Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 14. Hamiltoniana del decadimento β Chiralità e proiezioni chirali Correnti chirali.

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1 Interazioni Elettrodeboli rof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Hamiltoniana del decadimento β Chiralità e roiezioni chirali Correnti chirali. Universalità anno accademico

2 Determinazione di C A e C V Abbiamo già visto che la misura della vita media di nuclei ermette di determinare la costante di accoiamento G β 1 Gβ λf = = ξ 3 f τ π Tuttavia, il arametro ξ contiene una diendenza dal raorto C A /C V C A ξ = 1 + C σ C A /C V V I decadimenti di Fermi contengono solo il termine <1> e ermettono ertanto la determinazione di G β senza ulteriori informazioni G β = ± GeV Ulteriori misure di su transizioni di Gamov-Teller o miste ermettono la determinazione di C A /C V CA C = ± Blucher, Marciano PDG 006 J. Phys. G 33 ag. 677 Ceccucci, Ligeti, Sakai PDG 006 J. Phys. G 33 ag. 138 V Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 406

3 Determinazione di C A e C V Il segno relativo delle due costanti si uò determinare con la misura di un osservabile che dienda dal rodotto C A C V e quindi dall interferenza fra termini di Fermi e Gamov-Teller Occorre ertanto studiare transizioni di nuclei olarizzati Per nuclei non olarizzati l elemento di matrice contiene il termine 1 + a β e β ν Osservabili che diendono dal vettore di olarizzazione del nucleo σ contengono termini del tio Per neutroni olarizzati si trova b 1 + aβ β + bσˆ β + cσˆ β e ν + V A A A V A c V + 3 V + 3 A A C C C C C C = = C C C C Misure di correlazione angolare fra la direzione dell elettrone (o del neutrino) e lo sin nucleare mostrano che il segno relativo è ositivo CA C =+ ± V e ν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 407

4 L Hamiltoniana del Decadimento β Gli eserimenti descritti hanno ermesso la determinazione della forma dell Hamiltoniana del decadimento β Sono stati esclusi i termini Scalare e Tensoriale CS = CT = 0 Sono state determinate le costanti degli accoiamenti Vettoriale e Assiale Gβ = GC V L Hamiltoniana ertanto contiene solo i termini V e A Il termine assiale uò essere semlificato utilizzando (γ ) = I [ ( )( ( ψγ ψ ψ 1+ γ ) γ ψ ) C ( ψγγ ψ )( ψ ( 1+ γ ) γ ψ )] H = GC + I V n e ν A n C C Infine raccogliamo la arte letonica A V = κ α = α = 1 [ ( )( ( ) ) ( ψγ ψ ψ 1+ γ γψ C ψγγ ψ )( ψ( 1+ γ ) γγ ψ )] H = GC + I V n e ν A n e ν [ ( ) C ( ψγγ ψ )]( ψ ( 1 + γ ) ψ ) H = GC ψγ ψ + γ ν I V n A n e V A e ν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 408

5 L Hamiltoniana del Decadimento β Possiamo ulteriormente semlificare [ ( ) C ( ψγγ ψ )]( ψ ( 1 + γ ) ψ ) H = GC ψγ ψ + γ ν I V n A n e ( ψ ( C + C γ ) γ ψ )( ψ ( 1 γ ) γ ψ ) H = G + I V A n e ν E ancora ( ψ ( 1 + κγ ) γ ψ )( ψ ( 1 γ ) γ ψ ) H = GC + I V n e ν Come abbiamo già detto κ = 1.7 e GC V G β Il valore di κ diverso da 1 diende dal fatto che il nucleone non è una articella untiforme Il rotone ha una struttura Ritorneremo su questo unto in seguito Per il momento trascuriamo questo asetto e assumiamo κ = 1 ( 1 ) ( 1 ) H = G ψ + γ γ ψ ψ + γ γ ψ I β n e ν In una notazione iù moderna è diventato abituale sostare la matrice γ a sinistra H = G ψγ 1 γ ψ ψγ 1 γ ψ ( ) ( ) I β n e ν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 409

