Equazioni differenziali

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1 Equazioni differenziali 1.1 Equazioni differenziali In analisi matematica un'equazione differenziale è una relazione tra una funzione u(x) non nota ed alcune sue derivate. Nel caso in cui u sia una funzione definita in un intervallo I dell'insieme dei numeri reali si parla di equazione differenziale ordinaria (abbreviato con EDO, o in alcuni testi ODE, acronimo di ordinary differential equation). La scrittura generale di un'equazione differenziale ordinaria, in una variabile x, di ordine n può essere espressa nella forma: Si chiama ordine o grado dell'equazione il grado della più alta derivata presente; ad esempio:. Oppure sono equazioni differenziali ordinarie (la funzione incognita u è funzione solo di x) del secondo ordine. Si chiama soluzione dell'equazione differenziale una funzione u (derivabile per un certo numero di volte) che soddisfi la relazione definita dall'equazione. In alcuni casi è possibile ricavare l'espressione analitica della soluzione. Alcuni permettono di trovare una soluzione esplicita, ossia, altri implicita, cioè nella forma che può essere portata in forma esplicita solo se f è invertibile, nel qual caso si ha Il problema di Cauchy Il problema di Cauchy associato ad una o più equazioni differenziali consiste nel risolvere il sistema formato dalle soluzioni delle equazioni e dalle condizioni iniziali. In formule: Il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy asserisce che esiste una sola funzione che soddisfa tutte queste ipotesi, se la funzione iniziale è sufficientemente regolare (ad esempio, se è differenziabile in un intorno di. La funzione dipende dai dati

2 iniziali per la funzione e le sue prime derivate: al variare di questi dati, chiamati condizioni al contorno, si ottiene quindi una classe di funzioni dipendenti da parametri. Equazioni differenziali alle derivate parziali Un'equazione differenziale alle derivate parziali (abbreviato con PDE, dalle iniziali delle parole del nome inglese: partial differential equation) è un'equazione che coinvolge derivate parziali di una funzione incognita. Nel caso in cui sia una funzione di variabili reali indipendenti, per cui, un'equazione differenziale alle derivate parziali di ordine avrà la forma generale: se la funzione dipende esplicitamente da almeno una delle derivate parziali di ordine di '. L'idea è di descrivere la funzione indirettamente attraverso una relazione fra sé stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale: deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione dell'equazione è una funzione che soddisfa la relazione 1.2 Equazioni differenziali del 1º ordine Le equazioni differenziali del primo ordine sono particolarmente importanti, in quanto è possibile ridurre un'equazione di grado n, superiore al primo, ad un sistema di equazioni del primo ordine, di cui almeno n-1 lineari. Il metodo è molto semplice. Sia data l'equazione di 3º grado Essa è equivalente al sistema ' Una volta trovate le soluzioni, tramite semplice integrazione si ottiene u. Equazioni differenziali lineari Le equazioni differenziali lineari del primo ordine hanno la forma canonica: dove la f è lineare in y. Pertanto l'equazione assume la forma: La soluzione generica venne trovata da uno dei Bernoulli, Jean. La soluzione generale è:

3 Equazioni differenziali a variabili separabili Sono tutte le equazioni differenziali espresse nella forma: dove le funzioni e sono definite e continue su intervalli. Si verifica immediatamente che, se, allora la funzione costante è soluzione dell'equazione. Se la funzione è derivabile con continuità, segue dal teorema di Picard che una soluzione, tale che sia diverso da 0 per un qualche ', non annullerà mai. È allora lecito dividere per, ottenendo: Integrando, si ha: Si può utilizzare il teorema di integrazione per sostituzione (, ottenendo: La soluzione soddisfa quindi, per una opportuna costante reale c, la condizione: dove B è una primitiva di 1/b e A di a, primitive che certamente esistono per la continuità di a e b. La formula precedente descrive una soluzione in forma implicita. Può essere difficile riuscire a trovare una formula che descriva la funzione inversa di B e quindi avere le soluzioni dell'equazione differenziale in forma "esplicita". Equazioni differenziali esatte Un terzo tipo di equazioni differenziali del primo ordine risolvibili analiticamente sono quelle riconducibili ad un differenziale esatto. Un'equazione di questo tipo può essere scritta come: dove p e q sono due funzioni qualunque. Consideriamo le derivate parziali di p rispetto ad y e di q rispetto a x: se queste due sono uguali, avremo un differenziale esatto. In simboli:

