Sommario di teoria dei circuiti

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1 B Sommario di teoria dei circuiti B.1 Introduzione I dispositivi utilizzati nei sistemi elettronici sono descritti normalmente mediante circuiti equivalenti. Lo studio delle prestazioni e il progetto di apparati elettronici richiedono pertanto la conoscenza dell analisi circuitale. Questa appendice contiene un riepilogo dei teoremi fondamentali sui circuiti e delle tecniche di analisi normalmente impiegate nello studio di sistemi elettronici. B.2 Prima legge di Kirchhoff La prima legge di Kirchhoff, anche nota come legge di Kirchhoff per le correnti afferma che la somma algebrica delle correnti che confluiscono a un nodo è nulla. Cioè I n in cui con I n dove n 1, 2, 3,..., è indicata ciascuna delle correnti ed N è il numero di rami che convergono al nodo considerato. ESEMPIO B.1 Calcolo delle correnti in due resistenze in parallelo Per il circuito rappresentato in Fig. B.1 determinare le correnti I 1 e I 2. Figura B.1 Partizione di corrente in due resistenze Nodo 1 I S I 1 I 2 I S 12 ma 1 4 k 8 k

2 2 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti SOLUZIONE Applicando la prima legge di Kirchhoff al nodo 1 si ottiene I S I 1 I 2 o I S I 1 I 2 (B.1) Poiché le resistenze 1 e, sono sottoposte alla stessa tensione, si può scrivere 1 I 1 I 2, da cui si ottiene I 2 1 I 1. Sostituendo questa nell Eq. (B.1) si trova 1 1 I S I 1 I 1 I dalla quale si ricava la corrente I 1 in 1 I 1 I S (B.2) 1 8 k 12 ma 8 ma 4k 8k Allo stesso modo, sostituendo I 1 I 2 1 nell Eq. (B.1) e semplificando, si ottiene la corrente I 2 in nella forma 1 I 2 I S (B.3) 1 4 k 12 ma 4 ma 4k 8k NOTA: Le Eq. (B.2) e (B.3) forniscono la partizione della corrente nei due resistori. L insieme delle due equazioni definisce la regola del partitore di corrente. ESEMPIO B.2 Calcolo delle correnti in tre resistenze in parallelo Determinare le correnti I 1, I 2 e I 3 nel circuito in Fig. B.2. Figura B.2 Partizione di corrente in tre resistenze Nodo 1 I S I 1 I 2 I 3 I S 12 ma 1 2 k 4 k 3 6 k SOLUZIONE La corrente I S fornita dal generatore si divide nelle tre correnti I 1 in 1, I 2 in e I 3 in 3. Applicando la legge di Kirchhoff per le correnti al nodo 1 si ottiene I S I 1 I 2 I 3 o I S I 1 I 2 I 3 (B.4) Poiché le resistenze 1, e 3, sono sottoposte alla stessa tensione, si può scrivere 1 I 1 I 2 3 I 3, che fornisce I 2 1 I 1 e I 3 1 I 1 3. Sostituendo queste ultime nell Eq. (B.4), si ottiene I S I 1 I 1 I 1 I da cui si ricava la corrente I 1 in 1 nella forma I 1 I S I S (B.5) k6 k 12 ma ma 2 k4 k4 k6 k6 k2 k

3 Paragrafo B.3 Seconda legge di Kirchhoff 3 Sostituendo I 1 I 2 1 e I 3 I 2 3 nell Eq. (B.4) si ottiene la corrente I 2 in come 1 1 I 2 3 I S I S (B.6) k6 k 12 ma ma 2 k4 k4 k6 k6 k2 k Allo stesso modo, sostituendo I 1 3 I 3 1 e I 2 3 I 3 nell Eq. (B.4) si ottiene l espressione della corrente I 3 in I 3 2 I S I S (B.7) k4 k 12 ma ma 2 k4 k4 k6 k6 k2 k B.3 Seconda legge di Kirchhoff La seconda legge di Kirchhoff, anche nota come legge di Kirchhoff per le tensioni,afferma che la somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla. Cioè V n in cui con V n con n 1, 2, 3,..., è indicata la tensione su ciascuno dei rami del percorso ed N è il numero di rami che costituiscono la maglia considerata. ESEMPIO B.3 Calcolo delle tensioni su due resistenze in serie Per il circuito rappresentato in Fig. B.3 determinare le tensioni e V 1 rispettivamente sulle resistenze 1 ed. Figura B.3 Partizione di tensione in due resistenze 24 V I I S 1 4 k 8 k V 1 V 2 V O SOLUZIONE Applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia I si ottiene V 1 V 2 o V 1 V 2 (B.8) Poiché le resistenze 1 ed, sono percorse dalla medesima corrente I S,è possibile scrivere V 1 1 I S e V 2 I S. Sostituendo le espressioni di V 1 e V 2 nell Eq. (B.8) si ottiene V 1 V 2 1 I S I S ( 1 )I S dalla quale si ricava la corrente I S I S ma 4k 8k Perciò la tensione V 1 su 1 è 1 V 1 1 I S (B.9) 1 4 k 24 8 V 4k 8k

4 4 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti Allo stesso modo, la tensione V 2 su si scrive V 2 I S (B.1) 1 8 k V 4k 8k Le Eq. (B.9) e (B.1) forniscono la partizione di tensione su due resistenze solo quando la corrente che le percorre è la stessa, cioè quando esse sono collegate in serie. L insieme delle due equazioni è anche detto regola del partitore di tensione. ESEMPIO B.4 Studio di un circuito con un generatore di corrente controllato in corrente Per il circuito rappresentato in Fig. B.4, valutare le correnti I B, I C e I E e la tensione V C. Assume Th 15 k, r 1 k, C 2 k, E 5, F 1, V CC 3 V e V Th 5 V. Figura B.4 Circuito con un generatore di corrente controllato in corrente Th C I B I C V Th r V 1 Nodo 1 b F I B v C V CC I E V E II I E SOLUZIONE Applicando la legge di Kirchhoff per le correnti al nodo 1 si ottiene I E I B I C I B I B (1 F )I B Dalla legge di Kirchhoff per le tensioni applicata alla maglia I si trova V Th Th I B r I B E I E Th I B r I B E (1 F )I B dalla quale si ricava V Th I B Th r E (1 F ) A 15 k1 k5 (1 1) La corrente I C,che dipende solo da I B, può essere ricavata dalla (B.11) (B.12) Quindi e F V Th I C I B Th E (1 F ) A 15 k1 k5 (1 1) I E I B I C A 7519 A 7594 A V C V CC I C C A 2 k14.96 V (B.13)

5 Paragrafo B.4 Teorema di sovrapposizione degli effetti 5 La tensione V E può essere ricavata dalla V E E I E E (I C I B ) E ( F I B I B ) E I B (1 F ) Essendo I C F I B, si ottiene V E E I B (1 F ) E I C (1 F ) F Così E offre una resistenza E (1 F ) alla corrente I B nella maglia I e una resistenza E (1 F ) F alla corrente I C nella maglia II. Perciò E può essere scomposta o riflessa nella maglia I e nella maglia II, modificandone il valore in modo che la tensione V E risulti invariata sia nella maglia I, sia nella maglia II. Questo procedimento è schematizzato in Fig. B.5. Figura B.5 Scomposizione della resistenza E Th I B C I C V Th r b F I B v C 1 b (1 b F ) E V E V E F E b F V CC B.4 Teorema di sovrapposizione degli effetti Il teorema di sovrapposizione degli effetti afferma che in una rete lineare la corrente in un elemento circuitale o la tensione ai suoi capi è uguale alla somma algebrica delle correnti o delle tensioni prodotte indipendentemente da ciascun generatore. Per calcolare l effetto di ciascuno dei generatori, gli altri generatori indipendenti devono essere disattivati, cortocircuitando i generatori di tensione e lasciando aperti quelli di corrente. Devono tuttavia essere considerate le resistenze dei generatori disattivati. ESEMPIO B.5 Calcolo della tensione d uscita mediante il teorema di sovrapposizione degli effetti Il circuito in Fig. B.6 comprende un generatore di tensione continua V DC 1 V e un generatore di tensione alternata v ac 15 sin (377t), 1 2 k ed 3 k. Calcolare la tensione d uscita v O,applicando il teorema di sovrapposizione degli effetti. Figura B.6 Circuito per l Esempio B.5 1 i v ac ~ V DC v O SOLUZIONE V DC 1 V, v ac 15 sin (377t), 1 2 k ed 3 k. Il circuito equivalente in corrente continua con il solo generatore V DC è riportato in Fig. B.7(a); la tensione d uscita dovuta a V DC è 3 k V O1 V DC 1 6 V 1 2k 3k In Fig. B.7(b) è rappresentato il circuito equivalente in corrente alternata con il solo generatore v ac la tensione d uscita dovuta a v ac è 3 k v o2 v ac 15 sin (377t) 9 sin (377t) 1 2k 3k

