Capitolo II I diagrammi solari
|
|
- Edmondo Lorenzi
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 1 Capitolo II I diagrammi solari II.1 L irraggiamento solare diretto e le traiettorie solari Angolo orario ω Traiettoria giornaliera del sole α θ N n Azimut solare (90 -i) az S γ Azimut della superficie Piano orizzontale tangente alla terra in un punto Figura II-1 Angoli formati da una superficie piana comunque orientata. Esaminiamo più in dettaglio l effetto della dinamica solare su un osservatore in un punto di un piano orizzontale, rivolto a Sud. In particolare si cerchi l andamento dell angolo di altezza solare in funzione dell azimut, az (eventualmente corretto, come detto), per una latitudine di N e con riferimento al 21 Giugno. Nella figura II-1, per comodità sono indicati tutti gli angoli formati da una superficie piana comunque orientata. Si ricorda anche che, se i=0, si ha: cosθ = senδ senφ + cosδ cosφ cosω = senα In questo modo si ottiene un grafico come quello di figura II-2, in cui sono contrassegnate anche la ore del giorno (caselle bianche sul grafico). pomeriggio mattina α ( ) ( az ( ) Figura II-2 Andamento dell altezza solare in funzione dell azimut solare il 21 Giugno ad una latitudine di N Dal grafico di figura si comprende come un osservatore rivolto a sud, non vedrebbe, se non girandosi un po ad est, la mattina, e ad ovest, il pomeriggio il sole, poiche l angolo solido della visuale normale consente di coprire valori più ridotti. 1
2 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 2 Ore Diagramma cilindrico Proiezioni delle traiettorie del sole su cilindro con asse verticale passante per il punto dell osservatore SUD Traiettorie del sole Diagramma stereografico Posizione dell osservatore Proiezioni delle traiettorie del sole sul piano orizzontale Figura II-3 Diagrammi cilindrico e stereografico delle traiettorie solari Generializziamo, ora, le considerazioni fatte, riferendoci alla figura II-3. Si consideri un osservatore posto su un piano orizzontale che segua il movimento del sole. Egli, quindi, vede delle traiettorie simile a quelle indicate in rosso in figura. Si ottengono i seguenti diagrammi di utilizzo pratico. Diagramma cilindrico Si consideri ora di porre una superficie laterale di un cilindro circolare retto, con base sul piano orizzontale, in modo che le traiettorie si possano immaginere poste fra l osservatore e la superficie cilindrica. Si proiettino le traiettorie su quest ultima. Queste proiezioni appariranno come le linee tratteggiate in rosso nella figura. In tal modo un primo diagramma ottenibile è il cosiddetto diagramma solare cilindrico, in cui per ogni giorno dell anno (valore fissato della declinazione) si ottiene una curva continua che fornisce l angolo di altezza solare in funzione dell azimut. Se, successivamente, per evidente comodità, si apre il cilindro facendolo coincidere con una superficie piana (foglio) si ottiene un grafico come quello della figura II-4. In esso, in ordinate sono posti i valori dell angolo α ed in ascisse quelli dell azimiut az. In particolare sono evidenziate le curve relative ai solstizi d estate e d inverno ed agli equinozi. Si nota immediatamente come il sole sia più alto sull orizzontale nei mesi estivi, rispetto a quelli invernali. Diagramma stereografico L altro tipo di diagramma, detto stereografico (o mappa stereografica), consente di proiettare le traiettorie solari su un piano orizzontale, seguendo un procedimento un po più complesso che discutiamo in appendice al capitolo. Esso si presenta come in figura II-5, in cui ci si riferisce ad una latitudine di 44 Nord e a giorni dell anno convenzionali. Il diagramma fornisce l angolo di altezza solare, α, sull asse verticale. Ad ogni angolo corrisponde un cerchio: ad esempio, al cerchio più esterno (corrispondente alla circonferenza interna della corona circolare colorata) corrisponde un angolo di 0, mentre al centro dei cerchi va associata un altezza solare di 90. La corona circolare riporta gli angoli di azimut solare, mentre i valori delle ore de giorno (linee orarie) sono posti in prossimità della curva di dicembre (ore 9,, 11, 12, 13, 14 e 15) e di quella di giugno (ore, 7, e 1, 17 e 1). La tabella sulla destra in alto della figura 2
