Ricevimento: martedi dalle 14 alle 15. Dr. Leonardo Gualtieri. Stanza 202c II piano Vecchio edificio Fisica

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1 Docente: Prof. Valeria Ferrari stanza 05 II piano Vecchio edificio Fisica Ricevimento: martedi dalle 4 alle 5 Dr. Leonardo Gualtieri Stanza 0c II piano Vecchio edificio Fisica leonardo.ualtieri@roma.infn.it Ricevimento: martedi dalle 5 alle 6

2 Tutte le informazioni sul corso si troveranno sul sito cliccando su Relativita Generale Testi consiliati Dispense e proramma del corso sono disponibili sul sito B. Schutz, A first Course in General Relativity Cambride University Press

3 PRE-REQUISITO FONDAMENTALE PER SEGUIRE QUESTO CORSO: CONOSCERE LA RELATIVITÀ SPECIALE Ripassate le trasformazioni di Lorentz!!!

4 Finalita del corso: Lo scopo del corso e di introdurre le nozioni di base della teoria moderna della ravitazione e delle sue piu' importanti implicazioni in campo astrofisico PROGRAMMA del CORSO: La teoria newtoniana della ravita' e il ruolo del principio di equivalenza nella formulazione della teoria Einsteiniana della ravita'; l'equazione delle eodetiche come conseuenza del Principio di equivalenza Gli strumenti matematici per costruire la teoria della ravita': varieta' differenziabili, vettori, -forme, tensori. Come descriviamo il campo ravitazionale: il tensore metrico, trasporto parallelo e derivata covariante. Tensore di curvatura e identita' di Bianchi Tensore eneria-impulso, principio di covarianza enerale, lei di conservazione Le equazioni di Einstein per il campo ravitazionale. Simmetrie, vettori di Killin e lei di conservazione Campo ravitazionale all esterno di una distribuzione di massa statica e a simmetria sferica: la soluzione di Schwarzschild; il concetto di buco nero, l'orizzonte deli eventi Fenomeni che avvenono nelle vicinanze di corpi massivi: redshift ravitazionale, deflessione della luce e precessione del perielio. Soluzioni ondose delle equazioni di Einstein. Le equazioni della deviazione eodetica

5 Ci sara un esonero il 6 Novembre sulla parte tecnica del corso Il superamento dell esonero o dello scritto è necessario per poter sostenere l orale esonero o scritto non avranno un voto: o si superano o non si superano.

6 La Relatività Generale è la teoria fisica della ravitazione basata sul Principio di Equivalenza tra ravitazione e inerzia e Sul Principio di Covarianza Generale

7 Perché la teoria newtoniana diventa inappropriata a descrivere il campo ravitazionale? Perché c è bisono di un tensore per descrivere il campo ravitazionale? Qual è il ruolo del Principio di Equivalenza e del Principio di Covarianza Generale nella formulazione delle equazioni di Einstein?

8 L arena della fisica pre-relativistica è lo spazio piatto della eometria euclidea I postulati di Euclide (~35-65 ac) Risulti postulato che: ) si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad oni altro punto; ) si possa prolunare indefinitamente una linea retta ; 3) si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raio qualsiasi; 4) tutti li anoli retti siano uuali fra di loro; 5) se una retta che interseca due altre rette forma, dalla stessa parte, anoli inferiori a due anoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove li anoli sono inferiori a due anoli retti.