6 L Hamiltoniana del Decadimento β Definiamo due generiche correnti ( sia adronica che letonica) Una corrente Vettoriale J V = ψγ ψ Una corrente Assiale A = ψγ γ ψ Le due correnti (adronica e letonica) comaiono nell Hamiltoniana nella combinazione J = J J J V A. Ė questa la famosa forma VA delle correnti deboli ( cariche ) Infine, er uniformarci alle notazioni maggiormente utilizzate ridefiniamo la costante di Fermi La costante G è stata definita da Fermi rima della scoerta della violazione della arità La generalizzazione dell interazione di Fermi e l introduzione della violazione della arità hanno condotto ad una Hamiltoniana che contiene due correnti (VA) Per mantenere la stessa definizione di Fermi è necessario dividere G er G β ( 1 ) ( 1 ) H I = ψγ γ ψn ψeγ γ ψ ν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 410

7 Proiezioni Chirali Esaminiamo in maggiore dettaglio la corrente letonica l ( x) = ψ ( ) ( ) ( ) e x γ 1 γ ψ ν x L elemento di matrice di l (0) fra il vuoto e lo stato e ν e è e νe l 0 0 = u γ 1 γ v e ν Abbiamo già calcolato l elemento di matrice di un oeratore simile nel caso del decadimento β (slide ) Ci chiediamo cosa imlica la resenza della matrice 1γ In articolare cosa imlica er l elettrone Saiamo che nel decadimento β gli elettroni sono olarizzati Trasortiamo la matrice 1γ a sinistra Dimostriamo adesso che l alicazione di 1γ allo sinore u() roduce un elettrone con olarizzazione β β è la velocità dell elettrone ( ) ( ) 0 = u ( 1 γ ) γ γ [( ) ] 0 = γ u γ γ [( ) u ] u e e γ 0 ( 1 γ ) = u ( 1 + γ ) γ = u ( 1 + ) v ν v ν e 1 e v ν e v ν γ γ γ v ν = γ γ 1 e v ν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 411

8 u Proiezioni Chirali Ricordiamo la definizione dell oeratore elicità Σ h ( nˆ) = = Σ nˆ nˆ = Nel seguito utilizzeremo la raresentazione di Dirac In questa raresentazione l oeratore Σ è σ 0 Σ = Consideriamo gli sinori u + e u 0 σ χ + χ χ + χ = N σ χ N = = N χ χ + u = N σ χ E + m E + m E + m E + m N = E + m + + χ ± sono sinori bidimensionali autovettori di σ nˆ σ nˆχ = ± χ Si verifica facilmente che gli sinori u ± sono autostati dell elicità Infatti ˆ χ + ˆ u σ n 0 χ ˆ N χ σ n + χ Σ n + = + 0 σ n N ˆˆ χ + = σ n + = + N χ + E + m E + m E + m Σ n u+ = + u+ e analogamente Σ nˆ u = u In definitiva, er λ = ±1 Σ nˆ u = λu λ λ ± ± Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 41

9 Proiezioni Chirali Il risultato recedente significa che u ± raresentano sinori comletamente olarizzati ( = 100% ) u + è uno sinore con olarizzazione 100% in direzione arallela a u è uno sinore con olarizzazione 100% in direzione antiarallela a Consideriamo adesso un arbitrario sinore nella raresentazione di Dirac ( non necessariamente normalizzato) u( ) χ = N χ σ E + m Definiamo le roiezioni chirali u R e u L Ricordiamo la forma di γ nella raresentazione di Dirac ( ) 0 I I I I I γ 1 γ = = I 0 I I 1 + γ = I I Otteniamo 1 I I χ σ N ( 1 ) χ ul = ( 1 γ ) u( ) = χ N E + m I I σ = E + m σ ( 1 E m) χ + Notiamo che le comonenti sueriori dello sinore e quelle inferiori non sono iù indiendenti ur ul 1 1 = + γ ( ) 1 1 = γ u u Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 413

10 Proiezioni Chirali Lo sinore u L non è un autostato dell oeratore elicità h Si uò dimostrare che il valore medio dell elicità è ul h ul h L = = = β u u E Consideriamo adesso u R 1 I I χ σ ur = ( 1 + γ ) u( ) χ ( 1 + ) χ E + m = I I σ = E m σ + ( 1 + ) χ E + m Analogamente al caso recedente si dimostra che ur h ur h R = = + = +β u u E L R Pertanto gli sinori u L e u R Non sono autostati dell oeratore elicità Tuttavia raresentano stati con olarizzazione arziale = ±β Notiamo infine che er β 1 la olarizzazione diventa comleta e le due roiezioni chirali diventano autostati dell elicità Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 414 L R