3 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 3 OVEST 21 giugno 0 12 EST marzo settembre 1 21 dicembre gen 21-feb 21-mar 21-apr 21-mag 21-giu 21-lug 21-ago 21-set 21-ott 21-nov 21-dic SUD Figura II-4 Diagramma cilindrico delle posizioni del sole per una latitudine di Nord. O ,5-3,5 4, GIUGNO LUGLIO MAGGIO AGOSTO APILE SETTEMBE MAZO OTTOBE FEBBAIO NOVEMBE GENNAIO - 25 DICEMBE E ,5 12 s LAT 44 N Figura II-5 Diagramma stereografico: nella tabella a destra in alto sono indicati i giorni dell anno, con i relativi valori della declinazione, in corrispondenza dei quali sono tracciate, nell ordine, le proiezioni delle traiettorie solari. Sull asse verticale sono posti i valori dell altezza solare, mentre sul bordo (corona circolare) sono dati gli fornisce il giorno dell anno e la rispettiva declinazione a cui sono tracciate le proiezioni sul piano orizzontale delle traiettorie solari. 3
4 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 4 Ad esempio: alle ore 14 del 15 Ottobre l angolo di altezza solare è pari ad α=, mentre, alle del 15 Settembre o 1 Marzo, esso vale. Col metodo esposto in appendice al capitolo è possibile costruire una mappa (o diagramma) stereografica per ogni latitudine, per esempio usando un semplice programma excel, con cui è stato realizzato il diagramma di figura. 4
5 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 5 Appendice al Capitolo II La costruzione del diagramma stereografico Alla base di questo tipo di diagramma vi è il cosiddetto metodo della proiezione radiale che ha il vantaggio, ad esempio, di ottenere sul piano orizzontale delle traiettorie circolari equidistanti i corrispondenza di ciascun angolo di altezza solare, a differenza di altri possibili sistemi di proiezione. Per meglio chiarire quanto detto, mostriamo proprio come si procede per ottenere queste traiettorie, mentre per l ottenimento degli altri tipi di curve daremo unicamente le formule che devono essere utilizzate. Con riferimento alla figura A.1 si consideri il cerchio dell orizzonte (in basso a sinistra) di raggio, pari al valore attribuito anche ad un ipotetica volta celeste. Sia P il punto in cui è posto l osservatore ed α il generico angolo di Volta celeste A O P P α B B A A α AA =senα; PA =P A =cosα AA =OP= O PB=A B =r α A B :A B=A A:A A r Piano α :A B=: senα orizzontale Figura A.1 Metodo della proiezione radiale per ottenere, sul piano orizzontale, la proiezione corrispondente agli angoli di altezza solare come cerchi equidistanti. altezza solare. Il centro di proiezione, O, viene preso su una retta passante per P ed ortogonale al piano orizzontale ad una distanza da P. Da O si traccia una retta che interseca la volta celeste nel punto A, che coincide col punto d intersezione della retta che passa per il punto P, con pendenza pari ad α, e la volta celeste. Il segmento PB (in cui B è è l intersezione del segmento OA con l orizzontale) definisce il raggio, r α, del cerchio corrispondente alla corrispondente altezza del sole sul piano orizzontale. Ad esempio, costruendo, come in figura A.1, il parallelogramma OPAA e riferendoci ai triangoli simili B AA e BAA si ottiene il valore del segmento BA e, ricordando che PB=PA -BA si ottiene il valore del raggio r α come: r α cosα = 1+ senα (A.1) Evidentemente per l individuazione degli angoli di azimut basterà costruire una serie di raggi di un fascio avente per centro il punto P. Passiamo, quindi, a mostrare la costruzione delle proiezioni delle altre curve. 5
6 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari Si descrive, nel seguito, la costruzione del diagramma stereografico riferendosi ad un esempio numerico eseguito interamente con un programma Excel. Anzitutto si provvede a disegnare disegnare un cerchio di raggio arbitrario. Normalmente si ricorre ad un raggio di 7,5 o 15 cm. Nell esempio considereremo il primo valore (7,5 cm). Si prendono due diametri fra loro ortogonali, che indicano i punti cardinali. Il diametro Nord Sud si prolunga verso il Nord e, su tale prolungamento giacciono i centri degli archi delle proiezioni delle traiettorie solari sul piano orizzontale. Il raggio, r, di questi archi e la distanza, d, dei loro centri dal centro della circonferenza di raggio sono dati rispettivamente da: cosδ cosφ r = ; d =. (A.2) senφ + senδ senφ + senδ Per una latitudine di 44 Nord (e con =7,5 cm) si ottengono gli andamenti dei due parametri riportati