1) Un solenoide rettilineo indefinito di raggio r = 5 cm con una densità di spire n=1 spire/m è attraversato da una corrente i(t)=i e -kt con k=1 s -1. Una spira quadrata di lato L= 3 cm e resistenza = 1 kω è posta coassialmente al solenoide. Si determini la costante i o se al tempo t =1ms la corrente che scorre nella spira è pari a I s = 4 ma. Calcolare inoltre: a) l energia totale dissipata nella spira, b) la carica totale che ha attraversato la spira e c) il coefficiente di mutua induzione. Il solenoide rettilineo genera un campo magnetico uniforme all interno del solenoide pari a B = μ o n i e kt La forza elettromotrice indotta nella spira rettangolare è calcolabile dalla variazione di flusso del campo di induzione magnetica concatenato dalla spira rettangolare (la zona dove c è campo magnetico è solo dentro al solenoide). E = dφ(b) = πr 2 μ o n i ke kt Pertanto la corrente indotta nella spira rettangolare al tempo t è I s = E = πr2 μ o n i ke kt i = I se kt πr 2 = 11 A μ o n k a) L energia dissipata nella spira è E = P(t) = i(t) 2 = (πr2 μ o n i k) 2 e 2kt b) La carica totale che attraversa la spira è calcolabile dalla legge di felici q = Φ(t = ) Φ(t = ) = πr2 μ o n i = (πr2 μ o n i ) 2 k 2 = 1.9 1 8 C c) Il coefficiente di mutua induzione si calcola sfruttando la sua definizione M = Φ(B) i = πr 2 μ o n = 1μH = 59.1 nj
2) Una spira quadrata di lato L=1m e resistenza =5Ω si muove con velocità costante v=1 m/s entrando, come illustrato in figura, in una regione di spazio di lunghezza h=l/2 in cui è presente un campo d induzione magnetica B(x)=Ax con direzione entrante perpendicolarmente al foglio, dove A=1 T/m è e x la direzione dello spostamento della spira. Si determini: 1. La corrente minima e massima che fluisce nella spira quando essa compie un passaggio completo nella regione in cui è presente campo magnetico, specificando il verso di percorrenza 2. Il lavoro totale eseguito dalla forza esterna per trascinare la spira alla velocità costante v Calcoliamo il flusso del campo magnetico attraverso la superficie della spira in funzione di x Φ(B) = B ds = BdS = AxLdx = 1 2 ALx2 Nell espressione precedente abbiamo tenuto conto che B è antiparallelo alla normale alla superficie della spira e abbiamo diviso l area della spira in rettangoli infinitesimi di lati L e dx. La corrente indotta nella spira è i = 1 dφ(b) = 1 d(alx 2 ) = ALvx 2 Durante il passaggio della spira all interno della regione in cui è presente il campo magnetico, la corrente ha un valore massimo quando il lato AB della spira ne sta entrando e successivamente quando il lato DC ne sta uscendo. Nel primo caso il verso di percorrenza della corrente è in senso antiorario mentre, nel secondo caso è in verso orario. i max (x = h) = AL2 v 2 =.1 A Nella situazione per la quale la regione deve è presente il campo magnetico è completamente contenuta all interno della superficie della spira, il flusso è costante e di conseguenza la corrente minima è zero. La forza esterna che deve essere applicata affinché la velocità rimanga costante deve essere, istante per istante uguale e contraria alla forza che il campo magnetico esercita sulla spira. Si deve avere Pertanto il lavoro è F e = F m (x) = ilb(x) = A2 L 2 vx 2 L = F e L dx = A2 L 5 v 3 =.67 J
