1 Numeri. Operazioni aritmetiche elementari. Rappresentazione elementare di fenomeni. Equivalenze.

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1 Numeri. Operazioni aritmetiche elementari e loro proprietà. Calcoli con le percentuali. Rappresentazione elementare di fenomeni. Equivalenze.. Insiemi numerici. Gli insiemi numerici fondamentali sono: INSIEME SIMBOLO ELEMENTI numeri naturali N {0,, 2,,...} numeri interi Z {0, { ±, ±2, ±,...} numeri razionali Q m n : m, n Z} numeri reali R razionali ed irrazionali Gli insiemi numerici sono inclusi l uno nell altro, in particolare si ha che N Z Q R. L insieme dei nuneri reali è l unione dei numeri razionali (Q) e dei numeri cosiddetti irrazionali, che cioè non possono essere scritti sotto forma di frazione (es: π, 2,...). Trasformando in numeri decimali i numeri razionali ed irrazionali si ha che:. i numeri razionali, trasformati in notazione decimale, corrispondono all unione dell insieme dei decimali limitati (cioè con solo un numero finito di cifre dopo la virgola) e dell insieme dei decimali illimitati periodici Esempio = 0.00, = 0., i numeri irrazionali corrispondono all insieme dei numeri decimali illimitati non periodici. Esempio π =,

2 .2 Proprietà delle operazioni tra numeri. Le quattro operazioni non sono sempre definite in tutti gli insiemi numerici, ad esempio non è sempre possibile eseguire la divisione in Z perché in generale la divisione tra due numeri interi non è un intero ma un numero razionale (lo stesso problema si ha in N per quanto riguarda la sottrazione). Il più piccolo insieme in cui le quattro operazioni sono definite (cioè possono essere eseguite ed il risultato appartiene ancora all insieme) è l insieme Q (ovviamente, anche in R sono definite, ma R Q). Dal momento che la sottrazione (oppure la divisione) tra due numeri può essere vista come somma di un numero con l opposto del secondo (prodotto del primo per l inverso del secondo nel caso della divisione), è sufficiente considerare somme e prodotti. Le loro principali proprietà sono:. associativa (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) 2. commutativa a + b = b + a a b = b a. distributiva a (b + c) = a b + a c 4. esistenza degli elementi neutri per la somma è lo 0 per il prodotto è l 5. esistenza degli inversi per la somma, l inverso di a è a (cioè è l opposto) per il prodotto, ogni numero a diverso da 0 ha inverso (moltiplicativo) a. Potenze. Consideriamo anzitutto le potenze con esponenti numeri naturali. Sia n N, per definizione a n = a a... a }{{} n volte Le principali proprietà delle potenze sono: n, m N a n a m = a n+m a m = an m (a n ) m = a n m ( a 0 = a 0 a n b n = (a b) n an a ) n b n = b 0 b an 2

3 Si può generalizzare il precedente concetto introducendo la definizione di potenza con esponente intero. Dal momento che gli interi positivi coincidono con i naturali, è sufficiente definire le potenze ad esponente intero negativo. Per definizione, si pone a n = a n. Esempio 2 = 2 = 8 ; 0 2 =. Utilizzando potenze di base 0 è possibile trasformare i numeri in notazione scientifica cioè scritti sotto forma di numeri decimali aventi una sola cifra non nulla prima della virgola moltiplicati per l opportuna potenza di 0 (l esponente della potenza di 0 si ottiene considerando il numero di posti di cui è stata spostata la virgola con segno positivo se lo spostamento è stato verso sinistra, negativo se verso destra). Esempio Il numero 56 in notazione scientifica si scrive.56 0, mentre il numero 0.02 in notazione scientifica si scrive Percentuali. Il calcolo con le percentuali permette di esprimere una quantità in funzione di una prima quantità assegnata e perciò permette un immediato evidente confronto. Si dice che y è l x% di z se si ha che: y = z x. Esempio il 2.5% di 286 vale = 02.2.