11 Proiezioni Chirali Abbiamo ertanto ritrovato il risultato sulla olarizzazione β che avevamo ottenuto recedentemente con il calcolo eslicito dell elemento di matrice Possiamo quindi interretare la comarsa della olarizzazione degli elettroni come il risultato della struttura VA della corrente letonica L oeratore 1γ roietta uno sinore arbitrario in uno stato di olarizzazione arziale longitudinale left-handed Ribadiamo inoltre che la olarizzazione diventa comleta quando β 1 Le notazioni u R e u L er indicare le roiezioni chirali ossono generare confusione Bisogna tenere distinti i concetti di chiralità e elicità L'Hamiltoniano delle interazioni deboli contiene le roiezioni chirali Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 41

12 Particelle di massa nulla Arofondiamo l ultimo concetto Ricordiamo l equazione di Dirac er gli sinori in forma Hamiltoniana ( α + βm) u = Eu Per una articella di massa nulla (es. il neutrino) l equazione diventa α α u = u u = u Abbiamo scelto la soluzione con energia ositiva e usato il fatto che se m = 0 allora E = = Utilizziamo adesso la raresentazione di Dirac α 0 σ = σ 0 γ I = I 0 0 σ 0 αγ = γ α = Σ = 0 σ Moltilicando er γ l ultima forma dell equazione di Dirac otteniamo γ α Σ u = γ u u = γ u Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 416

13 Particelle di massa nulla Analogamente, ricordando che (γ ) = I otteniamo α u u γγ Σ = γ u = u Sommiamo l ultima equazione all ultima della diaositiva recedente Σ ( 1+ γ ) u = ( 1+ γ ) u Da cui Σ ur = ur Σ u = γ u Se invece sottraiamo Σ Da cui Σ u γ u = γ u u Σ u L Σ =u L ( 1 γ ) u = ( γ 1) u Pertanto nel caso di massa nulla le roiezioni chirali coincidono con gli autostati di elicità ur = u + ul = u Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 417

14 Raresentazione Chirale delle matrici γ La raresentazione di Dirac delle matrici γ è utile stata er discutere il limite non relativistico dell equazione di Dirac Se si vogliono mettere in evidenza altri asetti sono iù convenienti altre raresentazioni Ad esemio il limite di alta energia o, equivalentemente, il limite di massa nulla Asetti legati alla handedness o Chiralità In questi casi è conveniente la raresentazione Chirale o di Weyl σ 0 α = 0 σ β 0 I γ = 0 I 0 0 I γ 0 0 σ = = I 0 γ = γ α = 0 σ σ 0 αγ = γ α = Σ = 0 σ Nella raresentazione di Weyl si searano le roiezioni chirali R e L degli sinori Nella raresentazione di Dirac si searano le comonenti Large e Small legate al limite non relativistico Attenzione: la raresentazione qui riortata è conforme a quella utilizzata nel libro di testo (Aitchison-Hey ) Nel Peskin-Schoeder e nelle notes di Hitoshi Murayama viene utilizzata una convenzione differente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 418

15 Raresentazione Chirale Studiamo l equazione di Dirac nella raresentazione chirale α + βm ψ = Eψ ( ) Utilizziamo la raresentazione chirale e la χ ψ = raresentazione a blocchi dello sinore φ L equazione diventa σ 0 χ χ 0 I χ φ E φ m α = = I 0 φ 0 σ L equazione matriciale corrisonde alle due equazioni accoiate σ χ Eχ = mφ σ φ + Eφ = + mχ nella raresentazione di Dirac avevamo trovato σ φ Eχ = mχ σ χ Eφ = + mφ Un asetto interessante è che nel limite di massa nulla m = 0 Nella raresentazione di Weyl le equazioni er χ e φ si disaccoiano Nella raresentazione di Dirac le due equazioni rimangono accoiate anche nel caso limite di massa nulla Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 419