4 La soluzione generale è: oppure: Queste sono soluzioni implicite, per cui vale il discorso riguardo l'invertibilità della soluzione. Alcuni casi in cui le derivate miste non sono uguali, possono essere ricondotti a questo tramite un opportuno fattore d'integrazione µ per cui si abbia: Equazioni differenziali non lineari Consideriamo un'equazione differenziale di ordine n che indicheremo: Se l'equazione è lineare con coefficienti e termini noti continui in un determinato intervallo allora è possibile trovare una funzione reale dipendete da x e n parametri costanti c del tipo: detta anche integrale generale della funzione Se l'equazione è non lineare invece non è detto che si possa trovare una soluzione del tipo: che fornisca tutti gli integrali della funzione: e a tale scopo si definisce equazione non lineare la funzione: per la cui soluzione: detta integrale generale in forma esplicita, si hanno solo alcuni integrali di: e non necessariamente tutti gli integrali di essa.

5 Equazioni differenziali non lineari a variabili separabili del I ordine dove a(x) e b(x) sono funzioni continue rispettivamente nei propri intervalli di definizione, essa è non lineare se b non è un polinomio di I grado. Riconducendosi ad un problema di Cauchy imponendo una condizione iniziale ' è possibile risolvere il problema con il metodo di separazione delle variabili con la procedura enunciata precedentemente. 1.3 Equazioni differenziali del 2º ordine Un'equazione differenziale lineare ordinaria del secondo ordine è del tipo: dove sono funzioni continue in un intervallo reale. Per risolverla prendiamo prima in considerazione l'equazione differenziale omogenea associata: banale. Si cercano quindi soluzioni non banali della (2). ' che evidentemente ha come soluzione Se sono due soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione allora anche: è soluzione per ogni valore delle costanti e, anzi tutte le soluzioni della (2) sono della forma (3). Ora, la differenza di due qualunque soluzioni della (1) deve essere soluzione della (2), quindi per trovare la soluzione generale dell'equazione (1) basterà trovare una soluzione particolare (1) e sommarle la generica soluzione dell'equazione omogenea associata: dell'equazione Ovviamente, invece di indicare la famiglia parametrica di tutte le soluzioni della (1), è possibile che venga chiesto di risolvere l'equazione (1) con dei valori iniziali assegnati (problema di Cauchy): ' In tal caso queste due condizioni serviranno a determinare i valori delle costanti arbitrarie associate alla (3') in modo da avere una soluzione particolare che verifica il suddetto "problema ai valori iniziali". L'equazione omogenea associata dove sono coefficienti costanti dati. La sua risoluzione consiste nel cercare una soluzione del tipo: Se sostituiamo nella (5), derivando, e mettiamo in evidenza :

6 Poiché l'esponenziale non si annulla mai, la (6) si annulla se e solo se: Le sue radici possono essere:reali e distinte:, allora la soluzione sarà del tipo: reali e coincidenti:, allora la soluzione sarà del tipo: complesse e coniugate: separatamente:, allora possiamo prendere la parte reale e immaginaria L'equazione completa Per determinare le soluzioni della (8) basta aggiungere alla generica soluzione dell'equazione omogenea associata una soluzione particolare della (8). Una tale soluzione particolare può essere trovata con il cosiddetto metodo della variazione delle costanti. Qui invece provvederemo a considerare alcuni casi particolari: dove particolare del tipo: dove è un è un polinomio di grado m. In questo caso cerchiamo una soluzione polinomio formale dello stesso grado m. Se però è soluzione (semplice) dell'equazione omogenea associata, allora dobbiamo cercare una soluzione del tipo: dove è un polinomio di grado m. In questo caso, se non è una radice dell'equazione (7), cerchiamo una soluzione particolare del tipo: dove è un polinomio formale dello stesso grado m. Se invece tipo: coincide con una delle radici della (7), allora cerchiamo una soluzione particolare del, dove r è la molteplicità della radice oppure oppure

