STATI DI SFORZO E DI DEFORMAZIONE NEI TERRENI. Giuseppe Scarpelli. Università Politecnica delle Marche

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1 Associazione Geotecnica Italiana Ordine dei Geologi della Regione Campania Corso di Aggiornamento di Cultura Geotecnica, Napoli, giugno-luglio 00 STATI DI SFORZO E DI DEFORMAZIONE NEI TERRENI Giuseppe Scarpelli Uniersità Politecnica delle Marche 1. Stati di sforzo Nello studio del comportamento meccanico dei corpi deformabili non è possibile prescindere dal concetto di sforzo e di deformazione per stabilire la configurazione che il corpo assume sotto l azione delle forze esterne. Nel caso di mezzi continui, sforzo e deformazione sono concetti intuitii, nel senso che è facile associare a queste grandezze fisiche una definizione matematica, traendo spunto direttamente dall esperienza. Se si considera ad esempio la forza agente attraerso una superficie interna di un corpo continuo, è possibile innanzitutto definire uno sforzo medio come rapporto fra forza e area della superficie attraerso cui agisce, con un passaggio al limite quindi con l area che si riduce ad un area infinitesima, quello sforzo medio si trasforma in uno sforzo puntuale che è quanto sere per rappresentare lo stato di sforzo del corpo. Nel caso di un terreno, la natura di mezzo granulare e polifase, non consente lapplicazione semplice ed immediata dei metodi della meccanica del continuo per la risoluzione dei problemi connessi con la deformabilità e lequilibrio dei corpi. Daltra parte è eidente la necessità di affrontare lo studio dei mezzi granulari con gli stessi strumenti con cui si studiano quelli continui, perché in caso contrario infatti, la sola alternatia possibile sarebbe quella di conoscere leoluzione delle forze di contatto fra particelle, trattando ogni singolo granulo, come se fosse un corpo rigido. Adottando i metodi generali della meccanica dei continui deformabili è però necessario indiiduare un elemento di materiale che sia rappresentatio e sufficientemente piccolo, per poter attribuire a tutte le grandezze che engono definite il significato di grandezze puntuali. Se per definire il concetto di sforzo in un mezzo continuo è necessario imporre matematicamente un passaggio al limite per ridurre un olume di materiale con dimensioni finite ad un olume infinitesimo, per un mezzo a natura particellare questo passaggio richiede di legare le dimensioni dellelemento infinitesimo a quelle delle particelle che lo costituiscono. E infatti eidente che poiché la meccanica delle terre si interessa di materiali con elementi costituenti di dimensioni ariabili in un campo molto ampio (fra il micron ed il metro) lelemento di olume rappresentatio è quel olume di terreno che contiene un numero sufficientemente grande di granuli da far sì che il suo comportamento sia omogeneo a quello dellintero ammasso granulare; in altri termini le dimensioni dell elemento di olume deono essere scelte con il principio che, ariando