9 Gauss 84 (Germania) Bolay 83 (Austria) Lobachevski 86 (Russia) Scoprirono indipendentemente una eometria che soddisfa tutti i postulati di Euclide eccetto il quinto Spazio bi-dimensionale a curvatura neativa Rappresentazione analitica scoperta da Feli Klein nel 870 Per oni coppia di numeri reali (, ) tali che + d(, X ) = < a cosh a = lunhezza di scala definiamo la distanza X L indipendenza loica del quinto postulato di Euclide era così dimostrata X X X

10 Nel 87 Gauss pubblica le Disquisitiones enerales circa superficies curvas In cui distinue tra Proprietà interne o intrinseche di una superficie e Proprietà esterne o estrinseche La proprietà intrinseca fondamentale è la distanza tra due punti; la eometria intrinseca di un cono o un cilindro è piatta, ma non lo è quella di una sfera La eometria intrinseca di una superficie considera solo le relazioni tra punti che stanno sulla superficie Le proprietà estrinseche hanno a che vedere con l embeddin della superficie in uno spazio a dimensione più alta: es. curvatura estrinseca Noi ci occuperemo essenzialmente delle proprietà intrinseche

11 Seuendo Gauss, selezioniamo queli spazi metrici per cui, data una qualsiasi reione di spazio sufficientemente piccola, e possibile sceliere un sistema di coordinate (, ) P =(, tale che la distanza tra il punto soddisfi il teorema di Pitaora P =( + d, + d ) ) e il punto ds =(d ) +(d ) ATTENZIONE: d ora in avanti, quando diro distanza tra due punti, intendero distanza tra due punti infinitamente vicini Le coordinate (, ) si dicono localmente euclidee ATTENZIONE: la possibilità di definire un sistema di coordinate localmente euclidee è una proprieta LOCALE, vale cioè solo nell intorno di un punto, a meno che l intero spazio non sia euclideo.

12 Supponiamo ora di cambiare il sistema di coordinate: come si trasforma la distanza? = (, ) d = = (, ) d = d + d d + d ds =(d ) +(d ) diventa ds = + (d ) + + (d ) + + d d = (d ) + (d ) + d d = d d d d =, =, Nello scrivere l ultima uualianza abbiamo usato la convenzione di Einstein

13 Riepiloando: nel sistema di coordinate localmente euclideo la distanza tra due punti è data da ds =(d ) +(d ) (, ) In un sistema di coordinate enerico (, ) = = = = ds = + + =, =, + d d d d nel sistema di coord. euclideo possiamo anche scrivere ds =(d ) +(d ) = 0 0 d d

14 = = = = Le componenti del tensore metrico contenono le derivate prime delle coordinate localmente euclidee rispetto alle coordinate eneriche ESEMPIO: passiamo da coordinate localmente euclidee a coord. polari Come calcolo il tensore metrico? (r, ) (, = r cos d = cos dr r sin d = r sin d = sin dr + r cos d (r, )=(, ) ds =(d ) +(d ) = dr + r d = d d,, =, =, = r, =0. )

15 = = = = Le componenti del tensore metrico contenono le derivate prime delle coordinate localmente euclidee rispetto alle coordinate eneriche QUESTI CONCETTI SI GENERALIZZANO IMMEDIATAMENTE AL CASO DI SPAZI DI DIMENSIONI MAGGIORI

16 Passiamo da (, ) a (, ): come cambia il tensore metrico? = [( ) +( ) ] = = = = = (, ) = (, ) = [( + ) + [( + ) = [( ) +( ) ]( ) + [( ) +( ) ]( ) +( + )( ) + + +

17 Passiamo da (, ) a (, ): come cambia il tensore metrico? = [( ) +( ) ] = = = = = (, ) = (, ) = [( + ) + [( + ) = [( ) +( ) ]( ) + [( ) +( ) ]( ) +( + )( ) + + +

18 Passiamo da (, ) a (, ): come cambia il tensore metrico? = [( ) +( ) ] = = = = = (, ) = (, ) = [( + ) + [( + ) = [( ) +( ) ]( ) + [( ) +( ) ]( ) +( + )( ) + + +

19 Passiamo da (, ) a (, ): come cambia il tensore metrico? = [( ) +( ) ] = = = = = (, ) = (, ) = [( + ) + [( + ) = [( ) +( ) ]( ) + [( ) +( ) ]( ) +( + )( ) + + +

