Corso di Sistemi Prof. Aniello Celentano anno scolastico 2015/2016 ITIS G. Ferraris (NA)

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1 I Numeri complessi I numeri complessi sono costituiti da una coppia di numeri reali (a,b). Il numero reale a è la parte reale, mentre b è la parte immaginaria. La parte immaginaria è sempre accompagnata dalla lettera j (oppure i), che costituisce l unità immaginaria per la quale sussiste la relazione j 2 =-1. La notazione più usata per indicare un numero complesso è s = a + jb in cui s è il numero complesso e a e b sono due numeri reali qualsiasi. Ad esempio un numero complesso è s=3+5j. La rappresentazione grafica di tali numeri avviene sul piano cartesiano (piano di Gauss). L asse delle ascisse è detto asse Reale, indicato con Re, mentre quello delle ordinate è detto asse Immaginario, indicato Im. Un qualunque punto di tale piano è individuato dalla coppia di numeri (a,b) e, cioè, dal numero complesso s=a+bj. Un numero complesso può anche essere visto come un vettore. Il vettore s=a+jb è il vettore che collega l origine degli assi cartesiani con il punto di coordinate (a,b). Tale vettore ha una sua lunghezza, detta anche modulo, una direzione, rappresentata dall inclinazione della retta che sostiene il vettore con l asse delle ascisse, ed infine un verso per indicare in quale quadrante del piano cartesiano punta il vettore. L inclinazione con l asse delle ascisse è indicato come fase o argomento. Pertanto se s=a+jb si ha: Come si vede, il modulo deve essere indicato con i due trattini verticali che racchiudono il nome del vettore o numero complesso, la fase è l angolo che si ottiene facendo l arco-tangente del rapporto tra la parte immaginaria e la parte reale. Se con s indichiamo un numero complesso, Re(s) indica la parte reale di s, mentre Im(s) indica la parte immaginaria, Arg(s) indica il suo argomento o fase. La fase oltre ad indicare la direzione del vettore (inclinazione rispetto all ascissa) deve essere opportunamente trasformato per far sì che indichi anche il verso del vettore. Ad esempio il numero complesso s=10-7j, situato nel 4 quadrante del piano di Gauss, ha modulo pari a 12.2, argomento = 325 e direzione -35. Proprietà dei numeri complessi a) La somma algebrica di più numeri complessi è un numero complesso di cui la parte reale è la somma delle parti reali e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie. b) Il prodotto di numeri complessi è il prodotto dei binomi di tipo (a+jb) c) Vale l identità j 2 = -1 d) Due numeri sono detti complessi coniugati se hanno la stessa parte reale e le parti immaginarie con segni opposti e) Il modulo di un prodotto/rapporto di numeri complessi è il prodotto/rapporto dei moduli f) La fase di un prodotto/rapporto di numeri complessi è la somma/differenza delle fasi Tutte le proprietà da a) ad f) devono essere verificate con esempi numerici. Le funzioni complesse Come per il dominio dei numeri reali, in cui si definisce funzione f una relazione tra variabili indipendenti, allo stesso modo una funzione complessa è una relazione tra variabili complesse indipendenti. Ad esempio la funzione complessa f(s) = 3s 2 + 5s -9 assume il valore di -9 per s=0, mentre assume il valore di j per s=1+2j. (Versione 8/12/2015) Pag. 1