7 dove sono costanti date. In questo caso, se non è una radice dell'equazione (7), cerchiamo una soluzione particolare del tipo: In caso contrario cerchiamo una soluzione del tipo:, dove sono costanti da determinare. oppure oppure dove In questo caso, se sono polinomi. non è una radice dell'equazione (7), cerchiamo una soluzione particolare del tipo:, dove ' e sono polinomi di grado rispettivamente uguale a quello di e. In caso contrario cerchiamo una soluzione del tipo: per la linearità dell'equazione possiamo risolvere separatamente: ed alla fine sommare le con soluzioni:. Esempi y (x) 3y (x)+2y(x)=0 (1) Il polinomio associato all'equazione differenziale (1) è λ 2 3 λ+ 2 = (λ 1)(λ 2). Questo polinomio ha due radici reali distinte λ 1 =1 e λ 2 =2. Dunque due soluzioni indipendenti di questa equazione sono y 1 (x)=e λ 1 x = e x e y2(x)=e λ 2 x =e 2x. Ogni

8 soluzione di questa equazione è dunque una combinazione lineare di queste due soluzione, cioè dove c 1 e c 2 sono costanti reali qualunque. y(x) = c 1 e x + c 2 e 2x Il polinomio associato è y 2y +2y=0 λ 2 2λ+2 Questo polinomio non ha radici reali ma le due soluzioni complesse sono date da λ 12 = α±βi. con α = 1 e β = 1. In questo caso due soluzioni reali indipendenti dell'equazione differenziale sono y 1 (x) = e αx sin(βx)=e x sinx, y 2 (x) = e αx cos(βx)=e x cosx Tutte le soluzioni reali sono quindi del tipo y(x) = c 1 e x sinx + c 2 e x cosx dove c 1 e c 2 sono costanti reali qualunque. 4y 4y +1=0 (3) Il polinomio associato è 4λ 2 4λ+1 che ha una unica radice doppia λ = 1/2. In questo caso due soluzioni indipendenti sono y1(x)=e λx = e x/2 e y2(x)=x e λx = xe x/2. L'insieme di tutte le soluzioni è dato quindi da y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) = (c 1 + c 2 x) e x/2 In generale quando una radice λ ha ordine m, l'insieme delle soluzioni contiene le funzioni y(x) = p(x) e λx dove p è un polinomio di grado minore di m. y y =0 (4)

9 In questo caso il polinomio associato è λ 3 λ 2 =λ 2 (λ 1) che ha la radice λ 1 =0 di molteplicità 2 e la radice λ 2 =1 con molteplicità 1. Tre soluzioni indipendenti sono dunque y 1 (x)=e λ 1 x = 1, y 2 (x)=x e λ 1 x =x, y 3 =e λ 2 x = e x L'insieme di tutte le soluzioni è dato da y(x) = c 1 + c 2 x + c 3 e x y 3y +2y=x 2 e 3x (5) Ogni soluzione y(x) della equazione non omogenea può essere scritta nella forma y(x)=[ y](x) + y 0 (x) dove [ y](x) è una soluzione fissata dell'equazione non omogenea e y 0 (x) è la soluzione generica dell'equazione omogenea. Per quanto visto prima sappiamo che ogni soluzione y 0 dell'equazione omogenea associata (1) si può scrivere come y 0 (x) = c 1 e x + c 2 e 2x Non ci resta che trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Un risultato generale ci dice che se il termine noto è del tipo q(x)e µ x dove q(x) è un polinomio e µ non è una radice del polinomio associato all'equazione omogenea, allora si può trovare una soluzione particolare della forma y (x) = p(x) e µx dove p(x) è un polinomio (da determinare) dello stesso grado di q. Nel nostro caso visto che λ 2 3λ+2 si ha λ 1 =1 ε λ 2 =2 possiamo dunque cercare una soluzione particolare della forma Si avrà dunque y (x) = (ax 2 +bx+c)e 3x y (x) = [2ax + b+3ax 2 +3bx+3c] e 3x = [3ax 2 +(2a+3b)x+b+3c] e 3x y (x) = (6ax + 2a + 3b +9ax 2 + (6a+9b)x+3b+9c) e 3x = (9ax 2 + (12a+9b)x + 2a + 6b + 9c) e 3x y 3y +2y = [(9a 9a+2a)x 2 + (12a+9b 6a 9b+2b)x +2a+6b+9c 3b 9c+2c] e 3x = [2ax 2 + (6a+2b)x + 2a + 3b + 2c] e 3x