20 Passiamo da (, ) a (, ): come cambia il tensore metrico? = [( ) +( ) ] = = = = = (, ) = (, ) = [( + ) + [( + ) = [( ) +( ) ]( ) + [( ) +( ) ]( ) +( + )( ) = ( ) + ( ) + ( = µ µ )

21 In enerale, quando si passa da un riferimento a un altro = µ µ Questo è il modo in cui si trasformano i tensori quando si passa da un qualsiasi sistema di coordinate a un altro ATTENZIONE: ove ci sono indici ripetuti (in alto e in basso) è sempre sottintesa la somma

22 Dato uno spazio metrico in cui la distanza tra due punti infinitamente vicini sia esprimibile tramite il Teorema di Pitaora, permette di esprimere la distanza in qualsiasi altro αβ sistema di coordinate. VICEVERSA: Dato uno spazio in cui ds = αβ d α d β Se lo spazio appartiene alla sottoclasse definita da Gauss, è sempre possibile trovare un sistema di coordinate localmente euclidee tale che ds =(d ) +(d ) Il tensore metrico determina le proprietà intrinseche di uno spazio metrico

23 Voliamo definire una funzione di che dipenda dalle derivate prime e seconde del tensore metrico, ma NON dipenda dal sistema di coordinate usate αβ Nel caso di superfici bidimensionali, questa quantità è la CURVATURA GAUSSIANA + + = k = determinante della metrica ATTENZIONE: la curvatura, che descrive le proprietà intrinseche di una eometria bidimensionale è una quantità scalare

24 Per esempio, in qualsiasi coordinate esprimiamo la metrica della -sfera, la curvatura aussiana sarà sempre a k = Provare per es. con le coordinate (θ,φ) sin ϕ ϑ ϑ d a d a ds + = Invece per la eometria di Gauss-Bolay-Lobachevski ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d ds a a a + + = a k = k è invariante rispetto a trasformazioni di coordinate

25 Quanto detto finora si estende a spazi di dimensioni arbitrarie in particolare al caso D=4 lo spazio-tempo in cui avvenono i fenomeni fisici Selezioneremo queli spazi-tempo in cui, localmente, la distanza tra punti vicini sia data da 0 IMPORTANTE: se uno spazio ha dimensioni D, le proprietà intrinseche sono descritte da più funzioni scalari. Quante sono necessarie? ds = dξ + dξ + dξ + Spazi-tempo localmente Minkowskiani dξ 3 D(D+)/ = componenti indipendenti di αβ Possiamo sempre sceliere le coordinate in modo da imporre D relazioni funzionali tra queste componenti C = D(D+)/-D = D(D-)/ quantità per es. se D=, C= se D=4 C=6 Riemann, Christoffel LeviCivita, Ricci Beltrami

26 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton 685 Seconda lee di Newton F = m I a Lee della ravitazione universale F G = m G a = m G m I = G i M Gi( r r i ) r r i 3 Se m I = m G tutti i corpi si muovono in un campo ravitazionale con la stessa accelerazione

27 La massa inerziale è uuale alla massa ravitazionale Galileo (564-64) Netwon (pendoli) Eotvos 889 (una parte in 0 9 ) Dicke 964 (una parte in 0 ) Brainski 97 (una parte in 0 ) Lunar Laser ranin (una parte in 0 3 ) Tutti questi esperimenti confermano il principio di equivalenza della massa inerziale e della massa ravitazionale Successi della teoria newtoniana Moto della luna e maree Moto dei pianeti Predizione (846 Adams e Le Verrier) e scoperta di Nettuno qualche anno dopo Primi dubbi osservativi Le Verrier, 845 scopre anomalie nel moto di Mercurio 885 Newcomb conferma: il perielio precede di 43secondi di arco oni 00 anni

