Dispense e programma del corso sono disponibili sul sito.

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1 Testi consiliati Dispense e proramma del corso sono disponibili sul sito oppure ia rileate presso i chioschi ialli IMPORTANTE: chiedere la versione del 0-0 (e controllare sul frontesizio che sia quella iusta) B. Schutz, A first Course in General Relativity Cambride University Press

2 Docente: Prof. Valeria Ferrari stanza 06 II piano Vecchio edificio Fisica Ricevimento: martedi dalle 4 alle 5 Esercitatore: Dr. Leonardo Gualtieri Stanza 0c II piano Vecchio edificio Fisica leonardo.ualtieri@roma.infn.it Ricevimento: martedi dalle 5 alle 6

3 Tutte le informazioni sul corso si troveranno via via sul sito Cliccando su RELATIVITA GENERALE Ci sara un esonero (data da definire) sulla parte tecnica del corso Il voto dell esonero o dello scritto peseranno circa un terzo nella valutazione finale

4 PRE-REQUISITO FONDAMENTALE PER SEGUIRE QUESTO CORSO: CONOSCERE LA RELATIVITA SPECIALE Ripassate le trasformazioni di Lorentz!!!

5 La Relatività Generale è la teoria fisica della ravitazione basata sul Principio di Equivalenza tra ravitazione e inerzia e Sul Principio di Covarianza Generale

6 Perché la teoria newtoniana diventa inappropriata a descrivere il campo ravitazionale? Perché c è bisono di un tensore per descrivere il campo ravitazionale? Qual è il ruolo del Principio di Equivalenza e del Principio di Covarianza Generale nella formulazione delle equazioni di Einstein?

7 L arena della fisica pre-relativistica è lo spazio piatto della eometria euclidea I postulati di Euclide (~35-65 ac) Risulti postulato che: ) si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad oni altro punto; ) si possa prolunare indefinitamente una linea retta ; 3) si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raio qualsiasi; 4) tutti li anoli retti siano uuali fra di loro; 5) se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte anoli inferiori a due anoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove li anoli sono inferiori a due anoli retti.

8 Gauss 84 (Germania) Bolay 83 (Austria) Lobachevski 86 (Russia) Scoprirono indipendentemente una eometria che soddisfa tutti i postulati di Euclide eccetto il quinto Spazio bi-dimensionale a curvatura neativa Rappresentazione analitica scoperta da Feli Klein nel 870 Per oni coppia di numeri reali (, ) tali che d(, X ) < a cosh a lunhezza di scala definiamo la distanza X L indipendenza loica del quinto postulato di Euclide era così dimostrata X X X

9 Nel 87 Gauss pubblica le Disquisitiones enerales circa superficies curvas In cui distinue tra Proprietà interne o intrinseche di una superficie e Proprietà esterne o estrinseche La proprietà intrinseca fondamentale è la distanza tra due punti; la eometria intrinseca di un cono o un cilindro è piatta, ma non lo è quella di una sfera La eometria intrinseca di una superficie considera solo le relazioni tra punti che stanno sulla superficie Le proprietà estrinseche hanno a che vedere con l embeddin della superficie in uno spazio a dimensione più alta: es. curvatura estrinseca Noi ci occuperemo essenzialmente delle proprietà intrinseche

10 Seuendo Gauss, selezioniamo queli spazi metrici per cui, data una qualsiasi reione di spazio sufficientemente piccola, e possibile sceliere un sistema di coordinate (ξ, ξ ) tale che la distanza tra il punto P (ξ, ξ ) soddisfi il teorema di Pitaora P (ξ dξ, ξ dξ ) e il punto ds (dξ ) (dξ ) ATTENZIONE: d ora in avanti, quando diro distanza tra due punti, intendero distanza tra due punti infinitamente vicini Le coordinate (ξ, ξ ) si dicono localmente euclidee ATTENZIONE: la possibilita di definire un sistema di coordinate localmente euclidee e una proprieta LOCALE, vale cioe solo nell intorno di un punto, a meno che l intero spazio non sia euclideo.

11 Supponiamo ora di cambiare il sistema di coordinate: come si trasforma la distanza? ξ ξ (, ) ξ ξ (, ) ds (dξ ) (dξ ) dξ ξ d ξ d dξ ξ d ξ d diventa [ ( ) ξ ds ( ) ξ ] [ ( ) ξ (d ) ( ) ξ ] (d ) [( )( ) ( )( )] ξ ξ ξ ξ d d (d ) (d ) d d αβ d α d β. Nello scrivere l ultima uualianza abbiamo usato la convenzione di Einstein

12 ( ξ ) ( ) ξ ( ξ ) ( ) ξ [( ξ )( ) ( )( )] ξ ξ ξ ξ r cos θ ξ r sin θ Le componenti del tensore metrico contenono le derivate prime delle coordinate localmente euclidee rispetto alle coordinate eneriche (ξ, ξ ) ESEMPIO: passiamo da coordinate localmente euclidee a coord. polari Come calcolo il tensore metrico? (r, θ) dξ cos θdr r sin θdθ dξ sin θdr r cos θdθ ds (dξ ) (dξ ) dr r dθ,, r, 0.