16 Particelle di massa nulla Nel caso di massa nulla le equazioni diventano ( E = = = / ) σ χ Eχ = 0 σ χ = + χ σ φ + Eφ = 0 σ φ = φ Vediamo ertanto che i due sinori bidimensionali χ e φ sono autostati dell elicità Inoltre nella raresentazione chirale i due oeratori di roiezione diventano 1 1 I 0 I ( 1 γ ) = 0 I 0 I = 0 I 1 I 0 ( 1 + γ ) = 0 0 Alicando i due oeratori allo sinore generico χ ψ = φ ( ) ( ) 1 R 1 χ 1 0 ψ = + γ ψ = 0 ψl = ( 1 γ ) ψ = φ Notiamo infine che i due sinori ψ L e ψ R sono anche autovettori dell oeratore γ (oeratore chiralitá) con autovalori +1 e 1 R =+ ψ R γψ L =ψ L γψ Abbiamo già notato che er m = 0 chiralitá ed elicità coincidono Per una massa non nulla sono due rorietà differenti Elicità olarizzazione comleta Chiralitá olarizzazione arziale = β Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 40

17 Proiezioni chirali La searazione delle due comonenti è secifica delle raresentazioni chirali Tuttavia molte delle altre rorietà viste sono indiendenti dalla massa e dalla raresentazione Si ossono definire due roiettori 1 ( 1 1 PR = + γ ) ( 1 PL = γ ) PP R L = 0 PR + PL = I Si uò semre scomorre uno sinore in due comonenti chirali ψ = ψ L + ψ R 1 ψr = ( 1 + γ ) ψ = P 1 Rψ ψl = ( 1 γ ) ψ = P Lψ Le due comonenti chirali di ψ sono autovettori di γ 1 γψ γ 1 ( γ ) ψ = ( γ + ) R γψ L = + ψ=+ψr = γ ( γ ) ψ 1 ( γ ) 1 = ψ =ψl 1 Le due comonenti non sono soluzioni dell equazione di Dirac Osserviamo che, dato che {γ,γ } = 0, P R γ = γ P L e P L γ = γ P R Pertanto se ( / m) ψ = 0 ( / m) ψ R = ( / m) P R ψ = ( P L/ Pm R ) ψ 0 Analogamente er l altra comonente Tuttavia se m = 0 le due comonenti sono soluzioni dell equazione di Dirac ψ = 0 ψ / = P / ψ = Pψ / = 0 / R Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 41 R L

18 Proiezioni chirali e antiarticelle Discutiamo adesso le roiezioni chirali degli sinori v associati alle soluzioni con energia negativa Abbiamo già notato che l associazione dell elicità fisica +1 agli autovalori dell oeratore Σ è oosta a quella degli sinori u Va comunque ricordato che la olarizzazione calcolata con l elemento di matrice ha semre il segno corretto, sia che si roducano articelle (ad esemio e ) o antiarticelle (ad esemio e + ) I roiettori di sin covarianti sono stati costruiti in modo da tenere conto dell inversione di segno Pertanto risulta anche invertito il segno della olarizzazione delle roiezioni chirali Questo asetto è evidente nel caso di articelle di massa nulla Consideriamo ancora l equazione di Dirac nella raresentazione chirale σ χ χ = σ φ + 0φ = 0 Pertanto le relazioni σ χ = + χ diventano σ φ = φ 0 0 nel caso di soluzione con energia negativa 0 = E σ χ = χ σ φ = + φ σ χ + Eχ = σ φ Eφ = Per le antiarticelle l elicità delle roiezioni (sinori χ e φ) è scambiata 0 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 4

19 Proiezioni chirali e antiarticelle La conseguenza fisica di quanto detto è che nel decadimento β La articelle sono emesse con olarizzazione β e Le antiarticelle sono emesse con olarizzazione +β e Per finire osserviamo che nel decadimento β l antineutrino è semre right-handed Ricordiamo l elemento di matrice Lo sinore v si uò scomorre = ( 0) 0 ( 1 ) e νe l u γ γ v e ν L R ( 1 γ ) ( 1 γ ) 1 1 v = v + v = v + + v Calcoliamo l effetto dell oeratore 1γ resente nell elemento di matrice ( γ ) 1 v 1 1 ( γ )[ ( γ ) + ( γ )] = v = ( )( ) + ( )( + ) ( ) v v = γ Pertanto nel decadimento β L elicità dell antineutrino è semre RH L elicità del neutrino è semre LH Chiralità L Elicità RH (+) 1 vl Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 43 Soravvive solo v L

20 Violazione della arità e momento angolare Abbiamo visto che la resenza dell oeratore 1γ determina una olarizzazione nei letoni rodotti nel decadimento β Fermioni left-handed Antifermioni right-handed Questa circostanza ci ermette di dare un interretazione interessante dei risultati sulle correlazioni angolari nel decadimento β n + e + ν La correlazione angolare è una conseguenza della conservazione del momento angolare dato che i due letoni sono olarizzati Abbiamo infatti visto che le transizioni di Fermi non Vettoriale cambiano il momento angolare del nucleo cosθ I letoni ertanto sono in uno stato di singoletto eν 1 e il momento angolare emesso è S = 0 LH RH Per le transizioni di Gamov-Teller invece il momento angolare nucleare varia di una unità I letoni sono adesso in uno stato di triletto e il momento angolare emesso è S = 1 Assiale cosθ eν = 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 44

21 Le Correnti chirali Left-Handed Ci sono altre osservazioni che si ossono fare sulla corrente Osserviamo che Possiamo ertanto scrivere a J a ( 1 ) = ψγ γ ψ ( ) ( ) = ( γ + ( γ ) γ γ ) = ( γ ) = ( γ ) b 1 4 ( 1 γ ) ( 1 γ ) = ( 1 γ ) 1 1 ( 1 ) = ψγ ( 1 γ ) ψ = ( 1 ) ( 1 ) ψγ γ ψ b a b 1 1 ψγ a γ γ ψ = ψ ( 1+ γ ) γ ( 1 γ ) ψ 0 ( = 1+ ) ( 1 ) a 1 1 b 1 1 ψγ a γ γ γ ψ 0 0 = ψ ( 1 γ ) γ γ ( 1 γ ) ψ = ( 1 ) ( 1 ) a b 1 1 γ ψa γ γ γ ψ b b b Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 4

22 Le Correnti chirali Left-Handed J = ( 1 γ ) ψa γ γ ( 1 γ ) ψ b Introduciamo le roiezioni chirali Left degli oeratori di camo 1 ψl = ( 1 γ ) ψ Inserendo nella corrente abbiamo J = [ ψ ] γ 0 γ ψ = ψ al γ ψ bl al bl J = ψ al γ ψ bl Pertanto un altro modo di sintetizzare i risultati serimentali sui decadimenti deboli è Solo le roiezioni chirali Left dei fermioni chiralità non elicità arteciano ai decadimenti deboli Attenzione, solo er le correnti cariche mediate dai bosoni W ± Nel modello standard questa affermazione si traduce nel limitare il gruo di simmetria SU() dell isosin debole alle comonenti LH dei cami SU ( ) L Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 46

23 Le Correnti chirali Left-Handed Per finire una interessante osservazione dovuta a Feynman e Gell-Man Se solo le roiezioni LH dei cami arteciano all interazione debole allora i tii ossibili di interazione sono solamente V e A Infatti nella corrente i vari tii oeratore comaiono nella forma 1 ( 1 ) ( 1 1 γ X 1 γ ) NB: ψ L = ψ 1 + γ Questa esressione si annulla er X = S,T (scalare e tensore) X = S: Γ X = I 1 ( 1 1+ γ ) ( 1 γ 1 ) = ( 1 ( γ ) ) = 1 ( 1 1 ) = X = T: Γ T = γ γ ν 1 ( ν 1 ) ( 1 1+ γ γ γ 1 γ ) ( 1 )( 1 ν = + γ γ ) γ γ = 0 4 Viceversa, er X = V e X = A gli oeratori non si annullano 1 ( 1 1 ) ( γ γ γ ) ( 1 ) ( = γ 1 γ 1 γ ) = γ 1 ( 1 γ ) ( ) 1+ γ γ γ ( 1 γ ) ( γ 1 γ ) γ ( 1 γ ) + Γ ( ) = γ γ 0 4 = + ( ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 47

24 Il neutrino Abbiamo visto che la forma VA della interazione imlica Che i fermioni siano semre left-handed Che gli antifermioni siano semre right-handed Dal momento che la massa del neutrino è nulla, una volta rodotto con una data olarizzazione questa sarà mantenuta er semrie La velocità del neutrino è c l elicità è la stessa in ogni sistema di riferimento Inoltre il neutrino interagisce solo er interazione debole e quindi solo se è left-handed Ė legittimo quindi chiedersi se il neutrino right-handed esista o meno Stesso discorso er l antineutrino left-handed L equazione di Dirac descrive i fermioni con una funzione a 4 comonenti comonenti er i due stati di olarizzazione della articella comonenti er i due stati di olarizzazione dell antiarticella Dal momento che il neutrino e l antineutrino necessitano di un solo stato di olarizzazione, lo sinore di Dirac er il neutrino è ridondante Date le due roiezioni chirali u L e u R è ossibile che u R sia l antineutrino? In questo caso articella e antiarticella coinciderebbero Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 48

25 Il neutrino Se il neutrino e l antineutrino fossero la stessa articella allora dovrebbe esistere la reazione Cl + ν A + e Questa transizione è stata cercata utilizzando gli antineutrini rodotti da un reattore La ricerca condotta da Davis ha ortato a risultati negativi Altre ossibilità di verifica sono offerte dal cosiddetto decadimento doio β Se esistono 3 stati nucleari isobarici nelle relazioni di massa indicate A Z A Z+1 A Z+ Allora non è ermesso energeticamente il decadimento Z Z+ 1 A / A + e + ν Avviene invece la transizione del secondo ordine (molto rara) in cui due neutroni decadono Z Z+ A A + e + ν + e + ν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 49

26 Il neutrino Se erò non esistesse distinzione fra il neutrino e l antineutrino Allora sarebbe ossibile la reazione Z Z+ 1 Z 1 Z A A + e + ν A + ν A + e Lo stato intermedio è virtuale. La reazione comleta sarebbe Z Z+ A A + e + e + + Il decadimento con due neutrini è stato osservato Il decadimento senza neutrini non è mai stato osservato Il neutrino e l antineutrino sono ertanto distinti Se il decadimento doio β venisse osservato occorrerebbe descrivere il neutrino con uno sinore di Maiorana Un formalismo che non distingue fra articelle e antiarticelle Si ottiene con oortune combinazioni di oeratori di creazione e distruzione di articelle e antiarticelle Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 430

27 Universalità Nel 193 Yukawa redisse l esistenza di una articella con massa dell ordine di 100 MeV che doveva essere il quanto dell interazione forte Una articella di massa simile fu scoerta nel 1938 da Neddermeyer e Anderson nello studio dei raggi cosmici Nel 194 Conversi, Pancini e Piccioni giunsero alla conclusione che la articella non oteva essere il quanto della interazione forte Nel 1947 Muirhead, Lattes e Occhialini scorirono il la catena di decadimento π e Nel 1949 Steinberger scorì che il muone decade in 3 articelle leggere Oggi saiamo che e + ν + ν e Da questo momento in oi nasce l idea che l interazione di Fermi ossa siegare molti decadimenti In articolare, il decadimento del muone uò essere siegato con il diagramma Vale a dire in modo analogo al decadimento β tramite l interazione delle correnti dell elettrone e del muone Universalità J α ν e ν e Je α Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 431

28 Universalità Occorre ertanto introdurre una corrente er il muone analoga a quella dell elettrone ˆα α J ( e) = ψγ e ( 1 γ ) ψ ν ˆα α J ( ) = ψ ( 1 ) e γ γ ψν La corrente letonica totale è L = J ( e) + J ( ) α α α Analogamente a quanto già visto la corrente J α () Crea un muone o distrugge un antimuone + con il camo Distrugge un neutrino ν o crea un antineutrino con il camo Per descrivere la reazione e + ν + νe dobbiamo Distruggere un muone e creare un neutrino Abbiamo bisogno della corrente (J α ()) G LL α H = α L Hamiltoniana di interazione è ertanto Gli oeratori necessari er l elemento di matrice vengono automaticamente selezionati dagli stati iniziale e finale (a meno di costanti di normalizzazione e sinori) i = = 0 f = e ν ν = a a b 0 a ν e e ν ν ε ψ ψ ν Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 43