2 di poco il numero delle particelle di terreno in esso contenute, il comportamento meccanico non risulti alterato. Un ulteriore complicazione connessa con limpiego della meccanica del continuo per lo studio del comportamento dei terreni discende dalla loro natura polifase per cui è necessario stabilire quali siano le modalità con cui le dierse fasi di cui è composto il materiale (solida, liquida, gassosa) interagiscono fra loro quando deono assorbire le forze esterne e deformarsi conseguentemente. Per precisare i concetti, si consideri un esperimento ideale, realizzato introducendo una cella di pressione allinterno di un mezzo granulare, per misurare le forze N e T che si scambiano mutuamente le due parti di terreno attraerso larea A della cella. Lesperimento è ideale in quanto è eidente che è impossibile inserire una cella di misura nel terreno senza produrre un disturbo locale che influenza proprio i alori delle grandezze da misurare. Note le forze N e T, le quantità medie N T (1) A A engono definite sforzi totali e rappresentano lo sforzo medio indotto dalle forze agenti N e T sullarea A alori degli sforzi che così non hanno oiamente nulla a che edere con quelli degli sforzi di contatto fra le particelle che costituiscono il terreno. Questi infatti, poiché dipendono dalla superficie di contatto fra i granuli, in genere estremamente piccola, assumono alori di gran lunga maggiori degli sforzi medi. Facendo riferimento allo schema semplice di Fig. 1 infatti, larea di contatto fra i granuli è rappresentata dalla somma di superfici puntiformi a c, mentre larea totale è costituita dalla somma delle aree di contatto a c e di quelle relatie ai fluidi che circolano nel terreno, a w dell acqua e a g del gas. a c a c a g a w a c a w a g A a + a + a c w g Fig. 1 Aree di contatto ed area dei fluidi interstiziali area totale A In realtà, per descriere lo stato di sforzo di un terreno, si fa riferimento non solo alle grandezze medie, sforzi totali, ma si definisce un particolare stato di sforzo denominato sforzo efficace. Questultimo indiidua una grandezza fittizia, a cui non corrisponde uno stato di sforzo reale, che è rappresentato dal rapporto fra le somma delle forze normali n i e tangenziali t i che si scambiano le particelle solide attraerso i singoli contatti e larea totale A; in particolare si definiscono lo sforzo normale efficace e quello tangenziale efficace : Giuseppe Scarpelli Lezione /1

3 n i A ti A () La possibilità di impiegare utilmente una tale definizione di sforzo per i terreni discende direttamente dal principio delle tensioni efficaci enunciato da Terzaghi nel 19. Secondo questo principio la risposta meccanica dei terreni alle azioni esterne iene a dipendere solo da quella parte delle forze che non si scarica (come pressione) sui fluidi interstiziali. La scrittura delle condizioni di equilibrio delle forze che agiscono attraerso la piastra permette infatti di edere come gli sforzi efficaci rappresentino proprio la quota parte di forza esterna che finisce sui granuli, riferita allarea totale della cella di misura. Si ottiene: N ni + uwaw + u g a T t i g () per lequilibrio in direzione normale e tangenziale rispettiamente, tenendo conto che i fluidi interstiziali (acqua e gas) non possono trasmettere sollecitazioni di tipo tangenziale. Introducendo le espressioni già definite per gli sforzi totali ed efficaci si ricaa: N ni uwa + A A T ti A A w + u A g a g u + waw u gag (4a) + A (4b) Le pressioni dellacqua e del gas in generale differiscono fra loro quando il terreno si troa distante dalla condizione di saturazione, quando cioè i gas inizialmente presenti nel terreno risultano completamente disciolti nellacqua interstiziale. Per i alori più comuni del grado di saturazione (Sr V w /V > 0.8), le pressioni dei fluidi differiscono di poco ed è pertanto possibile porre u w u g u. Il alore comune (u) della pressione nei fluidi interstiziali iene definito pressione interstiziale e la prima delle precedenti equazioni (4a) dienta: aw + a g a u c + u + 1 A A (5) che poi, essendo larea di contatto a c estremamente più piccola di A si riduce a + u (6) Giuseppe Scarpelli Lezione /1

4 La seconda equazione (4b) semplicemente esprime la non influenza delle pressioni interstiziali sugli sforzi di tipo tangenziale. (7) Le semplificazioni introdotte per dedurre le due precedenti equazioni fondamentali (6) e (7) ne forniscono anche il limite di alidità. In particolare, la prima semplificazione risiede nel alore del grado di saturazione del terreno che non può essere inferiore a 0.8; per gradi di saturazione più piccoli infatti, la scrittura delle condizioni di equilibrio richiede di considerare anche le forze di adesione fra fase fluida e particelle di terreno (tensioni capillari). La seconda semplificazione discende inece dallaer posto a c 0, condizione alida solo se il liello degli sforzi agenti sul terreno non determina la plasticizzazione dei granuli a contatto fra loro. In questo caso infatti per sopportare sforzi troppo eleati rispetto al limite di rottura del granulo è necessario che larea di contatto aumenti; sperimentalmente è possibile edere che nei casi usuali questo fenomeno si erifica quando gli sforzi applicati assumono alori estremamente più alti di quelli che si ritroano nei più comuni problemi di ingegneria (solitamente inferiori a 0 MPa). Con le limitazioni stabilite pertanto, le espressioni indiiduate per gli sforzi efficaci, normali e tangenziali, permettono di calcolare le grandezze richieste solo quando sono noti gli sforzi totali e le pressioni interstiziali punto per punto. Per quanto riguarda gli sforzi totali, questi engono in genere calcolati attraerso l analisi dello stato di equilibrio del corpo di terreno con le metodologie della meccanica del continuo; più raramente gli sforzi totali possono essere misurati attraerso limpiego di celle di pressione totale, come quella raffigurata in Fig., adatta alla misura di sforzi di tipo normale. Le pressioni interstiziali sono misurate o dedotte dal calcolo attraerso la risoluzione di problemi di idraulica nei mezzi porosi. Gli sforzi efficaci infine, poiché fittizi non possono in nessun caso essere misurati; deono necessariamente essere dedotti applicando le equazioni (6) e (7). Fig. Celle di carico per la misura delle pressioni totali Giuseppe Scarpelli Lezione 4/1