13 Passiamo da (, ) a (, ): come cambia il tensore metrico? [( ξ ) ( ξ ) ] [( ξ ξ ) [( ξ (, ) (, ) ξ ) [( ξ ) ( ξ ) ]( ) [( ξ ) ( ξ ) ]( ) ( ξ ξ ξ ξ )( ) ( ξ ) ( ) ξ ( ξ ) ( ) ξ [( ξ )( ) ( )( )] ξ ξ ξ ( ) ( ) ( ) µν µ ν

14 In enerale, quando si passa da un riferimento a un altro αβ α β µν µ α ν β Questo e il modo in cui si trasformano I tensori quando si passa da un qualsiasi sistema di coordinate a un altro ATTENZIONE: ove ci sono indici ripetuti e sottintesa la somma

15 Dato uno spazio metrico in cui la distanza tra due punti infinitamente vicini sia esprimibile tramite il Teorema di Pitaora, permette di esprimere la distanza in qualsiasi altro αβ sistema di coordinate. VICEVERSA: Dato uno spazio in cui ds αβ d α d β Se lo spazio appartiene alla sottoclasse definita da Gauss, è sempre possibile trovare un sistema di coordinate localmente euclidee tale che ds (dξ ) (dξ ) La metrica determina le proprietà intrinseche di uno spazio metrico

16 Voliamo definire una funzione di che dipenda dalle derivate prime e seconde del tensore metrico, ma NON dipenda dal sistema di coordinate usate αβ Nel caso di superfici bidimensionali, questa quantità è la CURVATURA GAUSSIANA k determinante della metrica ATTENZIONE: la curvatura, che descrive le proprietà intrinseche di una eometria bidimensionale è una quantità scalare

17 Per esempio, in qualsiasi coordinate esprimiamo la metrica della -sfera, la curvatura aussiana sarà sempre a k Provare per es. con sin ϕ ϑ ϑ d a d a ds Invece per la eometria di Gauss-Bolay-Lobachevski ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d ds a a a a k

18 Quanto detto finora si estende a spazi di dimensioni arbitrarie in particolare al caso D4 lo spazio-tempo in cui avvenono i fenomeni fisici Selezioneremo queli spazi-tempo in cui, localmente, la distanza tra punti vicini sia data da 0 IMPORTANTE: se uno spazio ha dimensioni D, le proprietà intrinseche sono descritte da più funzioni scalari: D(D)/ componenti indipendenti di αβ ds dξ dξ dξ Spazi-tempo localmente Minkowskiani dξ 3 Possiamo sempre sceliere le coordinate in modo da imporre D relazioni funzionali tra queste componenti C D(D)/-D D(D-)/ quantità per es. se D, C se D4 C6 Riemann, Christoffel LeviCivita, Ricci Beltrami

19 Seconda lee di Newton F m I a Lee della ravitazione universale F G m G a ( mg m I ) G i M Gi( r r i ) r r i 3 Se m I m G tutti i corpi si muovono in un campo ravitazionale con la stessa accelerazione

20 La massa inerziale è uuale alla massa ravitazionale Galileo (564-64) Netwon (pendoli) Eotvos 889 (una parte in 0 9 ) Dicke 964 (una parte in 0 ) Brainski 97 (una parte in 0 ) Lunar Laser ranin (una parte in 0 3 ) Tutti questi esperimenti confermano il principio di equivalenza della massa inerziale e della massa ravitazionale Successi della teoria newtoniana Moto della luna e maree Moto dei pianeti Predizione (846 Adams e Le Verrier) e scoperta di Nettuno qualche anno dopo Primi dubbi osservativi Le Verrier, 845 scopre anomalie nel moto di Mercurio 885 Newcomb conferma: il perielio precede di 43secondi di arco oni 00 anni

21 Obiezioni filosofiche: la teoria di Newton prevede l esistenza dei riferimenti inerziali, rispetto a cui valono le lei della meccanica Ma cosa li definisce? Newton: esiste uno spazio assoluto rispetto a cui i riferimenti inerziali sono in moto rettilineo uniforme Leibeniz, Mach : lo spazio assoluto non è necessario Nel 864 Mawell formula la teoria dell elettrodinamica: La velocità della luce è costante! Mawell: esiste l etere Michelson e Morley (887): l etere non esiste Le nuove equazioni non sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo, ma lo sono rispetto a quelle di Lorentz (Einstein 905) PROBLEMA: cosa fare delle equazioni della ravità?

22 Consideriamo un corpo che si muove in un campo ravitazionale costante e uniforme. Supponiamo per semplicita che sia soetto solo alla forza di ravita m I d dt m G OSERVAZIONE DI EINSTEIN: Supponiamo di saltare su un ascensore che sta cadendo liberamente nello stesso campo ravitazionale, cioe facciamo la seuente trasformazione di coordinate t, t t Nel riferimento solidale con l ascensore il corpo avra la seuente accelerazione m I { d dt [ t ]} m G d dt 0 NOTARE CHE: questo risultato seue da ) e costante e uniforme ) m I m G

23 Osservazione di Einstein: se salo su un ascensore che cade liberamente un corpo in quiete rimane in quiete dunque questo è un riferimento localmente inerziale Perché localmente? - deve essere costante e uniforme Poter definire un riferimento in cui è possibile eliminare, nella stessa maniera per tutti i corpi, il campo ravitazionale, è un proprietà esclusiva del campo ravitazionale. Non è vero per esempio per la forza elettrica!

24 Principio di equivalenza in forma FORTE: In un campo ravitazionale arbitrario, in qualsiasi punto dello spaziotempo possiamo sceliere un riferimento localmente inerziale tale che, in un intorno sufficientemente piccolo del punto, TUTTE le lei della fisica assumono la stessa forma che hanno in assenza di ravità, cioè hanno la forma che è prevista dalla Relatività Speciale 0 ds dξ dξ dξ Principio di equivalenza in forma DEBOLE: Lo stesso di prima, ma si riferisce alle sole lei del moto dei corpi, invece che a tutte le lei fisiche dξ 3 Il principio di equivalenza assomilia molto all assioma in base al quale Gauss seleziona le eometrie non-euclidee: in oni punto dello spazio esiste un riferimento localmente euclideo, in cui la distanza tra due punti è data dal teorema di Pitaora ds dξ dξ Ci aspettiamo che il tensore metrico abbia qualcosa a che vedere con il campo ravitazionale

25 Conseuenze del Principio di Equivalenza Volio trovare l equazione del moto di una particella in caduta libera in un campo ravitazionale In un rif. localmente inerziale una d ξ α particella libera ha equazione 0 dτ In un rif. arbitrario: forza di ravita forze inerziali d dτ α Γ α µν µ d dτ ν d dτ 0 Γ α µν ξ α λ µ ξ λ ν Simboli di Christoffel o Connessioni Affini

26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) [ ] ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Le componenti del tensore metrico contenono le derivate prime delle coordinate localmente euclidee rispetto alle coordinate eneriche Simboli di Christoffel o Connessioni Affini Contenono le derivate del tensore metrico αβ ν µ λ λ α α µν ξ ξ Γ

27 In un rif. localmente inerziale una d ξ α particella libera ha equazione 0 dτ In un rif. arbitrario: forza di ravita forze inerziali Γ α µν µ ν d d dτ dτ d dτ In teoria newtoniana sarebbe cioè la derivata del potenziale ravitazionale α Γ α µν µ ν d d dτ dτ 0 Le connessioni affini sono la eneralizzazione del campo rav. newtoniano, il tensore metrico eneralizza il potenziale Newtoniano

28 SOMMARIO: Il principio di equivalenza ci permette di trovare sempre un rif. in cui,localmente, le lei della fisica sono quelle della Relatività Speciale, e in cui lo spaziotempo è descritto dal tensore metrico di Minkowski, cioè è piatto η ds µν dξ dτ dia(,,,) η µν 0 dξ µ dξ Se cambio riferimento ν Dall eq. delle eodetiche dξ 0 seue che il potenziale ravitazionale è descritto dal Tensore metrico: ecco perché abbiamo bisono di un tensore dξ d dτ α dξ Γ α µν dξ α β αβ d d αβ η ξ µ µν ds 3 µ ν d d dτ dτ ξ µ α β 0 αβ ha un duplice ruolo: eometrico (distanza) e fisico (potenziale rav.)

29 Dato il tensore αβ e le sue derivate prime, cioè α Γ µν le connessioni affini in un punto X, possiamo sempre determinare un riferimento localmente inerziale nell intorno del punto Inoltre, abbiamo sempre la libertà di fare una trasformazione di Lorentz e il nuovo riferimento sarà ancora localmente inerziale