2 NOTA Gli angoli si misurano positivi a partire dalla semiretta ascissa in senso antiorario. Un angolo negativo vuol dire che si misura in senso orario rispetto all ascissa. Un vettore ha una direzione che varia tra -180 e Ad esempio una retta passante per l origine ed inclinata di -30 è lo stesso che dire che è inclinata di 120. Non è la stessa cosa per i vettori. Un vettore che cade nel 2 Quadrante ha argomento negativo che può essere espresso come positivo se si aggiunge 180. Allo stesso modo un vettore che cade del 3 Q, che ha un argomento positivo corrispondente come un vettore che cade nel 1 Q. In definitiva, a seconda che il vettore, o numero complesso, in quale quadrante cade si deve seguire il seguente prospetto per ottenere l argomento esatto: 1 Quadrante Arg(s)=arctg(b/a) Argomento è positivo 2 Quadrante Si deve aggiungere 180 all argomento. 3 Quadrante Si deve aggiungere 180 all argomento. 4 Quadrante Si deve aggiungere 360 all argomento. Esempi 1 Q: s= 5+9j φ=arctg( 9/ 5 )= 60.9 Arg(s)= Q: s=-7+3j φ=arctg( 3/-7 )=-23.2 Arg(s)= Q: s=-8-5j φ=arctg(-5/-8 )= 32.0 Arg(s)= Q: s= 6-7j φ=arctg( 6/-7 )=-40.6 Arg(s)=319.0 Gli angoli, preferibilmente, devono essere indicati in radianti. Ciò significa che nell indicazione degli angoli deve figurare il simbolo π che, senza ombra di dubbio, esprime l angolo in unità radianti. Ad esempio: φ = 30 (sessagesimali) = (30/180) = 1/6 (radianti) (Versione 8/12/2015) Pag. 2

3 La trasformata di Laplace Nel dominio del tempo abbiamo funzioni che hanno il tempo come variabile indipendente. Spesso in tale dominio si devono risolvere equazioni integrodifferenziali che presentano una grande difficoltà matematica ad essere risolte. Ad esempio il circuito riportato a lato rappresenta un circuito RLC alimentato da un generatore di segnale e(t) che varia nel tempo. L equazione alla maglia si scrive come: In questa equazione la funzione i(t) è la corrente che scorre nella maglia in funzione del tempo. La risoluzione dell equazione, trovare un espressione per i(t), presenta non poche difficoltà. Una soluzione i(t) ci permetterebbe di analizzare l andamento nel tempo della tensione ai capi di R, oppure di C o L. E possibile risolvere l equazione appena menzionata spostando il problema dal dominio reale a quello complesso, cioè dei numeri complessi. Una volta ottenuto un risultato, sarà possibile ritornare nel dominio del tempo per poter ottenere le soluzioni delle equazioni in funzione del tempo. Per poter passare nel dominio dei numeri complessi occorre applicare delle trasformazioni. Deve essere applicata la trasformata di Laplace. Applicando questo metodo matematico, tutte le funzioni nel dominio del tempo sono trascritte nel dominio dei numeri complessi. La risoluzione delle equazioni sul piano complesso risultano essere di tipo algebrico, molto più semplice da risolvere. Una volta trovata una soluzione, applicando l anti-trasformata di Laplace, sarà possibile ottenere la soluzione nel dominio del tempo: il nostro obiettivo! Lo schema a lato chiarisce il concetto appena esposto. Il primo blocco non presenta una grande difficoltà operativa perché basterà applicare le leggi che regolano il funzionamento dei componenti RLC per poter scrivere l equazione alla maglia da risolvere. Il secondo blocco, come pure il quarto, hanno in sé una grande difficoltà matematica. Per poter risolvere questi blocchi si introduce l operatore di Laplace: un operazione matematica che permette di trasformare le funzioni reali nel dominio complesso, indicato con L[ ]. I matematici hanno risolto questo problema creando un elenco delle trasformate di Laplace di tutte le possibili funzioni nel dominio del tempo. L uso di questo elenco ci permette di risolvere le equazioni integro-differenziali. Ad esempio, nel dominio del tempo spesso si ha la funzione del tipo v(t)=kt (impulso a rampa). Possiamo scrivere: L[ v(t) ] = v(s) = L[ K t ] = K/s 2 L espressione si legge in questo modo: la trasformata di Laplace di v(t) è uguale a v(s), con s variabile indipendente complessa, ed è uguale a K diviso s 2. Di seguito viene riportato l elenco delle funzioni nel dominio del tempo, e le loro trasformate di Laplace, che maggiormente sono usate in elettronica. (Versione 8/12/2015) Pag. 3