4 Esercizi.. Calcolare ( (2) (2) 5) : ( ). Usando le proprietà delle potenze (prodotto e quoziente di egual base) si ( ha che (2) (2) 5) : ( ) = ( 2 +5) : ( 2 7+) = 2 8 : 2 0 = = 2 2 = 2 2 = Calcolare ( ( ) 5 ( ) ) ( : 2 4 (4 ) 4 2) Usando le proprietà delle potenze (in particolare potenza di potenza e( prodotto di potenze con egual esponente) si ha che ( ) 5 ( ) ) ( : 2 4 (4 ) 4 2) = ( 5 : 8) ( ) = = ( 4) 7 = 2 7. Scrivere in notazione scientifica i numeri e Nel primo caso, per avere una sola cifra non nulla prima delle virgola occorre spostare la virgola stessa di tre posizioni verso sinistra quindi = Nel secondo caso, la virgola va spostata di cinque posizioni verso destra quindi si ha = (lo zero finale è inutile e può essere omesso). 4. Calcolare il 20% di 40 ml La quantità richesta è = 28 ml. 5. Determinare il numero il cui 22% è 54. Detto x tale numero, si ha che 22 x = 54 cioè 22 x = 5400 e quindi x = Il diametro di un atomo di idrogeno è pari a circa un decimiliardesimo di metro. Sapendo che la distanza Terra-Sole è di circa 50 miloni di kilometri, quanti atomi di idrogeno bisognerebbe allineare per coprire la distanza Terra-Sole? m = 0 0 m km= km=.5 0 m.5 0 numero atomi= 0 0 = = In un fulmine si trova approssimativamente una carica di 20 coulomb. A quanti elettroni corrisponde questa carica sapendo che la carica di un elettrone è uguale a coulomb? 4

5 20 Numero elettroni= = = Sapendo che il volume di acqua pari a.4 miliardi di km rappresenta lo 0.6% del volume della Terra, si stimi il volume del nostro pianeta esprimendolo in m km = (0 ) m = m. Il volume richiesto.4 08 è quindi pari a = m In seguito alla Green Revolution degli anni 70, una cooperativa di agricoltori del Sud-Est asiatico ha incrementato la coltivazione del grano con un aumento di produzione del 45% ma, a causa dello stress causato dall eccessivo sfruttamento dei suoli, nei decenni successivi si è registrato un calo del 5% nella produzione. L operazione è risultata essere conveniente nel lungo periodo? Il risultato sarebbe stato lo stesso se si fosse registrato prima un aumento del 5% e poi un calo del 45%? Perché? Non è risultata conveniente in quanto, supponendo per semplicità di calcoli che prima dell incremento la produzione valesse, dopo l incremento vale ovviamente 45 e lo sfruttamento dei suoli la fa 45 5 ridurre di = 50, 75 e quindi la produzione finale vale 45 50, 75 = 94, 25, cioè è in generale pari al 94.25% della produzione iniziale. Nel caso di aumento del 5% e poi riduzione del 45%, ripetendo gli stessi calcoli si ottiene una produzione finale pari al 74.25% della produzione iniziale quindi il risultato non è lo stesso. 0. Il 5% delle piante di Karité presenti nella regione di Sikasso, nel sud del Mali, è affetto da Tapinantus Fanerogama. Di queste, l 8% ne muore soffocata. Calcolare la percentuale assoluta di mortalità del Karité rispetto a questa patologia. [.2%]. Ogni centimetro quadrato di superficie terrestre è caricato da una massa d aria di kg. La superficie terrestre è di circa km 2. Calcolare la massa dell atmosfera e, sapendo che il 22% di questa è composto di ossigeno, la massa dell ossigeno presente nell atmosfera. [ kg; kg] 2. Un ingranaggio è formato da due ruote dentate, l una con 45 e l altra con 84 denti. Se la prima compie 2400 giri in minuti e 5 secondi quanti giri compirà la seconda in un ora e minuti? [7200] 5