28 Obiezioni filosofiche: la teoria di Newton prevede l esistenza dei riferimenti inerziali, rispetto a cui valono le lei della meccanica Ma cosa li definisce? Newton: esiste uno spazio assoluto rispetto a cui i riferimenti inerziali sono in moto rettilineo uniforme Leibniz (646-76), Mach (838-96) : lo spazio assoluto non è necessario Nel 864 Mawell formula la teoria dell elettrodinamica: La velocità della luce è una costante universale! Mawell: esiste l etere Michelson e Morley (887): l etere non esiste Le nuove equazioni non sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo, ma lo sono rispetto a quelle di Lorentz (Einstein 905) PROBLEMA: cosa fare delle equazioni della ravità?

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30 Riepiloo lezione passata: Selezioneremo queli spazi-tempo tali che, data una reione sufficientemente piccola, sia possibile sceliere un sistema di coordinate, che d ora in avanti indicheremo con, tale che la distanza tra il punto P =( 0,,, e il punto { } P =( 0 + d 0, + d, + d, 3 + d 3 ) 3 ) sia data da ds = (d 0 ) +(d ) +(d ) +(d 3 ) Questa equazione si puo riscrivere come ds = X X d d = d d =0,3 =0,3 Spazi-tempo localmente Minkowskiani = Tensore metrico di Minkowski

31 Se cambiamo sistema di coordinate, e passiamo dalle coord. localmente minkowskiane {ξ α } alle coordinate eneriche { α } la distanza tra i punti P e P diventa ds = αβ d α d β () Dove αβ e il tensore metrico espresso nelle nuove coordinate. NOTARE CHE: ds e una randezza scalare, quindi il suo valore e lo stesso in tutti i sistemi di coordinate. Quando si passa da un sistema all altro cambia solo la sua espressione NOTARE CHE: se stiamo usando un sistema di coordinate tali che la distanza tra i punti P e P sia data dalla (), e sempre possibile trovare il sistema di coordinate {ξ α } localmente minkowskiano, tale che si abbia ds = (d 0 ) +(d ) +(d ) +(d 3 ) ds = d d

32 Seconda lee di Newton F = m I a Lee della ravitazione universale F G = m G a = m G m I = G i M Gi( r r i ) r r i 3 Se m I = m G tutti i corpi si muovono in un campo ravitazionale con la stessa accelerazione

33 Consideriamo un corpo che si muove in un campo ravitazionale costante e uniforme. Supponiamo per semplicità che sia soetto solo alla forza di ravità m I d dt = m G OSERVAZIONE DI EINSTEIN: Supponiamo di saltare su un ascensore che sta cadendo liberamente nello stesso campo ravitazionale, cioe facciamo la seuente trasformazione di coordinate = t, t = t Nel riferimento solidale con l ascensore il corpo avrà la seuente accelerazione m I d dt + t = m G d dt =0 NOTARE CHE: questo risultato seue da ) è costante e uniforme ) m I = m G

34 Osservazione di Einstein: se salo su un ascensore che cade liberamente un corpo in quiete rimane in quiete dunque questo è un riferimento localmente inerziale Perché localmente? - deve essere costante e uniforme Poter definire un riferimento in cui è possibile eliminare, nella stessa maniera per tutti i corpi, il campo ravitazionale, è un proprietà esclusiva del campo ravitazionale. Non è vero per esempio per la forza elettrica!

35 m I d dt = qe a el = q m I E supponiamo che il campo elettrico E sia costante e uniforme passiamo al sistema di riferimento: = a elt d m I dt + a elt = qe d dt =0 in questo riferimento l effetto del campo elettrico è annullato, però il rapporto q/m I non è lo stesso per tutti i corpi!!