3) Una spira quandrata di lato L=12 cm si muove con velocità costante v=1m/s ed entra in una regione in cui è presente un campo magnetico B=kx, con k=11 T/m, ortogonale alla superficie della spira, la attraversa completamente ed esce. La regione con campo magnetico è lunga la metà della spira. Determinare: 1. La resistenza della spira se la corrente indotta nell istante in cui il primo lato della spira ha percorso un tratto x=l/2 nella zona con campo magnetico è I =1.2 A. 2. Il valore della forza magnetica quando il lato più a destra della spira si trova in una posizione generica x della zona di campo magnetico 3. La potenza dissipata nella spira quando il lato destro della spira si trova nella posizione x=l/4 4. Il valore della carica che ha percorso la spira dopo che questa è uscita completamente 1. Quando la spira è a cavallo della zona di campo magnetico, vi è variazione di flusso di B. Quindi la corrente che circola nella spira di resistenza è per x=l/2 abbiamo i = kl2 v 2 i = 1 dφ(b) = 1 d(kxlx) = klvx = kl2 v i = 66Ω 2. La forza magnetica applicata si calcola dalla seconda equazione di Laplace F = ilb = klvx Lkx = (kl)2 vx 2 3. La potenza dissipata nella spira è pari a P = i 2. Quando il lato destro della spira si trova nella posizione x=l/4, avremmo che la corrente che circola è i = kl2 v 4 P = k2 L 4 v 2 16 = 16.5 W quindi 4. Poiché il flusso iniziale (prima che la spira attraversi la zona di campo magnetico) e quello finale (dopo che la spira è uscita dalla zona di campo magnetico) sono nulli, dalla legge di Felici ricaviamo che la carica totale che ha percorso la spira è nulla. q = Φ i Φ f =
4) Tre fili conduttori rettilinei indefiniti e paralleli sono disposti a distanza d= 1 cm l uno dall altro. Una spira quadrata di lato L= 2d giace nel piano dei fili, anch essa distante a distanza d. La spira ha resistenza. I tre fili sono percorsi dalle correnti i 1= 1 A, i 2= 2 A e i 3= i e -t/τ A, i = 3 A, con τ= 1 s. Calcolare a) Il campo magnetico al centro della spira al tempo t= (trascurando la spira) b) La forza per unità di lunghezza sul filo 3 al tempo t= (trascurando la spira) c) La resistenza della spira sapendo che al tempo t= la corrente indotta nella spira vale i s,=55 µa. d) La carica che è circolata nella spira da t= a t= a)prendiamo come asse positivo, l asse perpendicolare al piano uscente dal foglio. Il campo magnetico in A al tempo è calcolabile dalla legge di Biot-Savart B A (t = ) = μ oi 1 2π(4d) + μ oi 2 2π(3d) μ oi 2π(2d) = μ o( 3i 1 + 4i 2 6i ) = 2.17 1 4 T 2π(12d) b)la forza applicata al filo percorso da corrente i 3 è calcolabile con l equazione di Laplace F 3 = i B 3 (t = ) = i ( μ oi 1 2π(2d) + μ oi 2 2πd ) = μ o(2i 2 i 1 )i =.9 N/m 2π(2d) c)la corrente i 3 è variabile nel tempo e quindi induce una corrente nella spira pari a Al tempo t= i s = 1 dφ(b 3 ) = 1 d+l μ oi o e 2τπx d t τ Ldx = μ oi o Le t τ 2τπ i s, = μ oi o L 2τπ ln3 = μ oi o L ln3 =.2 Ω 2i s, τπ d + L ln d d)la carica che circola nella spira è q = i s = μ oi o Lln3 2τπ e t τ = μ oi o Lln3 2π = τi s, = 5.5 μc
5) Un circuito chiuso di resistenza =4 Ω è costituito da un filo conduttore rivestito di materiale isolante, piegato a forma di infinito. Le superfici delimitate dal filo hanno area A 1 = 1 m 2 e A 2=.2 m 2. Il circuito è immerso in un campo magnetico uniforme perpendicolare al suo piano e variabile nel tempo secondo la legge B(t)=kt 2 con k= 4 T/s costante. Calcolare la corrente indotta che circola nel circuito specificando il verso e la potenza dissipata al tempo t 1 = 1 s. A 1 A 2 o B(t) La corrente indotta è data dalla legge di Faraday i = 1 dφ A1 (B) 1 dφ A2 (B) Al tempo t 1 la corrente vale i = 16 A La potenza dissipata al tempo t 1 è P(t = t 1 ) = i 2 = 1.2 kw = 2ktA 1 + 2ktA 2 = 2k (A 2 A 1 )t 6) Una bobina di N spire circolari di raggio r e resistenza può ruotare intorno ad un asse coincidente con un diametro. La bobina è immersa in un campo magnetico uniforme, costante nel tempo, di valore B perpendicolare all asse di rotazione della bobina. Calcolare il momento meccanico massimo fornito da un motore esterno per mantenere la bobina in rotazione con velocità costante ω. La corrente indotta nella bobina è i = 1 dφ(b) = 1 d(nb o πr 2 cos(ωt)) = NB oπr 2 ω sen(ωt) Il momento magnetico della bobina è la somma dei N momenti magnetici delle singole spire e vale m = Niπr 2 Il momento meccanico che deve fornire il motore deve essere uguale e contrario al momento meccanico che agisce sulla spira M mecc = m B = mb sen(ωt) M mecc = N2 B 2 o (πr 2 ) 2 ω sen 2 (ωt) M mecc,max = N2 B 2 o (πr 2 ) 2 ω