5 . Descrizione degli stati di sforzo Potendo ora fare riferimento alla meccanica dei mezzi continui, è possibile rappresentare lo stato di sforzo isolando un elemento cubico di materiale contenente un numero sufficiente di particelle elementari di terreno. Si definiscono due distinti stati di sforzo, totale ed efficace, ciascuno dotato delle stesse proprietà che caratterizzano le grandezze tensoriali che rappresentano gli sforzi nei mezzi continui. Facendo riferimento alla Fig. e ricordando il principio delle tensioni efficaci, lo stato di sforzo in un punto risulta completamente descritto quando sono note le componenti del tensore degli sforzi nello spazio xyz, 9 per gli sforzi totali e 9 per quello degli sforzi efficaci ; in realtà solo 6 sono strettamente necessarie in quanto, per simmetria, gli sforzi tangenziali sono a due a due eguali fra loro; si ha infatti che algono le seguenti relazioni: Z Y yy yz yx xy z z x zx x X xy yx xy xz zx xz yz zy xx yx zx xx u yx zx xy yy zy xz yz zz yy xy u zy xz yz u zz yz Fig. Stati di sforzo nelle terre In irtù del principio degli sforzi efficaci, noto il alore della pressione interstiziale, le 6 componenti del tensore sono immediatamente ottenibili da quelle del tensore. Nella meccanica dei terreni, per conenzione, gli sforzi normali engono assunti positii se di compressione; congruentemente anche le tensioni tangenziali dientano positie quando agiscono nel senso di ridurre gli angoli nei quadranti positii del sistema di riferimento. La conenzione sui segni per lo stato di sforzo è giustificata dal comportamento meccanico delle terre, che in quanto di natura particellare, non sopportano in genere sforzi di trazione; inoltre, degli sforzi tangenziali, ciò che è importante è la loro intensità, piuttosto che il erso. Cambiando l orientamento del cubo nello spazio, ciò che cambia è la rappresentazione dello stato di sforzo nel senso che cambiano le componenti ij e ij dei tensori e. È possibile dimostrare che scegliendo un orientamento particolare il tensore degli sforzi può essere descritto solo attraerso componenti di tipo normale (che si dicono sforzi principali) ( 1,, ) e ( 1,, ), mentre gli sforzi tangenziali si annullano. In questo caso si stabilisce conenzionalemnte che lo sforzo 1 è quello principale massimo, è lo sforzo principale intermedio e quello minimo. Le facce del cubo di terreno su cui Giuseppe Scarpelli Lezione 5/1