36 Principio di equivalenza in forma FORTE: In un campo ravitazionale arbitrario, in qualsiasi punto dello spaziotempo possiamo sceliere un riferimento localmente inerziale tale che, in un intorno sufficientemente piccolo del punto, TUTTE le lei della fisica assumono la stessa forma che hanno in assenza di ravità, cioè hanno la forma che è prevista dalla Relatività Speciale ds = (d 0 ) +(d ) +(d ) +(d 3 ) Principio di equivalenza in forma DEBOLE: Lo stesso di prima, ma si riferisce alle sole lei del moto dei corpi, invece che a tutte le lei fisiche Il principio di equivalenza assomilia molto all assioma in base al quale Gauss seleziona le eometrie non-euclidee: in oni punto dello spazio esiste un riferimento localmente euclideo, in cui la distanza tra due punti è data dal teorema di Pitaora ds =(d ) +(d ) Ci aspettiamo che il tensore metrico abbia qualcosa a che vedere con il campo ravitazionale

37 Conseuenze del Principio di Equivalenza Volio trovare l equazione del moto di una particella in caduta libera in un campo ravitazionale In un rif. localmente inerziale una d ξ α particella libera ha equazione = 0 dτ In un rif. arbitrario: forza di ravita + forze inerziali d dτ α + Γ α µν µ d dτ ν d dτ = 0 Γ α µν = ξ α λ µ ξ λ ν Simboli di Christoffel o Connessioni Affini

38 = = = = Le componenti del tensore metrico contenono le derivate prime delle coordinate localmente euclidee rispetto alle coordinate eneriche Simboli di Christoffel o Connessioni Affini Contenono le derivate del tensore metrico αβ Γ α µν = ξ α λ µ ξ λ ν

39 In un rif. localmente inerziale una d ξ α particella libera ha equazione = 0 dτ In un rif. arbitrario: forza di ravita + forze inerziali Γ α µν µ ν d d dτ dτ d dτ In teoria newtoniana sarebbe cioè la derivata del potenziale ravitazionale α + Γ α µν µ ν d d = dτ dτ 0 Le connessioni affini sono la eneralizzazione del campo rav. newtoniano, il tensore metrico eneralizza il potenziale Newtoniano

40 SOMMARIO: Il principio di equivalenza ci permette di trovare sempre un rif. in cui,localmente, le lei della fisica sono quelle della Relatività Speciale, e in cui lo spaziotempo è descritto dal tensore metrico di Minkowski, cioè è piatto η ds µν dξ dτ = dia(,,,) = η = µν 0 dξ µ dξ Se cambio riferimento ν Dall eq. delle eodetiche = dξ 0 + seue che il potenziale ravitazionale è descritto dal Tensore metrico: ecco perché abbiamo bisono di un tensore dξ d dτ + α dξ + Γ + α µν dξ α β αβ d d = µ µ ds = 3 µ ν d d = dτ dτ 0 µ αβ ha un duplice ruolo: eometrico (distanza) e fisico (potenziale rav.)

41 Dato il tensore αβ e le sue derivate prime, cioè α Γ µν le connessioni affini in un punto X, possiamo sempre determinare un riferimento localmente inerziale nell intorno del punto Inoltre, abbiamo sempre la libertà di fare una trasformazione di Lorentz e il nuovo riferimento sarà ancora localmente inerziale

42 SPAZI TOPOLOGICI: topoloia locale (a cui siamo interessati) topoloia lobale (proprieta a lara scala, come quelle che distinuono una sfera da un cono) Nozioni preliminari: sia R n lo spazio n-dimensionale dell alebra vettoriale Un punto in R n e una n-pla di numeri reali (, n ) Insiemi aperti: dato un punto y=(y, y y n ), un insieme aperto e l insieme dei punti tali che n i i y = ( y ) < r r =numero reale i= Un insieme aperto include i punti interni ma NON il bordo Un set di punti S e aperto se oni S ha un intorno interamente contenuto in S