6 6 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti Figura B.7 Circuiti equivalenti per l Esempio B.5 1 I 1 V DC 2 (a) Circuito equivalente con il solo generatore 1 V O1 v ac ~ 1 i 2 (b) Circuito equivalente con il solo generatore 2 v o2 Perciò la tensione d uscita risultante v O è data dalla somma delle tensioni prodotte in uscita da ciascuno dei generatori. Dunque v O V O1 v o2 6 9 sin (377t) 3 [2 3 sin (377t)] ESEMPIO B.6 Calcolo della tensione d uscita mediante il teorema di sovrapposizione degli effetti In Fig. B.8 è rappresentato un circuito con tre tensioni d ingresso 1, 2 e 3. Calcolare la tensione d uscita V O, utilizzando il teorema di sovrapposizione degli effetti. Assumere 1 2 k, 4 k, 3 6 k, 1 1 V, 2 12 V e 3 15 V. Figura B.8 Circuito per l Esempio B V S2 1 1 Nodo 1 V O SOLUZIONE Il circuito equivalente con il solo generatore 1 è rappresentato in Fig. B.9(a). Applicando la regola del partitore di tensione, è possibile calcolare la tensione d uscita dovuta a 1 come 3 4 k 6 k V O V k (4 k 6 k) In Fig. B.9(b) è rappresentato il circuito equivalente con il solo generatore 2 la tensione d uscita dovuta a questo è k 6 k V O V k (2 k 6 k) Il circuito equivalente con il solo generatore 3 è rappresentato in Fig. B.9(c); la tensione d uscita dovuta a 3 è 1 2 k 4 k V O V k (2 k 4 k) Perciò la tensione d uscita risultante V O può essere ricavata sommando i contributi dovuti ai tre generatori: V O V O1 V O2 V O V

7 Paragrafo B.5 Teorema di Thevenin 7 Figura B.9 Circuito equivalente per l Esempio B I 1 3 V O1 2 I V O2 3 I 3 1 V O3 (a) Circuito equivalente con il solo generatore 1 (b) Circuito equivalente con il solo generatore2 (c) Circuito equivalente con il solo generatore 3 Un approccio alternativo consiste nell applicare la legge di Kirchhoff per le correnti e ricavare V O come Somma delle correnti entranti nel nodo 1 se esso fosse a potenziale nullo V O Somma delle conduttanze collegate al nodo k 12 4 k 15 6 k 1 2 k 1 4 k 1 6 k V B.5 Teorema di Thevenin Figura B.1 Circuito equivalente di Thevenin Il teorema di Thevenin afferma che rispetto a due terminali qualsiasi rete lineare in corrente continua o in corrente alternata può essere sostituita con un circuito equivalente costituito da un generatore di tensione con una resistenza (o impedenza) in serie. Questo teorema viene utilizzato comunemente per calcolare la tensione (o corrente) in una rete lineare con uno o più generatori. Permette inoltre di concentrarsi su una specifica porzione del circuito, sostituendo la rimanente parte con un circuito equivalente. Nel caso di circuiti in regime sinusoidale, il valore delle reattanze dipende dalla frequenza, per cui il teorema di Thevenin vale frequenza per frequenza. In Fig. B.1(a) è rappresentato un generico circuito in corrente continua; il circuito equivalente di Thevenin è riportato in Fig. B.1(b). La procedura da seguire per determinare il generatore di tensione equivalente V Th e la resistenza equivalente Th è la seguente: Passo 1. Definire la porzione di circuito rispetto alla quale si desidera la rappresentazione di Thevenin e individuarne i terminali, come in Fig. B.1(a). Passo 2. imuovere questa porzione di circuito. In Fig. B.1(a) deve essere rimossa la resistenza di carico L. Passo 3. Individuare i terminali della rimanente porzione (i terminali a e b in figura). Passo 4. Determinare la tensione a vuoto V Th tra i terminali a e b. Passo 5. Disattivare tutti i generatori indipendenti (i generatori di tensione devono essere cortocircuitati e quelli di corrente devono essere lasciati aperti). Applicare una tensione di prova V X tra i terminali a e b. Il rapporto tra la tensione V X e la corrente I X fornisce la resistenza Th. ete resistiva dc a b I L L Carico V Th Th a b I L L Carico (a) Generica rete (b) Equivalente di Thevenin ESEMPIO B.7 Circuito equivalente di Thevenin appresentare il circuito rappresentato in Fig. B.11(a) con il suo equivalente di Thevenin, secondo lo schema in Fig. B.11(b). Assumere V CC 12 V, 1 15 k ed 7.5 k.

8 8 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti Figura B.11 Circuito per l Esempio B.7 Th a V CC 1 a V Th b V Th b (a) Circuito (b) Equivalente di Thevenin SOLUZIONE La tensione a circuito aperto, che è la tensione di Thevenin tra i terminali a e b, può essere ricavata con la regola del partitore di tensione espressa dall Eq. (B.1). Dunque V Th V CC (B.14) k 12 4 V 15 k 7.5 k Se il generatore V CC viene spento e un generatore di prova V X è applicato tra i terminali a e b, si ottiene il circuito per il calcolo di Th rappresentato in Fig. B.12. Th è il parallelo di 1 ed. Dunque Th V X I X 1 (B.15) 15 k 7.5 k 5 k Figura B.12 Circuito per il calcolo della resistenza Th 1 a b I X Th V X ESEMPIO B.8 Circuito equivalente di Thevenin appresentare il circuito in Fig. B.13(a) con il suo equivalente di Thevenin. Assumere V CC 12 V, V A 9 V, 1 15 k ed 7.5 k. Figura B.13 Circuito per l Esempio B.8 Th a a V Th b 1 V A V CC V Th b (a) Circuito (b) Equivalente di Thevenin

9 Paragrafo B.5 Teorema di Thevenin 9 SOLUZIONE Poiché nella rete sono presenti due generatori di tensione, V CC e V A, applicheremo il teorema di sovrapposizione degli effetti per determinare V Th. Il circuito equivalente con il generatore V CC disattivato è riportato in Fig. B.14(a). Con la regola del partitore di tensione si calcola il contributo alla tensione d uscita dovuto a V CC : 7.5 k V O1 V CC 12 4 V 1 15 k 7.5 k Disattivando invece il generatore V CC e lasciando attivo V A si ottiene invece il circuito in Fig. B.14(b); le tensione d uscita dovuta a V A è 1 15 k V O2 V A 9 6 V 1 15 k 7.5 k La tensione d uscita risultante, che è poi V Th, può essere ricavata sommando i due contributi già determinati V Th V O V O1 V O2 1 V CC V A (B.16) V Disattivando entrambi i generatori V A e V CC e applicando un generatore di prova V X tra i terminali a e b, si ottiene il circuito mostrato in Fig. B.14(c), utile per il calcolo della resistenza Th. Quest ultima è data dal parallelo di 1 ed. Dunque Th V X I X 1 15 k 7.5 k 5 k (B.17) Figura B.14 Circuiti equivalenti a V O1 1 V CC b (a) Circuito equivalente con il solo generatore V CC a V O2 1 V A b (b) Circuito equivalente con il solo generatore V A V X a Th b I X 1 (c) Circuito per il calcolo di Th ESEMPIO B.9 appresentazione di un circuito mediante il teorema di Thevenin appresentare il circuito mostrato in Fig. B.15 mediante il circuito equivalente di Thevenin. Assumere i 1.5 k, C 25 k, F 5, h r e V s 5 mv. (a) Calcolare i parametri del circuito equivalente di Thevenin. (b) Verificare i risultati con PSpice/SPICE. Figura B.15 Circuito per l esempio B.9 i V s ~ V i ~ h r V o I s I 2 b F I s C a V o I b

