La gestione delle scorte Controllo delle scorte Sist. prod. / Fornitore ordini domanda I Magazzino R Lead Time T
La gestione delle scorte Problema: uando ordinare uanto ordinare Obiettivi: Basso livello delle scorte Soddisfacimento della domanda
La gestione delle scorte Classificazione delle scorte: Materie prime Semilavorati Prodotti finiti Cycle stock (raccordano produzione e domanda) Safety stock (guasti del sistema, picchi di domanda) Seasonal stock (per domanda stagionale) Pipeline stock (sistemi multistadio)
Costi nella gestione delle scorte Costo fisso di un ordine (trasporto, setup delle macchine, pratiche amministrative) Costi unitari di acquisto o di produzione Costi di giacenza (immobilizzo capitale, affitto locali, vigilanza ecc ) fissi e unitari Costi di Shortage (non soddisfacimento della domanda) Con backlogging (soddisfacimento della domanda in periodi succassivi) Senza backlogging Prezzi di vendita (profitto)
Modelli di gestione delle scorte Periodic Review o Continuos Review Deterministici o stocastici A domanda esterna (indipendente) o interna (dipendente) A singolo prodotto o multi-prodotto
Modelli Periodic Review Il livello di magazzino viene esaminato in istanti di tempo prefissati (ogni intervallo di tempo T) Siano I il livello di magazzino e la quantità da ordinare Le ordinazioni dipendono da due parametri: S, il livello target di magazzino R, il livello o punto di riordino = 0 S-I se se I > R I R
Modelli Periodic Review I S R T 2T 3T t
Modelli Continuos Review La quantità da ordinare è fissata Il livello di magazzino viene esaminato continuamente e si lancia un ordine quando il livello scende sotto il livello di riordino R
I S R t
Modelli deterministici per il controllo delle scorte Si assume un tasso di domanda noto nel tempo Ogni prodotto viene considerato indipendente dagli altri Il riempimento del magazzino è istantaneo, non appena arriva la merce. I tempi di consegna (Lead Time) sono noti
Un esempio classico: Lotto economico e punto di riordino Il modello del lotto economico (Economic Order uantity, EO, F. W. Harris, 1915) è uno dei più semplici e noti modelli statici e deterministici Il modello consente di determinare la quantità da ordinare per rifornire il magazzino, ogni volta che si raggiunge il livello di riordino in modo da minimizzare i costi complessivi (continuos review)
Il modello del lotto economico (EO) Si assume un tasso di domanda noto e costante nel tempo (ad es. unità vendute all anno) Ogni prodotto viene considerato indipendente dagli altri Gestione continuos review I lead time sono noti e costanti
Il modello del lotto economico (EO) D la domanda (costante) annuale In prima analisi, si consideri un punto di riordino R=0 e Lead Time nulli Sia S il livello target a cui deve essere riportato il magazzino ogni volta che un ordine di approvvigionamento è emesso. Dato che R=0, =S è la quantità (fissa) ordinata ogni volta che si emette un ordine T l intervallo tra due ordini successivi di rifornimento del magazzino
Dato che la domanda è costante, la quantità da ordinare ad ogni intervallo T è =TD I retta I=-Dt+ S==TD D R=0 t T=/D
Il modello del lotto economico (EO) Con =S e D fissati può essere calcolato facilmente T Esempio: D=1200 unità\anno; =S=50 unità Intervallo tra due ordini (frazione di anno): T=/D=50/1200=1/24 Numero di emissioni di ordini all anno: 1/T = D/=24 T