43 Abbiamo un idea intuitiva di spazio continuo: dato un punto di R n e sempre possibile trovare punti di R n arbitrariamente vicini ad esso; inoltre una linea che coniune due punti di R n puo essere divisa in infiniti sementi che uniscono ancora punti di R n Proprieta di Hausdorff di R n : presi due punti qualsiasi, questi avranno intorni che non si intersecano Uno SPAZIO TOPOLOGICO e un insieme di punti che soddisfano le seuenti proprieta : ) Se O e O sono due insiemi aperti, la loro intersezione e un insieme aperto ) l unione di insiemi aperti e un insieme aperto

44 Una mappa f da uno spazio M a uno spazio N e una reola che associa a oni elemento M un unico elemento di N y = f () M e N non sono necessariamente diversi ESEMPIO: y = 3, R e y R una mappa da un unico f () ma non e necessariamente vero il viceversa mappa molti a uno mappa uno a uno

45 Se f e una mappa da M a N, per oni insieme S M ci sara un immaine T N, cioe l insieme di tutti I punti che f mappa da S su N S e l immaine inversa di T S = f (T) la mappa inversa e possibile solo se la mappa e uno a uno f mappa M su N, f : M N, f mappa un punto M su y N, f : y

46 COMPOSIZIONE DI MAPPE Date due mappe Esiste una mappa o f che mappa I punti di M su P f : M N, : N P, o f : M P ESEMPIO: f : y y = 3, : y z z = y, o f : z z = 6,

47 Mappa di M in (into) N : se è definita per tutti i punti di M (l immaine di M è contenuta in N) Mappa di M su (onto) N : se è in più oni punto di N ha un immaine inversa in M (non necessariamente unica) ESEMPIO: Sia N l insieme aperto di R + < Sia M la superficie di una semisfera appartenente alla sfera unitaria θ < π ESISTE un mappin uno-a-uno f di M su N

48 Una mappa f : M N, e continua in M, se qualsiasi insieme aperto di N che contiene f (), contiene l immaine di un aperto di M M e N devono essere spazi topoloici, altrimenti la nozione di mappa continua non ha senso definizione dal calcolo elementare: f è continua in 0 se, per oni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per oni -0 < δ si abbia f()-f(0) < ε con ε e δ piccoli a piacere

49 Una mappa f : M N, e continua in M, se qualsiasi insieme aperto di N che contiene f (), contiene l immaine di un aperto di M M e N devono essere spazi topoloici, altrimenti la nozione di mappa continua non ha senso Questa definizione e piu enerale di quella che impariamo a analisi I perche non pone limitazioni su ε e su δ Una mappa si dice differenziabile di classe C k, se f (,, n, ) e una funzione, definita in un aperto di S R n, continua con le sue derivate di ordine minore o uuale a k

50 La nozione di MANIFOLD e cruciale per definire un sistema di coordinate: Un MANIFOLD e un insieme di punti M tale che ciascun punto ha un intorno aperto che ammette una mappa - continua SU (ONTO) un insieme aperto di R n, dove n e la dimensione del manifold (ricordare che un punto in R n e una n-pla di numeri reali (, n )) prendiamo un punto P e lo mappiamo sul punto (, y ) R e questa operazione puo essere fatta per oni intorno di P Quindi un manifold deve essere: - uno spazio topoloico continuo - e a ciascun punto associamo una n-pla di numeri reali,cioe un sistema di coordinate Attenzione: la definizione di MANIFOLD riuarda solo insiemi aperti di M e di R n, perche non voliamo restrinere la topoloia lobale di M

51 Attenzione: non abbiamo ancora introdotto NESSUNA nozione eometrica (anoli, lunhezze etc.) L unica condizione che stiamo imponendo e che la topoloia locale di M Sia la stessa di R n

52 Definizione di sistema di coordinate: E una coppia formata da un aperto di M e la sua mappa su un aperto di R n ; tali aperti non includono necessariamente TUTTO M Per esempio, (U,f ) e (V,) sono due distinti sistemi di coordinate o carte U V e un aperto (intersezione di due aperti) e corrisponde a due diversi sistemi di coord. Quindi deve esserci una relazione tra I due! Prendo un punto nell immaine di U V sotto la mappa f la mappa f ha un inversa f che porta in P usando la mappa vado nell immaine di U V sotto il mappin o f - : R n R n Trasformazione di coordinate