6 agiscono queste componenti di tensione si dicono facce o piani principali; dunque sui piani principali gli sforzi tangenziali sono nulli..1 Rappresentazione degli sforzi mediante cerchi di Mohr e percorsi di carico Nella maggior parte dei problemi di geotecnica la descrizione completa, tridimensionale, dello stato di sforzo non è necessaria; infatti è in genere sufficiente poter descriere lo stato di sforzo in un solo piano, quello doe si erificano gli sforzi tangenziali massimi. In tale piano, le tensioni principali sono la 1 e la e la ariazione delle componenti del tensore degli sforzi intorno ad un punto può essere descritta attraerso un solo cerchio di Mohr, come indicato in Fig a) b) θ K p θ (,) θ cos θ Fig. 4 Rappresentazione dello stato sforzo su un piano inclinato dell angolo θ Il cerchio corrispondente allo stato di sforzo di Fig. 4a si traccia nel piano coordinato -, ricordando che sui piani principali le tensioni tangenziali () deono essere nulle (Fig. 4b). I alori delle tensioni normale e tangenziale agenti sull allineamento indiiduato dall angolo θ possono quindi essere ricaati utilizzando le proprietà geometriche del cerchio di Mohr ed in particolare, il concetto di polo dei piani K p. Questo è un punto sul cerchio che consente di collegare piani orientati nel piano di Mohr, e piani orientati sul piano fisico x, y; tracciando da questo punto una semiretta inclinata di θ sull asse delle ascisse, l intersezione con il cerchio forni in corrispondenza dei alori degli sforzi cercati. Per ia analitica gli sforzi e si ricaano dalle seguenti relazioni che si deducono dalla geometria del cerchio: cos θ 1 sin θ. (8) Giuseppe Scarpelli Lezione 6/1

7 Caratteristiche del cerchio indipendenti dall orientamento θ sono l ascissa del centro s ed il raggio t (fig. 5), che per uno stato di tensione piano rappresentano rispettiamente lo sforzo medio e lo sforzo tangenziale massimo: s t in termini di sforzi totali (9) s s u t t in termini di sforzi efficaci s 1 s t t 1, u Fig. 5 Inarianti di sforzo Le quantità s, s e t si definiscono per questo inarianti di sforzo ed in geotecnica troano largo impiego perché consentono di seguire ageolmente l eoluzione degli sforzi nel terreno, senza doer tracciare la sequenza dei cerchi di Mohr. L eoluzione dello stato di sforzo si rappresenta pertanto riportando i alori dei parametri t ed s o t ed s come indicato in Fig. 6, oerosia tracciando il percorso di carico, in termini di sforzi totali od efficaci rispettiamente. t u sforzi totali sforzi efficaci s,s Fig. 6 Esempio di percorsi di carico in termini di sforzi efficaci e totali Si noti come nel caso riportato il percorso di carico in termini di sforzi efficaci si differenzia da quello totale solo quando le pressioni interstiziali sono dierse da zero; in questo caso, ad ogni coppia di alori (t, s) ne corrisponde una (t,s) con lo stesso alore del parametro t e con un alore di pressione media diminuito per effetto della pressione interstiziale u. In generale la u è ariabile lungo il percorso di carico. Giuseppe Scarpelli Lezione 7/1

8 . Tensioni litostatiche Un importante applicazione dei concetti finora esposti si ha nel problema della determinazione dello stato di sforzo cui è soggetto il terreno nella sua sede naturale, per solo effetto del peso proprio. In queste condizioni, dette litostatiche, la distribuzione delle tensioni nel sottosuolo è in generale incognita e può essere determinata solo in alcune situazioni particolari. E questo il caso degli sforzi prodotti dal peso del terreno in un deposito che presenta superficie di campagna orizzontale, molto esteso rispetto alla profondità di interesse e caratterizzato da uniformità dei terreni in senso orizzontale. Nella situazione esemplificata in Fig. 7, per ragioni di simmetria, è possibile ricaare lo sforzo erticale esistente alla profondità z attraerso semplici condizioni di equilibrio. Si ha infatti che il peso della colonna di terreno è equilibrata solo dalla risultante degli sforzi totali erticali agente sull area di base A, doendo essere nulle le componenti erticali delle forze agenti sui piani erticali di contorno. E semplice allora determinare gli sforzi erticali, sommando gli effetti del peso proprio di ogni strato di terreno caratterizzato da peso di olume γ i e spessore z i, come indicato in Fig.7. Nelle condizioni analizzate, le direzioni erticale ed orizzontale sono direzioni principali. Per descriere completamente lo stato di sforzo sarebbe pertanto sufficiente conoscere gli sforzi orizzontali h ; diersamente dal caso degli sforzi erticali però, le condizioni di equilibrio alla traslazione orizzontale non forniscono informazioni utili per ottenerne il alore in quanto, in assenza di azioni orizzontali, la colonna di terreno è in equilibrio per qualunque distribuzione degli sforzi h. piano campagna z a z i piezometrica γ i sforzo erticale totale pressione interstiziale sforzo eticale efficace γ z u γ z w i w γ w u ( z a) i γ z γ w ( z a) Fig. 7 Calcolo degli sforzi litostatici erticali Considerazioni di natura diersa, basate sull osserazione del comportamento sperimentale delle terre indicano inece l esistenza di un legame di proporzionalità fra sforzi efficaci erticali ed orizzontali; in condizioni litostatiche tale relazione si esprime attraerso il coefficiente di spinta in quiete K o, il cui alore dipende dalla storia tensionale del deposito. Per terreni che non hanno subito riduzioni di tensione, come potrebbe accadere a seguito di fenomeni erosii, il alore del coefficiente K o è inferiore Giuseppe Scarpelli Lezione 8/1

