Clolo integrle per unzioni di un vriile Clolo integrle Integrle deinito Si :[,] R, limitt ξ ξ ξ ξ 4 ξ 5 = 4 5 = Costruimo l somm di Cuhy-Riemnn n n S n j j j j j n j Dove l suddivisione dell intervllo [,] è individut di punti,,,,, jh h n n j, n n=5
Integrle deinito L selt dei punti è ritrri ξ j ξ ξ ξ ξ 4 ξ 5 = 4 5 ξ 6 ξ 7 n=7 ll umentre dei punti dell suddivisione di [,] ument il numero degli ddendi dell somm di Cuhy- Riemnn e tli ddendi diminuisono in vlore ssoluto 6 7 = Integrle deinito Deinizione Si die he l unzione :[,] R, limitt, è integrile seondo Riemnn in [,], se dett S n l somm di Cuhy-Riemnn, esiste inito il limite di S n per n, e tle limite non dipende dll selt dei punti ξ j. llor si pone lims n d n Si legge «integrle d in d» si him unzione integrnd e è l vriile d integrzione ed è un vriile mut: t dt h lo stesso signiito di d
Integrle deinito, interpretzione geometri d, I d, I= [,] è il dominio di integrzione, e sono gli estremi di integrzione. Se è positiv llor d rppresent l re del «sottogrio» di. Intti l somm S n rppresent un pprossimzione dell re del «trpezoide T» individuto d : T :, y R :, y Integrle deinito, interpretzione geometri Se d re di T Se in [,], mi segno llor è sempre un numero m non rppresent più l re del sottogrio di. d Osservzione d è un numero, non dipende d.
Integrle deinito, interpretzione geometri Se mi segno in [,], e si vuole lolre l re del sottogrio di, llor si deve suddividere l intervllo in tnti intervllini in ui è di segno ostnte: re del sottogrio di d d d d d Integrle deinito L insieme delle unzioni integrili seondo Riemnn in I=[,] si indi on RI o R[,]. RI non è vuoto, intti ogni unzione ostnte y= è integrile su qulunque intervllo [,] e si h d y= Per qulunque suddivisione di [,] si h S n n j j j j n n j ++ + n volte 4
5 Integrle deinito, lssi di unzioni integrili Teorem. Se :[,] R è ontinu, llor è integrile. Teorem. Se :[,] R è monoton e limitt, llor è integrile. Teorem. Se :[,] R è limitt in [,] on un numero inito di punti di disontinuità, llor è integrile. Questo teorem si può estendere lle unzioni limitte on un ininità numerile di punti di disontinuità, ioè i punti di disontinuità possono essere ininiti m non devono essere «troppi». L unzione di Dirihlet su [,]: è limitt e non è integrile seondo Riemnn i punti di disontinuità sono «troppi»: tutto [,] Intti se si selgono i punti ξ j rzionli si h Se invee si selgono i punti ξ j irrzionli si h Q se Q se [,] - ], [ S n j j j n j j j j n n j j j n j j j j n S
Integrle deinito, proprietà Sino e g integrili in [,], llor:. Linerità dell integrle: se α e β sono ostnti l unzione α+βg è integrile e si h g d d g d. dditività dell integrle rispetto ll intervllo di integrzione: Se s llor è integrile nhe su [,s] e [s,] e: d d s d s Integrle deinito, proprietà. Positività e monotoni: In prtiolre d g d g d d d Per onvenzione, se < si pone d d 6
Teorem dell medi integrle i Si limitt e integrile seondo Riemnn in [,] llor m d M Dove m in e M sup [, ] [, ] ii Se è ontinu su [,],: d vlor medio integrle di su [,] Teorem dell medi integrle Dimostrzione i Essendo limitt si h m M Integrndo memro memro su [,]: m d M ii Indihimo on y il vlore y d he è un vlore ompreso tr m e M. Essendo ontinu, per il teorem dei vlori intermedi, esisterà,: = y ioè l tesi 7
Teorem dell medi integrle y= C D R re C = re D re =rer Integrle indeinito 8