10 1 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti SOLUZIONE (a) Si ha i 1.5 k, C 25 k, F 5, h r e V s 5 mv. La tensione d uscita V o tra i terminali a e b è V o I 2 C F I s C (B.18) La corrente d ingresso I s può essere ricavata applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia I come V s h r V o I s i (B.19) Sostituendo I s dall Eq. (B.19) nell Eq. (B.18) si ottiene la tensione d uscita V o F C V Th V o V s (B.2) i F h r C 5 25 k 5 m V 1.5 k k La resistenza di Thevenin Th può essere ricavata dal circuito in Fig. B.16, ottenuto cortocircuitando il generatore indipendente V s e utilizzando il generatore di prova V x. Detta I x la corrente erogata da quest ultimo si ha h r V x I s i (B.21) V x I x F I s C (B.22) Sostituendo I s dall Eq. (B.21) nell Eq. (B.22) si ottiene F h r V x V x i F h r C I x V i C i x C dalla quale si ottiene la resistenza di Thevenin Th V x i C Th (B.23) Ix i F h r C 1.5 k 25 k k 1.5 k k Figura B.16 Circuito per il calcolo della resistenza di Thevenin i I s I 2 ~ h r V x b F I s C I x V x Th

11 Paragrafo B.6 Teorema di Norton 11 Figura B.17 V s 1 ~ 1.5 k Circuito per la simulazione con PSpice I s v o F 1 E 1 C 3 V 5I 25 k s x V V o in Th (b) Il circuito per la simulazione con PSpice è riportato in Fig. B.17. Segue la descrizione del circuito. Esempio B.9 Circuito equivalente di Thevenin VS 1 DC 5MV I K E E-4 ; generatore di tensione controllato in tensione VX 3 DC V ; generatore di prova per il calcolo della resisten F1 4 VX 5 ; generatore di corrente controllato in corrente C 4 25K.TF V(4) VS ; analisi della funzione di trasferimento.end Seguono i risultati delle simulazione: NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1).5 ( 2) -.17 ( 3). ( 4) **** SMALL-SIGNAL CHAACTEISTICS V Th V o V(4) V V(4)/VS=-1.111E+3 INPUT ESISTANCE AT VS=1.125E+3 OUTPUT ESISTANCE AT V(4)=3.333E+4 Guadagno A V o V s 1111 in V s I s k Th k B.6 Teorema di Norton Il teorema di Norton afferma che rispetto a due terminali qualsiasi rete lineare in corrente continua o in corrente alternata può essere sostituita con un circuito equivalente costituito da un generatore di tensione con una resistenza (o impedenza) in parallelo. Il circuito equivalente di Norton può essere ottenuto dal circuito equivalente di Thevenin; la relazione tra i due è riassunta nella Fig. B.18. La resistenza di Norton N è uguale alla resistenza di Thevenin Th e la corrente di Norton è la corrente di cortocircuito tra i terminali d interesse. Figura B.18 Circuiti equivalenti di Thevenin e di Norton V Th Th a b L V Th Th I N a N Th b L (a) Equivalente di Thevenin (b) Equivalente di Norton

12 12 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti B.7 Teorema del massimo trasferimento di potenza Nei circuiti elettronici spesso è necessario trasferire sul carico la massima potenza possibile. Consideriamo il circuito in Fig. B.19, che potrebbe rappresentare il circuito equivalente di Thevenin di una rete più complessa. La potenza P L trasferita sulla resistenza di carico L può essere ricavata dalla P L I 2 L L V 2 Th Th L L V 2 Th 1 L (B.24) Th (1 L Th Th ) 2 Per un determinato circuito, V Th ed Th sono fissi. Pertanto la potenza P L sul carico dipende dalla resistenza L. Ponendo L u Th, l Eq. (B.24) diventa P L V 2 Th u Th (1 u) 2 u (1 u) 2 P in cui P V 2 Th Th. Normalizzando P L rispetto a P, si ottiene la potenza normalizzata P n nella forma P L u P n (B.25) P (1 u) 2 Figura B.19 Circuito equivalente di Thevenin con carico resistivo V Th ~ Th L I L In Fig. B.2 è riportato l andamento della potenza normalizzata P n in funzione di u. Si vede che la potenza P n è massima per u 1, cioè per Th u L L. Il valore di L Figura B.2 Andamento della potenza normalizzata P n in funzione del rapporto u P n P n Th 2 P VTh L Th u L Th

13 Paragrafo B.8 Transitori nei circuiti del primo ordine 13 per il quale si ha il massimo trasferimento di potenza può essere determinato anche imponendo la condizione dp L d L. Dall Eq. (B.24) dp V 2 ( Th L ) Th 2 L 2 L ( Th L ) dl ( Th L ) 4 da cui ( Th L ) 2 2 L ( Th L ) Poiché Th non può essere negativa si ottiene infine L Th L Th (B.26) Così si ha il massimo trasferimento di potenza quando la resistenza di carico L è pari alla resistenza di Thevenin Th della rete. Per il circuito equivalente di Norton in Fig. B.18(b), il massimo trasferimento di potenza sul carico si ha quando N L (B.27) Sostituendo L dall Eq. (B.26) nell Eq. (B.24) si ottiene la massima potenza P max trasferita sul carico V 2 Th P max L V 2 Th (B.28) 4 2 4L L La potenza d ingresso P in erogata dal generatore V s è V 2 Th V 2 Th P in (B.29) Th L 2L Così il rendimento in condizioni di massimo trasferimento di potenza è P V 2 max Th 2 L 1% 1% 5% Pin 4L V 2 Th Dunque il rendimento è del 5% in condizioni di massimo trasferimento di potenza. Nei circuiti elettronici la potenza trasferita è generalmente piuttosto contenuta e un elevata efficienza non è pertanto un obiettivo primario. Nei sistemi di potenza essa è invece un parametro di grande importanza. B.8 Transitori nei circuiti del primo ordine La risposta transitoria fornisce, in funzione del tempo, l andamento della tensione (o corrente) di uscita conseguente all applicazione di una determinata sollecitazione in ingresso (tensione o corrente). Per valutare le prestazioni di un circuito elettronico, generalmente si impiega la risposta a una sollecitazione a gradino, perché essa permette di ricavare informazioni anche sulla risposta a sollecitazioni impulsive o a onda quadra. isposta al gradino dei circuiti C serie Consideriamo il circuito C serie rappresentato in Fig. B.21(a), sollecitato con una tensione d ingresso a gradino. La tensione d uscita v O è prelevata sul condensatore C. Per t, la corrente di carica i nel condensatore può essere ricavata da: v v C i C 1 i dt v C (t ) (B.3) con tensione iniziale sul condensatore v C (t ).

14 14 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti Figura B.21 Circuito C serie v S v s i v C v O v C v O.628 t C Pendenza /t t t (a) Circuito C (b) isposta al gradino Utilizzando la tecnica della trasformata di Laplace, (di cui in Tab. B.1 sono riassunte alcune proprietà), è possibile riportare l Eq. (B.3) nel dominio s di Laplace: s 1 I(s) I(s) C s che, risolta, porta all espressione della corrente I(s) I(s) (B.31) s 1 C (s 1 ) in cui C è la costante di tempo del circuito. Tabella B.1 Trasformate di Laplace di uso più frequente f(t) 1 1 s F(s) t s 1 2 e t 1 s sin t cos t f (t) f (t) s 2 2 s s 2 2 sf(s) F() s 2 F(s) sf(s) F() La trasformata inversa dell Eq. (B.31) fornisce la corrente attraverso il condensatore, nel dominio del tempo: i(t) e t (B.32) La tensione d uscita v O (t), che è la tensione ai capi del condensatore, può essere espressa nella forma 1 v O (t) C t 1 i dt C t A regime (t ), l Eq. (B.32) fornisce i(t ) e t dt (1 e t ) (B.33)

15 Paragrafo B.8 Transitori nei circuiti del primo ordine 15 Dall Eq. (B.33), v O (t ) Per t, l Eq. (B.33) fornisce (B.34) v O (t ) (1 e 1 ).632 La pendenza della tangente alla curva v O (t) in t può essere ricavata dall Eq. (B.33): (B.35) dv O e t V S S t dt t VC L andamento della risposta al gradino è riportato in Fig. B.21(b). (B.36) isposta al gradino dei circuiti C serie In un circuito C serie la tensione d uscita è prelevata sulla resistenza invece che sulla capacità C, come si vede in Fig. B.22(a). La tensione d uscita v O,che è la tensione sulla resistenza, può essere ricavata dall Eq. (B.32). Dunque v O (t) i(t) e t (B.37) che, a regime (t ), fornisce i(t ) v O (t ) Per t, dall Eq. (B.37) si ottiene v O (t ) e (B.38) Dall Eq. (B.37) si ricava il valore della pendenza della tangente alla curva v O (t) in t : dv O dt e t t (B.39) C t In Fig. B.22(b) è rappresentato l andamento della tensione v O (t) dovuta a una sollecitazione a gradino. Figura B.22 Sisposta al gradino di un circuito C serie v S v C v O v t C i (a) Circuito C serie v O v Pendenza /t.368 t t C (b) isposta al gradino isposta all impulso dei circuiti C serie Una tensione impulsiva v S di durata T,rappresentata in Fig. B.23(a), è applicata al circuito in Fig. B.21(a). La risposta a questa sollecitazione dipende dal rapporto tra la costante di tempo del circuito e la durata dell impulso T. Considereremo tre casi: T, T e T. Nel primo caso 1, T, la tensione d uscita v O (t) raggiunge quasi il valore a regime e il condensatore si carica esponenzialmente approssimativamente alla stessa tensione. Quando la tensione d ingresso v S (t) torna a zero, per t T, la tensione d uscita (sul condensatore) v O (t) decade esponenzialmente a zero, come è mostrato in Fig. B.23(b). L area sottesa dalla forma d onda in ingresso è uguale a quella sottesa dalla forma d onda in