9 all unità ed possibile ricaarlo empiricamente, se sono note le caratteristiche di resistenza, K 1 sin (relazione di Jaky) (10) 0 ϕ In presenza di scarichi tensionali, il coefficiente K 0 è superiore all unità. In ogni caso, noto il alore del coefficiente K o, lo stato di sforzo di un elemento di terreno alla profondità z, può essere ricaato applicando il principio degli sforzi efficaci solo seguendo lo schema logico illustrato in Fig. 8; [ ] γ z γ z u h Ko ( γ z u) h Ko ( γ z u) + u -u (11) h +u h K o Fig. 8 Schema per il calcolo degli sforzi orizzontali totali in condizioni litostatiche In altri termini è possibile calcolare lo sforzo orizzontale totale unicamente passando attraerso gli sforzi efficaci e non direttamente..1 Andamenti degli sforzi in condizioni litostatiche Applicando i concetti esposti nel precedente paragrafo, si possono ricaare gli andamenti degli sforzi litostatici con la profondità per rappresentarli in un diagramma e confrontare fra loro le distribuzioni delle dierse grandezze. Si consideri ad esempio il caso di un deposito naturale costituito da una alternanza di argille e sabbie limose, con le caratteristiche riportate nella Tabella 1: Tabella 1 Caratteristiche degli strati litologici TERRENO PESO DI VOLUME (kn/m ) COEFFICIENTE Ko Limo argilloso Sabbia limosa Argilla con limo Seguendo lo schema di Fig.9, è possibile calcolare i alori delle grandezze finora definite così come riportato nel dettaglio in Tabella. gli andamenti degli sforzi Giuseppe Scarpelli Lezione 9/1

10 litostatici riportati in diagramma in Fig. 10. Si ossera che tutti gli andamenti si presentano come funzioni rettilinee, talolta con alcune singolarità: (m) Limo argilloso Sabbia limosa Argilla con limo p.c. s.p. Fig. 9 Schema stratigrafico - il diagramma delle pressioni interstiziali è lineare (infatti si è in condizioni idrostatiche) - gli andamenti degli sforzi erticali sono continui, lineari a tratti, ma non a pendenza costante; infatti presentano ariazioni di pendenza ad ogni cambio di strato (sforzi totali ed efficaci) ed in corrispondenza della superficie piezometrica (sforzi efficaci); - i diagrammi degli sforzi orizzontali, totali ed efficaci, sono lineari a tratti ma non continui; presentano infatti sia ariazioni di pendenza che discontinuità; quest ultime sono localizzate in corrispondenza delle separazione fra strati di terreno differenti. (kpa) profondità (m) sigma (kpa) u (kpa) sigma (kpa) sigmah (kpa) sigmah (kpa) 5 0 Fig. 10 Andamenti delle tensioni litostatiche Giuseppe Scarpelli Lezione 10/1