Funzione integrle Deinizione Si un unzione integrile seondo Riemnn nell intervllo [,] e [,], si deinise unzione integrle di, l integrle deinito: F t dt Teorem ondmentle del lolo integrle Si ontinu in [,], llor l unzione integrle F t dt [,] e si h è di lsse C [,] F ed F ontinue in F [, ] Dimostrzione Srivimo il rpporto inrementle di F: F h F h h h h t dt t dt t dt h 9
Teorem ondmentle del lolo integrle Per il Teorem dell medi integrle pplito d in [,+h], :, h h Si è ottenuto Ed essendo ontinu in [,] si h l tesi: h dt t h h h h F h F lim lim h h F h F F h h Integrle indeinito Osservzione L ipotesi di ontinuità per è ondmentle per l derivilità di. Intti se è solo integrile non si può ermre he F è derivile. Esempio è integrile m non è ontinu, F è ontinu m non è derivile in =. F segn
Integrle indeinito Deinizione Un unzione F, derivile in [,], si him primitiv di se Esempio F [, ] Un primitiv di = os è l unzione F=sin. Se = F Integrle indeinito Se F è un primitiv di lo è nhe F + Intti F F Deinizione L migli di tutte le primitive di un unzione ontinu in [,] è dett integrle deinito e si indi: d quindi d F
Integrle indeinito Corollrio del Teorem ondmentle del lolo integrle Si un unzione ontinu su [,] e G un primitiv di. llor d G G G G Esempio os d sin sin sin d 7 Dimostrzione Se G è un primitiv di llor : st porre = e si ottiene G t dt t dt G G. Questo è il legme tr l integrle deinito e l integrle indeinito d. d è un numero rele d è un insieme di unzioni d
Integrle indeinito, proprietà Dlle proprietà delle derivte si ottiene: ostnte d d ii d g d d g i,, Integrle indeinito Integrli indeiniti immediti, sin os, os sin,, ln, d d e d e d d rtg d d d tg d ros rsin os
Integrli indeiniti immediti Riordndo l derivt di unzione ompost, si h g g d g Eserizio sin d d sin ln os os os Integrli indeiniti immediti Eserizio sin os d d rtg d 4
Integrzione per prti Sino e g due unzioni derivili on derivt ontinu, si h = ttore inito g d g d g g d ttore dierenzile L ipotesi he le derivte di e g sino ontinue ssiur he gli integrli sino en deiniti. Integrzione per prti Dimostrzione Considerimo l ormul di derivzione di un prodotto g g g Integrndo memro memro si h g d g d g d essendo g un primitiv dell su derivt si ottiene l tesi g 5
Integrzione per prti Eserizio Utilizzndo il metodo di integrzione per prti lolre os d ln d Integrzione per prti e sin d os d 6
Integrzione per sostituzione È sto sull regol di derivzione dell unzione ompost. Si ontinu e g un unzione derivile on derivt ontinu, si h d g t g t g t dt se =gt llor d=g tdt è il dierenzile di gt. Integrzione per sostituzione Se F è un primitiv di, riordndo l regol di derivzione dell unzione ompost si h F g t F g t g t g t g t Cioè F g t è un primitiv di g t g t Il risultto dell integrzione per sostituzione è in unzione di t. Per esprimerlo in unzione di oorre he gt si invertiile, in tle so sterà risostituire t: t g. 7
Integrzione per sostituzione Eserizio Utilizzndo il metodo di integrzione per sostituzione lolre e d on l sostituzione t, t e e d Integrzione per sostituzione Se l integrle è deinito: d e si eettu l sostituzione =gt, supponendo he g si h d g d g t g t dt d 8
Integrzione per sostituzione Eserizio Clolre d on l sostituzione sint 9
Metodo di integrzione delle unzioni rzionli rtte N d, D N, D polinomi in so: grdon < grdod D h rdii reli semplii: si determinno le rdii del denomintore D e lo si sompone in ttori Integrzione delle unzioni rzionli rtte Eserizio d D Si devono erre ostnti e B in qunto sono i ttori semplii in ui è somposto il polinomio D: B B B