nel grafico di figura A.2, da cui si vede come entrambe le grandezze diminuiscano all aumentare della declinazione. In figura A.3 si riportano gli archi corrispondenti rispettivamente (dall alto verso il basso) alle declinazioni di 23,45 (22 dicembre), 0 (21 settembre e 21 marzo) e 23,45 (22 giugno). Essi sono stati costruiti utilizzando le coordinate: x = rsen( aus) y = r cos( aus) d r, d (cm) LA T. 4 4 N o rd declinazione ( ) Figura A.2 - Andamento di r e d con la declinazione 4,5-3,5 4,5-3,5 r r (A.3) d r (cm) d (cm) d essendo (aus) l angolo ausiliario formato fra il raggio r e la retta verticale. All interno del cerchio e concentriche con esso, si costruiscono le circonferenze che corrispondono all angolo di altezza solare con raggio r α. Infine si disegnano una serie di raggi (nel caso in esame con distanza angolare di ), che rappresentano gli angoli di azimut, con lo 0 in corrispondenza del Sud e valutando positivamente gli angoli di azimut verso Est e negativamente quelli ad Ovest. In tal modo si giunge alla figura A.4. A questo punto non resta altro che tracciare le linee orarie, cioè quelle curve che collegano i punti delle proiezioni delle traiettorie solari corrispondenti ad una data ora del giorno. Ancora si utilizza un metodo che le approssima ad archi di cerchio. Si traccia un segmento parallelo all asse Est Ovest ad una distanza, h, dal centro del cerchio di raggio data da: h = tanφ (A.4) Questo segmento costituisce il luogo dei centri degli archi, che rappresentano le linee orarie. Il centro si trova a destra o a sinistra del punto O di intersezione del segmento con la perpendicolare ad esso passante per il centro della circonferenza di raggio, a seconda che si considerino le ore del pomeriggio o della mattina. Figura A.3 - Costruzione degli archi, proiezione delle traiettorie solari. Dal basso verso l alto δ= 23,45, 0 e 23,45. Polo sud sull asse verticale, in alto.
7 -7,5-5,5-3,5-1,5 0,5 2,5 4,5,5 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari 7 Con riferimento alla figura A.4 si hanno le seguenti relazioni: SUD 0 - l aus y o dicembre r 4,5 - marzo e settembre giugno h EST Figura A.4 A sinistra diagramma solare completo di angoli di altezza solare e di azimut. A destra costruzione delle linee orarie (in figura è mostrato il tracciamento delle linee orarie pomeridiane). l = cosφ tanω r ' = cosφsenω Calcoliamo, ad esempio, la linea dell ora corrispondente alle 14 ( =- ). Le coordinate x ed y dei punti della linea oraria in questo caso (il centro dell arco corrispondente si trova sulla sinistra dell asse verticale) sono: x = ± r 'cos( aus) l y = h r 'sen( aus) OVEST ,5-1 In cui aus è l angolo ausiliario fra il raggio r e la retta orizzontale e per la x il + vale per le ore pomeridiane (caso dell esempio) ed il per quelle mattutine. Si hanno i seguenti valori (in cm): h l r' 7,24 1,0,51 e aus ( ) x y 0,00 2,79 7,24 5,00 2,71 5,42,00 2,47 3,2 15,00 2,0 1,4,00 1,53 0,11 25,00 0,4 7,00 0,00-3,19 Da cui si ottiene la curva mostrata in figura A.5. Con procedimento simile si ottengono le altre linee orarie. 4,5-3,5 4,5-3,5 x (A.5) (A.) 7
8 W. Grassi -Termoenergetica e isparmio Energetico in Edilizia Cap. II Le traiettorie solari y 4,5 Ore 15-3,5 4,5 x -3,5 Figura A.5 Linea oraria tracciata sul diagramma stereometrico
La sfera celeste. Coordinate locali altazimutali Coordinate universali equatoriali
La sfera celeste Coordinate locali altazimutali Coordinate universali equatoriali Volta celeste Volta parte della sfera visibile al di sopra dell orizzonte celeste (intersezione del piano tangente all
Dettagli11.1 Carta dei percorsi solari
Corso di Impianti Tecnici a.a. 2/2 Docente: Prof. C. Isetti CAPITOLO 11 La localizzazione e l orientamento di un edificio per ridurre l esposizione solare estiva e valorizzare quella invernale, sono obiettivi
DettagliCONTROLLO DELLA RADIAZIONE SOLARE
Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 211/212 - Docente: Prof. Carlo Isetti CAPITOLO 11 CONTROLLO DELLA RADIAZIONE OLARE La localizzazione e l orientamento di un edificio per ridurre l esposizione
DettagliCONTROLLO DELLA RADIAZIONE SOLARE
CAPITOLO 11 11.1 Generalità La localizzazione e l orientamento di un edificio per ridurre l esposizione solare estiva e valorizzare quella invernale, sono obiettivi fondamentali per una corretta progettazione.