29 Il decadimento del letone ν Il decadimento del muone è descritto dal diagramma La vita media uò essere calcolata con le stesse e 1 Gm tecniche utilizzate er il calcolo della vita ν Γ= = e media del neutrone (si uò assumere m e = 0) τ 3 19π La misura della vita media del letone è molto recisa e ermette ertanto una determinazione molto accurata della costante di accoiamento Per distinguerla da quella ricavata dal decadimento β la chiamiamo G Per oter trarre beneficio della recisione della misura serimentale occorre tenere conto delle correzioni radiative elettromagnetiche Le correzioni radiative elettromagnetiche sono descritte dai diagrammi ν e ν e e ν e La quasi identità fra G e G β è una forte indicazione che la stessa interazione descrive i decadimenti del neutrone n e del muone Erler, Langacker PDG 006 J. Phys. G 33 ag. 10 ν Tenendo conto di correzioni O(α ) e con m e 0 si ottiene 1 Gm m ( ) e m f α G = m ( π τ 4 ) = ± GeV π π G β = ± GeV ν e ν e ν e ν e ν e ν e Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 433

30 Universalità Altri rocessi che ossono essere siegati con estensioni dell Hamiltoniana del decadimento β che abbiamo studiato Decadimenti e urti comletamente letonici e + + e τ e ντ νe ν ν τ + ν + ν Decadimenti e urti semi-letonici senza variazione di Stranezza n + e + ν e ± ± Σ Λ + l + ν l ν + N + X Decadimenti semi-letonici con variazione di Stranezza + + νe + e νe + e 0 τ π π + e + ν τ π + ντ e K ν K π + e + νe Λ + e + ν e Decadimenti totalmente adronici con variazione di Stranezza Λ + π + Σ + π K π + π Tutti questi decadimenti sono stati studiati con successo e hanno confermato la validità della interazione fra le due correnti Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 434

31 La corrente adronica Nello studio del decadimento beta abbiamo utilizzato la corrente adronica J ( h) = ( 1 ) ψγ κγ ψ Ne abbiamo calcolato l elemento di matrice fra due stati (il neutrone iniziale e il rotone finale) Abbiamo inoltre notato che il fattore κ diverso da 1 è dovuto al fatto che gli adroni non sono untiformi Pertanto occorre tenere conto dell interazione forte Nello studio delle correnti degli adroni risulta conveniente utilizzare una corrente I generica (non definita eslicitamente) È un oeratore vettoriale (nel senso di Lorentz) Dagli eserimenti abbiamo visto che deve avere una arte vettoriale e una assiale Gli eserimenti ci dicono quali regole di selezione deve rirodurre I n = V + A Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 43

32 La corrente adronica Per il calcolo delle quantità osservabili occorre calcolare l elemento di matrice dell oeratore fra stati di articelle Ad esemio, nel caso del decadimento β del neutrone si otrebbe scrivere ( ) k,, s nk,, s = F k, s, k, s I n n n n Le funzioni F sono un insieme di c-numbers (non sono oeratori) A seconda del tio di accoiamento iotizzato le funzioni F hanno uno (o iù, o zero) indici di Lorentz In diendenza dalla natura degli stati (iniziale e finale) le funzioni F hanno anche argomenti con degli indici Comlessivamente hanno ben recise rorietà di trasformazione er trasformazioni di Lorentz Utilizzando le rorietà di invarianza (di Lorentz) e le regole di selezione si uò scrivere la forma iù generale dell elemento di matrice e confrontarlo con i dati serimentali er determinare le arti incognite (ad esemio il fattore κ 1.6) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 436

33 Il decadimento π l ν l Abbiamo visto che la teoria di Fermi del decadimento β ermette di calcolare la vita media del rocesso n e ν e Con la stessa Hamiltoniana si uò anche calcolare la vita media del rocesso n e ν e D altro canto saiamo che il ione si accoia al nucleone tramite interazione forte Ad esemio sono ossibili i rocessi π n n Negli stati intermedi, ovviamente, non si conserverebbe l energia Sono ertanto stati virtuali Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 437 n n π ΔEΔt e ν e e ν e π

34 Il decadimento π l ν l È quindi ossibile il rocesso π n ν e e Questi erano i ragionamenti che si facevano verso la fine degli anni 40 Bisogna tenere semre resente che i diagrammi riortati sono divergenti e non si sa come calcolarli. Pertanto, er calcolare sezioni d urto e larghezze si deve ricorrere a metodi e calcoli fenomenologici L Hamiltoniana del decadimento è π n e ν e = H G ( I ) L Nell Hamiltoniana L è la corrente letonica e è la corrente adronica Lo stato iniziale e lo stato finale sono risettivamente i I = π f = l νl Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 438