11 Tabella Calcolo delle tensioni litostatiche erticali e orizzontali z (m) γ (kn/m ) (kpa) u (kpa) Ko (kpa) h (kpa) h (kpa) Stati di deformazione nei terreni La deformazione di un mezzo particellare dipende in generale dalla deformazione dei singoli granuli e dalla ariazione delle distanza reciproca, oerosia da mutamenti della loro disposizione nello spazio. Per il liello degli sforzi comunemente applicati al terreno nei problemi di ingegneria, la deformabilità dei granuli solidi è quasi sempre trascurabile e la deformazione dinsieme può quindi essere attribuita esclusiamente ad un fenomeno di riarrangiamento geometrico dei granuli, oerosia alladeguamento dellassetto strutturale. Come nel caso della definizione dello stato di sforzo però, è coneniente che lo stato di deformazione enga descritto attraerso grandezze di tipo continuo, perché è assai difficile, se non impossibile quantificare la deformazione di un terreno attraerso una misura che riguarda la disposizione spaziale delle singole particelle che lo costituiscono. A tale scopo si utilizza la grandezza tensoriale che rappresenta lo stato di deformazione di un elemento di terreno, in genere semplicemente piano, attraerso le componenti che descriono gli accorciamenti unitari e le distorsioni angolari. Facendo riferimento agli schemi geometrici riportati in Fig. 11, considerando positii gli accorciamenti delle fibre e le distorsioni angolari che tendono a far ruotare la normale ai lati dellelemento in senso antiorario, si definiscono le seguenti grandezze: Y h o Fig. 11 Deformazioni y γ x γ yx X γ xy y ε γ h o x h o accorciamento unitario distorsione γ γ γ xy γ yx Giuseppe Scarpelli Lezione 11/1

12 Come per il caso dello stato di sforzo, anche per le deformazioni interessano, in particolare, le grandezze inarianti, che in questo caso sono la deformazione di olume ε e la distorsione massima γ max ; in termini di deformazioni principali ε 1 e ε, gli inarianti di deformazione sono così definiti: ε ε 1 + ε γ max ε1 ε e (1) Esse rappresentano rispettiamente lascissa del centro ed il raggio del cerchio di Mohr dello stato di deformazione nel piano (ε, γ/), così come riportato in Fig. 1. γ/ +γ max / γ Raggio max ε 1 ε ε ε 1 ε ε ε 1 + ε Fig. 1 Cerchio di Mohr dello stato di deformazione Finora si è sempre rappresentato lo stato di deformazione in termini assoluti, come se fosse possibile indiiduare una configurazione di riferimento per lelemento di terreno, completamente indeformata. Nei terreni ciò non è possibile in quanto, per la presenta dello stato di sforzo litostatico, ogni deformazione costituisce in realtà una ariazione rispetto allo stato iniziale; pertanto tutte le deformazioni possono essere calcolate solo in termini incrementali ed ai alori assoluti ε e γ si sostituiscono i corrispondenti alori incrementali (dε, dγ), (δε, δγ)o ( ε, γ) quando costituiscono un incremento infinitesimo, oppure finito e piccolo, o finito e grande, rispettiamente. La rappresentazione grafica di Fig. 1 e la definizione degli inarianti, cambiano concordemente. 5. Stati di sforzo e di deformazione particolari Nella applicazione di geotecnica, alcuni stati di sforzo e di deformazione sono molto frequenti, sia perchè engono imposti al terreno nel corso delle proe di laboratorio, sia perchè costituiscono una semplificazione delle condizioni reali utile nella risoluzione di problemi applicatii. Nella tabella che segue si riportano schematicamente quelli più comuni. Giuseppe Scarpelli Lezione 1/1

13 Condizioni di sforzo o deformazione Denominazione dello stato particolare Schema geometrico x y z compressione isotropa z x y z compressione triassiale era y x z ε x 0 deformazione piana y x 0 ε x 0 x 0 z x 0 sforzo piano x 0 y z x y r compressione triassiale (cilindrica) y x r z ε y ε x ε y ε r 0 compressione edometrica ε x ε r 0 z x y r 0 compressione uniassiale x y r 0 Giuseppe Scarpelli Lezione 1/1