6) e (1.7), si conclude finalmente che (F) = 1. Osservazione. L artificio di chiudere una calotta non chiusa per applicare il teorema di Gauss è spesso utile di fronte a flussi che non sono facilmente calcolabili direttamente. Nel caso dell esercizio, comunque, il flusso (F) richiesto si sarebbe potuto calcolare direttamente senza eccessive dicoltà. Infatti, poiché è il grafico y = f (x, z) della funzione f (x, z) =x + z sull insieme, essa ammette la parametrizzazione (regolare) standard x = x : y = x + y z = z con (x, z). Essendo x =(1, x, ) e z =(, z, 1), il vettore normale N relativo a èdatoda i j k N (x, z) = x (x, z) z (x, z) = 1 x =(x, 1, z) z 1 e forma in ogni punto angolo ottuso con j, inquanton (x, z) j = 1 < per ogni (x, z). Dunque

M.Guida, S.Rolando, 14 9 la parametrizzazione induce su l orientamento richiesto e si ottiene allora (F) =+ F ( (x, z)) N (x, z) dxdz = F x, x + z,z N (x, z) dxdz = xz,xz,x z (x, 1, z) dxdz = 4x z xz dxdz = 4 4 cos sin cos sin dd [,1] [,] =4 5 cos sin dd 3 cos sin dd [,1] [,] [,1] [,] 1 1 =4 5 d cos sin d 3 d cos sin d = sin() d 1 sin() d = 1 sin ()d 1 sin()d 3 4 6 8 = 1 1 cos(4) d 1 cos() = 1 cos(4)d = 6 8 1 1 1 sin(4) 1 4 = 1, dove facciamo notare che si è usata l identità sin () =(1 cos(4)) /. ESERCIZIO. Usando il teorema della divergenza, calcolare il flusso del campo vettoriale F : R 3 R 3 definito da F(x, y, z) =(x, zy,1) attraverso la porzione di ellissoide : x +y 4 + z =1 z orientata secondo il verso che si allontana dall origine. Svolgimento. La superficie x + y + z =1 : 4 z è la parte dell ellissoide x 4 + y 4 + z =1contenuta nel semispazio z e non costituisce la frontiera di un aperto a cui poter applicare il teorema della divergenza. Ricorriamo allora all artificio di chiudere la superficie aggiungendovi il cerchio di base 1 : x +y 4 1 z =. Così facendo, la superficie 1 è la frontiera dell aperto = (x, y, z) R 3 : x + y + z < 1, z > 4

M.Guida, S.Rolando, 14 1 ed il teorema della divergenza consente di calcolare il flusso 1 (F) di F uscente da 1 = tramite l uguaglianza 1 (F) = div F dxdydz. Poiché si ha 1 (F) = (F)+ 1 (F) dove (F) èilflusso richiesto dal testo e 1 (F) èilflusso di F attraverso 1 orientata compatibilmente con (cioè verso il basso ), risulta (F) = 1 (F) 1 (F) = div F dxdydz 1 (F) e si tratta quindi di calcolare i due termini a secondo membro. Si ha e quindi div F = F 1 x + F y + F 3 z =1+z div F dxdydz = (1 + z) dxdydz. Poiché le sezioni orizzontali di sono cerchi, conviene integrare per fette (ma anche per fili il calcolo non risulta troppo dicile); dunque, osservato che la proiezione di sull asse z è l intervallo [, 1] (i semiassi dell ellissoide sono,, 1), si ottiene 1 1 (1 + z) dxdydz = (1 + z) dxdy dz = (1 + z) dxdy dz x +y 44z x +y 4(1z ) 1 = (1 + z) 4 1 z 1 dz =4 1+z z z 3 dz =4 z + z z3 3 1 z4 = 14 3. Poiché il versore n normale a 1 ed orientato verso il basso è n = k =(,, 1) (costante in tutti i punti di 1 ), risulta F n =(x, zy,1) (,, 1) = 1 in tutti i punti di 1 e perciò si ottiene 1 (F) = F n d = d =area( 1 )=4 1 1 ( 1 è il cerchio del piano xy di centro l origine e raggio ). In definitiva risulta (F) = 14 3 4 = 3.