7) Una spira quadrata di lato L= 5 cm, resistenza = 1 Ω e massa m=1 g è posta su un piano verticale che contiene un filo indefinito percorso da corrente i= 5 A. La spira, partendo dalla posizione y=, cade sottoposta alla forza di gravità. Trascurando le forze magnetiche sulla spira, calcolare a) Il verso e il valore della corrente indotta nella spira al tempo t 1=.5 s b) Tenendo conto delle forze magnetiche, scrivere l espressione dell accelerazione della spira in funzione del tempo a)il filo per la legge di Biot-Savart, genera un campo magnetico μ i entrante nel foglio 2πy La spira si muove con legge oraria y(t) = 1 2 gt2. Il flusso concatenato dipende dall istante t nel quale si misura il flusso y+l Φ(t) = μ ildy 2πy La forza elettromotrice indotta sarà y = μ il 2π f. e. m = dφ(t) Pertanto, al tempo t 1, la corrente che circola nella spira è I = f. e. m + L ln (y y ) = μ il 2π ln + 2L (gt2 gt 2 ) = μ i πt 2L 2 (gt 2 + 2L) = μ i 2L 2 πt 1 (gt 2 =.16 μa 1 + 2L) Il verso della corrente è orario, tale da generare un campo entrante alla spira per sostenere la diminuzione di flusso magnetico b) la spira è sottoposta alla forza di gravità ed alla forza magnetica che agisce sui lati orizzontali Pertanto l accelerazione è F y = mg ILB(y(t)) + ILB(y(t) + L) = mg μ iil 2πy(t) + μ iil 2π(y(t) + L) a = F y m = g μ iil πmgt 2 + μ iil πm(gt 2 + 2L)
8) La barretta conduttrice di lunghezza l= 2 cm e resistenza =.5 Ω, è vincolata ad un estremo ma libera di ruotare intorno ad esso. L altro estremo scivola senza attrito lungo una guida semicircolare mantenendo il contatto elettrico. Un filo conduttore di resistenza trascurabile tra la base della guida ed il vincolo chiude il contatto elettrico. La barretta inizialmente in posizione verticale, si trova in una zona in cui vi è campo magnetico B=1.5 T uniforme, costante e perpendicolare al piano (entrante), viene posta in rotazione con velocità angolare ω=1 rad/s in senso orario. Calcolare a) la corrente che scorre nella barretta e il verso della corrente e c) l energia dissipata. La forza elettromotrice indotta è f. e. m = dφ(t) = B ds La superficie della spira possiamo scriverla rispetto al tempo S(t) = 1 2 l2 θ(t) = 1 2 l2 ωt f. e. m = B 1 2 l2 ω La corrente che scorre nella sbarretta è i = Bl2 ω =.6 A e il verso è antiorario dovendosi opporre alla 2 variazione di flusso che diminuisce con l area. La barretta avrà percorso un angolo di 9 prima di giungere a terra in un tempo t 1 = π L energia dissipata è E = t 1 i 2 = i 2 t 1 = i 2 t 1 =.1 J 2ω =.16 s
9) Il circuito in figura costituito da un generatore f= 1 V e un induttore L= 1 mh è immerso in un campo magnetico uniforme perpendicolare al piano del foglio con verso entrante e di modulo B= 2 T. Una sbarretta conduttrice di lunghezza l=1 cm e resistenza =2 Ω ciude il circuito. Al tempo t= essa inizia a muoversi verso destra con velocità v= 1 m/s. Calcolare la tensione ai capi della sbarretta al tempo t = 1 ms Prima che la sbarretta inizia a muoversi, nel circuito scorre una corrente in senso orario pari a i = f Quando la sbarretta inizia a muoversi c è una f.e.m indotta ai capi della sbarretta che fa circolare una corrente indotta che circola in verso antiorario nel circuito f i = dφ(b) = Blv i i = 1 dφ(b) = Blv C è quindi una variazione di corrente. Poiché è presente un induttore L, possiamo quindi scrivere f f i L di di = i ->L = i + f f i -> Si ottiene f f i i = e L t i = (f f i ) f f i i di = f f i i (1 e L t ) + i e L t L -> i ( )di i f f i i t o = ΔV = i(t = t ) = (f f i ) (1 e L t ) + i e L t =.73 V L