DettagliCAPITOLO 4 CONTROLLO DELLA RADIAZIONE SOLARE
CAPITL 4 CTRLL DLLA RADIAZI LAR La localizzazione e l orientamento di un edificio per ridurre l esposizione solare estiva e valorizzare quella invernale, sono obiettivi fondamentali per una corretta progettazione.
DettagliL Astrolabio. di Alberto Nicelli. GAE Gruppo Astrofili Eporediesi
L Astrolabio di Alberto Nicelli GAE Gruppo Astrofili Eporediesi L Astrolabio (vedi kit allegato) è così costituito: Il Piatto, che riproduce in proiezione stereografica: o l Orizzonte Locale, relativo
DettagliLe coniche retta generatrice
Le coniche Consideriamo un cono retto a base circolare a due falde ed un piano. Le intersezioni possibili tra le due figure sono rappresentate dallo schema seguente Le figure che si possono ottenere sono
DettagliLa circonferenza e il cerchio
La circonferenza e il cerchio Def.: Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una circonferenza
DettagliTest su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze
Test su geometria Domanda 1 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x; y) soddisfano l equazione x y = 1 è costituita da una circonferenza.
DettagliLa circonferenza e il cerchio
La circonferenza e il cerchio Def. Circonferenza Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una
DettagliTeorema di Cauchy. a) le azioni sono delle forze che ammettono densità rispetto alla lunghezza della linea ideale di taglio;
Teorema di Cauchy Cosideriamo un corpo continuo in uno spazio bidimensionale. Esso può essere separato in due parti tracciando una linea (regolare) ideale. Queste parti si scambiano azioni dinamiche. L
DettagliC I R C O N F E R E N Z A...
C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della
DettagliIl valore assoluto (lunghezza, intensita )
Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza
DettagliMatematica classe 5 C a.s. 2012/2013
Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.
DettagliPREREQUISITI ASPETTI TEORICI
.- 1 - PREREQUISITI ASPETTI TEORICI LA SFERA CELESTE ED I SUOI ELEMENTI VOLTA E SFERA CELESTE LE PRINCIPALI COORDINATE ASTRONOMICHE COORDINATE ORIZZONTALI E COORDINATE EQUATORIALI pag. 2 pag. 3 CORRISPONDENZA
DettagliRADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso Zero di Matematica Gruppi: MC-MF / PS-MF IV Lezione TRIGONOMETRIA Dr. E. Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo
DettagliProblema ( ) = 0,!
Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente
Dettagliy = [Sol. y 2x = 4x Verifica n.1
Verifica n.1 disegnare curve, con valori assoluti e radicali luoghi geometrici (con retta, parabola, circonferenza) funzione omografica parabola aree (ellisse, segmento parabolico) formule goniometriche:
DettagliMisure e osservazioni sull'altezza del Sole
Misure e osservazioni sull'altezza del Sole Luigi Togliani Della luce e del suono Corso residenziale di formazione avanzata per docenti delle scuole secondarie di 2 grado Idro, 29 agosto - 3 settembre
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliLa circonferenza e il cerchio
La circonferenza e il cerchio Def.: Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall insieme dei punti che hanno la stessa distanza dal centro. Si dice raggio di una circonferenza la distanza
Dettagli1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:
QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.
DettagliAPPUNTI DI GONIOMETRIA
APPUNTI DI GONIOMETRIA RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Definizione: Dicesi
DettagliTest di Matematica di base
Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione
Dettagli1 Funzioni trigonometriche
1 Funzioni trigonometriche 1 1 Funzioni trigonometriche Definizione 1.1. Si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza centrata nell origine di un piano cartesiano e raggio unitario. L equazione
DettagliESAME DI STATO 2009/10
MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Pasquale Spiezia ESAME DI STATO 9/ Scientifico Tradizionale PROBLEMI QUESITI 4 5 6 7 8 9 PROBLEMA Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza di centro
DettagliCOMUNICAZIONE N.13 DEL
COMUNICAZIONE N.13 DEL 06.03.20131 1- SECONDO MODULO - APPLICAZIONI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA (12): ESEMPI 97-108 2 - TERZO MODULO - DISEGNI A MANO LIBERA (9): DISEGNI 81-90 Le regole generali sono quelle
DettagliCompito di matematica Classe III ASA 23 aprile 2015
Compito di matematica Classe III ASA 3 aprile 015 A. Descrivere mediante un opportuno sistema di disequazioni nelle variabili x e y la parte di piano colorata: A1 A A1: y 1 x + x 1 4 x y 0 A: x 4 + y 9
DettagliFunzioni goniometriche
Funzioni goniometriche In questa dispensa vengono introdotte le definizioni delle funzioni goniometriche. Preliminarmente si introducono le convenzioni sull orientazione degli angoli e sulla loro rappresentazione
DettagliEsercitazioni di Fisica. venerdì 10:00-11:00 aula T4. Valeria Malvezzi
Esercitazioni di Fisica venerdì 10:00-11:00 aula T4 Valeria Malvezzi E-mail: valeria.malvezzi@roma2.infn.it Richiami di trigonometria Definizioni goniometriche )α Relazione goniometrica fondamentale I
DettagliVerifiche anno scolastico 2009/2010 Classi 3 C 3 H
Verifiche anno scolastico 2009/2010 Classi 3 C 3 H 1) Scrivi l equazione della circonferenza γ che ha centro C(- 2; 0) e raggio r = 2 2. Ricava le coordinate dei punti A, B in cui γ interseca l asse delle
DettagliCarlo Sintini, Problemi di maturità, 1949 Settembre, matematicamente.it Settembre 1949, primo problema
Settembre 199, primo problema In una data circonferenza di centro O, la corda AB è il lato del quadrato inscritto. Condotta nel punto B la semiretta tangente alla circonferenza che giace, rispetto alla
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliTeoria in sintesi 10. Teoria in sintesi 14
Indice L attività di recupero Funzioni goniometriche Teoria in sintesi 0 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno Obiettivo Determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche
DettagliORDINAMENTO 2006 SESSIONE SUPPLETIVA - PROBLEMA 2
www.matefilia.it ORDINAMENTO 2006 SESSIONE SUPPLETIVA - PROBLEMA 2 Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione: x + k y, dove
DettagliUn punto del piano può essere individuato dalle sue coordinate cartesiane o anche dalle sue coordinate polari:
Un punto del piano può essere individuato dalle sue coordinate cartesiane o anche dalle sue coordinate polari: Figura 1 Per passare da coordinate polari a quelle cartesiane usiamo { x = r cos θ y = r sin
DettagliSuperfici e solidi di rotazione. Cilindri indefiniti
Superfici e solidi di rotazione Consideriamo un semipiano α, delimitato da una retta a, e sul semipiano una curva g; facendo ruotare il semipiano in un giro completo attorno alla retta a, la curva g descrive
DettagliCOMUNICAZIONE N.11 DEL
COMUNICAZIONE N.11 DEL 02.02.2011 1 1 - SECONDO MODULO - APPLICAZIONI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA (11): ESEMPI 97-108 2 - TERZO MODULO - DISEGNI A MANO LIBERA (9): DISEGNI i81-i90 3 - QUARTO MODULO - CLASSICI
DettagliSOLIDI DI ROTAZIONE. Superficie cilindrica indefinita se la generatrice è una retta parallela all asse di rotazione
SOLIDI DI ROTAZIONE Dato un semipiano α limitato dalla retta a, sia g una linea qualunque appartenente al semipiano α; ruotando il semipiano α di un angolo giro attorno alla retta a, la linea g genera
DettagliPrincipi di trigonometria sferica
Appendice B Principi di trigonometria sferica B.1 La Sfera Celeste Per determinare la posizione di un astro in cielo in un certo istante si ricorre alla proiezione di questo su un ideale Sfera Celeste
Dettagli208. Declinazione e inclinazione gnomonica di un piano verticale di Michele T. Mazzucato
Numero Maggio 014 08. Declinazione e inclinazione gnomonica di un piano verticale di Michele T. Mazzucato Siccome il ferro s arrugginisce sanza l esercizio e l acqua si putrefa o nel freddo s addiaccia,
DettagliEsercizi sulle rette nello spazio
1 Esercizi sulle rette nello spazio 1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati? 2) Sono dati quattro punti non complanari, quanti piani generano? 3) Quante coppie di
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P
DettagliTesti verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009
Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente
DettagliRisposte ai quesiti D E H D
Perugia, dic. 2009/gen. 2010 Risposte ai quesiti 1. Dati i quadrati CD e C D, come in figura, provare che la perpendicolare uscente da alla retta DD passa per il punto medio del segmento quale che sia
DettagliORDINAMENTO 2014 SESSIONE SUPPLETIVA - PROBLEMA 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 20 SESSIONE SUPPLETIVA - PROBLEMA Sono dati un quarto di cerchio AOB e la tangente t ad esso in A. Dal punto O si mandi una semiretta che intersechi l arco AB e la tangente
Dettaglic) Determina per quali valori di k il segmento BC ha misura 2. 3) Ricava l equazione della spezzata rappresentata in figura
VERIFICHE TERZA C a.s. 2010 2011 1) Sono assegnati i punti A(0; 10) B(8; - 6) C(0; 0). Rappresentali. a) Verifica che il triangolo ABC è isoscele e calcola la sua area b) Tra i punti P che hanno ordinata
DettagliLe coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.
Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono
Dettagli1 I solidi a superficie curva
1 I solidi a superficie curva PROPRIETÀ. Un punto che ruota attorno ad un asse determina una circonferenza. PROPRIETÀ. Una linea, un segmento o una retta che ruotano attorno ad un asse determinano una
Dettagli1 Geometria analitica nel piano
Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )
Dettagli1. Indicato con T il punto di tangenza delle due circonferenze e posto TQ = QC = y, applicando il ( ) ( ) ( ) 2. =, con la limitazione 0 x 1.
PROBLEMA. Indicato con T il punto di tangenza delle due circonferenze e posto TQ = QC = y, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC, si ha: + y = + y, ovvero y = + e, infine, y = f
DettagliAllenamenti di Matematica
rescia, 3-4 febbraio 2006 llenamenti di Matematica Geometria 1. Il trapezio rettangolo contiene una circonferenza di raggio 1 metro, tangente a tutti i suoi lati. Sapendo che il lato obliquo è lungo 7
DettagliCORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RARESENTAZIONI GRAFICHE ER L ISTITUTO TECNICO SETTORE TECNOLOGICO Agraria, Agroalimentare e Agroindustria classe seconda ARTE RIMA Disegno del rilievo Unità Didattica:
Dettagli3. Osserva attentamente il centro della corda e la distanza con il centro del cerchio M. Cosa constati?
Corde 1. Ruota la retta a attorno al punto A e leggi il testo di colore verde. a) La retta, quando è una secante? Quando una tangente? Quando la retta non è né l una né l altra? b) Quante tangenti e quante
DettagliCapitolo IV - Iperbole
Capitolo IV - Iperbole 1 Proprietà focali dell iperbole Gli argomenti che ora esponiamo sono analoghi a quelli già usati per lo studio dell ellisse (cfr. Cap. III, 1) 1 Teorema. Sia H un iperbole. Nel
DettagliLa Meridiana. della Chiesa. di Nostra Signora. della Visitazione. di Perinaldo. Dio creò il tempo... Sanremo, febbraio 2009
La Meridiana della Chiesa di Nostra Signora della Visitazione di Perinaldo. Dio creò il tempo... Sanremo, febbraio 2009 Paolo Lupi e Agostino Reggiani Variazioni del foro gnomonico al variare dell inclinazione
DettagliCapitolo III Ellisse
Capitolo III Ellisse 1 Proprietà focali dell ellisse. Benché le coniche siano curve piane la loro definizione usa nozioni della geometria dello spazio. Sembrerebbe ragionevole cercare di caratterizzare
DettagliGEOMETRIA ANALITICA
GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un
DettagliL P R P OIEZI Z ONI N A S A S S O S NO N METRICHE
LE PROIEZIONI ASSONOMETRICHE La proiezione assonometrica fa parte delle proiezioni parallele, o cilindriche. Essa è caratterizzata quindi dall avere il centro di proiezione all infinito (S ), per cui è
Dettaglix + x + 1 < Compiti vacanze classi 4D
Compiti vacanze classi D Ripassare scomposizioni e prodotti notevoli, metodo di Ruffini, razionalizzazioni, equazioni irrazionali. (Libro di prima e seconda). Recuperare formulario con regole di risoluzione
DettagliRAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Le rappresentazioni grafiche costituiscono uno dei mezzi più efficaci per descrivere in forma visiva i risultati di una serie di osservazioni riguardanti 1 o più caratteri e scoprire
Dettagli3 Geometria delle masse e momento di 2 ordine 3.3 Ellisse centrale d inerzia e nocciolo centrale d inerzia
3 Geometria delle masse e momento di ordine ESERCIZI SVOLTI Considerata la sezione rappresentata in figura, calcolare i raggi d inerzia massimo e minimo, tracciare l ellisse d inerzia e il nocciolo centrale
DettagliTest di autovalutazione
Test di autovalutazione 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 n Il mio punteggio, in centesimi, è n Rispondi a ogni quesito segnando una sola delle 5 alternative. n Confronta le tue risposte con le soluzioni.
DettagliFORMULE per la rappresentazione assonometrica della sfera e delle sue sezioni piane. 1 PREMESSE e convenzioni.
Paolo Uccello. Studio prospettico. Galleria degli Uffizi, Firenze. FORMULE per la rappresentazione assonometrica della sfera e delle sue sezioni piane. 1 PREMESSE e convenzioni. È dato nello spazio un
DettagliCOSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI
COSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI 1 ASSE del segmento AB - Con centro in A e in B traccio 2 archi di circonferenza con raggio R>½AB; - chiamo 1 e 2 i punti di intersezione tra gli archi di circonferenza;
DettagliGEOMETRIA SOLARE. Corso Probios Relatore: Arch. M.Grazia Contarini- 1
GEOMETRIA SOLARE Corso Probios Relatore: Arch. M.Grazia Contarini- mg.contarini@tin.it 1 Collocazione dell edificio Per definire correttamente la miglior collocazione di un edificio su di un sito si possono
DettagliMaturità scientifica 1983 sessione ordinaria
Maturità scientifica 198 sessione ordinaria Soluzione a cura di Francesco Daddi 1 Si studi la funzione y = a x 1 e se ne disegni il grafico Si determinino le intersezioni della curva da essa rappresentata
Dettagli3. Le coordinate geografiche: latitudine e longitudine
Introduzione 3. Le coordinate geografiche: latitudine e longitudine Ogni volta che vogliamo individuare un punto sulla superficie terrestre gli associamo due numeri, le coordinate geografiche: la latitudine
DettagliOROLOGIO SOLARE DI ZAMBANA (TN)
OROLOGIO SOLARE DI ZAMBANA (TN) Caratteristiche tecniche: Latitudine: 46 09 06 Nord Longitudine: 11 05 50 Est Azimut della parete: 117 28 51 Declinazione della parete: 27 28 51 Ovest Inclinazione della
DettagliCoordinate e Sistemi di Riferimento
Coordinate e Sistemi di Riferimento Sistemi di riferimento Quando vogliamo approcciare un problema per risolverlo quantitativamente, dobbiamo per prima cosa stabilire in che sistema di riferimento vogliamo
DettagliClasse 3Cmm Esercizi di Matematica 8 Novembre Si dia una definizione di vettore. 2. Cosa si intende per trasformazione geometrica?
Classe 3Cmm Esercizi di Matematica 8 Novembre 2016 1. Si dia una definizione di vettore. 2. Cosa si intende per trasformazione geometrica? 3. Consideriamo il vettore p ( 2, 3) associato alla traslazione
DettagliEsercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato
Esercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato n. 9 pag. 55 Sono date le curve α e β definite dalle seguenti relazioni: α : xy x y + 4 = 0 β : luogo dei punti P (k + ; 1 + k ), k R a) Dopo
Dettagli1) Qual è il parallelogrammo di area massima tra quelli di lati assegnati? Giustificare la risposta.
TEMA PROBLEMA k Sono assegnate le funzioni di equazione y = e, essendo k un numero reale. a. stabilire al variare di k il numero di punti stazionari e la loro natura b. stabilire per quali valori di k
DettagliStoria del pensiero matematico
Storia della Matematica 1 Storia del pensiero matematico Le coniche di Apollonio L'opera di Apollonio Ad Apollonio possiamo riconoscere due grandi meriti: il primo è una sintesi completa dei lavori precedenti
DettagliD3. Parabola - Esercizi
D3. Parabola - Esercizi Traccia il grafico delle seguenti parabole e trova i punti d incontro con l asse e con l asse graficamente e/o algebricamente. 1) = ++ (0;)] ) = -+1 ( + 3 ;0), ( 3 ;0), (0;1)] 3)
DettagliIstituzioni di Matematica per Scienze Ambientali
per Scienze Ambientali GEOMETRIA ANALITICA - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 5 - Novembre 2012 Coordinate La corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta
DettagliPrincipi fisici di funzionamento degli impianti fotovoltaici
Argomenti del corso Principi fisici di funzionamento degli impianti fotovoltaici solare Fisica della conversione fotovoltaica ing Liborio Alvano La Terra La terra è un pianeta che ha un moto di rotazione
DettagliProblemi di geometria
corde e archi 1 Sia γγ una circonferenza di diametro AB. Siano AB e CD due corde parallele. Dimostra che la retta CB passa per il centro O della circonferenza. 2 3 4 5 6 7 Dimostra che due punti presi
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice
DettagliCarlo Sintini, Problemi di maturità, 1942 Luglio, matematicamente.it Luglio 1942 Primo problema. AD > BC AB = l AC = kl (con k > 0) EM = 2 LM EM = DC
Luglio 194 Primo problema Nel trapezio ABCD di basi AD, BC (con AD > BC), le lunghezze del lato obliquo AB e della diagonale AC sono rispettivamente l e kl. Si sa inoltre che detto E il punto d incontro
Dettagli2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le
PROBLEMA. Raccolta di problemi sulla circonferenza Scritta l equazione della circonferenza con centro in ( ) C e passante per l origine O, si conducano per O la retta a di equazione + y indicando con A
DettagliQuadro riassuntivo di geometria analitica
Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive
DettagliEsercizi svolti di geometria analitica
Giulio Donato Broccoli Esercizi svolti di geometria analitica Circa 300 esercizi e nozioni teoriche di base Giulio D. Broccoli Editore Proprietà letteraria riservata Ogni riproduzione, con qualsiasi mezzo
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
DettagliLABORATORIO DI MATEMATICA: COORDINATE POLARI ESTENSIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
LABORATORIO DI MATEMATICA: COORDINATE POLARI ESTENSIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Uno strumento, che ci suggerisce come ampliare le nostre conoscenze, è il radar, strumento fondamentale nella navigazione
DettagliCALCOLO DEL RAGGIO DI CURVATURA DI UNA CURVA REGOLARE DI E Q UAZI O NE y = f (x ), ivi derivabile almeno due volte, e che la derivata seconda
ALOLO DEL RAGGIO DI URVATURA DI UNA URVA REGOLARE DI E Q UAZI O NE Supponiamo che b sia una unzione deinita in, ivi derivabile almeno due volte, e che in la derivata seconda sia diversa da zero, e indichiamo
DettagliIstituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri. Classi III C III E ESERCIZI ESTIVI 2012/2013
Istituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri Classi III C III E ESERCIZI ESTIVI 01/01 ALUNNO CLASSE ESEGUI TUTTI GLI ESERCIZI SU UN FOGLIO PROTOCOLLO O UN QUADERNO.
DettagliPROIEZIONI ORTOGONALI: SEZIONI CONICHE
www.aliceappunti.altervista.org PROIEZIONI ORTOGONALI: SEZIONI CONICHE 1) PREMESSA: Il cono è una superficie generata da una retta con un estremo fisso e l altro che ruota. La retta prende il nome di GENERATRICE.
DettagliGeometria euclidea dello spazio Presentazione n. 6 Solidi di rotazione Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia
Geometria euclidea dello spazio Presentazione n. 6 Solidi di rotazione Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia Solidi di rotazione Un solido di rotazione è generato dalla rotazione
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 10
Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
DettagliLiceo Einstein Milano. Verifica di matematica 10 ottobre 2018
Liceo Einstein Milano 3G 10 ottobre 2018 1) Risolvi i seguenti sistemi: 2) A) Nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB e la base minore CD misurano rispettivamente 15 e 12 e l altezza AD misura
Dettagliper vedere la forma decimale, basterà premere il tasto
Il cerchio - ripasso 1) Un rapporto importantissimo ed interessantissimo. π : Questa lettera dell alfabeto greco, si legge pi greco, rappresenta il rapporto tre la lunghezza della circonferenza e quella
DettagliComunicazione 7 del 12 novembre 2014 *
Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Dipartimento di Architettura e Territorio Corso di Laurea Magistrale in Architettura A.A. 2014-2015 - primo semestre Corso di Fondamenti della Rappresentazione
DettagliRADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo
DettagliSISTEMI DI COORDINATE SULLA SUPERFICIE SFERICA (di mortola carlo)
SISTEMI DI COORDINATE SULLA SUPERFICIE SFERICA (di mortola carlo) Per individuare univocamente un punto di una superficie sferica si possono utilizzare due sistemi di coordinate sferiche, e precisamente:
DettagliLiceo Scientifico Michelangelo - Forte dei Marmi. Esercizi sulla circonferenza svolti - Classe Terza
Liceo Scientifico Michelangelo - Forte dei Marmi Esercizi sulla circonferenza svolti - Classe Terza Esercizio 0. Stabilire se le equazioni x + y x + 3y + e x + y x + 6y 3 rappresentano una circonferenza
Dettagli8 Simulazione di prova d Esame di Stato
8 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario Si consideri la famiglia di funzioni f α () = a e a con a parametro reale
DettagliGeometria analitica - Testo pagina 1 di 5 67
Geometria analitica - Testo pagina di 5 67 5. GEOMETRI NLITI: Geometria lineare nel piano È fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxy. 50. 502. 503. 504. Scrivere
DettagliProblemi sull ellisse
1 equazione dell ellisse Determina l equazione di un ellisse che ha i fuochi sull asse delle ascisse, semiasse maggiore lungo 6 e distanza focale uguale a 6 + yy Scrivi l equazione dell ellisse con i fuochi
Dettagli