35 Il decadimento π l ν l i = π f = l νl Notiamo in articolare che Per gli adroni si assa da uno stato con un ione allo stato vuoto Nel caso del decadimento β si assa dal neutrone al rotone Per i letoni, come nel caso del decadimento β si assa da uno stato vuoto allo stato con due letoni Si uò rocedere come nel caso del decadimento β er giungere alla seguente esressione er l amiezza M = G β 0 I ( 0 ) π l νl L ( 0 ) 0 La arte letonica è identica a quanto visto er il decadimento β l l l Per la arte adronica, utilizzando argomenti di invarianza, si uò dimostrare che 0 I ( 0 ) π = f q Il 4-vettore q è il 4-momento del ione ν ν l ν L 0 0 = u k γ 1 γ v k ( ) ( ) ( ) ( ) π Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 439

36 Il decadimento π l ν l 0 I ( 0 ) π = fπq Per la conservazione del 4-momento totale abbiamo q = kl + k La quantità f π è una costante che diende dalla natura del mesone che decade e ha le dimensioni di una energia L elemento di matrice diventa ertanto ν M = G f u k q v k ( ) γ ( 1 γ ) ( ) β π l l ν ν = / = l + ν q γ q k/ k/ Si uò ulteriormente semlificare ricordando che ( k/ m) u = 0 ( k/ + m) v = 0 (/ m) = 0 u k Pertanto Gβ = f π u ( )( )( 1 ) ( ) l k l k / l + k / ν γ v ν k ν mu kv / =0 (/ + m) = 0 M ( )( ) ( ) l l ν ν v k Gβ f π mu l l k l 1 v ν k ν = γ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 440

37 Il decadimento π l ν l Il modulo quadrato sommato sugli stati di olarizzazione finale si ottiene con le usuali tracce G β M = f m Tr k / + m 1 γ k / 1+ γ La traccia si calcola facilmente Si ha inoltre G M = f mu k γ v k ( )( 1 ) ( ) β π l l l ν ν π l l l [(/ + )( 1 γ )/ ( 1+ γ )] Tr kl ml k ν mπ = q = ( k + ) l k ν [( )( ) ( )] = Tr ( k/ )( 1 ) l + ml γ k/ ν Tr [( k / m )( 1 γ ) k / ] ν l l ν = + = [// ] l l ν ν = k + k k + k k l k = ν m l π ml Tr k k ν 8k l = k ν In conclusione k ν mν = = 0 M ( ) = Gβ fπ ml mπ ml Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 441

38 Il decadimento π l ν l M ( ) = Gβ fπ ml mπ ml Notiamo che l elemento di matrice è costante, come ci si oteva attendere La larghezza di decadimento è Ricordiamo lo sazio delle fasi er uno stato finale di due articelle nel c.m. del π (vedi diaositiva ) L integrale è banale d M M m π m π Γ= Φ d 1 f ( i f ) f ( 4 W W Φ = δ π dw d Ω ) W 1 f dφ = δ ( Wi Wf ) dwfdω ( 4π ) W f f = dφ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 44 1 mπ m l 4π mπ dφ = f π ml m = W f = m m π π 1 m m 1 = l dω ( 4π ) m m π Più grande er l = e Più iccolo er l = π π

39 Il decadimento π l ν l In definitiva otteniamo er la larghezza di decadimento 1 M Γ= = dφ τ m π 1 1 m Γ= Gβfπml ( mπml ) m 4π β ml f ml m π π 1 π mπ G Γ= 8 π ml mπ Il ione decade circa nel 100% dei casi in muone ed ha una vita media π τ 8 =.6033 ± s Da questo valore si uò ricavare il arametro fenomenologico f π f π = ± 0.1MeV M. Suzuki, PDG 006, J. Phys. G 33 ag. 3 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 443

40 Il decadimento π l ν l β ml f ml m π π 1 π mπ G Γ= 8 Il decadimento in elettrone è molto raro La misura della frazione di decadimento dà Γ( π eν) Γ( π ν) = 1.30 ± Va confrontata con il risultato del nostro calcolo ( e ) ( ) Γ( π eν) me mπ m R = = Γ( π ν) m m m π Vediamo che il nostro calcolo riroduce molto bene l ordine di grandezza L ingrediente chiave è la massa del letone la cui origine è dovuta all accoiamento di tio vettoriale ( γ o γ γ ) 4 4 R = = Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 444