1) Nel circuito in figura è presente un generatore di f.e.m. pari a 9 V, due resistenze 1= 9 Ω e 2= 81 Ω e un induttore L. All istante iniziale, viene chiuso l interruttore. Determinare la corrente massima e minima fornita dal generatore L induttanza appena è chiuso l interruttore si comporta come una resistenza infinita per cui la corrente che circola passa solo nella serie delle due resistenze e vale i max = f 1 + 2 =.1 A Mentre quando è trascorso molto tempo l induttanza si comporta come una resistenza nulla, quindi la corrente che circola passa sono nella resistenza 1 i min = f 1 = 1 A
11) Un conduttore rettilineo passa una corrente i=1 A. Nel punto A è sagomato tale che i due tratti AB e BC sono i lati di un quadrato. Alla destra di questo conduttore se ne colloca un altro ad esso adiacente in cui scorre una corrente i, che in corrispondenza del punto a è piegato a formare un semicerchio di diametro AC. Calcolare i in modo tale che nel punto il campo magnetico è nullo. A B i C I due tratti rettilinei generano un capo magnetico nel punto calcolabile con la I equazione di Laplace; infatti ogni tratto infinitesimo dl del filo genera un campo magnetico. Si ottiene nel punto a distanza d dall asse del filo lungo 2a un campo magnetico pari a Nel nostro caso la lunghezza del filo è 2a = AC B = μ ia B = 2πd d 2 + a 2 2 e la distanza d = AC 2 2 μ iac/2 2 2π AC AC ( 2 2 2 2 )2 + ( AC 2 2 )2 ottenendo un campo = μ i ACπ Il tratto circolare percorso da corrente i vale metà del campo magnetico di una spira circolare di raggio AC/2 calcolato al centro B = μ i 4( AC = μ i 2 ) 2AC Pertanto la corrente i deve scorrere in verso opposto a i e dobbiamo imporre che 2B B = 2μ i = μ i ACπ 2AC i = 4i = 12.7 A π
12) In una spira quadrata di lato a= 2 cm e resistenza =.1 Ω è presente una induttanza L=1mH. Essa è posta ad una distanza a/2 da un filo retilineo indefinito percorso da una corrente che varia nel tempo secondo la legge i(t)=i t/t con i =1 A e T=1 ms. Determinare la forza elettromotrice indotta nella spira, la corrente che scorre al tempo T e il valore massimo dell energia magnetica accumulata nella spira. Il flusso del campo magnetico generato dal filo sulla superficie della spira è Φ(B) = La forza elettromotrice indotta nella spira è 3a/2 a/2 f i = dφ(b) μ i(t)adx 2πx = μ i(t)a ln3 2π = μ i a ln3 =.44 mv 2πT La corrente circola in seno antiorario e la presenza della induttanza fa sì che la corrente vari nel tempo seguendo una funzione Al tempo t=t, la corrente è pari a i(t) = f i i(t) = f i (1 e L t ) (1 e L T ) =.42 ma La massima energia magnetica accumulata si ha in corrispondenza della massima corrente che circola nella spira che si ha per t, i max = f i U m = 1 2 Li max 2 = 1 2 L(f i )2 = 9.68 1 6 J
13) Un solenoide ha una densità di spire per unità di lunghezza pari a n=1 spire/m e raggio =2 cm. All interno del solenoide è inserita una piccola spira quadrata di lato a= 4 cm e resistenza s=1ω con il piano delle spira perpendicolare all asse del solenoide. Determinare la corrente da fornire al solenoide affinché il campo al suo interno sia pari a B=.3T, il coefficiente di mutua induzione tra spira e solenoide e la carica che ha percorso la spira nella fase di accensione del solenoide. Il campo magnetico all interno di un solenoide è B = μ ni pertanto i = B μ n = 24 A Il coefficiente di mutua induzione si calcola dal flusso del campo sull area della spira quadrata M = Φ(B) i La corrente indotta nella spira vale per induzione mutua a = μ na 2 = 2 1 6 H i s = f i = M di s Pertanto la corrente passa da a i e la carica che percorre la spira è Q = i s = M di = M = 48 s s μ n 1 6 C B s