4 Proprietà fondamentali della trasformata di Laplace Sono fondamentali le seguenti proprietà della trasformata di Laplace. 1) La trasformata di una costante K per una funzione è uguale alla costante K per la trasformata della funzione. Ossia: L[ K f(t) ] = K L[ f(t) ] = K F(s) In questa espressione s rappresenta la variabile indipendente sul piano complesso, F(s) è la trasformata di Laplace di f(t). 2) La trasformata di una somma di funzioni è uguale alla somme delle trasformata delle singole funzioni, ossia: L[ f(t) + g(t) ] = L[ f(t) ] + L[ g(t) ] = F(s) + G(s) 3) La trasformata di una derivata di una funzione è s-volte la trasformata della funzione, ossia: L[ ] = s F(s) 4) La trasformata dell integrale di una funzione è la trasformata della funzione diviso s, ossia: L[ ] = (Versione 8/12/2015) Pag. 4

5 f(t) Trasformate di Laplace F(s) 1-cos( ) K: Costante numerica reale ω: frequenza angolare in rad/s s: generica variabile complessa, tipo a+jb (Versione 8/12/2015) Pag. 5

6 I componenti elettrici passivi sul piano complesso L impedenza resistiva La legge di Ohm in ogni istante di tempo t è v(t)=r i(t). Il termine v(t) è la tensione ai capi del resistore R, i(t) la corrente che scorre in R. La costante di proporzionalità R è definita come resistenza, l inverso 1/R è la conducibilità. Applichiamo la trasformata di Laplace alla legge di Ohm: L[ ] v(s) = R i(s) v(s) = X R i(s) Nell ultima espressione, la variabile s è la variabile complessa, v(s) è la trasformata di Laplace della tensione v(t), i(s) è la trasformata di Laplace della corrente. La costante di proporzionalità tra v(s) e i(s), cioè X R, è definita come impedenza resistiva. Quindi possiamo indicare la resistenza sul piano complesso come: X R = R. L espressione X R è un numero complesso che ha solo la parte reale. Impedenza capacitiva Indichiamo con i(t) la corrente che scorre all istante t nel condensatore C, la tensione ai capi di C è: Applicando la trasformata di Laplace a tale equazione: L[ ] v(s) = X C i(s) Nell ultima espressione si è messo in evidenza l impedenza capacitiva: Tale impedenza capacitiva ha le dimensione di un impedenza, rapporto tensione/corrente, quindi si misura in Ohm Impedenza induttiva Indichiamo con i(t) la corrente che scorre in un induttore con induttanza L. La tensione ai capi dell induttore è: Applicando la trasformata di Laplace a tale equazione. Si ha: L[ ] v(s) = sl i(s) v(s) = X L i(s) Nell ultima espressione si è messo in evidenza l impedenza induttiva, ossia: X L = sl Questa espressione è l equivalente di una induttanza sul piano complesso ed è un impedenza X L e si misura in Ohm. Le espressioni trovate sono generali per un analisi matematica sul piano complesso. Se limitiamo l analisi al solo caso di segnali sinusoidali con pulsazione ω, la variabile s deve essere sostituita con la variabile complessa jω. Quindi, in presenza di segnali sinusoidali le impedenze trovate diventano: Quindi possiamo dire che nel dominio complesso la resistenza è rappresentata da un numero complesso con la sola parte reale; l impedenza X C del condensatore, definita come reattanza capacitiva, sul piano complesso si colloca sull asse immaginario negativo mentre l induttore ha una reattanza induttiva che sul piano complesso si colloca sull asse immaginario positivo. (Versione 8/12/2015) Pag. 6