16 16 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti Figura B.23 isposta all impulso del circuito C serie v S v O v C Pendenza /t t T T (a) Ingresso t (c) Tensione d uscita per t T T t.9 v O v C Pendenza /t t T V 1 v O v C Pendenza /t t T.1 t d t r t 2 T t f t T t (b) Tensione d uscita per t T (d) Tensione d uscita per t T uscita. Il tempo di salita t r (da rise time) è definito come il tempo necessario perché la tensione d uscita vada dal 1% al 9% del valore finale. Si definisce invece tempo di discesa t f (da fall time) il tempo necessario perché la tensione d uscita vada dal 9% al 1% del valore iniziale. Il ritardo t d (da delay time) è invece il tempo che occorre perché la tensione d uscita vada da al 1% della tensione finale. Per t t 1 t d, v O (t).1 ; per t 2, v O (t).9. Così dall Eq.(B.33) si ottiene.1 (1 e t 1 ) e t 1.9 t 1 ln (.9) e.9 (1 e t 2 ) e t 2.1 t 2 ln (.1) Il tempo di salita t r, uguale al tempo di discesa t f,è dato da t r t f t 2 t 1 ln (.1) ln (.9) ln (9) 2.2 (B.4) Nel secondo caso, T, t r e t f sono molto minori di T. L andamento della tensione d uscita v O (t) somiglia molto più a quello della tensione in ingresso, rispetto al caso precedente, come si vede in Fig. B.23(c). Questa condizione è generalmente soddisfatta se si ha 1 T. Nel caso in cui, T, la tensione v O (t) non ha tempo sufficiente per raggiungere il valore a regime. La tensione d uscita per t T è V 1,che è molto minore di, come si vede in Fig. B.23(d). La tensione d uscita inizia quindi a scendere verso lo zero, prima di raggiungere il valore di regime. Così la tensione d uscita non riproduce, con il suo andamento, quella d ingresso. Tuttavia la tensione d uscita è approssimativamente l integrale nel tempo di v S (t) e il sistema si comporta pertanto come un integratore. Cioè v O (t) 1 t dt per T Perché tutto questo sia verificato deve essere almeno 1T.

17 Paragrafo B.8 Transitori nei circuiti del primo ordine 17 ESEMPIO B.1 SOLUZIONE Uso di PSpice/SPICE per tracciare l andamento della risposta di un circuito C a una sollecitazione impulsiva Tracciare l andamento della tensione d uscita del circuito in Fig. B.21(a), per.1 ms, 1 ms e 5 ms, in risposta a una sollecitazione costituita da un impulso di tensione di ampiezza v S 1 V e durata T 2 ms. Figura B.24 Circuito C Per.1 ms, con C.1 F, si ottiene per la simulazione con PSpice C.1 ms.1 F 1 k Parametri: VAL 1 k Per 1 ms, con C.1 F, si ha C 1 ms.1 F 1 k C 1 V {VAL} Per 5 ms, ancora con C.1 F,.1 F C 5 ms.1 F 5 k Il circuito per la simulazione con PSpice è rappresentato in Fig. B.24. Segue la sua descrizione. Esempio B.1 isposta all impulso del circuito C serie. VS1 1 PULSE (V 1V 1NS 1NS 2MS 4MS) ; tensione impulsiva ; in ingresso K C1 2.1UF VS2 3 PULSE (V 1V 1NS 1NS 2MS 4MS) K C2 4.1UF VS3 5 PULSE (V 1V 1NS 1NS 2MS 4MS) K C3 6.1UF.TAN.1MS 4MS ; analisi del transitorio.pobe.end Figura B.25 Diagrammi di v O (t) per l Esempio B.1 I diagrammi PSpice della tensione d uscita v O (t) sono riportati in Fig. B.25 per tre valori della costante di tempo. Più è breve la costante di tempo, del circuito, più rapidamente la tensione d uscita sale e ritorna a zero. isposta all impulso dei circuiti C serie NOTA: È possibile usare la direttiva PSpice Parametric per la variabile per variare la costante di tempo. Una tensione impulsiva v S di durata T,rappresentata in Fig. B.26(a), è applicata in ingresso al circuito in Fig. B.22(a). La risposta del sistema dipende dal rapporto tra la costante di tempo e la durata T. Consideriamo tre casi: T, T e T. Nel primo caso, T, la tensione sul condensatore v C (t) comincia ad aumentare esponenzialmente, mentre la tensione d uscita v O (t) diminuisce esponenzialmente a partire da.

18 18 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti Figura B.26 isposta all impulso del circuito C serie v S v O Pendenza /t t T T t T t (a) Ingresso v C Pendenza /t t T v C T v O Pendenza /t t Pendenza /t T t T t (c) Uscita per t T t v O V t T Pendenza /t t T (b) Uscita per t T V T t v C Pendenza /t V T V t T t (d) Uscita per t T La situazione è rappresentata in Fig. B.26(b). Per t T, la tensione d ingresso v S scende bruscamente a zero e il condensatore si scarica esponenzialmente, attraverso la resistenza e il generatore v S. La tensione d uscita v O diminuisce esponenzialmente da un valore negativo a zero. Nel secondo caso, T, la tensione d uscita v O (t) diminuisce esponenzialmente verso lo zero, raggiungendo il valore di regime. Durante l intervallo t T, il condensatore si carica esponenzialmente, raggiungendo praticamente il valore di regime. Per t T, il condensatore si scarica esponenzialmente attraverso la resistenza e il generatore v S. La tensione d uscita v O (t) diminuisce esponenzialmente da un valore negativo verso lo zero. In Fig. B.26(c) è rappresentato l andamento di v O (t) e v C (t). Nel terzo caso, quando T, la tensione d uscita diminuisce solo di una piccola quantità. La porzione della curva esponenziale che rappresenta v O da t a t T ha andamento pressoché lineare, come si vede in Fig. B.26(d). La variazione della tensione d uscita v O rispetto al valore iniziale può essere ricavata, approssimativamente, ancora dalla Fig. B.26(d); si ottiene V T (B.41)

19 Paragrafo B.8 Transitori nei circuiti del primo ordine 19 La variazione relativa S (da sag) della tensione d uscita è S V V S T VS VS T T C (B.42) ESEMPIO B.11 SOLUZIONE Uso di PSpice/SPICE per tracciare l andamento della risposta di un circuito C a una sollecitazione impulsiva Tracciare l andamento della tensione d uscita del circuito in Fig. B.22(a), per.1 ms, 1 ms e 5 ms, in risposta a una sollecitazione costituita da un impulso di tensione di ampiezza v S 1 V e durata T 2 ms. Figura B.27 Circuito C per la simulazione con PSpice Per.1 ms, con C.1 F, si ottiene C.1 ms.1 F 1 k Per 1 ms, con C.1 F, si ha C 1 ms.1 F 1 k Per 5 ms, ancora con C.1 F, si ha C 5 ms.1 F 5 k 1 V Il circuito per la simulazione con PSpice è rappresentato in Fig. B.27. Segue la sua descrizione. Esempio B.11 isposta all impulso del circuito C serie. VS1 1 PULSE (V 1V 1NS 1NS 2MS 4MS) ; tensione impulsiva ; in ingresso 1 2 1K C UF VS2 3 PULSE (V 1V 1NS 1NS 2MS 4MS) 2 4 1K C UF VS3 5 PULSE (V 1V 1NS 1NS 2MS 4MS) 3 6 5K C UF.TAN.1MS 4MS ; analisi del transitorio.pobe.end Figura B.28 Diagrammi di v O (t) per l Esempio B.11 Parametri: VAL 1 k C.1 F {VAL} I diagrammi PSpice della tensione d uscita v O (t) per tre valori della costante di tempo, sono riportati in Fig. B.28.

