Sistemi LSTD: rappresentazione esplicita

Trasformata Zeta

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Sistemi LSTD: rappresentazione esplicita x(k+1) = Ax(k)+Bu(k), x R n, u R m, k Z y(k) = Cx(k)+Du(k), y R p x R n : vettore delle variabili di stato; u R m : vettore dei segnali di ingresso; y R n : vettore delle funzioni di uscita; lineari (rispetto allo stato x ed all ingresso u); tempo discreto (equazioni alle differenze finite); dimensione finita: spazio di stato dimensione n; stazionari: le matrici A, B, C e D non dipendono dal tempo; causali: il presente (il passato) non dipendono dal futuro cioè, l equazione alle differenze finite del primo ordine non dipende dal valore della funzione di ingresso al passo successivo

Trasformata Zeta Sequenza f : Z + C, {f(k) = f k,k = 0,1,2,...} Operatore dallo spazio delle sequenze allo spazio delle funzioni di variabile complessa Definizione F(z) := f(k)z k, z C k=0 Convergenza esterna ad un cerchio centrato in 0 di C e di raggio R sufficientemente grande Il valore R è il raggio di convergenza della trasformata La regione esterna al cerchio di raggio R centrato nell origine è detta regione di convergenza o dominio di convergenza

Trasformata Zeta: Trasformata inversa Definizione x(k) = Z 1 [X(z)] = 1 2πj Γ: curva chiusa interna alla regione di convergenza Integrale di inversione Γ z k 1 X(z)dz, k Z +,

Esempio: trasformata Zeta dell impulso Funzione (a tempo discreto) impulso unitario: { 1 k = 0 δ(k) = 0 k 0 La trasformata Z di δ(k) Infatti: U(z) = Z[u(k)] = 1, U(z) = u(0)+u(1)z 1 +u(2)z 2 + = u(0) = 1. Il raggio di convergenza è R = 0.

Proprietà trasformata Zeta [Proprietà di unicità] Data una funzione olomorfa U(z), definita nella regione di piano complesso esterna ad un cerchio di raggio ρ, esiste ed è unica una funzione x(k), tk Z +, che soddisfa la condizione: U(z) = Z[x(k)], e che può essere calcolata per mezzo dell integrale di inversione, con Γ cerchio di raggio maggiore di ρ [Linearità] Z[c 1u(k)+c 2y(k)] = c 1U(z)+c 2Y(z), c 1,c 2 R.

Proprietà trasformata Zeta [Ritardo (Scorrimento a destra)] [Anticipo (Scorrimento a sinistra)] Z[u(k h)] = z h U(z), h > 0 Z[x(k +1)] = zu(z) zu(0). ] h 1 Z[u(k +h)] = z [U(z) h u(k)z k, h > 0 k=0

Proprietà trasformata Zeta [Traslazione nel dominio di z (traslazione complessa)] Z[a k u(k)] = U( z a ). [Convoluzione] u(k) y(k) := ha trasformata pari a: k k u(k τ)y(τ) = u(τ)y(k τ) τ=0 τ=0 Z [u(k) y(k)] = U(z)Y(z).

Proprietà trasformata Zeta [Differenziazione rispetto a z] Z[ku(k)] = z d dz U(z).

Trasformate notevoli Gradino unitario Sia δ 1(k), k Z la funzione gradino unitario: { 0 k Z,k < 0 δ 1(k) = 1 k Z,k 0, allora: Z[δ 1(k)] = z (z 1) Dimostrazione. Serie formale che definisce la trasformata Zeta: u(k)z k = z k, t=0 La serie converge, per tutti i valori z con z > 1, ed ha come somma: t=0 1 1 z 1 = z z 1.

Trasformate notevoli Rampa unitaria Sia δ 2(k) una rampa con pendenza unitaria: δ 2(k) = { 0 k Z,k < 0 k k Z,k 0, La trasformata Zeta: Z[δ 2(k)] = z (z 1) 2.

Trasformate notevoli Segnale esponenziale Sia u(k) un segnale esponenziale (a tempo discreto) con costante a: { 0 k Z,k < 0 u(k) = a k k Z,k 0, La trasformata Zeta: Z[a k δ 1(k)] = z z a. Dimostrazione. Basata sulla proprietà di traslazione nel dominio di z.

Trasformate notevoli Segnale esponenziale-rampa Sia u(k) il prodotto di un esponenziale per una rampa: { 0 k Z,k < 0 u(k) = ka k k Z,k 0, La trasformata Zeta: Z[ka k ] = az (z a) 2.