7 Leggi di composizione RLC sul piano complesso Dimostriamo che anche nel dominio complesso sussiste la validità delle leggi di composizione degli elementi passivi RLC. Condensatori in serie Nel dominio del tempo, due condensatori in serie sono equivalenti ad un condensatore con capacità pari alla somma dei reciproci delle capacità (*). Ossia: Questa legge vale anche nel dominio complesso. Infatti, se i(t) è la corrente che scorre nei due condensatori, i(s) la trasformata di Laplace di i(t), per ciascun condensatore vale: Dove v 1 (s) e v 2 (s) sono le tensione ai capi dei due condensatori. Quindi sommando le due tensioni: Dall ultima espressione ricaviamo che la legge di composizione di due condensatori in serie è ancora valida sul piano complesso. In particolar modo possiamo affermare che sul piano complesso due condensatori in serie sono equivalenti ad un condensatore la cui impedenza capacitiva, 1/sC eq, è la somma delle impedenze capacitive dei due condensatori. Condensatori in parallelo Supponiamo di avere due condensatori in parallelo. Sia i(t) la corrente complessiva che li attraversa. Possiamo scrivere per i due condensatori: Nell espressione, v(s) è la tensione ai capi dei due condensatori, i 1 (s) e i 2 (s) la corrente che attraversa rispettivamente C 1 e C 2, C eq la capacità equivalente del sistema parallelo. Dall ultima espressione si vede: Questa espressione equivale a dire che due condensatori in parallelo si comportano come un solo condensatore la cui ammettenza (**) capacitiva sc eq è la somma delle ammettenze capacitive dei due condensatori. (*) Il reciproco di una capacità si definisce elastanza capacitiva. Il reciproco di un induttanze è definito come elastanza induttiva. (**) L inverso di un impedenza X è definita ammettenza. Quindi l impedenza e l ammettenza sono l una l inverso dell altra. (Versione 8/12/2015) Pag. 7

8 Resistori in parallelo Supponiamo di avere due resistori in parallelo. Sia i(t) la corrente complessiva che li attraversa. Sul piano complesso possiamo scrivere: Nell espressione, v(s) è la tensione ai capi dei due resistori, i 1 (s) e i 2 (s) la corrente che attraversa rispettivamente R 1 e R 2, R eq la resistenza equivalente. Dall ultima espressione si vede che anche nel dominio complesso sussiste la legge di composizione di resistori in parallelo: Questo risultato può essere espresso dicendo che sul piano complesso due resistori in parallelo sono equivalenti ad un solo resistore la cui ammettenza resistiva (1/R) è la somma delle ammettenze dei singoli resistori. Resistori in serie Supponiamo di avere due resistori in serie. Sia i(s) la corrente che li attraversa. Possiamo scrivere per i due condensatori: I termini v 1, v 2 si riferiscono alle tensione ai capi di ciascun resistore. Dall ultima espressione si riconosce la legge di composizione di resistori in serie. Pertanto anche nel dominio complesso sussiste la validità di tale legge. Induttori in serie Supponiamo di avere due induttori L 1 e L 2 in serie. Sia i(s) la corrente che li attraversa. Possiamo scrivere per i due induttori: Con ovvio significato dei termini usati, l ultima equazione esprime la legge di composizione di due induttori in serie. Pertanto anche nel dominio complesso sussiste la regola che l impedenza induttiva equivalente serie è la somma delle singole impedenze induttanze. Induttori in parallelo Supponiamo di avere due induttori L 1 e L 2 in parallelo. Sia i(t) la corrente complessiva che li attraversa. Possiamo scrivere: Dall ultima espressione si vede che anche nel dominio complesso sussiste la legge di composizione degli induttori in parallelo: In particolar modo possiamo dire che sul piano complesso due induttori in parallelo si comportano come un unico induttore la cui ammettenza induttiva (1/X L ) è la somma delle singole ammettenze induttive. (Versione 8/12/2015) Pag. 8