10 Poiche y 3y +2y =x 2 e 3x 2a=1 6a+2b=0 2a+3b+2c=0 Risolto a= 2 1 b=- 2 3 c= 4 7 y(x) = 1 x x + e 4 3x + c 1 e x + c 2 e 2x Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti variabili L'omogenea associata dove sono funzioni continue in un intervallo dell'asse reale. La sua risoluzione consiste nel cercare una soluzione del tipo (3) come già visto nella sezione precedente. L'equazione completa dove sono funzioni continue in un intervallo reale. Sappiamo che la soluzione particolare va sommata alla soluzione dell'omogenea associata. In questo caso si può usare il metodo delle variazioni delle costanti. Cerchiamo una soluzione dello stesso tipo di quella dell'omogenea considerando però le costanti come funzioni: dove e sono due soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata (2) (due soluzioni sono tra loro indipendenti se il loro rapporto NON è costante). Dal momento che e sono note e le funzioni e incognite, queste ultime vanno determinate in modo che (9) soddisfi l'equazione completa (1). Inoltre, poiché le funzioni da determinare sono due, si può imporre una seconda condizione su e a proprio piacimento. Si scelga: Derivando la (9) due volte e utilizzando la (10):

11 Sostituendo nella (1): Abbiamo così un sistema nelle incognite : Una volta ricavati (è dimostrabile che questo risulta sempre fattibile data l'indipendenza delle soluzioni e ), si ricavano. Infine la soluzione sarà: e quella completa sarà: 1.4 metodo delle variazione delle costanti Il metodo delle variazione delle costanti (o di Lagrange) è un metodo generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema. Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine narbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita è chiamata in tutti gli esempi. Equazioni del primo ordine In una equazione differenziale del primo ordine in forma normale Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata del tipo

12 dove è una primitiva di e è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante viene trasformata in una funzione da determinare. Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz: Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene: da cui, sostituendo: Semplificando si ottiene: Isolando ciò che ci interessa e integrando entrambi i membri: da cui l'integrale generale dell'equazione completa è: A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o addirittura, non risolvibile con metodi analitici. Equazioni del secondo ordine Una equazione differenziale del secondo ordine del tipo: Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo: costruite a partire da due soluzioni: e dell'equazione omogenea associata: Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti. Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

13 Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente: Questo fa sì che risulti: e di conseguenza: Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene: e quindi I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché e sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a: Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite e : Il determinante della matrice è il Wronskiano di e : questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da: Integrando e si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente). Equazioni di ordine n

14 Nel caso di equazioni di ordine n, il metodo di variazione delle costanti acquista la seguente forma: Si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea: e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:. Si risolve il seguente sistema lineare nelle n incognite Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione. Esempi L'equazione omogenea associata è L'equazione caratteristica è. che ha. Quindi occorre trovare i numeri

15 L'integrale generale della omogenea è quindi y 1 (x) = e αx sin(βx)= sinx, y 2 (x) = cos(βx)= cosx Utilizziamo ora il metodo delle variazioni delle costanti. La forma della soluzione particolare è.le derivate di devono soddisfare il sistema: Con Cramer Ho ottenuto ora il valore di. Ma mi servono le primitive, quindi

16 Quindi, sostituendo la soluzione della non omogenea di partenza, è con e Iniziamo studiando l'omogenea associata: L'equazione caratteristica associata è: Abbiamo due soluzioni reali e coincidenti, la famiglia di soluzioni che soddisfa l'equazione differenziale omogenea è: con costanti da determinare. Adesso andiamo alla ricerca della soluzione particolare, che con in questo caso: Calcoliamo il Wronskiano

17 Di conseguenza: mentre Di conseguenza la soluzione particolare è:. L'integrale generale è: Imponiamo le condizioni iniziali:

18 La funzione soluzione del problema di Cauchy è: