Formazione Matematica. Luisa Rossi, Paolo Teruzzi, Lorella Carimali

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1 Formazione Matematica Luisa Rossi, Paolo Teruzzi, Lorella Carimali

2 Il Progetto Obiettivo: proposta di un percorso per valutare le competenze relative all Asse Matematico, acquisite nel biennio Ambito: biennio degli istituti tecnici Destinatari: docenti formatori di Matematica

3 Le Competenze di Base Utilizzare tecniche e procedure del calcolo aritmetico ed algebrico in contesti reali, con eventuali rappresentazioni grafiche Analizzare figure geometriche del piano e dello spazio individuando invarianti e relazioni Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi Rilevare, analizzare e interpretare dati riguardanti fenomeni reali, sviluppando deduzioni e ragionamenti, fornendo adeguate rappresentazioni grafiche anche con l ausilio di strumenti informatici 3

4 I Problemi Problemi di ottimizzazione: la lattina della birra più economica Problemi di crescita: come investire al meglio il proprio capitale Proporzionalità diretta e crescita polinomiale: raggio e circonferenza; aree, volumi, andamenti grafici Proporzionalità inversa: tempo e velocità a percorso costante 4

5 Strumenti e Metodi Algebra e Geometria: conoscenze e abilità per sviluppare percorsi trasversali e risolvere problemi Leggi delle Scienze: saper identificare la legge adeguata al problema da risolvere I metodi: tessuto concettuale, ragionamento logicodeduttivo, metodo geometrico, stima del calcolo, Strumenti informatici: software di calcolo e grafici, statistiche, diagrammi 5

6 Problema 1 Volendo produrre una lattina cilindrica, con assegnato volume, determinarne il raggio di base affinché sia la più economica Unico dato: il volume V, assegnato Quale raggio di base R??? 6

7 Problema Abbiamo guadagnato tanto! dalla produzione di lattine ottimali... come investire al meglio il nostro guadagno in banca? I dati: 1) il capitale iniziale C, ) Il tasso di interesse i assegnato Bastano questi dati per conoscere il proprio capitale dopo un anno??? 7

8 Problema 3 Grande crisi: la banca fallisce e hai perso tutto!!! Decidi di cambiare lavoro e apri un garden center. Hai poco spazio espositivo e devi cercare di sfruttarlo al meglio, per avere sempre la merce che ti viene richiesta I dati: 1) Bancale di N giacinti ) Costo per giacinto c Come implementare al meglio la quantità di prodotti da vendere??? 8

9 Problema 4 I giacinti si esauriscono presto: ci sono molti compratori! Bisogna ripetere la fornitura. Il Il Il tragitto è sempre lo stesso ma non sempre si ha voglia di correre. I dati: 1) La lunghezza s del percorso ) La velocità v di cammino In quanto tempo t ritornerai con i fiori??? 9

10 Lo sviluppo: Problema 4 Legge di proporzionalità inversa Proporzionalità inversa Y = k X Y X Che legame intercorre tra il tempo t e la velocità v, fissato il percorso S da compiere? t = s v 10

11 Problema 3 Legge di proporzionalità diretta Y = kx Come fioraio devi vendere N vasetti al prezzo di 3 Euro l uno. Quale ricavo R? R = 3N Y Proporzionalità diretta X 11

12 Problema 3 puoi vendere di più! Crescita polinomiale Y = kx n Vendi vasi di primule disposte in un quadrato con N vasi per lato al prezzo di 4 Euro l uno. Quale è ora il ricavo R? R = 4N Y Crescita quadratica n= X 1

13 Problema 3 vendite in ulteriore aumento! Crescita polinomiale Y = kx n Oggi al mercato si comprava molto bene e mi hanno consegnato N vassoi con NxN giacinti. Riesco a vendere a 4 Euro al vaso. Quanto ricavo R? R = 4N 3 Y Crescita polinomiale n= X 13

14 Confronto di crescite polinomiali Y = kx n Hai N giacinti su un asse; un vassoio quadrato con N vasi per lato di primule, un insieme di N vassoi sovrapposti di giacinti. Devi vendere perché non invecchino e cedi al prezzo di un Euro al vaso. Confronta il ricavo R delle tre partite? Y Crescite polinomiali ,5 1 1,5,5 X 14

15 Problema Interesse semplice: Guadagni 100 Euro (g) e hai trovato una banca che in un anno ti concede il 100% di interesse. Che capitale C hai dopo un anno? C = = 00 C = g + g = g Guadagno maggiore!! Il successivo guadagno di 100 Euro lo investi allo stesso interesse ma decidi di ritirarlo a metà anno e reinvestirlo allo stesso tasso. Cioè alla fine del sesto mese investi 150 Euro allo stesso interesse e al termine dell anno avrai.. Euro!! C = ( ) (150) = 5 C = g + g + g + g = g + g 1 + = g

16 Problema : investimento capitale Interesse composto: Ti sei accorto che questo giochetto del reinvestimento potresti farlo ad intervalli più brevi...anzi quotidianamente! C è allora una crescita esponenziale!!!! C g 1 = 1 + n n Interesse semplice Guadagno maggiore Interesse composto,5,5 3,5 1,5 1,5 1, ,5 0,5 0, , 0,4 0,6 0,8 1 1, t e mpo [ f r a z i oni di a nno] 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, t e mpo [ f r a z i oni di a nno] 0 0 0,5 1 1,5 t emp o [ f razioni d i anno ] 16

17 Problema 1 Si tratta di un semplice problema di ottimizzazione: la lattina più economica a parità di volume V (ad es. 0,33 cc.) Il costo maggiore è quello dell alluminio del quale la lattina è prevalentemente costituita Conviene dunque rendere minima la superficie cilindrica Fissato V, detti x il raggio della base, h l altezza ( ) = area totale = { π + { π A x x hx area dei cerchi di base area della superficie laterale y y= A( x) V = = π x V π hx h ( ) = π x + A x V x ? x 17

18 La soluzione Non avendo a disposizione i metodi dell analisi matematica, ci affidiamo ad un utilizzo ragionato di una calcolatrice tascabile e approssimiamo al meglio il valore minimo SORPRESA: si trova che l altezza è pari al diametro di base! h /3 V V π V = = 3 x = = π x π V π V = 330 cm 3 h = x = 7.48 COMMENTI 18

19 .e le volpi? Perché? 19

20 .e le volpi? Perché? 0

21 1. Quali competenze, quali conoscenze Utilizzare tecniche e procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, forma grafica Abilità Comprendere il significato di potenza; calcolare potenze e applicarne le proprietà Risolvere brevi espressioni nei diversi insiemi numerici Risolvere sequenze di operazioni e problemi sostituendo alle variabili letterali i valori numerici. Semplificare espressioni letterali. Comprendere il significato logico-operativo di rapporto e grandezza derivata Impostare uguaglianze di rapporti per risolvere problemi di proporzionalità Risolvere problemi utilizzando equazioni di primo grado e verificare la correttezza dei procedimenti utilizzati e l attendibilità dei risultati ottenuti Rappresentare graficamente equazioni di primo grado e di secondo grado Individuare la necessità di utilizzo di un equazione di grado superiore al primo. Conoscenze Gli insiemi numerici N, Z, Q, R ; rappresentazioni, operazioni, ordinamento. Espressioni algebriche, principali operazioni : monomi, polinomi, prodotti notevoli, scomposizioni e frazioni algebriche. Equazioni e intere e frazionarie di primo e secondo grado. 1

22 . Quali competenze, quali conoscenze Confrontare ed analizzare figure geometriche, invarianti e relazioni Abilità Riconoscere i principali enti, figure e luoghi geometrici Individuare le proprietà essenziali delle figure e delle trasformazioni, riconoscerle in situazioni concrete Disegnare figure geometriche con semplici tecniche grafiche e operative In casi reali di facile leggibilità risolvere problemi di tipo geometrico, e ripercorrerne le procedure di soluzione Visualizzare gli oggetti geometrici nello spazio e risolvere semplici problemi quantitativi Utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per rappresentare formalmente gli oggetti della geometria elementare e passare da una rappresentazione ad un'altra in modo consapevole e motivato. Realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando strumenti diversi (riga e compasso, software di geometria, ) Comprendere i principali passaggi logici di una dimostrazione (catene deduttive) Dimostrare semplici teoremi Conoscenze Gli enti fondamentali della geometria Il piano euclideo: poligoni e loro proprietà Le isometrie nel piano: simmetrie, rotazioni, traslazioni Perimetro ed area dei poligoni Il metodo delle coordinate: il piano cartesiano

23 3. Quali competenze, quali conoscenze Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi Abilità Progettare un percorso risolutivo strutturato in tappe Formalizzare il percorso di soluzione di un problema attraverso modelli algebrici e grafici Riconoscimento di grandezze e variabili matematiche in un problema complesso di vita quotidiana Tradurre dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa Riconoscere situazioni problematiche e fenomeni diversi riconducibili a uno stesso modello matematico Conoscenze Le fasi risolutive di un problema e loro rappresentazioni con diagrammi Tecniche risolutive di un problema che utilizzano frazioni, proporzioni, percentuali, formule geometriche, equazioni e disequazioni di primo grado ed equazioni di secondo grado. 3

24 4. Quali competenze, quali conoscenze Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico Abilità Raccogliere, organizzare e rappresentare un insieme di dati Rappresentare classi di dati mediante istogrammi e diagrammi Leggere e interpretare tabelle e grafici in termini di corrispondenze fra elementi di due insiemi Riconoscere una relazione tra variabili, in termini di proporzionalità diretta o inversa e formalizzarla attraverso una funzione matematica Rappresentare sul piano cartesiano il grafico di una funzione Valutare l ordine di grandezza di un risultato Elaborare e gestire semplici calcoli attraverso un foglio elettronico Conoscenze Significato di analisi e organizzazione di dati numerici Il piano cartesiano e il concetto di funzione Funzioni di proporzionalità diretta, inversa e relativi grafici, funzione lineare Semplici applicazioni che consentono di creare, elaborare un foglio elettronico con le forme grafiche corrispondenti 4