9 Circuiti RLC serie/parallelo Nel paragrafo precedente è stato dimostrato che i componenti RLC sul piano complesso hanno una formulazione matematica più semplice che sul piano reale. Questi componenti sono caratterizzati dall avere un impedenza che nell analisi dei circuiti si comportano come delle resistenze. Ad esempio, se abbiamo una resistenza ed un induttore in serie, sul piano complesso il circuito si comporta come un solo componente, X eq, la cui impedenza è la somma di X R (= R) della resistenza e di X L (=sl) dell induttore. In definitiva, un qualunque circuito RLC può essere analizzato trasformandolo in un solo componente la cui impedenza complessa si ricava dall analisi in serie e/o in parallelo del circuito. Analizziamo il circuito riportato in figura. Una resistenza R è posta in serie ad un parallelo tra un induttanza ed un condensatore. Il nostro obiettivo è quello di analizzare il comportamento del circuito in funzione di segnali impulsivi oppure sinusoidali. Ricaviamo, sul piano complesso, l impedenza complessiva X eq del circuito. Possiamo scrivere: Sostituendo ad ogni impedenza il relativo valore complesso si ottiene: Il comportamento di questa impedenza complessa può essere ricavato rintracciando la posizione degli zeri e dei poli sul piano complesso. In presenza di segnali sinusoidale basterà sostituire ad s il valore jω per poter analizzarne il comportamento in funzione della frequenza. (Versione 8/12/2015) Pag. 9

10 Applicazioni della trasformata di Laplace A) Condensatore alimentato da impulso a gradino di corrente Supponiamo che un impulso di corrente i(t)=i o dall istante t=0 alimenta un condensatore C. Vogliamo analizzare l andamento della tensione ai capi di C in ogni istante. Di seguito è riportato il circuito elettrico e l andamento nel tempo dell impulso di corrente. La tensione ai capi del condensatore, nel dominio del tempo, è data dalla seguente espressione: Applicando la trasformata di Laplace all impulso di corrente i(t), ossia consultando la tabella delle trasformata di Laplace, si ha: i(s) = L[ ] = L[ ] = Pertanto possiamo applicare la trasformata di Laplace a v C (t), ossia: L[ ] Quindi, sul piano complesso la soluzione è: Per ottenere la soluzione nel dominio del tempo dobbiamo applicare l anti-trasformata di Laplace, ossia consultiamo la tabella delle trasformate di Laplace al fine di individuare quale funzione nel dominio del tempo fornisce la soluzione complessa v c (s) trovata, ossia: L -1 [ ] Pertanto si vede che la variazione ai capi del condensatore è lineare nel tempo, come illustrato nel grafico che segue. (Versione 8/12/2015) Pag. 10

11 B) Condensatore alimentato da impulso di corrente a rampa Supponiamo che l impulso di corrente che alimenta ( carica ) il condensatore sia di tipo a rampa, come evidenziato dal grafico che segue. In questo caso l equazione che dobbiamo risolvere è: Applicando la trasformata di Laplace all impulso di corrente i(t), ossia consultando la tabella delle trasformata di Laplace, si ha: i(s) = L[ ] = L[ ] = Quindi, applicare la trasformata di Laplace a v C (t), otteniamo: L[ ] Quindi, sul piano complesso la soluzione è: Per ottenere la soluzione nel dominio del tempo dobbiamo applicare l anti-trasformata di Laplace, ossia consultiamo la tabella delle trasformate di Laplace al fine di individuare quale funzione nel dominio del tempo fornisce la soluzione complessa v c (s) trovata, ossia: L -1 [ ] Pertanto si vede che la variazione ai capi del condensatore è di tipo parabolico, v c (t) aumenta con t 2, come illustrato nel grafico che segue. (Versione 8/12/2015) Pag. 11

12 C) Condensatore alimentato da impulso di corrente alternata Supponiamo che il condensatore C venga alimentato da un impulso di corrente di tipo sinusoidale, come rappresentato nello schema riportato a lato. Supponiamo che l impulso abbia frequenza ω e ampiezza I o. L equazione che dobbiamo risolvere è la seguente: Applicando la trasformata di Laplace all impulso di corrente i(t), ossia consultando la tabella delle trasformate di Laplace, si ha: i(s) = L[ ] = L[ ] = Quindi, applicare la trasformata di Laplace a v C (t), otteniamo: L[ ] Quindi, sul piano complesso la soluzione è: Per ottenere la soluzione nel dominio del tempo dobbiamo applicare l anti-trasformata di Laplace, ossia consultiamo la tabella delle trasformate di Laplace al fine di individuare quale funzione nel dominio del tempo fornisce la soluzione complessa v c (s) trovata, ossia: L -1 [ ] Il grafico che segue riporta l andamento nel tempo della tensione v c (t) ai capi del condensatore. La quantità I o /ωc è un offset di tensione che permette di traslare la funzione cos(t). E interessante studiare l andamento di v c (t) rispetto a i c (t): la tensione è in ritardo sulla corrente e lo sfasamento è di π/2. (Versione 8/12/2015) Pag. 12