20 2 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti ESEMPIO B.12 isposta all impulso del circuito C parallelo Un generatore di corrente i S I S, con l andamento rappresentato in Fig. B.29(a), alimenta il parallelo di una resistenza e un condensatore C con C.1 F ed 1 k, come si vede in Fig. B.29(b). La durata dell impulso in ingresso è T.5 ms. Determinare (a) la corrente istantanea i C (t) attraverso il condensatore C, (b) la corrente istantanea i (t) attraverso la resistenza, per t <.5 ms e (c) la variazione relativa S della corrente nel condensatore. Figura B.29 Circuito C parallelo pilotato da un generatore di corrente i 1 I S i 1 I S i 1 i 1 k i C C.1 F SOLUZIONE.5 t (ms) (a) Andamento della corrente in ingresso (b) Circuito La trasformata di Laplace del gradino di corrente di ampiezza I S è I S s. (a) Per la regola del partitore di corrente, la trasformata della corrente I C nel condensatore è s s I S I S I C (s) I S (s) I S (s) 1 Cs s 1 C s 1 C s s 1 C 1 I S (B.43) s 1 C Antitrasformando si ottiene i C (t) I S e t (B.44) con C. (b) La corrente i (t) nella resistenza è i (t) I S i C (t) I S (1 e t ) (B.45) (c) C ms e T.5 ms. Dunque, T, per cui, dall Eq. (B.42), si ottiene S T.5 1 5% isposta al gradino dei circuiti L serie In Fig. B.3(a) è rappresentato un circuito L serie pilotato da una tensione a gradino. La tensione d uscita v O è prelevata ai capi dell induttanza L. La corrente i attraverso questa può essere ricavata dalla v L v L d i i dt (B.46) con valore iniziale della corrente nell induttanza i(t ). Nel dominio s, di Laplace, l Eq. (B.46) diventa LsI(s) I(s) s che, risolta in I(s), fornisce s(sl ) Ls(s 1 ) 1 (s 1 ) I(s) 1 s (B.47)

21 Paragrafo B.9 Circuiti risonanti 21 Figura B.3 isposta al gradino di un circuito L serie.632 i Pendenza /t v i v L L v O v L.368 v O t t L/ Pendenza /t t t t (a) Circuito L (b) isposta al gradino in cui L è la costante di tempo del circuito L. Antitrasformando l Eq. (B.47) si ottiene l andamento nel tempo della corrente i(t) (1 e t ) (B.48) L Eq. (B.48) può essere utilizzata per valutare la tensione d uscita v O (t) ai capi dell induttanza L: v O (t) v L (t) L d i V dt S e t A regime (t ), v O (t) dall Eq. (B.49) i(t) dall Eq. (B.48) Se l uscita è presa sulla resistenza, la tensione v O (t) diventa v O (t) v (t) i(t) (1 e t ) A regime (t ), v (t) e i(t). (B.49) (B.5) NOTA: A regime la corrente attraverso l induttanza è. Se la tensione d ingresso viene bruscamente annullata, sull induttanza si produce una tensione negativa, che si oppone alla variazione di corrente, che può danneggiare l induttore. Per questa ragione un circuito L serie non viene pilotato con un segnale a gradino (o impulsivo), a meno che non sia prevista una protezione contro gli inconvenienti che potrebbero derivare dal transitorio di tensione prodotto dall induttanza. B.9 Circuiti risonanti L impedenza effettiva di un circuito LC è funzione della frequenza e la tensione o la corrente sono massime per una determinata frequenza f n, detta frequenza di risonanza o frequenza naturale. Alla risonanza, l energia assorbita in ogni istante da uno degli elementi reattivi (per esempio l induttanza L) è esattamente uguale a quella ceduta dall altro elemento reattivo (la capacità C). L energia pulsa da un elemento reattivo all altro e un circuito senza elementi dissipativi (resistenza) non assorbe altra energia reattiva dalla sorgente. La potenza media in ingresso, che è la potenza dissipata nell elemento resistivo, è massima alla risonanza. Esistono due tipi di circuiti risonanti: circuiti risonanti serie e circuiti risonanti parallelo.

22 22 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti Figura B.31 Circuito LC risonante serie S I C jx C V s ~ L Cl jx L Avvolgimento Circuito risonante serie In Fig. B.31 è rappresentato un circuito risonante serie LC; Cl rappresenta la resistenza dell avvolgimento e S quella della sorgente. Detta Cl S,l impedenza serie complessiva Z del circuito è data da Z j(x L X C ) La risonanza serie si ha quando X L X C L Eq. (B.52) può essere riscritta L 1 C cioè 2f n L 1 (2f n C ) (B.51) (B.52) dalla quale si ricava la frequenza di risonanza serie f n f n 1 2LC (B.53) In condizioni di risonanza, l impedenza Z n vale Z n Z (B.54) Un circuito risonante serie è caratterizzato generalmente mediante un fattore di qualità Q S, definito come il rapporto tra la potenza reattiva immagazzinata nell induttanza o nella capacità e la potenza media dissipata nella resistenza in condizioni di risonanza. Dunque Q s X L 2f n L per una reattanza induttiva (B.55) X C 1 fn C per una reattanza capacitiva (B.56) Il fattore di qualità Q Cl di un induttore è invece il rapporto tra la potenza reattiva immagazzinata nell induttore stesso e la potenza dissipata nella resistenza Cl, dell avvolgimento che lo costituisce. Allora Q Cl Potenza reattiva Potenza media I 2 X L I 2 I 2 X C I 2 Potenza reattiva Potenza dissipata X L Cl Il valore efficace della tensione V L sull induttanza L in condizioni di risonanza può essere ricavato dalla X L V s X L V s V L Q s V s (B.57) Zn

23 Paragrafo B.9 Circuiti risonanti 23 Il valore efficace della tensione V C sulla capacità C in condizioni di risonanza può essere ricavato dalla X C V s X L V s V C Q s V s (B.58) Zn Circuiti risonanti parallelo In molti circuito elettronici, il fattore di qualità Q s è alto, di valore compreso tra 8 e 4. Per esempio, se V s 3 V e Q s 8, allora V C V L V e tutti i componenti del circuito sono sottoposti a questa tensione. Così un progettista deve prestare attenzione per proteggere il circuito da questi valori elevati di tensione sui condensatori o sugli induttori. In Fig. B.32(a) è rappresentato un circuito LC risonante parallelo. Il segnale in ingresso è generalmente fornito da un generatore di corrente. Questo tipo di circuito è usato frequentemente nei circuiti con elementi attivi come i transistori, che si comportano in modo abbastanza simile a generatori di corrente. Sostituendo l impedenza L serie con un parallelo equivalente, si ottiene il circuito in Fig. B.32(b), nel quale l ammettenza Y L equivalente alla resistenza C1 in serie con la reattanza jx L,è data da 1 Cl X L 1 1 Y L j j Cl jx L 2 2 Cl X 2 Cl X 2 L L p X p Cl con p X2 L (B.59) Cl In condizioni di risonanza, X p Cl X2 L XL (B.6) X p X C Sostituendo in quest ultima l espressione di X p ricavata dall Eq. (B.6) si ottiene Cl X2 L XL X C Cl X2 L X C X L X 2 L X C X L 2 Cl cioè X 2 L L 2 CL Cl X L 2 C Cl 1 2 (B.61) Figura B.32 Circuito LC risonante parallelo I p a I s I p a Cl I s S L C jx L jx C I s S p jx p jx C V p Sorgente b Z Th Sorgente b Z Th (a) Circuito parallelo (b) Circuito equivalente

24 24 Appendice B Sommario di teoria dei circuiti dalla quale si ottiene la frequenza di risonanza parallelo f p,che è 1 L f p 2 L 2 C Cl 1 2 f n C Cl L C Cl 2LC L (B.62) (B.63) Così la frequenza di risonanza parallelo f p,che dipende dalla resistenza dell avvolgimento Cl,è inferiore alla frequenza di risonanza serie f n. Nell ipotesi (C Cl L) 1 cioè Cl L C e Cl, dall Eq. (B.63) si ottiene f p f n Il fattore di qualità Q p del circuito risonante parallelo LC può essere valutato come il rapporto tra la potenza reattiva e la potenza reale alla risonanza. Cioè V 2 p X p ( S p ) Q p (B.64) V 2 Xp p ( S p ) in cui V p è la tensione sui rami del parallelo. ESEMPIO B.13 SOLUZIONE Calcolo della frequenza risonante parallelo Nel circuito risonante parallelo in Fig. B32(a) si ha Cl 47, L 5 mh, C 5 pf, S 2 k e la corrente del generatore è I s 6 ma. Calcolare (a) la frequenza di risonanza parallelo f p, (b) la tensione V p sul circuito risonante alla risonanza, (c) il fattore di qualità Q Cl della bobina e (d) il fattore di qualità Q p del circuito risonante. Cl 47, L 5 mh, C 5 pf, S 2 k e I s 6 ma. (a) Dall Eq. (B.53) si ricava f n 1 [ ] khz Dall Eq. (B.63): f p [ (5 1 3 )] khz (b) È noto che X L 2f p L Dall Eq. (B.59) si ottiene la resistenza effettiva p del circuito risonante p [ ] k Il valore efficace I p della corrente nel circuito parallelo è S 2 k6 ma I p I s A S p 2 k k e V p I p p A k V (c) Si ottiene semplicemente Q Cl X L (d) Dall Eq. (B.6), la reattanza induttiva totale X p del circuito parallelo è X p [ ] e S p ( ) k Dall Eq. (B.64) si ricava Q p