Il modello del lotto economico (EO) Sia h il costo di immagazzinamento per unità di bene e di tempo Sia c il costo unitario del bene ordinato Sia A il costo fisso di un lancio di un ordine di approvvigionamento Si vuole trovare la quantità da ordinare * che minimizzi i costi complessivi: costo complessivo di magazzino, costo totale della quantità ordinata e costo di lancio degli ordini
Il modello del lotto economico (EO) Costo fisso ordine A Costo unitario ordine c Sist. prod. / Fornitore Ordini Domanda D Magazzino Costo unitario h
Il modello del lotto economico (EO) Il costo di magazzino per un ciclo T è pari al livello medio del magazzino nel periodo T moltiplicato per h. Il livello medio di magazzino nel ciclo è pari all area del triangolo rettangolo corrispondente ad un ciclo. 1 2 T h = 1 2 D h = 1 2 D 2 h T=/D
Il modello del lotto economico (EO) Il costo fisso di un lancio di un ordine in un ciclo T è A Il costo della quantità ordinata in un ciclo T è c Costo totale per un ciclo 1 C ( ) = h + A + c T 2 D Il costo totale per unità di tempo, in funzione della quantità da ordinare : 2 1 1 1 D C ( ) = h A c = h + A + T + + D 2 2 2 cd
Il modello del lotto economico (EO) La quantità ottima * si ottiene annullando la derivata prima costante C( ) = 1 2 h + A D + cd C( ) = 1 2 h A D 2 = 0 * = 2AD h
Il modello del lotto economico (EO) Economic Order uantity (lotto economico): * = 2AD h Sostituendo: C(*) = 2AhD(+cD)
Il modello del lotto economico (EO) * = 2AD h 1 D C ( ) = h + A + cd 2 C(*) = 2AhD(+CD) C () *
EO: Esempio Un azienda compra 6000 unità all anno di un prodotto con costo unitario di 30 Euro. Lanciare un ordine costa 125 Euro, mentre il costo di magazzino è pari a 6 Euro all anno per unità Trovare quanto e quando ordinare
Un azienda compra 6000 unità all anno di un prodotto con costo unitario di 30 Euro. Ogni ordine costa 125 Euro, mentre il costo di magazzino è pari a 6 Euro all anno per unità Trovare quanto e quando ordinare EO: Esempio * = 2AD h * 2 *125 * 6000 = = 500 6 Ilperiodo ottimale T tradue lanci di ordine è : T = D = 500 6000 = 1 12 anni = 1mese
Un problema di Gestione delle scorte con lead time Descrizione del problema Un negozio di elettrodomestici vende 1200 telecamere all anno. Il tasso di vendita delle telecamere può essere ritenuto costante durante l anno. Il negozio ordina le telecamere presso un rifornitore della regione che impiega una settimana per consegnare la merce. Dati Il costo di un ordine è di 35 Euro. Il costo di acquisto di una telecamera è di 100 Euro. Non c è un costo fisico di magazzino, ma un costo di immobilizzo del capitale pari al 10% annuo del capitale investito. Obiettivo Si vuole determinare quando e quanto ordinare ogni anno in modo da massimizzare il profitto.
Un problema di Gestione delle scorte con lead time Numero di ordini all anno =1/T = D/ = 1200/ Intervallo tra due ordini = T = /D= / 1200 Costo annuale lancio di ordini = 35 * 1200/ = 42.000 / Costo di acquisto annuale = 100 * D = 120.000 Costo di immobilizzo annuale = Costo annuale complessivo = 1 T 1 2 D 10 2 + 42000 +120000 (0,1* 100)
Un problema di Gestione delle scorte con lead time Costo annuale complessivo = * = 2AD h 10 2 + 42000 +120000 * = 2 * 42000 = 91,65 92 10 Costo annuale totale = 916,52 C( *) = 2AhD T = D = 0,076 anni (27,87 giorni) numero di ordini all'anno = 1/T = 13,09 Istante di tempo di emissione dell'ordine? ual è il punto di riordino R?