53 o f - : R n R n Il risultato di questa operazione e una relazione funzionale tra i due sistemi di coordinate y y n = = y y ( n (,... n,... n ) ) Se le funzioni {y i } sono differenziabili fino all ordine k, allora tra le carte (U,f ) e (V,) si dice che c e una relazione di classe C k Se si puo costruire un sistema di carte tale che ciascun punto di M appartena almeno a un aperto di M, e se tra tutte le carte c e una relazione di classe C k allora il MANIFOLD e di classe C k Se k= il MANIFOLD si dice DIFFERENZIABILE

54 La nozione di VARIETÀ DIFFERENZIABILE è importante perché consente di aiunere strutture alla varietà, cioe possiamo definire vettori, tensori, forme differenziali ecc. Per completare la definizione di trasformazione di coordinate: date i y = J y i ( y = ( (,... n ),... y,... n n ) ) = Se lo Jacobiano della trasformazione y. det. y n y... y... n n n è NON NULLO in un punto P, allora il teorema della funzione inversa assicura che la mappa f è - e SU un intorno di P. Se J=0 la trasformazione e sinolare

55 la -sfera S è un esempio di varietà differenziale; se consideriamo la sua immersione nello spazio a tre dimensioni, è l insieme dei punti di R 3 tali che S = (,, ) IR = a Vediamo se S è una varietà differenziale. Per prima cosa deve essere uno spazio continuo, quindi deve verificare il criterio di Hausdorff: oni coppia di punti ammette intorni disiunti consideriamo due punti dello spazio continuo 3D: comunque siano vicini, essi ammettono sempre due intorni aperti disiunti, le sfere piene in celeste che chiameremo S 3 e S3 S 3 S 3

56 la -sfera S è un esempio di varietà differenziale; se consideriamo la sua immersione nello spazio a tre dimensioni, è l insieme dei punti di R 3 tali che S = (,, ) IR = a Vediamo se S è una varietà differenziale. Per prima cosa deve essere uno spazio continuo, quindi deve verificare il criterio di Hausdorff: oni coppia di punti ammette intorni disiunti consideriamo due punti dello spazio continuo 3D: comunque siano vicini, essi ammettono sempre due intorni aperti disiunti, le sfere piene in celeste che chiameremo S 3 e S3 supponiamo che i due punti P e P appartenano alla -sfera S : le intersezioni tra li aperti S 3 e S3 e la sfera S, sono i due aperti S e S (le due calotte sferiche di cui la linea blu è il bordo) che per costruzione sono anch essi disiunti. quindi S è uno spazio bidimensionale continuo

57 Dopo aver verificato che S è uno spazio continuo, dobbiamo verificare se è possibile definire un insieme di mappe che ricoprono la varietà (insieme detto atlante) e tali che il cambiamento di coordinate fra una mappa e l'altra sia invertibile e differenziabile (vale a dire sia un diffeomorfismo)

58 Consideriamo la -sfera S : ( ) + ( ) insieme dei punti di R 3 tali che + ( 3 ) = cost Supponiamo di voler mappare la sfera su R usando una sola carta, per es. se usiamo coord. sferiche θ =, ϕ = Supponiamo che la sfera vena mappata sul rettanolo 0 Il polo nord e mappato sulla linea π, 0 π = 0, 0 π Quindi la mappa non esiste! Per evitare questi problemi dobbiamo limitare il mappin a insiemi aperti Questo mappin non preserva lunhezze e anoli Non possiamo coprire la sfera con una sola carta Inoltre, tutti i punti del semicerchio ϕ =0 vanno in = 0, = π Di nuovo la mappa non esiste! 0 < < π, 0 < < π