25 Paragrafo B.1 isposta in frequenza dei circuiti del primo 25 B.1 isposta in frequenza dei circuiti del primo e del secondo ordine Per caratterizzare circuiti quali amplificatori e filtri si utilizzano generalmente segnali sinusoidali. La risposta in frequenza si riferisce all uscita di un sistema lineare sollecitato con una sinusoide. Se una tensione sinusoidale v s (t) V m sin t (B.65) di valore di picco V m e pulsazione viene applicata a un circuito lineare, la tensione in uscita v o (t) anch essa sinusoidale, ha in generale ampiezza differente da quella di v s (t) e risulta sfasata rispetto a questa. Essa avrà espressione v o (t) V p sin (t ) (B.66) in cui V p è il valore di picco della tensione d uscita. Se f è la frequenza, allora 2f In Fig. B.33 è rappresentato un esempio della relazione tra ingresso e uscita in un amplificatore. FIGUa B.33 Esempio di tensioni d ingresso e di uscita sinusoidali V m V p v s v s V m sin vt v o V p sin (vt f) p 2p u vt f Se si indicano con V s ( j) e V o ( j) i valori efficaci delle tensioni d ingresso e di uscita, rispettivamente, in funzione della frequenza, il guadagno in tensione è definito V o ( j) G( j) (adimensionale) (B.67) Vs ( j) Circuiti C passa basso del primo ordine G( j) è una funzione complessa, caratterizzata quindi da un modulo e una fase. Il modulo G( j) fornisce il rapporto tra le ampiezze dell uscita e dell ingresso, mentre la fase di G( j) indica la relazione di fase tra v s e v o. Il modulo e la fase vengono generalmente rappresentati su un diagramma in funzione della frequenza, con quest ultima grandezza riportata in scala logaritmica. Il modulo è normalmente espresso in decibel (db): Ampiezza in db 2 log 1 G( j) Prenderemo in considerazione le risposte in frequenza di circuiti C passa basso e passa alto del primo ordine e di circuiti del secondo ordine LC serie e parallelo. In Fig. B.34(a) è rappresentato un tipico circuito C passa basso. La tensione d uscita v o è prelevata sul condensatore C. icordando che l impedenza di quest ultimo, nel dominio di Laplace, è 1 Cs. e utilizzando la legge del partitore di impedenze, il guadagno in tensione G(s) può essere scritto nella forma V o (s) 1 1 G(s) Cs (adimensionale) Vs (s) 1 Cs 1 sc Nel dominio della frequenza, s j e 1 1 G( j) 1 jc 1 j

26 26 Appendice B Sommario di teoria dei Circuiti Figura B.34 Circuito C passa basso del primo ordine v s ~ i C (a) Circuito passa basso v o log G( jv) (db) K 3 db.1 f v v o 2 db/decade o 6 db/ottava v v o (scala log) (scala log) (b) isposta in frequenza con C. Così è possibile valutare il modulo G(j) del guadagno in tensione 1 1 G( j) (B.68) [1 () 2 ] 1 2 [1 ( o ) 2 ] 1 2 e la fase tan 1 () tan 1 ( o ) con o 1 C 1. Per o, G( j) 1 2 log 1 G( j) e (B.69) Perciò, a basse frequenze, il diagramma del modulo è una retta orizzontale a db. Per o,invece, G( j) o 2 log 1 G( j) 2 log 1 ( o ) e 2 Per o, G( j) log 1 G( j) 2 log 1 (1 2) 3 db e 4 Consideriamo valori di frequenze per cui 1 o. Per 1, il modulo è 2 log 1 ( o 1 ), mentre per 1 1 esso è 2 log 1 ( o 1 1 ). La variazione del modulo tra 1 e 1 1 è allora 2 log 1 ( o 1 1 ) 2 log 1 ( o 1 ) 2 log 1 (1 1) 2 db

27 Paragrafo B.1 isposta in frequenza dei circuiti del primo 27 Se invece la frequenza raddoppia 2 1, la variazione del modulo è 2 log 1 ( o 2 1 ) 2 log 1 ( o 1 ) 2 log 1 (1 2) 6 db I diagrammi della risposta in frequenza sono riportati in Fig. B.34(b). L intervallo tra due frequenze che siano una doppia dell altra è detto ottava; se invece le due frequenze differiscono per un fattore 1, l intervallo corrispondente è detto decade. Così per un aumento di frequenza pari a una decade, il modulo della risposta diminuisce di 2 db. Il diagramma del modulo (o dell ampiezza) è pertanto una linea retta con pendenza di 2 db/decade o di 6 db/ottava. Il diagramma del modulo è allora caratterizzato da due asintoti che si incontrano in corrispondenza della pulsazione d angolo (o di taglio) o. La differenza tra l ampiezza reale e il valore asintotico (letto cioè sul diagramma costituito dai due asintoti e detto perciò diagramma asintotico) è massima in corrispondenza della pulsazione d angolo. L errore può essere valutato calcolando il guadagno per o. Si ottiene, G( j) 1 2 e 2 log 1 (1 2) 3 db. L errore ha andamento simmetrico rispetto alla pulsazione di taglio. Quest ultima è anche nota come pulsazione a 3 db. Il circuito in Fig. B.34(a) lascia passare solo le componenti frequenziali a più bassa frequenza e la risposta diminuisce alle alte frequenze. Un circuito con una risposta di questo tipo è detto circuito passa basso. La funzione guadagno (anche detta funzione di trasferimento) di un circuito passa basso ha espressione generale G(s) K 1 s o (B.7) in cui K è il valore del guadagno per (o guadagno in corrente continua). Un circuito passa basso ha (a) un guadagno finito a frequenze molto basse, tendenti a zero e (b) uscita nulla per frequenze molto alte, tendenti all infinito. ESEMPIO B.14 Impiego di PSpice/SPICE per tracciare il diagramma della risposta in frequenza di un circuito C passa basso icavare con PSpice/SPICE il diagramma della risposta in frequenza del circuito C passa basso rappresentato in Fig. B.34(a). Assumere V m 1 V (di picco, in alternata), 1 k e C.1 F. La frequenza f varia da 1 Hz a 1 khz. SOLUZIONE Il circuito da simulare è riportato in Fig. B.35. Segue la sua descrizione. Esempio B.14 isposta in frequenza del circuito C passa basso VM 1 AC 1V ; ingresso in c.a., valore di picco 1 V 1 2 1k C 2.1UF.AC DEC 1 1HZ 1kHz ; analisi in c.a. da f = 1 Hz a 1 khz ; con scansione lineare e 1 punti per decade.pobe.end I diagrammi dell ampiezza e della fase della risposta sono riportati in Fig. B.36; da queste si ottiene, per la frequenza a 3 db, f o 161 Hz.