Trasformate notevoli Funzione del tempo (sequenza) δ(k) (impulso unitario) 1 Trasformata Zeta z δ 1(k) (gradino unitario) (z 1) z kδ 1(k) (rampa unitaria) (z 1) 2 δ 1(k a) (gradino con inizio k = a) z a z (z 1) a k z (potenza) z a ka k az (potenza-polinomio) (z a) 2

Alcuni teoremi [Valore finale] Sia u(k), k Z +, una funzione del tempo, con trasformata U(z). Allora, il limite per k che tende ad infinito di tale funzione, se esiste ed è finito, è dato da: z 1 lim u(k) = lim U(z). k z 1 + z Si noti che il teorema è applicabile solo se il raggio di convergenza della funzione z 1 U(z) è minore di uno, cioè solo se il cerchio unitario è tutto z interno alla regione di convergenza.

Alcuni teoremi [Valore iniziale] Sia u(k), k Z +, una funzione del tempo, con trasformata U(z). Allora il valore iniziale della sequenza, u(0), è dato da: u(0) = lim U(z). z

Antitrasformata di funzioni razionali proprie Trasformate tipiche : z f(z) invece di 1 f(s) Funzione Y(z), propria e con denominatore monico: Ipotesi: poli distinti e non nulli: Y(z) = βnzn +β n 1z n 1 + +β 1z +β 0 z n +α n 1z n 1 + +α 1z +α 0, z n +α n 1z n 1 + +α 0 = n (z p i), p i p j, i j, p i 0. i=1

Antitrasformata funzioni razionali proprie Allora, per la funzione Y(z) = 1 z Y(z) (sempre strettamente propria) si può porre: Y(z) = A0 z + A1 z p 1 + A2 z p 2 + + An z p n, Residui: A 0 A i = lim z 0 zy(z) = lim z 0 Y(z) (z p i) = lim (z p z p i)y(z) = A i = lim Y(z) i z p i z Ne segue, per la funzione di interesse Y(z): z z z Y(z) = A 0 +A 1 +A 2 + +A n, z p 1 z p 2 z p n La sequenza nel dominio del tempo; y(k) = A 0δ(k)+A 1p k 1 +A 2p k 2 + +A np k n.

Antitrasformata funzioni razionali proprie Caso generale, poli arbitrari: Y(z) = βnzn +β n 1z n 1 + +β 1z +β 0 z n +α n 1z n 1 + +α 1z +α 0. Si consideri Y(z) = 1 z Y(z) (strettamente propria)

Antitrasformata funzioni razionali proprie Y(z) = q r i i=1 j=1 r: numero di poli distinti di Y(z) (compreso polo nell origine) q i: molteplicità del polo p i Residuo A i,j: A i,j { 1 = lim z p i (q i j)! { 1 = lim z p i (q i j)! Allora, il segnale nel dominio del tempo (p 1: polo nell origine): A i,j (z p i) j, d q i j dz q i j d q i j dz q i j [ (z pi) q i Y(z) ]} [ (z pi) q i z ] } Y(z). y(k) = Z 1 [Y(z)] = q 1 A 1,jδ(k j)+ j=1 i=2 j=1 q r i ( k A i,j j ) p i k j.

Risposta libera nello stato Sistema dinamico: x(k+1) = Ax(k), x(0) = x 0, k Z + Risposta libera nello stato x(k) = A k x 0, k Z +. Nel dominio di Zeta (zi A)X(z) = zx 0 X(z) = z(zi A) 1 x 0, Nel dominio del tempo x(k) = Z 1[ z(zi A) 1] x 0, E quindi A k = Z 1[ z(zi A) 1].

Risposte complete Sistema dinamico Nel dominio Zeta E quindi: x(k+1) = Ax(k)+Bu(k), x R n,u R m,k Z + y(k) = Cx(k)+Du(k), y R p. zx(z) zx 0 = AX(z)+BU(z) Y(z) = CX(z)+DU(z), X(z) = (zi A) 1 BU(z)+z(zI A) 1 x 0, Y(z) = C(zI A) 1 BU(z)+DU(z)+zC(zI A) 1 x 0 Effetto delle condizioni iniziali e dell ingresso sullo stato e sull uscita Risposte libere (il solo effetto delle condizioni iniziali): X l (z) = z(zi A) 1 x 0, Y l (z) = zc(zi A) 1 x 0 Risposte forzate (il solo effetto dell ingresso) X f (z) = (zi A) 1 BU(z), Y f (z) = C(zI A) 1 BU(z)+DU(z). La matrice di trasferimento W(z) = C(zI A) 1 B +D,