Un problema di Gestione delle scorte con lead time * 2 * 42000 = = 91,65 92 10 T = = 0,076 (27,74 giorni) D LT = 7 giorni Istante di T - 7 ual è il punto di riordino R? R tempo di 21 giorni = 1200 * 0,0575 + emissione dell'ordine? 0,0575 anni 92 = 23 retta I=-Dt+=-1200t+92 T=/D
Il modello del lotto economico (EO): critiche Non sempre si può assumere che la domanda sia costante (o comunque nota) e che i tempi di consegna (Lead Time) siano noti (deterministici) EO è per un problema a singolo prodotto e a singolo stadio L assunzione che i tassi di interesse, i costi di acquisto, i costi di immagazzinamento e i costi fissi siano noti con certezza non sempre è realistica Si assume che in generale la capacità del magazzino sia infinita Limiti di budget, soprattutto nel caso multiprodotto, implicano che le quantità acquistate non possano essere arbitrarie
Programmazione della produzione e gestione delle scorte: un problema multi-stadio, con capacità Descrizione del problema Un azienda produce palloni da calcio, e vuole decidere per i prossimi sei mesi quanti palloni produrre ogni mese. Dati La domanda prevista e i costi di produzione per i prossimi sei mesi sono: Mese 1 2 3 4 5 6 Domanda prevista (migliaia) 10 15 30 35 25 10 Costo unitario di produzione 12,5 12,55 12,7 12,8 12,85 12,95 Il massimo numero di palloni che può essere prodotto in un mese è 30000. Il costo di stoccaggio ed il costo di immobilizzo del capitale, per unità di prodotto, alla fine di ogni mese è dato dal 5% (stima) del costo di produzione del mese. Il magazzino ha una capacità massima di 10000 palloni, e ne contiene attualmente 5000. Obiettivo L azienda vuole decidere quanti palloni produrre ogni mese, in modo da soddisfare la domanda e minimizzare i costi di produzione e di magazzino.
Una formulazione di Programmazione Lineare Definizione delle variabili: P i numero di palloni confezionati nel mese i, i=1,,6 I i palloni giacenti in magazzino alla fine del mese i, i=1,,6 Funzione obiettivo: Mese 1 2 3 4 5 6 Domanda prevista (migliaia) 10 15 30 35 25 10 Costo unitario di produzione 12,5 12,55 12,7 12,8 12,85 12,95 min12,5p min ( I + 12,55I + 12,7I + 12,8I + 12,85 I + 12,95I ) 0,05 12,5 6 ( cipi + 0,05ciIi ) i = 1 1 1 + 12,55P 2 2 + 12,7P 3 3 + 12,8P 4 4 + 12,85 P 5 5 + 12,95P 6 6 = +
Vincoli sulla capacità produttiva e di stoccaggio: P I i i 30000 10000 i = 1,...,6 i = 1,...,6 Lower bound sulle variabili: P i, I i 0 i = 1,...,6
Vincoli sulla domanda nei sei mesi considerati: P 1 P 2 P 6 I 0 =5000 1 I 1 2 I 2 I 5 6 D 1 =10000 D 2 =15000 D6=10000 I i 1 + Pi = Di + Ii i =1,...,6 1) 2) 3) P I I 1 1 2 I 1 + P 2 + P = 10000 I 3 I 2 I 3 0 = = 15000 = 30000 5000 4) 5) 6) I I I 3 4 5 + P + P + P 4 5 6 I I I 4 5 6 = 35000 = 25000 = 10000
Formulazione complessiva: min12,5p 1 +12,55P 2 +12,7P 3 +12,8P 4 +12,85P 5 +12,95P 6 + ( ) 0,05 12,5I 1 +12,55I 2 +12,7I 3 +12,8I 4 +12,85I 5 +12,95I 6 subject to 1) P 1 I 1 = 5000 2) I 1 + P 2 I 2 = 15000 3) I 2 + P 3 I 3 = 30000 4) I 3 + P 4 I 4 = 35000 5) I 4 + P 5 I 5 = 25000 6) I 5 + P 6 I 6 = 10000 P i 30000 i = 1,...,6 I i 10000 i = 1,...,6 P i,i i 0 i = 1,...,6
Rappresentazione grafica della soluzione: 5000 20000 30000 30000 25000 10000 5000 1 0 2 5000 3 5000 4 0 0 0 5 6 10000 15000 30000 35000 25000 10000