Integrzione delle unzioni rzionli rtte Per il prinipio di identità dei polinomi, i polinomi numertore del e dell ultimo memro, sono uguli se sono uguli i rispettivi oeiienti ioè B B B e quindi d d d ln Integrzione delle unzioni rzionli rtte Eserizio d D h rdii reli multiple si h D : un rdie semplie e un rdie multipl di moltepliità rdie doppi si devono erre ostnti : B C B C
Integrzione delle unzioni rzionli rtte C B B B C B B C d d d d ln Integrzione delle unzioni rzionli rtte D h rdii omplesse oniugte semplii Eserizio d D= + + + = + + rdii: =- rele semplie = i omplesse oniugte C B
C B C C B B Integrzione delle unzioni rzionli rtte E quindi si ottiene d d d d d d 4 rtg ln 4 ln Integrzione delle unzioni rzionli rtte Non onsiderimo il so di rdii omplesse multiple so: grdon grdod In questo so si deve eseguire l divisione tr il polinomio numertore N e il polinomo denomintore D: r q D N resto dell divisione r quoziente dell divisione q
4 Integrzione delle unzioni rzionli rtte D r q D N on r un polinomio di grdo ineriore quello di N: d D r d q d D N Integrle di unzione rzionle inter polinomio Integrle di unzione rzionle rtt so Integrzione delle unzioni rzionli rtte Eserizio d 4 5 grdon=5 > grdo D =4 Eettundo l divisione tr i due polinomi si ottiene q=, r= - -+ 4 4 5
5 4 B D B C D C B Integrzione delle unzioni rzionli rtte D C B B D B C Integrzione delle unzioni rzionli rtte Si h rtg d d d d d d d ln 4 4 5
6 Si Con unzione ontinu e pplizioni dell integrle deinito Clolo dell re di un igur pin, :, y R y T ], [ in d T re Si Con e g unzione ontinue. pplizioni dell integrle deinito Clolo dell re di un igur pin T, :, y g R y T d g T re g
7 Se ioè llor: pplizioni dell integrle deinito Clolo dell re di un igur pin T, :, y R y T d T re Clolre l re dell regione y e R y T ln, :,
Clolre l re dell porzione di pino ompres tr l sse delle, il grio dell unzione y=e on [-,] Clolre l re dell porzione di pino ompres tr le due prole di equzione y e y 8
Integrli impropri o generlizzti Integrli impropri o generlizzti L operzione di integrzione si può estendere l so di unzioni non limitte e d intervlli non limitti d d Si :, ] R tle he,, è integrile seondo Riemnn in [, ] ioè esiste l integrle I d 9
Integrli impropri o generlizzti Deinizione Se esiste inito il limite lim I llor si die he è integrile in senso improprio e tle limite si him integrle improprio o generlizzto e si indi lim I d Integrli impropri o generlizzti Eserizio d
Integrli impropri o generlizzti Eserizio d Integrli impropri o generlizzti Eserizio. d,, si h d non onverge se se
Integrli impropri o generlizzti Nel so in ui :[, R non è limitt in = m è integrile in [, ] llor si pone Se tle limite esiste inito. Se inoltre l unzione non è limitt in, llor si die he è integrile in senso improprio se è integrile in senso improprio in [,] e in [,] e si pone d lim d d d d Integrli impropri o generlizzti Considerimo or intervlli illimitti: [,, ], Deinizione Si :[, R integrile su ogni intervllo [,β] on β>, ponimo J d Se esiste inito il limite lim J llor si die integrile in senso improprio su [, e tle limite si him integrle improprio o generlizzto di in [, : d lim d
Integrli impropri o generlizzti nlog deinizione per è integrile su [-β,] d dove :, ] R Per qunto rigurd l integrle integrile su ogni intervllo limitto, si pone: d d d, e i due integrli impropri onvergenti d on R Integrli impropri o generlizzti Eserizio. Dire se onverge o esiste in senso improprio il seguente d d
Integrli impropri o generlizzti Eserizio. d,, si h d non onverge se se 4