28 28 Appendice B Sommario di teoria dei Circuiti Figura B.35 Circuito C passa basso per la simulazione con PSpice Figura B.36 Diagrammi della risposta in frequenza (Esempio B.14) V S 1 V ~ 1 k C.1 F Circuiti C passa alto del primo ordine In Fig. B.37(a) è rappresentato un circuito C passa alto. La tensione d uscita v o è prelevata sulla resistenza. Utilizzando la legge del partitore di tensione, si può scrivere l espressione del guadagno in tensione G(s) nel dominio di Laplace nella forma V o (s) sc G(s) (adimensionale) Vs (s) 1 Cs 1 sc Nel dominio della frequenza, s j e jc j G( j) 1 jc 1 j con C. Così il modulo della risposta in frequenza G( j) può essere scritto o G( j) (B.71) [1 () 2 [1 ( o ) 2 ] 1 2 ] 1 2 Figura B.37 Circuito C passa alto del primo ordine v s ~ C i v o v G( jv) 2 log (db) K 3 db f 1 v v o 2 db/decade o 6 db/ottava (scala log) (a) Circuito passa alto (b) isposta in frequenza v v o (scala log)

29 Paragrafo B.1 isposta in frequenza dei circuiti del primo 29 mentre la fase di G( j) è 2 tan 1 ( o ) con o 1 C 1. Per o, (B.72) G( j) o 2 log 1 G( j) 2 log 1 ( o ) e /2 Perciò se la frequenza aumenta di una decade, l ampiezza varia di 2 db. Il diagramma dell ampiezza è dunque una linea retta con la pendenza di 2 db/decade o 6 db/ottava. Per o, G( j) 1 2 log 1 G( j) e Perciò alle frequenze più alte, il diagramma del modulo è una linea orizzontale a db. Per o, G( j) log 1 (1 2) 3 db e 4 I diagrammi della risposta in frequenza sono riportati in Fig. B.37(b).Questo circuito lascia passare solo le componenti frequenziali a più alta frequenza e la risposta diminuisce alle basse frequenze. Un circuito con una risposta di questo tipo è detto circuito passa alto. La funzione guadagno di un circuito passa alto ha espressione generale G(s) sk 1 s o (B.73) in cui il termine K o rappresenta il guadagno per pulsazione (o frequenza) infinita. Un circuito passa alto ha (a) uscita nulla per frequenze molto basse, tendenti a zero e (b) un guadagno finito a frequenze molto alte, tendenti a infinito. ESEMPIO B.15 SOLUZIONE Impiego di PSpice/SPICE per tracciare il diagramma della risposta in frequenza di un circuito C passa alto icavare con PSpice/SPICE il diagramma della risposta in frequenza del circuito C passa alto rappresentato in Fig. B.37(a). Assumere V m 1 V (di picco, in c.a.), 1 k e C.1 F. La frequenza f varia da 1 Hz a 1 khz. Il circuito da simulare è riportato in Fig. B.38. Segue la sua descrizione. Esempio B.15 isposta in frequenza del circuito C passa alto VM 1 AC 1V ; ingresso in c.a., valore di picco 1 V C 1 2.1UF 1k.AC DEC 1 1HZ 1kHz ; analisi in c.a. da f = 1 Hz a 1 khz ; con scansione logaritmica e 1 punti per decade.pobe.end I diagrammi dell ampiezza e della fase della risposta sono riportati in Fig. B.39; da queste si ottiene, per la frequenza a 3 db, f o 157 Hz.

30 3 Appendice B Sommario di teoria dei Circuiti Figura B.38 Circuito C passa alto per la simulazione con PSpice C.1 F Figura B.39 Diagrammi della risposta in frequenza (Esempio B.15) V S 1 V ~ 1 k Circuiti LC serie del secondo ordine In Fig. B.4 è rappresentato un circuito LC serie. La tensione d uscita v o è prelevata sulla resistenza. Mediante la legge del partitore di tensione si può calcolare il guadagno in tensione (o la funzione di trasferimento) nel dominio s (di Laplace): V o (s) s L G(s) (adimensionale) (B.74) Vs (s) sl 1 Cs s 2 s L 1 LC Detti n 1 LC la pulsazione naturale (in rad/s) e (2L) il fattore di smorzamento, l Eq. (B.74) può essere riscritta 2s G(s) (B.75) s 2 2s 2 n Definiamo LC n 2 C 2L L il rapporto di smorzamento. L Eq. (B.75) diventa allora 2 n s G(s) (adimensionale) (B.76) s 2 2 n s 2 n in cui assumeremo che sia 1. (Si noti che non è necessariamente minore di 1, ma è stato considerato minore di 1 in questo caso). Nel dominio della frequenza (ponendo cioè s j) 2 n j G( j) ( j) 2 2 n ( j) 2 n j2 n ( n ) 2 j2 n 1 j2 n 1 j2 n ( n ) 2 (B.77) Figura B.4 V s L ~ Circuito LC serie C I V o V

31 Paragrafo B.1 isposta in frequenza dei circuiti del primo 31 Definiamo la pulsazione normalizzata u n. L Eq. (B.77) può essere semplificata j2u G( j) 1 j2u u 2 Il modulo G( j) può essere espresso G( j) e la fase di G(j) è (B.78) 2 tan 1 (B.79) A basse frequenze u 1, 2u [(1 u 2 ) 2 (2u) 2 ] 1 2 2u 1 u 2 G( j) 2u 2 log 1 G( j) 2 log 1 (2u) e 2 Perciò a basse frequenze il diagramma del modulo è una linea retta con la pendenza di 2 db/decade o 6 db/ottava. Per u 1, G( j) 1 solo se 1 2 log 1 G( j) db e Per u 1, G( j) 2u u 2 2 u 2 log 1 G( j) 2 log 1 (2) 2 log 1 (u) 2 log 1 (u) e 2 Perciò alle alte frequenze il diagramma dell ampiezza è una linea retta con la pendenza di 2 db/decade o 6 db/ottava. Il diagramma reale potrà essere anche molto diverso da quello asintotico e l errore dipenderà dal fattore di smorzamento. I diagrammi del modulo e della fase della risposta in frequenza del circuito LC serie sono rappresentati in Fig. B.41. Se la tensione d uscita del circuito LC serie scende sotto il 7 % del suo valore massimo, l uscita può essere considerata trascurabile. La frequenza di taglio è quella frequenza per la quale il modulo del guadagno scende sotto il 7.7% del suo valore massimo G( j) max 1. Così in corrispondenza delle pulsazioni di taglio di taglio dall Eq. (B.78) si ottiene: 2u 1 G( j).77 [(1 u 2 ) 2 (2u) 2 ] cioè 2(2u) [(1 u 2 ) 2 (2u) 2 ] 1 2 Elevando al quadrato primo e secondo membro si ricava 2(2u) 2 (1 u 2 ) 2 (2u) 2 cioè (2u) 2 (1 u 2 ) 2 (B.8)

32 32 Appendice B Sommario di teoria dei Circuiti Figura B.41 G( jv) isposta in frequenza di un circuito LC serie d v v n u f d.1 q v v n u q Le possibili soluzioni dell Eq. (B.8) sono 2u 1 1 u 2 1 u 2 1 2u 1 1 (B.81) e 2u 2 (1 u 2 2 ) u2 2 1 u 2 2 2u 2 1 (B.82) isolvendo quest ultima si ottiene u Poiché la frequenza non può essere negativa, la pulsazione superiore di taglio normalizzata u 2 è data da u (B.83) e la pulsazione di taglio superiore 2 è 2 u 2 n (B.84) isolvendo invece l Eq. (B.81) si ottiene u dalla quale si otterrebbero un valore positivo e uno negativo per u 1. Scartando ancora una volta il valore negativo, la pulsazione inferiore di taglio normalizzata u 1 è data da u (B.85) e la pulsazione di taglio inferiore 1 è 1 u 1 n (B.86) La banda passante BW di un amplificatore, definita come l intervallo di frequenze su cui il guadagno rimane costante entro un margine di 3 db (29.3%) del suo valore massimo, è data allora dalla differenza tra le frequenze di taglio superiore e inferiore. Perciò la banda passante BW s di un circuito LC serie può essere ricavata da BW s 2 1 n (u 2 u 1 ) 2 n L (in rad/s) (B.87)

33 Paragrafo B.1 isposta in frequenza dei circuiti del primo 33 da cui BW s f 2 f (in Hz) (B.88) L Dall Eq. (B.55), L 2f n Q s. Così l Eq. (B.88) può essere riscritta 1 BW s 2 L 1 2f n f n (B.89) 2 Qs Q s dalla quale è evidente che maggiore è il valore Q s, più stretta è la banda passante BW s e viceversa. È possibile dimostrare che l Eq. (B.89) può essere anche applicata per calcolare l ampiezza della banda passante BW p di un circuito risonante parallelo. Dunque f p BW p (B.9) Q p in cui f p è la frequenza di risonanza parallelo nell Eq. (B.63) e Q p è il fattore di qualità di un circuito risonante parallelo, definito nell Eq. (B.64). ESEMPIO B.16 Calcolo della risposta in frequenza di un circuito LC serie Nel circuito LC serie riportato in Fig. B.4 si ha 5, L 4 mh e C.15 F. (a) Determinare la frequenza risonante serie f n, il fattore di smorzamento, il fattore di qualità Q s, le frequenze di taglio e la banda passante BW s. (b) Utilizzare PSpice/SPICE per tracciare i diagrammi dell ampiezza e della fase della tensione d uscita per 5, 1 e 2. e per frequenze tra 1 Hz e 1 MHz. Assumere V m 1 V di picco (in alternata). SOLUZIONE (a) 5, L 4 mh e C.15 F, per cui n 1 LC rad/s La frequenza risonante serie è f n n Hz Poiché (2L) 5 ( ) 625, il rapporto di smorzamento è n Dall Eq. (B.55) si ricava Q s n L Per la frequenza di taglio inferiore, le Eq. (B.85) e (B.86) forniscono u u 1 n rad/s Così f Hz Per la frequenza di taglio superiore, dall Eq. (B.83) e dall Eq. (B.84) si ottiene u u 2 n rad/s Così f Hz Dall Eq. (B.89), si ricava la banda passante BW s f 2 f 1 f n Q s Hz