13 D) Rete RC alimentato da impulso di tensione a gradino Analizziamo lo schema elettrico riportato di seguito. Un generatore di tensione v(t) alimenta il circuito serie RC con un gradino di tensione. Vogliamo analizzare l andamento nel tempo della tensione ai capi del condensato dall istante in cui viene alimentato il circuito. L equazione alla maglia e: Nell espressione i(t) è la corrente istante per istante che circola nella maglia. Il nostro obiettivo è trovare i(t). Applichiamo la trasformata di Laplace al gradino di tensione che alimenta il circuito. Ossia: L[ ] = v(s) = L[ ] = Applichiamo la trasformata di Laplace all equazione della maglia: Da questa equazione troviamo la corrente i(s): Questo risultato ci permette di trovare la tensione ai capi del condensatore in ogni istante. Infatti: Consultando la tabella delle trasformate di Laplace possiamo rintracciare la funzione nel dominio del tempo la cui trasformata di Laplace fornice la funzione v c (s). Ossia: Il grafico di tale funzione, andamento della tensione ai capi del condensatore, è riportato a lato. E interessante calcolare: a) il tempo che impiega il condensatore per raggiungere il 50% del valore finale (t 1/2 ); b) il tempo che il condensatore impiega per passare dal 10% al 90% del valore finale (t r : time rise). La stessa analisi può essere fatta considerando l uscita ai capi della resistenza oppure sostituendo il condensatore con un induttanza. (Versione 8/12/2015) Pag. 13

14 Segnali sinusoidali, fase e sfasamento I segnali sinusoidali sono segnali il cui andamento nel tempo è descritto dalla funzione trigonometrica seno. Ad esempio, la relazione v(t) = V o sen(ωt+φ) esprime un segnale elettrico di tensione v(t) che varia sinusoidalmente con frequenza angolare ω e fase φ. Lo schema che segue ne illustra l andamento nel tempo. Si osservi che sull asse delle ascisse è riportato sia la metrica in radianti, lato superiore, che nel tempo (ω=2π/t). La fase φ del segnale è quel valore angolare che permette di ricavare il segnale all istante t=0. Consideriamo ad esempio la tensione v(t)=12 sen( 50t + 30 ), al tempo t=0 assume il valore 6 volt. Se lo stesso segnale all istante t=0 assumesse il valore di 3.7 Volt significherebbe che la fase del segnale è φ=arsen(3.7/12)= 18. Spesso bisogna mettere a confronto due segnali sinusoidali con la stessa frequenza per stabilire il sincronismo tra loro, cioè stabilire quale è in anticipo/ritardo rispetto all altro. Per stabilire tale sincronismo bisogna individuare gli istanti in cui i segnali passano per lo zero e sono in fase crescente. In questo modo si può stabilire quale segnale è in anticipo e quale è in ritardo. Osserviamo il grafico riportato a lato. Il segnale corrente i(t) all istante t 1 passa per lo zero ed è crescente. Il segnale v(t) passa per lo zero degli assi ed è crescente. Poiché il tempo t 1 è situato prima del punto di inizio del segnale tensione, il segnale corrente è in anticipo sulla tensione. Si può anche dire che la tensione è in ritardo sulla corrente. Pertanto possiamo dire che i due segnali sono sfasati tra di loro. Lo sfasamento può essere calcolato sapendo il tempo t 1 : Allo stesso modo, osservando il grafico che segue, possiamo affermare che il segnale corrente è in ritardo sul segnale tensione, ossia che la tensione è in anticipo sulla corrente. Ciò per il fatto che l istante t 1 è successivo all istante in cui il segnale tensione passa per lo zero ed è crescente. Lo sfasamento si calcola nello stesso modo riportato sopra. (Versione 8/12/2015) Pag. 14