34 34 Appendice B Sommario di teoria dei Circuiti (b) In Fig. B.42 è riportato il circuito LC serie per la simulazione con PSpice. Segue la descrizione del circuito. Esempio B.16 isposta in frequenza di un circuito LC serie Vm1 1 AC 1V ; ingresso in c.a., valore di picco 1 V L MH C UF Vm2 4 AC 1V ; ingresso in c.a., valore di picco 1 V L MH C UF Vm3 7 AC 1V ; ingresso in c.a., valore di picco 1 V L MH C UF AC DEC 1 1HZ 1MEGHz ; analisi in c.a. da 1 Hz a 1 MHz ; con scansione logaritmica e 1 punti per decade.pobe.end Figura B.42 Parametri: VAL 5 Circuito LC serie per la simulazione con PSpice C.15 F V S 1 V ~ L 4 mh {VAL} I diagrammi PSpice del modulo e della fase (dal file EXB-16.SCH) sono riportati in Fig. B.43. Dal diagramma ottenuto con 5 si ricava f Hz, f Hz, f n 6457 Hz e BW s f 2 f Hz. Figura B.43 Diagrammi della risposta in frequenza (Esempio B.16) Circuiti LC parallelo del secondo ordine In Fig. B.44 è rappresentato un circuito LC parallelo. La tensione d uscita v o è prelevata sul parallelo delle tre impedenze. La funzione di trasferimento G(s) V o (s) I s (s) nel dominio s di Laplace è l impedenza equivalente Z(s).

35 Paragrafo B.1 isposta in frequenza dei circuiti del primo 35 Figura B.44 Circuito LC parallelo L I s C V o Cl La funzione s Z (s) L sc sl s 2 LC sl permette di ricavare la funzione di trasferimento G(s) G(s) V o (s) Is (s) Z(s) (in siemens, o mho) s C (ohm) (B.91) Detti n 1 LC la pulsazione di risonanza (rad/s) e 1 (2C) il fattore di smorzamento, l Eq. (B.91) può essere riscritta 2s G(s) (ohm) (B.92) s 2 2s 2 n Detto 1 LC n 2 C 2 1 L (B.93) C il rapporto di smorzamento, l Eq. (B.92) diventa n s G(s) (ohm) (B.94) s 2 2 n s 2 n in cui assumeremo ancora una volta che si abbia 1. (Si noti che non è necessariamente minore di 1, ma è stato considerato minore di 1 in questo caso). Il secondo membro dell Eq. (B.94) è 2 moltiplicato per l Eq. (B.76). Seguendo il procedimento già esposto per le (B.78) e (B.79), è possibile ricavare l espressione dell ampiezza G( j) 2u G( j) (ohm) (B.95) [(1 u 2 ) 2 (2u) 2 ] 1 2 e della fase di G( j) s C s 2 s C 1 LC 2u 1 u 2 s 2 s C 1 LC s C s 2 s C 1 LC 2 tan 1 (B.96) I diagrammi del modulo e della fase per il circuito LC parallelo sono riportati in Fig. B.45. Si ha, per il valore massimo del modulo di G( j) max Z( j) max 1. In

36 36 Appendice B Sommario di teoria dei Circuiti FIGUa B.45 isposta in frequenza di un circuito LC parallelo 2 log G( jv) (db).1 1 d v v n u q f d v v n u q corrispondenza delle frequenze di taglio il modulo del guadagno si riduce al 7.7 % del suo valore massimo. Così l Eq. (B.95) fornisce 2u G( j).77 [(1 u 2 ) 2 (2u) 2 ] da cui segue 2(2u) [(1 u 2 ) 2 (2u) 2 ] 1 2 Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene 2(2u) 2 (1 u 2 ) 2 (2u) 2 e quindi (2u) 2 (1 u 2 ) 2 (B.97) che è uguale all Eq. (B.8). Per determinare 1 e 2,è possibile utilizzare le relazioni dall Eq. (B.81) all Eq. (B.86). Quindi la banda passante di un circuito LC risonante parallelo è BW p 2 1 n (u 2 u 1 ) 2 n L C 1 LC 1 C (in rad/s) (B.98) NOTA: In un circuito parallelo si ha, BW p 1 C; per un circuito serie, BW s L. ESEMPIO B.17 Calcolo della risposta in frequenza di un circuito LC parallelo Per il circuito in Fig. B.44 si ha 5, L 4 mh e C.15 F. (a) Valutare la frequenza di risonanza f p, il rapporto di smorzamento, le frequenze di taglio, l ampiezza di banda BW p e il fattore di qualità Q p del circuito. (b) Utilizzare PSpice/SPICE per tracciare i diagrammi dell ampiezza e della fase della tensione d uscita per 5, 1 e 2. La frequenza f varia da 1 Hz a 1 khz. Assumere I m 1 A di picco (in alternata).

37 Paragrafo B.1 isposta in frequenza dei circuiti del primo 37 SOLUZIONE (a) 5, L 4 mh, C.15 F e I m 1 A di picco; dunque n 1 LC rad/s La frequenza di risonanza parallelo è f p n Hz Essendo 1 (2C) 1 ( ) , il rapporto di smorzamento è n Per la pulsazione di taglio inferiore, le Eq. (B.85) e (B.86) forniscono u u 1 n rad/s Così f Hz Per la pulsazione di taglio superiore, dalle Eq. (B.85) e (B.86) si ottiene u u 2 n rad/s Così f Hz Dall Eq. (B.98), per la banda passante si ottiene BW p f 2 f 1 1 2nC Hz Mediante l Eq. (B.9) si ottiene infine il fattore di qualità Q p f p BW p (b) In Fig. B.46 è riportato il circuito per la simulazione con PSpice. Segue la descrizione del circuito. Esempio B.17 isposta in frequenza di un circuito LC parallelo IM1 1 AC 1A ; ingresso in c.a., valore di picco 1 A L1 1 4MH C1 1.15UF IM2 2 AC 1A ; ingresso in c.a., valore di picco 1 A L2 2 4MH C2 2.15UF IM3 3 AC 1A ; ingresso in c.a., valore di picco 1 A L3 3 4MH C3 3.15UF AC DEC 1 1HZ 1MEGHZ.POBE.END Figura B.46 Circuito LC parallelo per la simulazione con PSpice Parametri: VAL 5 I m 1 A ~ IAC {VAL} L 4 mh C.15 F

38 38 Appendice B Sommario di teoria dei Circuiti I diagrammi PSpice del modulo e della fase (dal file EXB-17.SCH) sono riportati in Fig. B.47. Dal diagramma ottenuto con 5 si ricava f Hz, f khz, f p 6457 Hz e BW p f 2 f Hz. Figura B.47 Diagrammi della risposta in frequenza (Esempio B.17) B.11 Costanti di tempo dei circuiti del primo ordine Abbiamo visto che il transitorio e la risposta in frequenza dei circuiti del primo ordine dipendono dalla loro costante di tempo. La costante di tempo di un circuito C è C, mentre quella di un circuito L è L. Molti circuiti hanno tuttavia più di due componenti; in questo caso la costante di tempo può essere determinata valutando la resistenza e la capacità effettiva del circuito. La procedura da seguire è la seguente: Passo 1. Cortocircuitare i generatori di tensione e aprire quelli di corrente. Passo 2. Se nel circuito sono presenti più condensatori (o induttori), ma un solo resistore, determinare la capacità (o l induttanza) vista dal resistore. Passo 3. Se nel circuito sono presenti più resistori, ma un solo elemento capacitivo (o induttivo), determinare la resistenza vista dalla capacità (o dall induttanza). ESEMPIO B.18 Calcolo della costante di tempo Nel circuito riportato in Fig. B.48 si ha k e C.1 F. Determinare (a) la costante di tempo, (b) la pulsazione di taglio o e (c) l ampiezza della panda passante BW. Figura B.48 Circuito per l Esempio B.18 1 v s ~ C 3 v o SOLUZIONE Con il generatore cortocircuitato, la resistenza vista dal condensatore C è il parallelo di 1 ed 3. La resistenza equivalente è data da da cui k 3 2 k